Mathematical models of nonlinear longitudinal-cross oscillations of object with moving borders

Full Text

Колеблющиеся механические объекты с движущимися границами широко распространены в технике. Это канаты грузоподъёмных установок [1, 2], гибкие звенья передач [3], лентопротяжные механизмы [4], балки [5, 6], рельсовые пути [7, 8], бурильные колонны [9], струны музыкальных инструментов [10], нити [11], тесёмочные передачи и т. д. До настоящего времени задачи о колебаниях таких систем решались в основном при линейной постановке и жёстком закреплении границ, когда отсутствует энергетический обмен через границу [1, 3, 5, 12-17]. В редких случаях учитывалось действие демпфирующих сил. Как показано в работе [12], при описании колебаний волновым уравнением в случаях, когда скорость движения границы стремится к скорости распространения волн и при стремлении длины объекта к нулю энергия колебаний стремится к бесконечности, чего в реальных объектах быть не может. Возникла необходимость в построении более сложных математических моделей продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами, учитывающих большое число факторов, влияющих на колебательный процесс. В данной статье построен ряд нелинейных математических моделей такого рода задач. В отличие от существующих моделей получены граничные условия в случае наличия энергетического обмена между частями объекта слева и справа от движущейся границы, учтено взаимодействие между продольными и поперечными колебаниями. При получении математических моделей использован вариационный принцип Гамильтона. Полученные математические модели позволяют описывать колебания большой интенсивности систем с движущимися границами. 1. Описание объекта. В настоящей работе рассматриваются объекты, обобщённая схема которых схематически изображена на рис. 1. Объекты могут быть струной, стержнем, балкой, канатом и т. д. Для объекта введены следующие обозначения: ρ - объёмная плотность массы; S - площадь поперечного сечения; I - осевой момент инерции поперечного сечения объекта; E - модуль упругости материала объекта; µ - коэффициент, характеризующий свойство вязкоупругости объекта на основе структурной модели Фойгта; ε0 - начальная продольная деформация объекта, создающая натяжение T = ESε0 ; x - расстояние от левой границы до точки объекта, находящегося в недеформированном состоянии; L(t) - длина недеформированного в продольном направлении объекта слева от движу- Рис. 1. Обобщённая схема объекта [Figure 1. Generalized sketch of object] щейся границы; t ∈ [0, t1 ] - время; L0 - общая длина недеформированного объекта. Для характеристики окружения объекта введены следующие параметры: k0 - жёсткость подложки, на которой лежит объект (сила, действующая на единицу длины при единичном поперечном смещении); V (t) - окружная скорость роликов; λ - коэффициент, характеризующий действие сил сопротивления внешней среды (силы сопротивления пропорциональны скорости поперечного движения и длине). На объект в направлении вектора e2 действует распределённая нагрузка f (x, t). На движущуюся границу действует сила F (t) = F1 (t)e1 + F2 (t)e2 . Движущаяся граница состоит из жёстко соединённых роликов массой m2 . Масса системы роликов и каркаса равна m1 . Пружина жёсткости k2 реагирует на поперечное смещение системы роликов. В продольном направлении имеет место жёсткое соединение между системой роликов и каркасом. Между роликами и объектом проскальзывание отсутствует, поэтому при предположении малости продольных деформаций имеет место равенство L (t) = V (t). Для характеристики продольно-поперечных колебаний объекта введём функции: u∗ (x, t), u2 (x, t) - смещения точек объекта с координатой x в мо1 мент времени t в направлении базисных векторов e1 , e2 соответственно. Для сокращения записей введём новую функцию u1 (x, t) = u∗ (x, t) + x + ε0 x. 1 (1) Функция u1 (x, t) представляет собой расстояние от левой границы до точки с координатой x деформированного объекта. 2. Геометрические и дифференциальные характеристики объекта. Рассмотрим геометрию объекта, то есть найдем изменение длины элемента dx и его кривизну. Элементарный вектор dl, в который перейдет элемент dx (рис. 1), в момент времени t равен dl = (u∗,x + 1 + ε0 )dx e1 + u2,x (x, t)dx e2 . 1 Здесь и далее под u∗ и u2 понимаются функции u∗ (x, t) и u2 (x, t). После 1 1 запятой указана переменная, по которой берётся частная производная. Длина вектора находится по формуле dl = (1 + ε0 + u∗,x )2 + u2,x dx. 1 2 Найдём относительную деформацию элемента: ε(x, t) = dl - dx = dx (1 + ε0 + u∗,x )2 + u2,x - 1. 1 2 С учётом (1) формула (2) будет иметь вид √ ε(x, t) = uj ,x uj ,x - 1. (2) (3) Здесь и далее по повторяющимся индексам предусматривается свёртывание. В предположении малости изгибных деформаций кривизна элемента dl (см. рис. 1) находится по формуле K(x, t) = u2,xx . (4) 3. Описание областей колебаний и соотношений на границе. Для учёта энергетического обмена, происходящего на границе, разобьём область колебаний в координатах x ∼ t на две открытые области W1 , W2 (рис. 2), которые соответствуют частям объекта слева и справа от движущейся границы. Через W обозначена объединённая область, состоящая из W1 и W2 . Через γ1 и γ2 обозначены замкнутые контуры, окружающие области (положительное направление обхода против часовой стрелки). Обозначим через ui (L(t) - 0, t), ui (L(t) + 0, t) значения функций слева и справа от движущейся границы. Рис. 2. Области колебаний [Figure 2. Oscillations domains] Из условия неразрывности деформаций объекта следует ui (L(t) - 0, t) = ui (L(t) + 0, t), i = 1, 2. (5) Характер взаимодействия роликов и объекта (см. рис. 1) исключает угловое смещение в точке их контакта, поэтому при наличии изгибной жёсткости имеет место равенство u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = 0. (6) Продифференцируем соотношение (5) по t: ui,x (L(t) - 0, t)L (t) + ui,t (L(t) - 0, t) = ui,x (L(t) + 0, t)L (t) + ui,t (L(t) + 0, t). С учётом (6) полученное выражение преобразуется к виду u2,t (L(t) - 0, t) = u2,t (L(t) + 0, t) = 0. (7) 4. Нахождение составляющих вариации интеграла действия. Для получения модели, описывающей продольно-поперечные колебания объекта, предлагается использовать вариационный принцип Гамильтона [19]: если заданы начальное и конечное состояния системы, то из всех возможных законов движения реализуется такой, для которого действие t1 (T - U ) dt I= t0 принимает стационарное значение (T - кинетическая энергия системы, U - потенциальная энергия). Для применения принципа понадобятся вариации интеграла действия от кинетической и потенциальной энергии системы. 4.1. Вариация от кинетической энергии объекта. Интеграл действия от кинетической энергии объекта определяется формулой IT 1 = L0 t1 1 2 ρSuj ,t uj ,t dx. dt 0 0 Представим двукратный интеграл в виде двойного: 1 IT 1 = ρS 2 uj ,t uj ,t dW W и найдём вариацию: uj ,t δuj ,t dW + δIT 1 = ρS W1 uj ,t δuj ,t dW . (8) W2 Здесь интеграл по области W представлен как сумма интегралов по областям W1 и W2 . Представим подынтегральное выражение в виде uk,t δuk = ∂ (uk,t δuk ) - uk,tt δuk . ∂t С помощью формулы Грина преобразуем выражение (8): uk,t δuk dx + δIT 1 = ρS γ1 uk,t δuk dx - γ2 uk,tt δuk dW . (9) W Здесь γ1 и γ2 - замкнутые контуры, окружающие области W1 и W2 . 4.2. Вариация интеграла действия от кинетической энергии системы роликов и каркаса. Выразим скорости движения границы в продольном и поперечном направлениях: Vi (t) = d ui (L(t), t), dt i = 1, 2. Здесь и далее (d/dt) - полная производная. Кинетическая энергия движущейся границы определяется выражением 1 m1 V12 (t) + m2 V22 (t) . 2 Интеграл действия от кинетической энергии системы роликов и каркаса 1 IT 2 = mi 2 386 t1 0 d d ui (L(t), t) ui (L(t), t) dt. dt dt Для вариации действия получим t1 δIT 2 = mi 0 d d ui (L(t), t) δui dt dt x=L(t) dt. (10) Представим подынтегральное выражение из (10) в виде d d ui (L(t), t) δui dt dt = x=L(t) = d d ui (L(t), t)δui dt dt x=L(t) - d2 ui (L(t), t)δui dt2 x=L(t) . В результате для вариации (10) получим δIT 2 = mi d ui (L(t), t)δui dt x=L(t) - mi t=t1 t1 - 0 d ui (L(t), t)δui x=L(t) - dt t=0 d2 ui (L(t), t)δui x=L(t) dt. (11) dt2 4.3. Вариация интеграла действия от упругой потенциальной энергии и вязкоупругих сил при продольной деформации объекта. Для учёта зависимости между деформациями и напряжениями используется модель Фойгта σ(t) = Eε(t) + µε(t), ˙ (12) где σ(t) - напряжение; E - модуль упругости; ε(t) - относительная деформация; µ - коэффициент вязкоупругости; ε(t) - производная по времени от ε(t). ˙ Упругая потенциальная энергия находится по формуле 1 U1 = ES 2 ε2 (x, t) dW, W где ε(x, t) - определяется выражением (3). Вариация интеграла действия представляет собой изменение энергии при изменении функций u1 , u2 . Вариация интеграла действия от упругих и демпфирующих сил задаётся соотношением δIU 1 = S (Eε(x, t) + µεt (x, t)) δε(x, t) dW. (13) W После преобразований (13) примет вид δIU 1 = S E W √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x δui,x dW. (14) Представим подынтегральное выражение из (14) в виде E √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ δui,x = √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x = ∂ ∂x - E ∂ ∂x √ uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x √ E - uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x δui . (15) После подстановки (15) в (14) и использовании формулы Грина для областей W1 и W2 выражение (14) примет вид δIU 1 = - S W ∂ ∂x -S E γ1 -S E √ √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x -1 +µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x E √ γ2 δui dW - dt- uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x dt. (16) 4.4. Вариация интеграла действия от потенциальной энергии и вязкоупругих сил для деформаций изгиба объекта. При описании состояния объекта с помощью модели Фойгта (12) изгибающий момент в сечении записывается следующим образом: M = I (EK(x, t) + µKt (x, t)) . Здесь: I - момент инерции поперечного сечения объекта, K(x, t) - кривизна объекта, которая определяется выражением (4). Интеграл действия энергии упругой деформации определяется следующим выражением: 1 IU 2 = EI 2 u2 dW. xx W Вариация интеграла действия упругой деформации и вязкоупругих сил имеет вид (Eu2,xx δu2,xx + µu2,xxt δu2,xx ) dW. IU 2 = I (17) W Выполним следующие преобразования подынтегральных составляющих в (17): ∂ (u2,xx δu2,x ) - ∂x ∂ (u2,xxt δu2,x ) - = ∂x u2,xx δu2,xx = u2,xxt δu2,xx ∂ (u2,xxx δu2 ) + u2,xxxx δu2 ; ∂x ∂ (u2,xxxt δu2 ) + u2,xxxxt δu2 . ∂x С помощью формулы Грина, учитывая (18), (19), для (17) получим (Eu2,xxxx + µu2,xxxxt ) δu2 dW + IU 2 = I W (Eu2,xxx + µu2,xxxt ) δu2 - (Eu2,xx + µu2,xxt ) δu2,x dt+ +I γ1 388 (18) (19) Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . (Eu2,xxx + µu2,xxxt ) δu2 - Eu2,xx + µu2,xxt δu2,x dt. (20) +I γ2 4.5. Вариации интегралов действия от факторов внешнего окружения объекта. Вариация интеграла действия от упругой деформации подложки задаётся соотношением u2 δu2 dW. δIU 3 = k0 (21) W Вариация интеграла действия от упругого присоединения системы роликов выражается соотношением t1 u2 (L(t), t)δu2 δIU 4 = k2 0 x=L(t) dt. (22) Вариация интеграла действия внешних сил сопротивления u2,t δu2 dW, δIU 5 = λ (23) W Вариация интеграла действия от внешней распределенной нагрузки задаётся соотношением δIU 6 = - f (x, t) δu2 dW, (24) W а вариация интеграла действия от внешней сосредоточенной нагрузки составляет величину t1 δIU 7 = - Fk δuk 0 x=L(t) dt. (25) 5. Получение системы дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий, описывающих колебания объекта. Согласно вариационному принципу Гамильтона, вариация интеграла действия должна быть равна нулю: δI = -δIT 1 - δIT 2 + δIU 1 + δIU 2 + δIU 3 + δIU 4 + δIU 5 + δIU 6 + δIU 7 = 0. (26) Составляющие вариации определены выражениями (9), (11), (16), (20)-(25). 5.1. Система дифференциальных уравнений в частных производных. Приравняем нулю коэффициенты перед δu1 , δu2 составляющих вариации (26), содержащих двойные интегралы. В результате получим систему дифференциальных уравнений, описывающую продольно-поперечные колебания объекта: ρSu1,tt - S ρSu2,tt - S ∂ ∂x ∂ ∂x E E √ √ uj ,x uj ,xt u1,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,xt u2,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x = 0; (27) + + I (Eu2,xxxx + µu2,xxxxt ) + λu2,t + K0 u2 - f (x, t) = 0. (28) 5.2. Граничные условия при x = 0, x = L0 . Граничные условия на неподвижных границах (см. рис. 1) имеют классический вид: u∗ (0, t) = 0, u2 (0, t) = 0, u2,xx (0, t) = 0, 1 u∗ (L0 , t) = 0, u2 (L0 , t) = 0, u2,x (L0 , t) = 0. 1 (29) 5.3. Граничные условия при x = L(t). Выпишем части вариаций по замкнутым контурам γ1 и γ2 выражений (9), (11), (16), (20), (22), (25), соответствующих линии x = L(t): t1 ρS uk,t (L(t) - 0, t) - uk,t (L(t) + 0, t) L (t)δuk 0 + mi + ES d2 ui (L(t), t)δui dt2 + x=L(t) + uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + + µS - ES x=L(t) uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) ui,x (L(t) - 0, t) × - uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) ui,x (L(t) + 0, t) δui × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) x=L(t) - - I Eu2,xxx (L(t) - 0, t) + µu2,xxxt (L(t) - 0, t) - - Eu2,xxx (L(t) + 0, t) - µu2,xxxt (L(t) + 0, t) δu2 x=L(t) + x=L(t) + + I Eu2,xx (L(t) - 0, t) + µu2,xxt (L(t) - 0, t) - - Eu2,xx (L(t) + 0, t) - µu2,xxt (L(t) + 0, t) δu2,x + K2 u2 (L(t), t)δu2 x=L(t) - Fk (t)δuk x=L(t) dt = 0. (30) Приравнивая коэффициенты перед вариациями к нулю и учитывая соотношения (5)-(7), получим ρS u1,t (L(t) - 0, t) - u1,t (L(t) + 0, t) L (t) + m1 + ES uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + + µS 390 d2 u1 (L(t), t)+ dt2 uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . × - ES uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS m2 u1,x (L(t) - 0, t) - uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) u1,x (L(t) + 0, t) × - F1 (t) = 0; (31) uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) d2 u2 (L(t), t) + EIu2,xxx (L(t) + 0, t) + µIu2,xxxt (L(t) + 0, t)- dt2 - EIu2,xxx (L(t) - 0, t) - µIu2,xxxt (L(t) - 0, t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0. (32) К полученным граничным условиям на границе необходимо добавить соотношения u1 (L(t) - 0, t) = u1 (L(t) + 0, t); u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t); u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = 0. (33) При отсутствии изгибной жесткости соотношение (6) не выполняется. При этом вместо граничного условия (32) необходимо использовать следующее условие: m2 d2 u2 (L(t), t) + ES uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + dt2 uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × + µS uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) u2,x (L(t) - 0, t) - × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - ES uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) u2,x (L(t) + 0, t) × + uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) + ρS u2,t (L(t) - 0, t) - u2,t (L(t) + 0, t) L (t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0. Полученные граничные условия называются естественными [19]. В выражении (30) присутствуют вариации δu1 x=L(t) , δu2 x=L(t) , δu2,x x=L(t) Если функции u1 (x, t), u2 (x, t) заданы, то их вариации равны нулю. Граничные условия, кроме естественных, могут быть также следующими: u1 (L(t) - 0, t) = u1 (L(t) + 0, t) = f1 (t); u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t) = f2 (t); u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = f3 (t), где f1 (t), f2 (t), f3 (t) - заданные функции. 5.4. Начальные условия. Выпишем части вариаций выражений (9),(11), соответствующих интервалу от t = 0 до t = t1 : mi d ui (L(t), t)δui dt t1 x=L(t) 0 L(0)-0 uk,t (x, 0)δuk - 0 uk,t (x, 0)δuk L(0)+0 dx- L(0)-0 L0 - t=0 uk,t (x, 0)δuk dx + t=0 t=t1 uk,t (x, 0)δuk t=t1 0 dx+ L0 + L(0)+0 dx = 0. (34) Начальные условия обычно задаются при t = 0 в виде u1 (x, 0) = ϕ1 (x); u2 (x, 0) = ϕ2 (x); u1,t (x, 0) = ϕ3 (x); u2,t (x, 0) = ϕ4 (x), (35) где ϕ1 (x), ϕ2 (x), ϕ3 (x), ϕ4 (x) - заданные функции. Вариации заданных функций равны нулю, что обеспечивает равенство нулю частей выражения (34) при t = 0. Если решение задачи однозначно, то функции u1 (x, t) и u2 (x, t) при t = t1 однозначно определены и их вариации равны нулю. Это обеспечивает равенство нулю частей выражения (34) при t = t1 . Таким образом, модель, описывающая колебания объекта, изображенного на рис. 1, определяется системой дифференциальных уравнений (28); граничными условиями (29), (31), (32); соотношениями (33) и начальными условиями (35). 6. Линеаризация задачи. Предположим, что смещения u∗ , u2 и их про1 изводные малы. При этом квадратичными членами, а также значениями ε0 и u∗,x , u2,x по сравнению с единицей можно пренебречь. При линеаризации 1 задача получается расщеплённой, то есть отсутствует взаимодействие между продольными и поперечными колебаниями. 6.1. Задача для продольных колебаний. ρu∗ - Eu∗,xx - µu∗,xxt = 0; 1,tt 1 1 u∗ (0, t) = 0; 1 392 u∗ (L0 , t) = 0; 1 Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . m1 d2 u1 (L(t), t) - Sρ u∗,t (L(t) + 0, t) - u∗,t (L(t) - 0, t) L (t)- 1 1 dt2 ∗ ∗ - SE u1,x (L(t) + 0, t) - u1,x (L(t) - 0, t) - - Sµ u∗,xt (L(t) + 0, t) - u∗,xt (L(t) - 0, t) - F1 (t) = 0; 1 1 u∗ (L(t) + 0, t) = u∗ (L(t) - 0, t); 1 1 ∗ u1 (x, 0) = ϕ1 (x); u∗,t (x, 0) = ϕ2 (x). 1 6.2. Задача для поперечных колебаний. ρSu2,tt - ESε0 u2,xx + EIu2,xxxx + µIu2,xxxxt + λu2,t + K0 u2 - f (x, t) = 0; u2 (0, t) = 0; u2,xx (0, t) = 0; u2 (L0 , t) = 0; u2,x (L0 , t) = 0; 2 d m2 2 u2 (L(t), t) + EIu2,xxx (L(t) + 0, t) + µIu2,xxxt (L(t) + 0, t)- dt - EIu2,xxx (L(t) - 0, t) - µIu2,xxxt (L(t) - 0, t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0; u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t); u2,x (L(t) - 0, t) = 0; u2,x (L(t) + 0, t) = 0; u2 (x, 0) = ϕ3 (x); u2,t (x, 0) = ϕ4 (x). Полученные линеаризованные задачи соответствуют классическим постановкам таких задач [1, 5, 12, 19, 20]. Заключение. Таким образом, в работе поставлены новые нелинейные математические модели продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами, при этом соблюдается принцип однородности: в частном случае малых колебаний предложенные модели совпадают с классическими моделями, что свидетельствует о корректности полученных результатов. Решение конкретных краевых задач на основе полученных моделей представляет собой самостоятельную задачу и не является целью данного исследования.

About the authors

Valeriy N Anisimov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: anisimov170159@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; anisimov170159@mail.ru; Corresponding Author), Head of Dept., Dept. of General-Theoretical Disciplines 45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russian Federation

Vladislav L Litvinov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: vladlitvinov@rambler.ru
Teacher, Dept. of General-Theoretical Disciplines 45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russian Federation

References

Supplementary files