# Abstract

We study the existence and uniqueness of the solution of non-local boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation $$u_{xx} + \mathop{\mathrm{sgn}} (y) u_{yy} + \frac{1 - \mathop{\mathrm{sgn}} (y)}{2} \sum\limits_{k = 1}^n {R_k}(x, u(x, 0)) = 0$$ with integral operator $${R_k}\bigl(x, u(x, 0)\bigr) = \left\{ \begin{array}{lc} {p_k}(x)D_{x\,\,1}^{ - {\alpha _k}}u(x, 0), & q \le x \le 1,\\[2mm] {r_k}(x)D_{ - 1\,x}^{ - {\beta _k}}u(x, 0), & - 1 \le x \le - q, \end{array} \right.$$ where $$\begin{array}{l} \displaystyle D_{ax}^{ - {\alpha _k}}f(x) = \frac{1}{{\Gamma ({\alpha _k})}} \int _a^x \frac{f(t)}{(x - t)^{1-{\alpha _k} }}dt, \\ \displaystyle D_{xb}^{ - {\beta _k}}f(x) = \frac{1}{{\Gamma ({\beta _k})}} \int _x^b \frac{f(t)}{(t - x)^{1-{\beta _k}}}dt , \end{array}$$ in double-connected domain $\Omega$, bounded with two lines: $$\sigma _1:~x^2 + y^2 = 1,\quad \sigma _2:~ x^2 + y^2 = q^2 \quad \text{at y > 0,}$$ and characteristics: $$A_j C_1:~ x + ( - 1)^j y = ( - 1)^{j + 1},\quad B_j C_2:~x + ( - 1)^j y = ( - 1)^{j + 1} \cdot q$$ of the considered equation at $y < 0$, where $0 < q < 1$, $j = 1, 2$; $A_1 ( 1; 0),$ $A_2( - 1; 0)$, $B_1(q; 0)$, $B_2( - q; 0)$, $C_1(0; - 1)$, $C_2(0; - q)$, $\beta _k$, $\alpha _k > 0$. Uniqueness of the solution of investigated problem was proved by an extremum principle for the mixed type equations. Thus we need to prove that, the loaded part of the equation is identically equal to zero if considerate problem is homogeneous. Existence of the solution of the problem was proved by a method of the integral equations, thus the theory of the singular integral equations and Fredholm integral equations of the second kind were widely used.

# Full Text

Первые фундаментальные исследования в теории нагруженных уравнений принадлежат А. М. Нахушеву [1,2]. В этих работах даны наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения. За этими исследованиями последовали работы А. М. Нахушева [3], В. А. Елеева и А. В. Дзарахохова [4, 5], В. М. Казиева [6, 7], И. Н. Ланина [8], Б. И. Исломова и Д. М. Курьязова [9,10], М. И. Рамазанова [11] и К. У. Хубиева [12], посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, в которых были получены интересные результаты. © 2016 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования А б д у л л а е в О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. T. 20, № 2. С. 220-240. doi: 10.14498/vsgtu1485. Сведения об авторе Обиджон Хайруллаевич Абдуллаев (к.ф.-м.н., доц.; obidjon.mth@gmail.com), доцент, каф. дифференциальных уравнений и математической физики. 220 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . В работах К. Б. Сабитова и Е. П. Мелишевой [13-15] исследованы разные задачи для нагруженного уравнения смешанного типа в четырехугольных областях. Приведенные публикации позволяют сделать вывод, что вопросы теории нагруженных уравнений являются актуальными, а теория нагруженных уравнений находит свое место в приложениях и быстро развивается. Однако краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного типа с интегральным оператором дробного порядка в двусвязных областях до сих пор недостаточно исследованы. Отметим, что локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области были исследованы в работах [16,17], в которых рассматриваются уравнения с двумя линиями изменения типа, при этом в нагруженной части участвует не дифференциальный оператор, а просто след самой функции. В настоящей работе рассматривается уравнение с одной линией изменения типа, у которого в нагруженной части присутствует дифференциальный оператор и используются нелокальные условия более общего вида. 1. Постановка задачи. В конечной двусвязной области Ω, описание которой приводится ниже, рассматривается нагруженное уравнение эллиптикогиперболического типа uxx + sgn(y)uyy + 1 - sgn(y) 2 n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0 (1) c интегральным оператором Rk x, u(x, 0) = pk(x)D -αk x 1 u(x, 0), q x 1, rk(x)D -βk -1 xu(x, 0), -1 x -q, где D -αk ax f (x) = 1 Γ(αk) x a f (t) (x - t)1-αk dt, D -βk xb f (x) = 1 Γ(βk) b x f (t) (t - x)1-βk dt, (2) βk, αk - положительные константы. Область Ω при y > 0 ограничена следующими линиями: σ1 : x 2 + y2 = 1, σ2 : x 2 + y2 = q2, при y < 0 - следующими характеристиками уравнения (1): AjC1 : x + (-1) j y = (-1)j+1, BjC2 : x + (-1) j y = (-1)j+1 · q, где 0 < q < 1, j = 1, 2; A1(1; 0), A2(-1; 0), B1(q; 0), B2(-q; 0), C1(0; -1), C2(0; -q) . Введем следующие обозначения: θ1(x) = x + 1 2 + i · x - 1 2 , θ2(x) = x - 1 2 - i · x + 1 2 , i 2 = -1; Ω0 = Ω ∩ (y > 0), ∆1 = Ω ∩ (x + y > q) ∩ (y < 0), 221 А б д у л л а е в О. Х. ∆2 = Ω ∩ (y - x > q) ∩ (y < 0), D1 = Ω ∩ (-q < x + y < q) ∩ (x > 0), D2 = Ω ∩ (-q < y - x < q) ∩ (x < 0), D3 = Ω ∩ (-1 < x + y < -q) ∩ (-1 < y - x < -q), I2+j = x : 0 < (-1) j-1x < q , I j = x : q + 1 2 < (-1) j-1x < 1 , j = 1, 2. В области Ω для уравнения (1) ставится и исследуется следующая нелокальная задача. Задача I. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами : 1) u(x, y) ∈ C(¯Ω); 2) u(x, y) является регулярным решением уравнения (1) в области Ω\(y - x = ±q)\(x + y = ±q), кроме того, uy ∈ C(A1B1 ∪ A2B2), причем uy(x, -0) и uy(x, +0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при x → ±q, а при x → ±1 ограничены; 3) на линиях изменения типа выполняются условия сопряжения uy(x, +0) = λj(x)uy(x, -0), (x, 0) ∈ AjBj, (3) 4) u(x, y) удовлетворяет краевым условиям u(x, y) σj = ϕj(x, y), (x, y) ∈ σj; (4) u(x, y) Bj C2 = g j (x), x ∈ I2+j; j = 1, 2 d dx u θ1(x) = a1(x)uy(x, 0) + b1(x)ux(x, 0)+ + c1(x)u(x, 0) + d1(x), x ∈ (q, 1), (5) d dx u θ2(x) = a2(x)uy(x, 0) + b2(x)ux(x, 0)+ + c2(x)u(x, 0) + d2(x), x ∈ (-1, -q), (6) где ϕj(x, y), λj(x), gj(x), aj(x), bj(x), cj(x), dj(x) (j = 1, 2) и pk(x), rk(x) - заданные функции, причем g1(0) = g2(0), g2(-q) = ϕ2(-q, 0), g1(q) = ϕ2(q, 0). Лемма. Общее решение уравнения (1) при y < 0 представимо в виде u(x, y) = f1(x + y) - f2(x - y) + ω(x), (7) где f1(x, y) и f2(x, y) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, ω(x) = ω1(x), x 0, ω2(x), x 0, 222 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . причем ω1(x) = - 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz; (8) ω2(x) = - x -1 dt z -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz. (9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция (7) является решением уравнения (1), тогда, подставив (7) в (1), получим ω (x) + n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0. (10) Очевидно, что функции (8) и (9) соответственно при x 0 и x 0 удовлетворяют уравнению (10). Теперь, наоборот, пусть u(x, y) - регулярное решение уравнения (1). Докажем, что функция (7) является общим решением уравнения (1). Нетрудно проверить, что функции (8) и (9) являются частными решениями уравнения uxx - uyy + n k=1 Rk x, u(x, 0) = 0 соответственно при x 0 и x 0 , а функция f1(x + y) - f2(x - y) является общим решением уравнения uxx - uyy = 0. Следовательно, функция (7) является общим решением уравнения (1). 2. Единственность решения задачи I. В силу (7) и (8), (9) утверждаем, что решение задачи Коши для уравнения (1) в области ∆j (j = 1, 2), удовлетворяющее условиям u(x, 0) = τj(x), x ∈ AjBj и uy(x, -0) = ν - j (x), x ∈ AjBj, имеет следующий вид: u(x, y) = 1 2 τ1(x + y) + τ1(x - y) - 1 2 x-y x+y ν - 1 (t)dt+ + 1 2 1 x+y dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz + 1 2 1 x-y dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz- - 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz, u(x, y) = 1 2 τ2(x + y) + τ2(x - y) - 1 2 x-y x+y ν - 2 (t)dt+ 223 А б д у л л а е в О. Х. + 1 2 x+y -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz + 1 2 x-y -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - x -1 dt z -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz. Отсюда, учитывая, что u θ1(x) = 1 2 τ1(x) + τ1(1) - 1 2 1 x ν - 1 (t)dt+ + 1 2 1 x dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz- - 1 (x+1)/2 dt 1 t n k=1 pk(z)D -αk z 1 u(z, 0)dz, u θ2(x) = 1 2 τ2(-1) + τ2(x) - 1 2 x -1 ν - 2 (t)dt+ + 1 2 x -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - (x-1)/2 -1 dt t -1 n k=1 rk(z)D -βk -1 z u(z, 0)dz, в силу условий (5) и (6) получим 1 2 τ1(x) + 1 2 ν - 1 (x) - 1 2 n k=1 1 x pk(z)D -αk z1 τ1(z)dz+ + 1 2 n k=1 1 (x+1)/2 pk(z)D -αk z1 τ1(z)dz = = a1(x)ν - 1 (x) + b1(x)τ1(x) + c1(x)τ1(x) + d1(x), 1 2 τ2(x) - 1 2 ν - 2 (x) + 1 2 n k=1 x -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - 1 2 n k=1 (x-1)/2 -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz = = a2(x)ν - 2 (x) + b2(x)τ2(x) + c2(x)τ2(x) + d2(x). 224 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Следовательно, 2a1(x) - 1 ν - 1 (x) = = 1 - 2b1(x) τ1(x) - 2c1(x)τ1(x) - 1 2 n k=1 1 x pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz+ + 1 2 n k=1 1 (x+1)/2 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz - 2d1(x), (11) 2a2(x) + 1 ν - 2 (x) = = 1 - 2b2(x) τ2(x) - 2c2(x)τ2(x) + 1 2 n k=1 x -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz- - 1 2 n k=1 (x-1)/2 -1 rk(z)D -βk -1 z τ2(z)dz - 2d2(x). (12) Теорема 1. Если βk, αk > 0 и выполнены условия 2aj(x) + (-1) j > 0, cj(x) 0, λj(x) > 0, j = 1, 2; (13) pk(x) > 0, rk(x) > 0, k = 1, 2, . . . , n, (14) то решение u(x, y) задачи I единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно, что если решение однородной задачи (т. е. решение однородного уравнения с однородными условиями) является тождественным нулем, то решение соответствующей неоднородной задачи единственно. Следовательно, достаточно показать, что решение u(x, y) задачи I является тождественным нулем при ϕj(x, y) ≡ dj(x) ≡ 0. В силу принципа экстремума для эллиптических уравнений решение u(x, y) уравнения (1) достигает своих экстремальных значений лишь на границе области ¯Ω0, т. е. на ¯σ1 ∪ ¯σ1 ∪ A1B1 ∪ A2B2. Пусть ϕj(x, y) ≡ 0, тогда учитывая, что u(x, y) ∈ C(¯Ω), имеем τ1(1) = ϕ1(1, 0) = 0 и τ1(q) = ϕ2(q, 0) = 0. Далее предположим, что функция τ1(x) обращается в нуль хотя бы в одной точке интервала (q, 1), т. е. предположим, что xi (i = 1, m) - нули функции τ1(x). Рассмотрим отрезок [x1, x2] ⊂ A1B1. Так как τ1(x1) = τ1(x2) = 0, функция τ1(x) > 0 или τ1(x) < 0 для всех x ∈ (x1, x2). Предположим τ1 (x) > 0 (τ1 (x) < 0) , тогда можно показать, что внутри этого интервала функция τ1(x) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума). Действительно, если в точке x0 ∈ (x1, x2) функция τ1(x) достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума), то из (11) при d1(x) ≡ 0 получим 225 А б д у л л а е в О. Х. 2a1(x0) - 1 ν - 1 (x0) = -2c1(x0)τ1(x0)+ + 1 2 n k=1 1 (x0+1)/2 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz - 1 x0 pk(z)D -αk z 1 τ1(z)dz . Отсюда, учитывая, что D -αk x 1 τ1(x) > 0 (D -αk x 1 τ1(x) < 0) при τ1(x) > 0 (τ1(x) < 0), в силу (13) (при j = 1), (14) получим, что ν- 1 (x0) 0 ν - 1 (x0) 0 , а это в силу (3) (учитывая, что λj(x) > 0) противоречит известному принципу Заремба-Жиро [19], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно выполняться условие ν1(x0) < 0 (ν1(x0) > 0) . Следовательно, τ1(x) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в точке x0 ∈ (x1, x2). Таким образом, τ1(x) = 0 ∀x ∈ [x1, x2]. (15) Аналогично вышеизложенным методом доказывается, что τ1(x) не достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума и в других интервалах, т. е. τ1(x) = 0. (16) Если x1 = q, т. е. τ (x1) = τ1(q) = ϕ2(q, 0) = 0, то из (15) и (16) следует, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ A1B1, а при x1 = q функция τ1(x) не может иметь экстремума в интервале (q, x1), т. е. функция τ1(x) либо знакопостоянна в (q, x1), либо τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, x1]. Предположим, что функция τ1(x) знакопостоянна в (q, x1), тогда, принимая во внимание, что τ1(x1) = τ1(q) = 0, заключаем, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, x1]. (17) Точно так же, если xm = 1, т. е. τ1(xm) = τ1(1) = ϕ1(1, 0) = 0, то из (15) и (16) следует, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ A1B1, а при xm = 1 функция τ1(x) не может иметь экстремума в интервале (xm, 1), т. е. функция τ1(x) либо знакопостоянна в xm = 1 , либо τ1(x) = 0 ∀x ∈ [xm, 1]. Предположим, что функция τ1(x) знакопостоянна в (xm, 1), тогда, принимая во внимание, что τ1(xm) = τ1(1) = 0, заключаем, что τ1(x) = 0 ∀x ∈ [xm, 1]. (18) В силу (16) и (17), (18) имеем τ1(x) = 0 ∀x ∈ [q, 1]. Аналогичным образом доказывается, что τ2(x) = 0 ∀x ∈ A2B2. Таким образом, показано, что τj(x) ≡ 0 ∀x ∈ AjBj при ϕj(x, y) ≡ dj(x) ≡ 0 (j = 1, 2) . Кроме этого, показано, что решение u(x, y) не достигает своего положительного максимума (отрицательного минимума) в интервалах (A1, B1) 226 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . и (A2, B2). Следовательно, учитывая, что u(x, y) ∈ C Ω0 , на основании краевых условий (4) при ϕj(x, y) ≡ 0 (j = 1, 2) имеем, что u(x, y) ≡ 0 в замкнутой области Ω0. В силу того, что τ1(x) ≡ τ2(x) ≡ 0, из функциональных соотношений (11) и (12) получим, что ν1(x) ≡ ν2(x) ≡ 0. Следовательно, решение задачи Коши для уравнения (1) в области ∆j тождественно равно нулю, т. е. u(x, y) ≡ 0 в областях ∆j. В силу единственности решения задачи Гурса имеем, что u(x, y) ≡ 0 в областях Dj (j = 1, 2, 3). Таким образом, u(x, y) ≡ 0 в области Ω и тем самым доказана единственность решения задачи I. 3. Существование решения задачи I. Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и условия ϕj(x, y) = (xy) γ ϕ j (x, y), ϕj(x, y) ∈ C (σj) , 2 < γ < 3, (19) aj(x), bj(x), cj(x), dj(x), λj(x) ∈ C Ij ∩ C 2 (I j ) , (20) то решение задачи I существует. Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующие соотношения, которые получаются из (11) и (12) в силу (2): 1 - 2b1(x) τ1(x) - 2c1(x)τ1(x)- - 1 2 n k=1 1 Γ(αk) 1 x pk(z)dz 1 z (t - z) αk-1τ 1(t)dt = 2a1(x) - 1 ν - 1 (x)- - 1 2 n k=1 1 Γ(αk) 1 (x+1)/2 pk(z)dz 1 z (t - z) αk-1τ 1(t)dt + 2d1(x), 1 - 2b2(x) τ2(x) - 2c2(x)τ2(x)+ + 1 2 n k=1 1 Γ(βk) x -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk-1τ 2(t)dt = 2a2(x) + 1 ν - 2 (x)+ + 1 2 n k=1 1 Γ(βk) (x-1)/2 -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk-1τ 2(t)dt + 2d2(x), или 1 - 2b1(x) τ1(x) + 1 2 n k=1 1 Γ(1 + αk) 1 x pk(z)dz 1 z (t - z) αk τ 1(t)dt- - 1 2 n k=1 1 Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 pk(z)dz 1 z (t - z) αk τ 1(t)dt + 2c1(x) 1 x τ1(t)dt = = 1 2 n k=1 τ1(1) Γ(1 + αk) 1 x pk(z)(1 - z) αk dz- - 1 2 n k=1 τ1(1) Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 (1 - z) αk p k (z)dz+ 227 А б д у л л а е в О. Х. + 2c1(x)τ1(1) + 2d1(x) + 2a1(x) - 1 ν - 1 (x), (21) 1 - 2b2(x) τ2(x) + 1 2 n k=1 1 Γ(1 + βk) x -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk τ 2(t)dt- - 1 2 n k=1 1 Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 rk(z)dz z -1 (z - t) βk τ 2(t)dt - 2c2(x) x -1 τ2(t)dt = = 1 2 n k=1 τ2(-1) Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 (z + 1) βk r k (z)dz- - 1 2 n k=1 τ2(-1) Γ(1 + βk) x -1 rk(z)(z + 1) βk dz- - 2c2(x)τ2(-1) + 2a2(x) + 1 ν - 2 (x) + 2d2(x). (22) 4. Основные функциональные соотношения. При исследовании существования решения поставленной задачи рассматриваются следующие случаи. Случай A. Пусть bj(x) = -1/2, тогда из (21) и (22) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно τ j (x): τ1(x) + 1 x τ1(t)K11(x, t)dt+ + 1 (x+1)/2 τ1(t)K12(x, t)dt = f1(x), q x 1, (23) τ2(x) + x -1 τ2(t)K21(x, t)dt+ + (x-1)/2 -1 τ2(t)K22(x, t)dt = f2(x), -1 x -q, (24) где K11(x, t) = 2c1(x) 1 - 2b1(x) + 1 2 (1 - 2b1(x)) n k=1 1 Γ(1 + αk) t x (t - z) αk p k (z)dz, (25) K12(x, t) = - 1 2 (1 - 2b1(x)) n k=1 1 Γ(1 + αk) t (x+1)/2 (t - z) αk p k (z)dz, (26) K21(x, t) = 2c2(x) 2b2(x) - 1 + 1 2 (1 - 2b2(x)) n k=1 1 Γ(1 + βk) x t (z - t) βk r k (z)dz, (27) K22(x, t) = - 1 2 (1 - 2b2(x)) n k=1 1 Γ(1 + βk) (x-1)/2 t (z - t) βk r k (z)dz, (28) 228 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . f1(x) = 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) - 1 2 n k=1 ϕ1(1, 0) Γ(1 + αk) 1 (x+1)/2 pk(z)(1 - z) αk 1 - 2b1(x) dz+ + 1 2 n k=1 ϕ1(1, 0) Γ(1 + αk) 1 x pk(z)(1 - z) αk 1 - 2b1(x) dz + 2(d1(x) + c1(x)ϕ1(1, 0)) 1 - 2b1(x) , (29) f2(x) = 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) + 1 2 n k=1 ϕ1(-1, 0) Γ(1 + βk) (x-1)/2 -1 rk(z)(1 + z) βk 1 - 2b2(x) dz- - 1 2 n k=1 ϕ1(-1, 0) Γ(1 + βk) x -1 rk(z)(1 + z) βk 1 - 2b2(x) dz + 2(d2(x) - c2(x)ϕ1(-1, 0)) 1 - 2b2(x) . (30) Учитывая, что bj(x) = 1/2, в силу (19), (20) из (25), (26), (27) и (28) получим |K1j(x, t)| c1, |K2j(x, t)| c2, j = 1, 2. Учитывая класс функций ν- j (x), в силу (19), (20) из (29) и (30) получим (см. [18]) |fj(x)| const · x + (-1) j q -ε , 0 ε < 1, j = 1, 2. Заметим, что интегральные уравнения (23) и (24) можно переписать в следующем виде: τ1(x) + 1 x τ1(t)K1(x, t)dt = f1(x), τ2(x) + x -1 τ2(t)K2(x, t)dt = f2(x), где K1(x, t) = K11(x, t), x t (x + 1)/2, K11(x, t) + K12(x, t), (x + 1)/2 t 1; K2(x, t) = K22(x, t), (x - 1)/2 t x; K21(x, t) + K22(x, t), -1 t (x - 1)/2. Разрешая интегральные уравнения (23) и (24) методом последовательных приближений, находим τ1(x) = 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) + 1 x 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 11(x, t)ν - 1 (t)dt+ + 1 (x+1)/2 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 12(x, t)ν - 1 (t)dt + F11(x), (31) τ2(x) = 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) + x -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 21(x, t)ν - 2 (x)dt+ 229 А б д у л л а е в О. Х. + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 22(x, t)ν - 2 (x)dt + F12(x), (32) где F11(x) и F12(x) - известные функции, которые зависят от заданных функций ϕj(x, y), gj(x), aj(x), bj(x), cj(x), dj(x) (j = 1, 2) и pk(x), rk(x), а 1j(x, t) и 2j(x, t) - резольвенты ядер K1j(x, t) и K1j(x, t) соответственно, причем | σj(x, t)| const, -1 (-1) σ t (-1) σ x -q, σ = 1, 2; j = 1, 2; |F1j(x)| const, -1 (-1) j x -q, j = 1, 2. Случай B. Пусть bj(x) ≡ -1/2 и cj(x) = 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим интегральные уравнения Вольтерры второго рода относительно τj(x): τ1(x) + 1 x ¯ K11(x, t)τ1(t)dt + 1 (x+1)/2 ¯ K12(x, t)τ1(t)dt = = 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) - d1(x) c1(x) , (33) τ2(x) + x -1 ¯ K21(x, t)τ2(t)dt + (x-1)/2 -1 ¯ K22(x, t)τ2(t)dt = = - 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) - d2(x) c2(x) , (34) где ¯ K11(x, t) = t x n k=1 (t - z) αk-1 4c1(x)Γ(αk) pk(z)dz, ¯ K12(x, t) = - t (x+1)/2 n k=1 (t - z) αk-1 4c1(x)Γ(αk) pk(z)dz, ¯ K21(x, y) = - x t n k=1 (z - t) βk-1 4c2(x)Γ(βk) rk(z)dz, ¯ K22(x, t) = (x-1)/2 t n k=1 (z - t) βk-1 4c2(x)Γ(βk) rk(z)dz, причём | ¯ Kσj(x, t)| const, -1 (-1) σ t (-1) σ x -q, σ = 1, 2. Разрешая интегральные уравнения (33) и (34), находим τj(x): τ1(x) = 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) + 1 x 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t)ν - 1 (t)dt+ 230 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . + 1 (x+1)/2 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 12(x, t)ν - 1 (t)dt + F21(x), (35) τ2(x) = - 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) + x -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 21(x, t)ν - 2 (x)dt+ + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 22(x, t)ν - 2 (x)dt + F22(x), (36) где F21(x) и F22(x) - известные функции, которые зависят от заданных функций, а ¯1j(x, t) и ¯2j(x, t) - резольвенты ядер ¯ K1j(x, t) и ¯ K2j(x, t) соответственно, причем | ¯ 1j(x, t)| const, | ¯ 2j(x, t)| const, |F2j(x)| const, j = 1, 2. Случай C. Пусть bj(x) ≡ -1/2 и cj(x) ≡ 0 (j = 1, 2), тогда из (11) и (12) получим ν - 1 (x) = 1 (x+1)/2 τ1(t)dt t (x+1)/2 n k=1 (t - z) αk-1 2Γ(αk) (2a1(x) - 1) pk(z)dz- - 1 x τ1(t)dt t x n k=1 (t - z) αk-1 Γ(αk) (2a1(x) - 1) pk(z)dz - 2d1(x) 2a1(x) - 1 , ν - 2 (x) = x -1 τ2(t)dt x t n k=1 (z - t) βk-1 2(2a2(x) + 1)Γ(βk) rk(z)dz- - (x-1)/2 -1 τ2(t)dt (x-1)/2 t n k=1 (z - t) βk-1 2(2a2(x) + 1)Γ(βk) rk(z)dz - 2d2(x) 2a2(x) + 1 . Заметим, что решение задачи Неймана для уравнения (1) в области Ω0 с краевыми условиями (4) и uy(x, +0) = ν + 1 (x), (x, 0) ∈ A1B1, uy(x, +0) = ν + 2 (x), (x, 0) ∈ A2B2 единственно и представимо в виде [18]: u(x, y) = σ1 ϕ1(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, y)dS - σ2 ϕ2(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, y)dS+ - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, y)dt + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, y)dt, (37) где G(ξ, η; x, y) = 1 2π ln θ1 ln v+ln µ 2πir θ1 ln v+ln µ 2πir θ1 ln v-ln µ 2πir θ1 ln v-ln µ 2πir 231 А б д у л л а е в О. Х. - функция Грина задачи Неймана для уравнения uxx + uyy = 0 в области Ω0 [18]. Здесь v = ξ + iη, v = ξ - iη, µ = x + iy, µ = x - iy, r = 1 πi ln q, i2 = -1 , θ1(ξ) - тета-функция. Из (37) при y = 0 находим функциональные соотношения между τ+ 1 (x) и ν + 1 (x) на интервалах A1B1 и A2B2, принесенные из области Ω0: τ + 1 (x) = F1(x) - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, 0)dt+ + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, 0)dt, q x 1, (38) τ + 2 (x) = F1(x) - 1 q ν + 1 (t)G(t, 0; x, 0)dt+ + -q -1 ν + 2 (t)G(t, 0; x, 0)dt, -1 x -q. (39) Здесь Fj(x) = σ1 ϕ1(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, 0)dS - σ2 ϕ2(ξ, η) ∂ ∂n G(ξ, η; x, 0)dS. 5. Исследование интегральных уравнений. В случае А дифференцированием (38) и (39) по x получим τj(x) = -q -1 ν + 2 (t) ∂G(t, 0; x, 0) ∂x dt - 1 q ν + 1 (t) ∂G(t, 0; x, 0) ∂x dt + Fj(x). (40) Исключая τ j (x) (j = 1, 2) из соотношений (31), (32) и (40) с учетом условия сопряжения (3), получим систему интегральных уравнений 2a1(x) - 1 1 - 2b1(x) ν - 1 (x) + 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt+ + 1 x 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 11(x, t)ν - 1 (t)dt + 1 (x+1)/2 2a1(t) - 1 1 - 2b1(t) 12(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt + F1(x) - F11(x), 2a2(x) + 1 1 - 2b2(x) ν - 2 (x) - 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt+ + x -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 21(x, t)ν - 2 (t)dt + (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 1 - 2b2(t) 22(x, t)ν - 2 (t)dt = = - 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt + F2(x) - F12(x), (41) где 232 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Kj(x, t) = 2 ln |t| xλj(t) ln q + 1 πλj(t) 1 t - x - t 1 - tx + + 1 πλj(t) ∞ n=1 q2n t - q2nx - q2nt 1 - q2ntx - q-2nt 1 - q-2ntx + q-2n t - q2nx . Учитывая (13), систему (41) перепишем в следующем виде: ν - 1 (x) + 1 q K31(x, t)ν - 1 (t)dt = 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt + F ∗ 1 (x), ν - 2 (t) + -q -1 K32(x, t)ν - 2 (t)dt = - 1 π 1 q ν - 1 (t)K1(x, t)dt + F ∗ 2 (x), (42) где F ∗ 1 (x) = 1 - 2b1(x) 2a1(x) - 1 F1(x) - F11(x) , F ∗ 2 (x) = 1 - 2b2(x) 2a2(x) + 1 F2(x) - F12(x) ; K31(x, t) =                1-2b1(x) 2a1(x)-1 2a1(t)-1 1-2b1(t) 11(x, t) + 12(x, t) + + 1 π K1(x, t) , (x + 1)/2 t 1; 1-2b1(x) 2a1(x)-1 2a1(t)-1 1-2b1(t) 11(x, t) + 1 π K1(x, t) , x t (x + 1)/2; 1 π 1-2b1(x) 2a1(x)-1 K1(x, t), q t x; K32(x, t) =                1-2b2(x) 2a2(x)+1 2a2(t)+1 1-2b2(t) 21(x, t) + 22(x, t) - - 1 π K2(x, t) , -1 t (x - 1)/2; 1-2b2(x) 2a2(x)+1 2a1(t)+1 1-2b2(t) 21(x, t) - K2(x, t) , (x - 1)/2 t x; -1 π 1-2b2(x) 2a1(x)+1 · K2(x, t), x t -q. Заметим, что каждое уравнение системы (42) является сингулярным интегральным уравнением нормального типа, индекс которого равен нулю. Точно так же, как и в работах [17,18], эта система известным методом Карлемана- Векуа [20] сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I. Разрешая первое уравнение системы (42), находим ν - 1 (x) = F ∗ 1 (x) + 1 π -q -1 ν - 2 (t)K2(x, t)dt+ + 1 q F ∗ 1 (t) + 1 π -q -1 ν - 2 (z)K2(t, z)dz 31(x, t)dt, т.е. ν - 1 (x) = F ∗ 1 (x) + 1 q F ∗ 1 (t) 31(x, t)dt + 1 π -q -1 ν - 2 (z)K ∗ 2 (x, z)dz, (43) 233 А б д у л л а е в О. Х. где 31(x, t) - резольвента ядра K31(x, t), а K ∗ 2 (x, t) = K2(x, t) + 1 q K2(x, t)R31(x, t)dt, причем | 31(x, t)| const, |K∗ 2 (x, t)| const. Подставляя найденные значение ν 1(x), т. е. (43) во второе уравнение системы (42), получим интегральное уравнение относительно ν- 2 (x): ν - 2 (x) + -q -1 ν - 2 (t)K ∗ 2 (x, t)dt = ¯ F ∗ 2 (x), где ¯ F ∗ 2 (x) = F ∗ 2 (x) - 1 π 1 q F ∗ 1 (t)K1(x, t)dt - 1 π 1 q K1(x, t)dt 1 q F ∗ 1 (z) 31(t, z)dz, K ∗ 1 (x, z) = K32(x, z) + 1 π2 1 q K1(x, t)K ∗ 2 (t, z)dt, причем | ¯ F ∗ 2 (x)| const, |K∗ 1 (x, t)| const. После того как найдены ν- j (x), из (31), (32) и (3) находим τj (x) и ν + j (x). Следовательно, решение задачи I можно восстановить в области Ω0 как решение задачи Неймана (37), в областях ∆j (j = 1, 2) - как решение задачи Коши-Гурса, а в областях Dj (j = 1, 2, 3) - как решение задачи Гурса [18]. Итак, для случая А теорема 2 доказана. В случае B исключим τj(x) из (35), (36), (38) и (39) с учетом условия сопряжения: 1 - 2a1(x) 2c1(x) ν - 1 (x) + 1 π 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt+ + 1 x 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t)ν - 1 (t)dt + 1 (x+1)/2 1 - 2a1(t) 2c1(t) ¯ 12(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt + F1(x) - F21(x), 2a2(x) + 1 c2(x) ν - 2 (x) + 1 π -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt- - x -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 21(x, t)ν - 2 (x)dt - (x-1)/2 -1 2a2(t) + 1 c2(t) ¯ 22(x, t)ν - 2 (x)dt = = 1 π 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt + F22(x) - F2(x). (44) 234 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . Здесь ˜ Kj(x, t) = G(x, 0; t, 0) λj(t) = ln x ln t λj(t) ln q + + 1 πλj(t) ln 1 - tx t - x + ∞ n=1 ln 1 - q2ntx t - q2nx · q2n - tx q2nt - x . Как и в случае A, учитывая, что 2aj(x) + (-1) j > 0, систему (44) перепишем в виде ν - 1 (x) + 1 q K41(x, t)ν - 1 (t)dt = = 1 π 2c1(x) 1 - 2a1(x) -q -1 ν - 2 (t) ˜ K2(x, t)dt + F ∗ 3 (x), ν - 2 (t) + -q -1 K42(x, t)ν - 2 (t)dt = = 1 π 2c2(x) 1 + 2a2(x) 1 q ν - 1 (t) ˜ K1(x, t)dt + F ∗ 4 (x), (45) где F ∗ 3 (x) = 2c1(x) 1 - 2a1(x) F1(x) - F11(x) , F ∗ 4 (x) = 2c2(x) 2a2(x) + 1 F22(x) - F2(x) ; K41(x, t) =                2c1(x) 1-2a1(x) 1-2a1(t) 2c1(t) ¯ 11(x, t) + ¯ 12(x, t) + + 1 π ˜ K1(x, t) , (x + 1)/2 t 1; 2c1(x) 1-2a1(x) 1-2a1(t) 2c1(t) 11(x, t) + 1 π ˜ K1(x, t) , x t (x + 1)/2; 1 π 2c1(x) 1-2a1(x) ˜ K1(x, t), q t x; K42(x, t) =                2c2(x) 1+2a2(x) 1 π ˜ K2(x, t)- - 1+2a2(t) 2c2(t) ¯ 21(x, t) + ¯ 22(x, t) , -1 t (x - 1)/2; 2c2(x) 1+2a2(x) 1 π ˜ K2(x, t) - 1+2a2(t) 2c2(t) ¯ 21(x, t) , (x - 1)/2 t x; 1 π 2c2(x) 1+2a2(x) ˜ K1(x, t), x t -q. Очевидно, что система (45) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи I. Теорема 2 далее доказывается, как в случае А. В случае C подставим (11), (12) в (38) и (39) соответственно и с учетом условия (3) получим 235 А б д у л л а е в О. Х. τj(x) = 1 q τ1(z)dz z q λ1(t)G(t, 0; x, 0)dt z t n k=1 (z - s) αk-1 2Γ(αk) (2a1(z) - 1) pk(s)ds- - 1 (q+1)/2 τ1(z)dz 2z-1 q λ1(t)G(t, 0; x, 0)dt× × z (t+1)/2 n k=1 (z - s) αk-1 2Γ(αk) (2a1(z) - 1) pk(s)ds+ + -q -1 τ2(z)dz -q z λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt t z n k=1 (s - z) βk-1 2(2a2(t) + 1)Γ(βk) rk(s)ds- - -(q+1)/2 -1 τ2(z)dz -q 2z+1 λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt× × (t-1)/2 z n k=1 (s - z) βk-1 2(2a2(t) + 1)Γ(βk) rk(s)ds + ˜ Fj(x). Далее после некоторых упрощений получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно τj(x): τ1(x) = 1 q τ1(z)K51(x, z)dz+ + -q -1 τ2(z)K52(x, z)dz + ˜ F1(x), q x 1, τ2(x) = -q -1 τ2(z)K52(x, z)dz+ + 1 q τ1(z)K51(x, z)dz + ˜ F2(x), -1 x -q. (46) Здесь K51(x, z) =                        n k=1 1 2Γ(αk) z q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z t (z - s) αk-1p k (s)ds- - n k=1 1 2Γ(βk) 2z-1 q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z (t+1)/2 (z - s) αk-1p k (s)ds, (1 + q)/2 t 1; n k=1 1 2Γ(αk) z q G(t,0;x,0) 2a1(t)-1 λ1(t)dt z t (z - s) αk-1p k (s)ds, q t (1 + q)/2; K52(x, z) =                        n k=1 1 2Γ(βk) -q z G(t,0;x,0) 2a2(t)+1 λ2(t)dt t z (s - z) βk-1r k (s)ds- - n k=1 1 2Γ(βk) -q 2z+1 G(t,0;x,0) 2a2(t)+1 λ2(t)dt (t-1)/2 z (s - z) βk-1r k (s)ds, -1 t -(1 + q)/2; -q z λ2(t)G(t, 0; x, 0)dt t z n k=1 (s-z) βk-1 2(2a2(t)+1)Γ(βk) rk(s)ds, -(1 + q)/2 t -q; 236 Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа. . . ˜ F1(x) = F1(x) + 1 q 2d1(t) 2a1(t) - 1 G(t, 0; x, 0)dt- - -q -1 2d2(t) 2a2(t) + 1 G(t, 0; x, 0)dt, q x 1, ˜ F2(x) = F2(x) + 1 q 2d1(t) 2a1(t) - 1 G(t, 0; x, 0)dt- - -q -1 2d2(t) 2a2(t) + 1 G(t, 0; x, 0)dt, -1 x -q. причем |K5j(x, z)| const, | ˜ Fj(x)| const, (j = 1, 2). Разрешая систему (46), однозначно определим τj(x), следовательно, из функциональных соотношений (11), (12) c учетом (3) находим ν- j (x) и ν + j (x). Далее, как и в случаях А и В, однозначно восстанавливается решение задачи I в каждой подобласти. Таким образом, теорема 2 полностью доказана

### Obidjon Kh Abdullayev

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

Email: obidjon.mth@gmail.com
VUZ Gorodok, Tashkent, 100125, Uzbekistan
Cand. Phys. & Math. Sci.; obidjon.mth@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Differential Equations and Mathematical Physics

# References

1. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.
2. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Диффер. уравн., 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.
3. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 233 с.
4. Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешанно-нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Диффер. уравн., 1994. Т. 30, № 2. С. 230-236.
5. Дзарахохов А. В., Елеев В. А. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка // Владикавк. матем. журн., 2004. Т. 6, № 3. С. 36-46.
6. Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн., 1978. Т. 14, № 1. С. 181-184.
7. Казиев В. М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Диффер. уравн., 1981. Т. 17, № 2. С. 313-319.
8. Ланин И. Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Диффер. уравн., 1981. Т. 17, № 1. С. 97-106.
9. Исломов Б. И., Курьязов Д. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // ДАН РУз, 1996. № 1-2. С. 3-6.
10. Курьязов Д. М. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // УзМЖ, 1999. № 5. С. 40-46.
11. Рамазанов М. И. О нелокальной задаче для нагруженного гиперболо-эллиптического уравнения в прямоугольной области // Математический журнал. Алматы, 2002. Т. 2, № 4. С. 75-81.
12. Хубиев К. У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2005. Т. 7, № 2. С. 74-77.
13. Сабитов К. Б., Мелишева Е. П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2013. № 7. С. 62-76.
14. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для параболо-гиперболического уравнения с нагруженными слагаемыми // Изв. вузов. Матем., 2015. № 6. С. 31-42.
15. Мелишева Е. П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. , 2010. № 6(80). С. 39-47.
16. Abdullayev O. Kh. About a method of research of the non-local problem for the loaded mixed type equation in double-connected domain // Bulletin KRASEC. Phys. & Math. Sci., 2014. vol. 9, no. 2. pp. 3-12. doi: 10.18454/2313-0156-2014-9-2-3-12.
17. Абдуллаев О. Х. Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптикогиперболического типа в двусвязной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(8). С. 33-48. doi: 10.18454/2079-6641-2014-8-1-33-48.
18. Исломов Б. И., Абдуллаев О. Х. Краевая задача типа задачи Бицадзе для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2004. Т. 7, № 1. С. 42-46.
19. Бицадзе А. В. Краевые задачи эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 203 с.
20. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968. 513 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 8

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University