Mathematical models of nonlinear longitudinal-cross oscillations of object with moving borders

Abstract


The nonlinear formulation of problems for describing longitudinal-cross oscillations of objects with moving borders is noted. These mathematical models consist of a system of two nonlinear partial differential equations with the higher time derivative of the second order and the fourth-order by the spatial variable. The nonlinear boundary conditions on moving boundary have a higher time derivative of the second order and the third-order by the spatial variable. The geometric nonlinearity, visco-elasticity, the flexural stiffness of the oscillating object and the elasticity of the substrate of object are taken into account. Boundary conditions in the case of energy exchange between the parts of the object on the left and right of the moving boundary are given. The moving boundary has got a joined mass. The elastic nature of borders joining is considered. The longitudinal-cross oscillations of objects with moving borders of high intensity can be described by the resulting differential model. The Hamilton’s variational principle is used in the formulation of the problem.

Full Text

Колеблющиеся механические объекты с движущимися границами широко распространены в технике. Это канаты грузоподъёмных установок [1,2], гибкие звенья передач [3], лентопротяжные механизмы [4], балки [5,6], рельсовые пути [7, 8], бурильные колонны [9], струны музыкальных инструментов [10], нити [11], тесёмочные передачи и т. д. До настоящего времени задачи о колебаниях таких систем решались в основном при линейной постановке и жёстком закреплении границ, когда отсутствует энергетический обмен через границу [1,3,5,12-17]. В редких случаях учитывалось действие демпфирующих сил. Как показано в работе [12], при описании колебаний волновым уравнением в случаях, когда скорость движения границы стремится к скорости распространения волн и при стремлении длины объекта к нулю энергия колебаний стремится к бесконечности, чего в реальных объектах быть не может. Возникла необходимость в построении более сложных математических моделей продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами, учитывающих большое число факторов, влияющих на колебательный процесс. В данной статье построен ряд нелинейных математических моделей такого рода задач. В отличие от существующих моделей получены граничные условия в случае наличия энергетического обмена между частями объекта слева и справа от движущейся границы, учтено взаимодействие между продольными и поперечными колебаниями. При получении математических моделей использован вариационный принцип Гамильтона. Полученные математические модели позволяют описывать колебания большой интенсивности систем с движущимися границами. 1. Описание объекта. В настоящей работе рассматриваются объекты, обобщённая схема которых схематически изображена на рис. 1. Объекты могут быть струной, стержнем, балкой, канатом и т. д. Для объекта введены следующие обозначения: ρ - объёмная плотность массы; S - площадь поперечного сечения; I - осевой момент инерции поперечного сечения объекта; E - модуль упругости материала объекта; µ - коэффициент, характеризующий свойство вязкоупругости объекта на основе структурной модели Фойгта; ε0 - начальная продольная деформация объекта, создающая натяжение T = ESε0 ; x - расстояние от левой границы до точки объекта, находящегося в недеформированном состоянии; L(t) - длина недеформированного в продольном направлении объекта слева от движу- Рис. 1. Обобщённая схема объекта [Figure 1. Generalized sketch of object] щейся границы; t ∈ [0, t1 ] - время; L0 - общая длина недеформированного объекта. Для характеристики окружения объекта введены следующие параметры: k0 - жёсткость подложки, на которой лежит объект (сила, действующая на единицу длины при единичном поперечном смещении); V (t) - окружная скорость роликов; λ - коэффициент, характеризующий действие сил сопротивления внешней среды (силы сопротивления пропорциональны скорости поперечного движения и длине). На объект в направлении вектора e2 действует распределённая нагрузка f (x, t). На движущуюся границу действует сила F (t) = F1 (t)e1 + F2 (t)e2 . Движущаяся граница состоит из жёстко соединённых роликов массой m2 . Масса системы роликов и каркаса равна m1 . Пружина жёсткости k2 реагирует на поперечное смещение системы роликов. В продольном направлении имеет место жёсткое соединение между системой роликов и каркасом. Между роликами и объектом проскальзывание отсутствует, поэтому при предположении малости продольных деформаций имеет место равенство L (t) = V (t). Для характеристики продольно-поперечных колебаний объекта введём функции: u∗ (x, t), u2 (x, t) - смещения точек объекта с координатой x в мо1 мент времени t в направлении базисных векторов e1 , e2 соответственно. Для сокращения записей введём новую функцию u1 (x, t) = u∗ (x, t) + x + ε0 x. 1 (1) Функция u1 (x, t) представляет собой расстояние от левой границы до точки с координатой x деформированного объекта. 2. Геометрические и дифференциальные характеристики объекта. Рассмотрим геометрию объекта, то есть найдем изменение длины элемента dx и его кривизну. Элементарный вектор dl, в который перейдет элемент dx (рис. 1), в момент времени t равен dl = (u∗,x + 1 + ε0 )dx e1 + u2,x (x, t)dx e2 . 1 Здесь и далее под u∗ и u2 понимаются функции u∗ (x, t) и u2 (x, t). После 1 1 запятой указана переменная, по которой берётся частная производная. Длина вектора находится по формуле dl = (1 + ε0 + u∗,x )2 + u2,x dx. 1 2 Найдём относительную деформацию элемента: ε(x, t) = dl - dx = dx (1 + ε0 + u∗,x )2 + u2,x - 1. 1 2 С учётом (1) формула (2) будет иметь вид √ ε(x, t) = uj ,x uj ,x - 1. (2) (3) Здесь и далее по повторяющимся индексам предусматривается свёртывание. В предположении малости изгибных деформаций кривизна элемента dl (см. рис. 1) находится по формуле K(x, t) = u2,xx . (4) 3. Описание областей колебаний и соотношений на границе. Для учёта энергетического обмена, происходящего на границе, разобьём область колебаний в координатах x ∼ t на две открытые области W1 , W2 (рис. 2), которые соответствуют частям объекта слева и справа от движущейся границы. Через W обозначена объединённая область, состоящая из W1 и W2 . Через γ1 и γ2 обозначены замкнутые контуры, окружающие области (положительное направление обхода против часовой стрелки). Обозначим через ui (L(t) - 0, t), ui (L(t) + 0, t) значения функций слева и справа от движущейся границы. Рис. 2. Области колебаний [Figure 2. Oscillations domains] Из условия неразрывности деформаций объекта следует ui (L(t) - 0, t) = ui (L(t) + 0, t), i = 1, 2. (5) Характер взаимодействия роликов и объекта (см. рис. 1) исключает угловое смещение в точке их контакта, поэтому при наличии изгибной жёсткости имеет место равенство u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = 0. (6) Продифференцируем соотношение (5) по t: ui,x (L(t) - 0, t)L (t) + ui,t (L(t) - 0, t) = ui,x (L(t) + 0, t)L (t) + ui,t (L(t) + 0, t). С учётом (6) полученное выражение преобразуется к виду u2,t (L(t) - 0, t) = u2,t (L(t) + 0, t) = 0. (7) 4. Нахождение составляющих вариации интеграла действия. Для получения модели, описывающей продольно-поперечные колебания объекта, предлагается использовать вариационный принцип Гамильтона [19]: если заданы начальное и конечное состояния системы, то из всех возможных законов движения реализуется такой, для которого действие t1 (T - U ) dt I= t0 принимает стационарное значение (T - кинетическая энергия системы, U - потенциальная энергия). Для применения принципа понадобятся вариации интеграла действия от кинетической и потенциальной энергии системы. 4.1. Вариация от кинетической энергии объекта. Интеграл действия от кинетической энергии объекта определяется формулой IT 1 = L0 t1 1 2 ρSuj ,t uj ,t dx. dt 0 0 Представим двукратный интеграл в виде двойного: 1 IT 1 = ρS 2 uj ,t uj ,t dW W и найдём вариацию: uj ,t δuj ,t dW + δIT 1 = ρS W1 uj ,t δuj ,t dW . (8) W2 Здесь интеграл по области W представлен как сумма интегралов по областям W1 и W2 . Представим подынтегральное выражение в виде uk,t δuk = ∂ (uk,t δuk ) - uk,tt δuk . ∂t С помощью формулы Грина преобразуем выражение (8): uk,t δuk dx + δIT 1 = ρS γ1 uk,t δuk dx - γ2 uk,tt δuk dW . (9) W Здесь γ1 и γ2 - замкнутые контуры, окружающие области W1 и W2 . 4.2. Вариация интеграла действия от кинетической энергии системы роликов и каркаса. Выразим скорости движения границы в продольном и поперечном направлениях: Vi (t) = d ui (L(t), t), dt i = 1, 2. Здесь и далее (d/dt) - полная производная. Кинетическая энергия движущейся границы определяется выражением 1 m1 V12 (t) + m2 V22 (t) . 2 Интеграл действия от кинетической энергии системы роликов и каркаса 1 IT 2 = mi 2 386 t1 0 d d ui (L(t), t) ui (L(t), t) dt. dt dt Для вариации действия получим t1 δIT 2 = mi 0 d d ui (L(t), t) δui dt dt x=L(t) dt. (10) Представим подынтегральное выражение из (10) в виде d d ui (L(t), t) δui dt dt = x=L(t) = d d ui (L(t), t)δui dt dt x=L(t) - d2 ui (L(t), t)δui dt2 x=L(t) . В результате для вариации (10) получим δIT 2 = mi d ui (L(t), t)δui dt x=L(t) - mi t=t1 t1 - 0 d ui (L(t), t)δui x=L(t) - dt t=0 d2 ui (L(t), t)δui x=L(t) dt. (11) dt2 4.3. Вариация интеграла действия от упругой потенциальной энергии и вязкоупругих сил при продольной деформации объекта. Для учёта зависимости между деформациями и напряжениями используется модель Фойгта σ(t) = Eε(t) + µε(t), ˙ (12) где σ(t) - напряжение; E - модуль упругости; ε(t) - относительная деформация; µ - коэффициент вязкоупругости; ε(t) - производная по времени от ε(t). ˙ Упругая потенциальная энергия находится по формуле 1 U1 = ES 2 ε2 (x, t) dW, W где ε(x, t) - определяется выражением (3). Вариация интеграла действия представляет собой изменение энергии при изменении функций u1 , u2 . Вариация интеграла действия от упругих и демпфирующих сил задаётся соотношением δIU 1 = S (Eε(x, t) + µεt (x, t)) δε(x, t) dW. (13) W После преобразований (13) примет вид δIU 1 = S E W √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x δui,x dW. (14) Представим подынтегральное выражение из (14) в виде E √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ δui,x = √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x = ∂ ∂x - E ∂ ∂x √ uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x √ E - uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x δui . (15) После подстановки (15) в (14) и использовании формулы Грина для областей W1 и W2 выражение (14) примет вид δIU 1 = - S W ∂ ∂x -S E γ1 -S E √ √ uj ,x uj ,xt ui,x uj ,x uj ,x -1 +µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x E √ γ2 δui dW - dt- uj ,x uj ,xt ui,x δui uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x dt. (16) 4.4. Вариация интеграла действия от потенциальной энергии и вязкоупругих сил для деформаций изгиба объекта. При описании состояния объекта с помощью модели Фойгта (12) изгибающий момент в сечении записывается следующим образом: M = I (EK(x, t) + µKt (x, t)) . Здесь: I - момент инерции поперечного сечения объекта, K(x, t) - кривизна объекта, которая определяется выражением (4). Интеграл действия энергии упругой деформации определяется следующим выражением: 1 IU 2 = EI 2 u2 dW. xx W Вариация интеграла действия упругой деформации и вязкоупругих сил имеет вид (Eu2,xx δu2,xx + µu2,xxt δu2,xx ) dW. IU 2 = I (17) W Выполним следующие преобразования подынтегральных составляющих в (17): ∂ (u2,xx δu2,x ) - ∂x ∂ (u2,xxt δu2,x ) - = ∂x u2,xx δu2,xx = u2,xxt δu2,xx ∂ (u2,xxx δu2 ) + u2,xxxx δu2 ; ∂x ∂ (u2,xxxt δu2 ) + u2,xxxxt δu2 . ∂x С помощью формулы Грина, учитывая (18), (19), для (17) получим (Eu2,xxxx + µu2,xxxxt ) δu2 dW + IU 2 = I W (Eu2,xxx + µu2,xxxt ) δu2 - (Eu2,xx + µu2,xxt ) δu2,x dt+ +I γ1 388 (18) (19) Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . (Eu2,xxx + µu2,xxxt ) δu2 - Eu2,xx + µu2,xxt δu2,x dt. (20) +I γ2 4.5. Вариации интегралов действия от факторов внешнего окружения объекта. Вариация интеграла действия от упругой деформации подложки задаётся соотношением u2 δu2 dW. δIU 3 = k0 (21) W Вариация интеграла действия от упругого присоединения системы роликов выражается соотношением t1 u2 (L(t), t)δu2 δIU 4 = k2 0 x=L(t) dt. (22) Вариация интеграла действия внешних сил сопротивления u2,t δu2 dW, δIU 5 = λ (23) W Вариация интеграла действия от внешней распределенной нагрузки задаётся соотношением δIU 6 = - f (x, t) δu2 dW, (24) W а вариация интеграла действия от внешней сосредоточенной нагрузки составляет величину t1 δIU 7 = - Fk δuk 0 x=L(t) dt. (25) 5. Получение системы дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий, описывающих колебания объекта. Согласно вариационному принципу Гамильтона, вариация интеграла действия должна быть равна нулю: δI = -δIT 1 - δIT 2 + δIU 1 + δIU 2 + δIU 3 + δIU 4 + δIU 5 + δIU 6 + δIU 7 = 0. (26) Составляющие вариации определены выражениями (9), (11), (16), (20)-(25). 5.1. Система дифференциальных уравнений в частных производных. Приравняем нулю коэффициенты перед δu1 , δu2 составляющих вариации (26), содержащих двойные интегралы. В результате получим систему дифференциальных уравнений, описывающую продольно-поперечные колебания объекта: ρSu1,tt - S ρSu2,tt - S ∂ ∂x ∂ ∂x E E √ √ uj ,x uj ,xt u1,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x uj ,xt u2,x uj ,x uj ,x - 1 + µ √ √ uj ,x uj ,x uj ,x uj ,x = 0; (27) + + I (Eu2,xxxx + µu2,xxxxt ) + λu2,t + K0 u2 - f (x, t) = 0. (28) 5.2. Граничные условия при x = 0, x = L0 . Граничные условия на неподвижных границах (см. рис. 1) имеют классический вид: u∗ (0, t) = 0, u2 (0, t) = 0, u2,xx (0, t) = 0, 1 u∗ (L0 , t) = 0, u2 (L0 , t) = 0, u2,x (L0 , t) = 0. 1 (29) 5.3. Граничные условия при x = L(t). Выпишем части вариаций по замкнутым контурам γ1 и γ2 выражений (9), (11), (16), (20), (22), (25), соответствующих линии x = L(t): t1 ρS uk,t (L(t) - 0, t) - uk,t (L(t) + 0, t) L (t)δuk 0 + mi + ES d2 ui (L(t), t)δui dt2 + x=L(t) + uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + + µS - ES x=L(t) uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) ui,x (L(t) - 0, t) × - uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) ui,x (L(t) + 0, t) δui × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) x=L(t) - - I Eu2,xxx (L(t) - 0, t) + µu2,xxxt (L(t) - 0, t) - - Eu2,xxx (L(t) + 0, t) - µu2,xxxt (L(t) + 0, t) δu2 x=L(t) + x=L(t) + + I Eu2,xx (L(t) - 0, t) + µu2,xxt (L(t) - 0, t) - - Eu2,xx (L(t) + 0, t) - µu2,xxt (L(t) + 0, t) δu2,x + K2 u2 (L(t), t)δu2 x=L(t) - Fk (t)δuk x=L(t) dt = 0. (30) Приравнивая коэффициенты перед вариациями к нулю и учитывая соотношения (5)-(7), получим ρS u1,t (L(t) - 0, t) - u1,t (L(t) + 0, t) L (t) + m1 + ES uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + + µS 390 d2 u1 (L(t), t)+ dt2 uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . × - ES uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS m2 u1,x (L(t) - 0, t) - uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) u1,x (L(t) + 0, t) × - F1 (t) = 0; (31) uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) d2 u2 (L(t), t) + EIu2,xxx (L(t) + 0, t) + µIu2,xxxt (L(t) + 0, t)- dt2 - EIu2,xxx (L(t) - 0, t) - µIu2,xxxt (L(t) - 0, t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0. (32) К полученным граничным условиям на границе необходимо добавить соотношения u1 (L(t) - 0, t) = u1 (L(t) + 0, t); u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t); u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = 0. (33) При отсутствии изгибной жесткости соотношение (6) не выполняется. При этом вместо граничного условия (32) необходимо использовать следующее условие: m2 d2 u2 (L(t), t) + ES uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) - 1 + dt2 uk,x (L(t) - 0, t)uk,xt (L(t) - 0, t) × + µS uj ,x (L(t) - 0, t)uj ,x (L(t) - 0, t) u2,x (L(t) - 0, t) - × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - ES uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) - 1 + + µS uk,x (L(t) + 0, t)uk,xt (L(t) + 0, t) × uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) u2,x (L(t) + 0, t) × + uj ,x (L(t) + 0, t)uj ,x (L(t) + 0, t) + ρS u2,t (L(t) - 0, t) - u2,t (L(t) + 0, t) L (t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0. Полученные граничные условия называются естественными [19]. В выражении (30) присутствуют вариации δu1 x=L(t) , δu2 x=L(t) , δu2,x x=L(t) Если функции u1 (x, t), u2 (x, t) заданы, то их вариации равны нулю. Граничные условия, кроме естественных, могут быть также следующими: u1 (L(t) - 0, t) = u1 (L(t) + 0, t) = f1 (t); u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t) = f2 (t); u2,x (L(t) - 0, t) = u2,x (L(t) + 0, t) = f3 (t), где f1 (t), f2 (t), f3 (t) - заданные функции. 5.4. Начальные условия. Выпишем части вариаций выражений (9),(11), соответствующих интервалу от t = 0 до t = t1 : mi d ui (L(t), t)δui dt t1 x=L(t) 0 L(0)-0 uk,t (x, 0)δuk - 0 uk,t (x, 0)δuk L(0)+0 dx- L(0)-0 L0 - t=0 uk,t (x, 0)δuk dx + t=0 t=t1 uk,t (x, 0)δuk t=t1 0 dx+ L0 + L(0)+0 dx = 0. (34) Начальные условия обычно задаются при t = 0 в виде u1 (x, 0) = ϕ1 (x); u2 (x, 0) = ϕ2 (x); u1,t (x, 0) = ϕ3 (x); u2,t (x, 0) = ϕ4 (x), (35) где ϕ1 (x), ϕ2 (x), ϕ3 (x), ϕ4 (x) - заданные функции. Вариации заданных функций равны нулю, что обеспечивает равенство нулю частей выражения (34) при t = 0. Если решение задачи однозначно, то функции u1 (x, t) и u2 (x, t) при t = t1 однозначно определены и их вариации равны нулю. Это обеспечивает равенство нулю частей выражения (34) при t = t1 . Таким образом, модель, описывающая колебания объекта, изображенного на рис. 1, определяется системой дифференциальных уравнений (28); граничными условиями (29), (31), (32); соотношениями (33) и начальными условиями (35). 6. Линеаризация задачи. Предположим, что смещения u∗ , u2 и их про1 изводные малы. При этом квадратичными членами, а также значениями ε0 и u∗,x , u2,x по сравнению с единицей можно пренебречь. При линеаризации 1 задача получается расщеплённой, то есть отсутствует взаимодействие между продольными и поперечными колебаниями. 6.1. Задача для продольных колебаний. ρu∗ - Eu∗,xx - µu∗,xxt = 0; 1,tt 1 1 u∗ (0, t) = 0; 1 392 u∗ (L0 , t) = 0; 1 Математические модели нелинейных продольно-поперечных колебаний . . . m1 d2 u1 (L(t), t) - Sρ u∗,t (L(t) + 0, t) - u∗,t (L(t) - 0, t) L (t)- 1 1 dt2 ∗ ∗ - SE u1,x (L(t) + 0, t) - u1,x (L(t) - 0, t) - - Sµ u∗,xt (L(t) + 0, t) - u∗,xt (L(t) - 0, t) - F1 (t) = 0; 1 1 u∗ (L(t) + 0, t) = u∗ (L(t) - 0, t); 1 1 ∗ u1 (x, 0) = ϕ1 (x); u∗,t (x, 0) = ϕ2 (x). 1 6.2. Задача для поперечных колебаний. ρSu2,tt - ESε0 u2,xx + EIu2,xxxx + µIu2,xxxxt + λu2,t + K0 u2 - f (x, t) = 0; u2 (0, t) = 0; u2,xx (0, t) = 0; u2 (L0 , t) = 0; u2,x (L0 , t) = 0; 2 d m2 2 u2 (L(t), t) + EIu2,xxx (L(t) + 0, t) + µIu2,xxxt (L(t) + 0, t)- dt - EIu2,xxx (L(t) - 0, t) - µIu2,xxxt (L(t) - 0, t)+ + K2 u2 (L(t), t) - F2 (t) = 0; u2 (L(t) - 0, t) = u2 (L(t) + 0, t); u2,x (L(t) - 0, t) = 0; u2,x (L(t) + 0, t) = 0; u2 (x, 0) = ϕ3 (x); u2,t (x, 0) = ϕ4 (x). Полученные линеаризованные задачи соответствуют классическим постановкам таких задач [1, 5, 12, 19, 20]. Заключение. Таким образом, в работе поставлены новые нелинейные математические модели продольно-поперечных колебаний объектов с движущимися границами, при этом соблюдается принцип однородности: в частном случае малых колебаний предложенные модели совпадают с классическими моделями, что свидетельствует о корректности полученных результатов. Решение конкретных краевых задач на основе полученных моделей представляет собой самостоятельную задачу и не является целью данного исследования.

About the authors

Valeriy N Anisimov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: anisimov170159@mail.ru
45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; anisimov170159@mail.ru; Corresponding Author), Head of Dept., Dept. of General-Theoretical Disciplines

Vladislav L Litvinov

Syzran' Branch of Samara State Technical University

Email: vladlitvinov@rambler.ru
45, Sovetskaya str., Syzran', Samara region, 446001, Russian Federation
Teacher, Dept. of General-Theoretical Disciplines

References

  1. Горошко О. А., Савин Г. Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. 270 с.
  2. Zhu W. D., Chen Y. Theoretical and experimental investigation of elevator cable dynamics and control // J. Vib. Acoust., 2006. vol. 128, no. 1. pp. 66-78. doi: 10.1115/1.2128640.
  3. Самарин Ю. П., Анисимов В. Н. Вынужденные поперечные колебания гибкого звена при разгоне // Изв. вузов. Машиностроение, 1986. № 12. С. 17-21.
  4. Boyle (Jr) J. M., Bhushan B. Vibration modeling of magnetic tape with vibro-impact of tape-guide contact // J. Sound Vibr., 2006. vol. 289, no. 3. pp. 632-655. doi: 10.1016/j.jsv.2005.02.033.
  5. Лежнева А. А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. МТТ, 1970. № 1. С. 159-161.
  6. Ding Hu, Chen Li-Qun Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams // J. Sound Vibr., 2010. vol. 329, no. 17. pp. 3484-3494. doi: 10.1016/j.jsv.2010.03.005.
  7. Guo Y., Yang S., Guo W. Analysis of dynamic characteristics of steel spring supported floating track bed // Zhendong Ceshi Yu Zhenduan = Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2006. vol. 26, no. 2. pp. 146-150 (In Chinese).
  8. Lei X.-Y Effects of abrupt changes in track foundation stiffness on track vibration under moving loads // Zhendong Gongcheng Xuebao = Journal of Vibration Engineering, 2006. vol. 19, no. 2. pp. 195-199 (In Chinese).
  9. Sahebkar S. M., Ghazavi M. R., Khadem S. E.,Ghayesh M. H. Nonlinear vibration analysis of an axially moving drillstring system with time dependent axial load and axial velocity in inclined well // Mechanism and Machine Theory, 2011. vol. 46, no. 5. pp. 743-760. doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2010.12.003.
  10. Inácio O., Antunes J., Wright M. C. M. Computational modelling of string-body interaction for the violin family and simulation of wolf notes // J. Sound Vibr., 2008. vol. 310, no. 1-2. pp. 260-286. doi: 10.1016/j.jsv.2007.07.079.
  11. Тихонов В. С., Абрамов А. А. Поперечные колебания гибкой нити переменной длины в потоке // Вестник МГУ. Сер. 1, 1993. № 5. С. 45-48.
  12. Весницкий А. И. Волны в системах с движущимися границами. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
  13. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л. Исследование резонансных свойств механических объектов при помощи метода Канторовича-Галёркина // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 149-158. doi: 10.14498/vsgtu658.
  14. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л., Корпен И. В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 3(28). С. 145-151. doi: 10.14498/vsgtu1079.
  15. Kotera T. Vibration of a string with time-varying length / Memoirs of the Faculty of Engineering, Kobe University, 24, 1978. pp. 45-54 (in Japanese).
  16. Zhu W. D., Zheng N. A. Exact response of a translating string with arbitrarily varying length under general excitation / ASME 2007 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. vol. 1 (September 4-7, 2007), 21st Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Parts A, B, and C. Las Vegas, Nevada, USA, 2008. pp. 1995-2013. doi: 10.1115/detc2007-34590.
  17. Zhu W. D., Zheng N. A. Exact response of a translating string with arbitrarily varying length under general excitation // J. Appl. Mech., 2008. vol. 75, no. 3, 031003. 14 pp.. doi: 10.1115/1.2839903
  18. Brake M. R., Wickert J. A. Frictional vibration transmission from a laterally moving surface to a traveling beam // J. Sound Vibr., 2008. vol. 310, no. 3. pp. 663-675. doi: 10.1016/j.jsv.2007.04.029.
  19. Мышкис А. Д. Математика для технических вузов. СПб.: Лань, 2002. 640 с.
  20. Анисимов В. Н., Литвинов В. Л., Корпен И. В. Постановка задачи о колебаниях балки с движущейся подпружиненной опорой // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2013. № 1(37). С. 93-98.

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies