The Cauchy problem for a general hyperbolic differential equation of the n-th order with the nonmultiple characteristics

Abstract


In the paper the problem of Cauchy is considered for the hyperbolic differential equation of the n-th order with the nonmultiple characteristics. The Cauchy problem is considered for the hyperbolic differential equation of the third order with the nonmultiple characteristics for example. The analogue of D'Alembert formula is obtained as a solution of the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the third order with the nonmultiple characteristics. The regular solution of the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the forth order with the nonmultiple characteristics is constructed in an explicit form. The regular solution of the Cauchy problem for the $n$-th order hyperbolic differential equation with the nonmultiple characteristics is constructed in an explicit form. The analogue of D'Alembert formula is obtained as a solution of this problem also. The existence and uniqueness theorem for the regular solution of the Cauchy problem for the $n$-th order hyperbolic differential equation with the nonmultiple characteristics is formulated as the result of the research.

Full Text

Введение. Метод общих решений в применении к решению задачи Коши для дифференциальных уравнений гиперболического типа имеет большую историю. Известен классический результат решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка, получивший название формулы Даламбера [1-4]. В дальнейшем в своих исследованиях к этой теме обращались как отечественные, так и зарубежные ученые [5-9]. Некоторая часть работ авторов данной статьи также посвящена этой теме. 1. Предварительные сведения. В работе [10] приведено решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка a0uxxx + a1uxxy + a2uxyy + a3uyyy = 0, (1) где a0, a1, a2, a3 - некоторые действительные положительные постоянные. Корни характеристического уравнения для (1) λ1, λ2, λ3 отличны от нуля и такие, что1 λ1 + λ2 + λ3 = - a1 a0 , λ1λ2 + λ2λ3 + λ1λ3 = a2 a0 , λ1λ2λ3 = - a3 a0 . Решением задачи Коши для уравнения (1) с условиями u(x, y)|y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), x ∈ R, где α(x), β(x), γ(x) ∈ C3(R), n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической прямой y = 0, является функция u(x, y) = 3 k=1 λ3 k λ3 k - λ 2 k ( a1 a0 - λk) + a3 a0 F (x, y, λk) ∈ C 3(R2), (2) где F (x, y, λ) = α x - y λ + a1 - λa0 a0 x- y λ 0 β(t)dt+ + a3 a0λ x- y λ 0 γ(t) x - y λ - t dt. Формула (2) в [10] была названа аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка. В работе [11] рассмотрено дифференциальное уравнение гиперболического типа четвертого порядка в частных производных общего вида a0uxxxx + a1uxxxy + a2uxxyy + a3uxyyy + a4uyyyy = 0, (3) где a0, a1, a2, a3, a4 - действительные ненулевые постоянные. Характеристическое уравнение для уравнения (3) a0λ 4 - a 1λ 3 + a 2λ - a3λ + a4 = 0 имеет четыре различных действительных отличных от нуля корня λ1, λ2, λ3, λ4 таких, что λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = - a1 a0 , λ1λ2 + λ1λ3 + λ1λ4 + λ2λ3 + λ2λ4 + λ3λ4 = a2 a0 , λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + λ1λ3λ4 + λ2λ3λ4 = - a3 a0 , λ1λ2λ3λ4 = a4 a0 . В [11] поставлена и решена следующая задача Коши. 1 В работах [10, 11] имеется опечатка, касающаяся свойств корней характеристического уравнения для (1), которая не влияет на полученные результаты. Задача Коши. В плоскости R 2 найти регулярное решение u(x, y) ∈ C4(R2) уравнения (3), удовлетворяющее условиям u(x, y)|y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), ∂3u ∂n3 y=0 = σ(x), (4) где α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C4(R); n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Регулярным решением задачи (3), (4) является функция u(x, y) = 4 k=1 (-1)k+1λ3 k 4 m=1, m=k (λk - λm) F (x, y, λk), (5) где F (x, y, λ) = α x - 1 λ y - a1 + a0λk a0 x- y λk 0 β(t)dt- - a4 + a3λk a0λ 2 k x- y λk 0 γ(t) x - y λk - t dt+ + a4 2a0λk x- y λk 0 σ(t) x - y λk - t 2 dt. Решение (5) задачи (3), (4) получено в виде, аналогичном формуле Даламбера. Приведенные исследования можно обобщить на случай уравнения гиперболического типа порядка n. 2. Задача Коши для уравнения гиперболического типа порядка n общего вида с некратными характеристиками. Рассмотрим уравнения гиперболического типа порядка n a0uxxx...x + a1uxx...xy + . . . + an-1ux...yyy + anuyyy...y = 0, (6) где a0, a1, . . ., an-1, an - действительные ненулевые постоянные. Характеристическое уравнение для уравнения (6) a0λ n + a 1λ n-1 + . . . + a n-1λ + an = 0 имеет n различных действительных отличных от нулей корня λ1, λ2, . . . , λn таких, что λ1 + λ2 + . . . + λn = - a1 a0 , λ1λ2 + λ1λ3 + · · · + λn-1λn = a2 a0 , λ1λ2λ3 + λ1λ2λ4 + . . . + λn-2λn-1λn = - a3 a0 , . . . λ1λ2 · · · λn-1 + λ2λ3 · · · λn + · · · + λ1λ3 · · · λn = (-1) n-1 an-1 a0 , λ1λ2 · · · λn = (-1) n an a0 . 243 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. Тогда уравнение (6) является строго гиперболическим по Петровскому [12]. Общее решение уравнения (6) из класса n раз непрерывно дифференцируемых функций Cn(R2) будет представляться в виде [7,11] u(x, y) = f1(y + λ1x) + f2(y + λ2x) + . . . + fn(y + λnx). Задача Коши. В плоскости R2 найти регулярное решение u(x, y) ∈ Cn(R2) уравнения (6), удовлетворяющее условиям u(x, y)|y=0 = τn(x), ∂u ∂n y=0 = τn-1(x), ∂2u ∂n2 y=0 = τn-2(x), . . . , ∂n-1u ∂nn-1 y=0 = τ1(x), (7) где τn(x), τn-1(x), τn-2(x), . . . , τ1(x) ∈ Cn(R), n = {0, 1} - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Регулярным в плоскости R2 решением задачи Коши (6), (7) будем называть функцию u(x, y) ∈ Cn(R2), имеющую в плоскости R2 все непрерывные частные производные, входящие в уравнение (6), и удовлетворяющую ему и условиям Коши (7) в обычном смысле. Ограничения на нехарактеристическую линию уравнения порядка n такие же, как и для уравнения второго порядка. Эта линия не может дважды пересекать любую характеристику из любого другого семейства [3,4]. Определим функции f1, f2, . . . , fn так, чтобы удовлетворялись условия задачи Коши (7): f1(λ1x) + f2(λ2x) + f3(λ3x) + . . . + fn(λnx) = τn(x), f1(λ1x) + f2(λ2x) + f3(λ3x) + . . . + fn(λnx) = τn-1(x), . . . , f (n-1) 1 (λ1x) + f (n-1) 2 (λ2x) + f (n-1) 3 (λ3x) + . . . + f (n-1) n (λnx) = τ1(x). Продифференцировав каждое из указанных равенств, получим f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + f (n-1) k (λkx) + . . . + f (n-1) n (λnx) = τ1(x), . . . , λ n-2 1 f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + λ n-2 k f (n-1) k (λkx) + . . . + λ n-2 n f (n-1) n (λnx) = τ (n-2) n-1 (x), λ n-1 1 f (n-1) 1 (λ1x) + . . . + λ n-1 k f (n-1) k (λkx) + . . . + λ n-1 n f (n-1) n (λnx) = τ (n-1) n (x), или в компактном виде n k=1 λ (j-1) k f n-1 k (λkx) = τ (j-1) j (x), j = 1, n. (8) Определитель системы (8) является определителем Вандермонда [13] ∆ = 1 i<j n (λj - λi). 244 Задача Коши для уравнения гиперболического типа. . . При этом ∆k = 1 i<j n (λj - λi) (-1) n+k+1 an a0 τ1(x) + an-1 a0 τ2(x) + . . . + as a0 τ (n-s) n-s+1(x) + τ (n-1) n (x) . Разрешая систему (8) относительно неизвестных функций, получим f (n-1) k (λkx) = (-1) n+k+1 an a0 τ1(x) + (-1) n+k+1 an-1 a0 τ2(x) + . . . + (-1) n+k+1 as a0 τ (n-s) n-s+1(x) + . . . + (-1) n+k+1τ (n-1) n (x). (9) Проинтегрировав n - 1 раз левую часть равенства (9), получим x 0 . . . x 0 f (n-1) k (λks)ds = 1 λn-1 fk(x) - n-2 r=0 f (r)(0)xr . (10) Результатом n - 1 интегрирования правой части равенства (9) является следующее выражение: (-1)n+k+1 (n - 2)! an a0 x 0 τ1(s)(x - s) n-2ds+ + (-1)n+k+1 (n - 3)! an-1 a0 x 0 τ2(s)(x - s) n-3ds - τ 2(0) xn-2 (n - 2)! + . . . + + (-1) n+k+1 τ n(x) - τ (n-2) n (0) xn-2 (n - 2)! . (11) Из (10), (11) с учетом условий согласования получим fk(λkx) = λ n-1 k (-1)n+k+1 (n - 2)! an a0 x 0 τ1(s)(x - s) n-2ds+ + λ n-1 k (-1)n+k+1 (n - 3)! an-1 a0 x 0 τ2(s)(x - s) n-3ds + . . . + + λ n-1 k (-1) n+k+1τ n(x). (12) Подставляя в формулу общего решения найденные функции fk (12), получим u(x, y) = n k=1 fk(y + λkx). (13) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что формула (13) удовлетворяет уравнению (6) и условиям Коши (7). Формулу (13) будем называть аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения порядка n. Приведенные исследования позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема. Если τ1(x), τ2(x), . . . , τn(x) ∈ C n(R), то существует единственное регулярное решение u(x, y) ∈ Cn(R 2) задачи Коши (6), (7), которое имеет вид (13)

About the authors

Aleksandr A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Julia O Yakovleva

Samara National Research University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; julia.yakovleva@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. Holmgren E. Sur les syst`emes lin´eaires aux d´eriv´ees partielles du premier ordre deux variables ind´ependantes `a caract´eristiques r´eelles et distinetes // Arkiv f. Mat., Astr. och Fys., 1909. vol. 5, no. 1. 13 pp. (In Swedish)
  2. Rieman B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Aus dem achten Bande der Abhandlungen der K¨oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ ottingen. 1860.) / Bernard Riemann’s Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass; eds. R. Dedekind, H. M. Weber. United States: BiblioLife, 2009. pp. 145-164 (In German). doi: 10.1017/cbo9781139568050.009.
  3. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.
  4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  5. Ali Raeisian S. M. Effective Solution of Riemann Problem for Fifth Order Improperly Elliptic Equation on a Rectangle // AJCM, 2012. vol. 2, no. 4. pp. 282-286. doi: 10.4236/ajcm. 2012.24038.
  6. Nikolov A., Popivanov N. Singular solutions to Protter’s problem for (3+1)-D degenerate wave equation (8-13 June 2012; Sozopol, Bulgaria) / AIP Conf. Proc., 1497, 2012. pp. 233-238. doi: 10.1063/1.4766790.
  7. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Ле Тхи Тху, Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик // Тр. Ин-та матем., 2010. Т. 18, № 2. С. 36-54.
  8. Миронов А. Н. О методе Римана решения задачи Коши // Изв. вузов. Матем., 2005. № 2. С. 34-44.
  9. Радкевич Е. В. О корректности задачи Коши и смешанной задачи для некоторого класса гиперболических систем и уравнений с постоянными коэффициентами и переменной кратностью характеристик / Труды Четвертой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 14-21 августа, 2005). Часть 2 / СМФН, Т. 16. М.: РУДН, 2006. С. 110-135.
  10. Яковлева Ю. О. Задача Коши для гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика , 2013. Т. 31, № 11. С. 109-117.
  11. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка общего вида с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки , 2014. № 4(37). С. 7-15. doi: 10.14498/ vsgtu1349.
  12. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. 500 с.
  13. Bellman R. Introduction to matrix analysis: 2nd ed., Reprint of the 1970 Orig. / Classics in Applied Mathematics. vol. 19. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. xxviii+403 pp.

Statistics

Views

Abstract - 7

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies