A problem on longitudinal vibration of a bar with elastic fixing

Full Text

Введение. В любой работающей механической системе возникают колебательные процессы, которые могут порождаться различными причинами. Колебательные процессы могут быть следствием конструктивных особенностей системы или перераспределения нагрузок между различными элементами штатно работающей конструкции. Наличие в механизме источников колебательных процессов может затруднить диагностику его состояния и даже привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Различные проблемы, связанные с нарушением точности и работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, на практике часто решаются экспериментально. Вместе с тем колебательные процессы могут быть весьма полезными, например, для обработки материалов, сборки и разборки соединений [1, с. 3, 4]. Ультразвуковые колебания позволяют не только интенсифицировать процессы резания (сверления, фрезерования, шлифования и т. д.) материалов с высокой твёрдостью (вольфрамосодержащих, титанокарбидных сталей и т. п.), Б е й л и н А. Б. но в некоторых случаях стать единственно возможным методом обработки хрупких материалов (германий, кремний, стекло и т. д.) [2, с. 3]. Элемент устройства (волновод), который передаёт ультразвуковые колебания от источника (вибратора) до инструмента, называется концентратором и может иметь различную форму: цилиндрическую, коническую, ступенчатую, экспоненциальную и т. д. [3, с. 174]. Его предназначение - донести до инструмента колебания нужной амплитуды. Таким образом, следствия протекания колебательных процессов могут быть различными, как и причины, их вызывающие, поэтому естественно возникает необходимость теоретического изучения процессов колебания. Математическая модель распространения волн в относительно длинных и тонких твёрдых стержнях, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка, хорошо изучена и давно стала классикой [4]. Однако, как показано Рэлеем [5, с. 273, 274], эта модель не вполне соответствует исследованию колебаний толстого короткого стержня, тогда как многие детали реальных механизмов можно интерпретировать как короткие и толстые стержни. В этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея и базируется на гиперболическом уравнении четвёртого порядка [6, pp. 158-184] q(x) ∂ ∂u ∂ ∂3u ∂2u - a(x) - b(x) = f (x, t), ∂t2 ∂x ∂x ∂x ∂t2 ∂x (1) коэффициенты которого имеют физический смысл [7]: q(x) = ρ(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = ρ(x)ν 2 (x)Ip (x), где A(x) - площадь поперечного сечения, ρ(x) - массовая плотность стержня, E(x) - модуль Юнга, ν(x) - коэффициент Пуассона, Ip (x) - полярный момент инерции, u(x, t) - продольные смещения, подлежащие определению. Идеи Рэлея нашли своё подтверждение и развитие в современных работах, посвященных процессам колебаний, а также теории пластичности. В обзорной статье [8] обоснованы недостатки классических моделей, описывающих состояние и поведение твёрдых тел при нагрузке, в которых априори тело считается идеальным континуумом. Современный уровень развития естествознания требует построения новых моделей, адекватно описывающих исследуемые процессы, а разработанные в последние несколько десятилетий математические методы дают эту возможность. На этом пути в последнюю четверть прошлого века был предложен новый подход к изучению многих физических процессов, в том числе и упомянутых выше, основанный на понятии нелокальности (см. статью [8] и список литературы в ней). Один из классов нелокальных моделей, выделенных авторами, назван «слабо нелокальными». Математические модели, принадлежащие этому классу, могут быть реализованы введением в уравнение, описывающее некоторый процесс, производных высокого порядка, позволяющих учитывать в некотором приближении взаимодействие внутренних элементов объекта изучения. Таким образом, модель Рэлея актуальна и в наше время. 250 Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня 1. Постановка задачи. Пусть концы стержня x = 0, x = l прикреплены к неподвижному основанию при помощи сосредоточенных масс M1 , M2 и пружин, жёсткости которых K1 и K2 . Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0x и в начальный момент времени находится в покое в положении равновесия. Тогда мы приходим к следующей начально-краевой задаче. Задача. Найти в области QT = {(0, l) × (0, T ) : l, T < ∞} решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x) и граничным условиям a(0)ux (0, t) + b(0)uxtt (0, t) - K1 u(0, t) - M1 utt (0, t) = 0, a(l)ux (l, t) + b(l)uxtt (l, t) + K2 u(l, t) + M2 utt (l, t) = 0. (2) В статье [7] рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1)-(2) и приведены примеры, в которых коэффициенты уравнения имеют явный вид и M1 = M2 = 0. В статье [9] доказана однозначная слабая разрешимость поставленной задачи в общем случае. Условия (2) обусловлены способом закрепления стержня: его концы прикреплены к неподвижным основаниям с помощью некоторых приспособлений, имеющих массы M1 , M2 , и пружин с жёсткостями K1 , K2 соответственно. Наличие масс и учёт поперечных смещений приводит к условиям вида (2), содержащим производные по времени. Краевые условия, в которые входят производные по времени, называются динамическими. Они могут возникать в различных ситуациях, простейшие из которых описаны в учебнике [4], а гораздо более сложные - в монографии [10]. 2. Изучение собственных колебаний стержня. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1). Так как коэффициенты зависят только от x, можно разделить переменные, представив u(x, t) = X(x)T (t). Получим два уравнения: T (t) + λ2 T (t) = 0, a(x) - λ2 b(x) X (x) + λ2 qX(x) = 0. (3) Уравнение (3) сопровождается краевыми условиями a(0) - λ2 b(0) X (0) - (K1 - λ2 M1 )X(0) = 0, a(l) - λ2 b(l) X (l) + (K2 - λ2 M2 )X(l) = 0. (4) Таким образом, мы пришли к задаче Штурма-Лиувилля, которая отличается от классической тем, что спектральный параметр λ входит в коэффициент при старшей производной уравнения, а также в краевые условия. Это обстоятельство не позволяет ссылаться на известные из литературы результаты, поэтому нашей ближайшей целью является изучение задачи (3), (4). Для успешной реализации метода разделения переменных нам нужна информация о существовании и расположении собственных чисел, о качественных 251 Б е й л и н А. Б. свойствах собственных функций: обладают ли они свойством ортогональности? Покажем, что λ2 > 0. Предположим, что это не так. Пусть X(x) - собственная функция задачи (3), (4), соответствующая значению λ = 0. Умножим (3) на X(x) и проинтегрируем полученное равенство по промежутку (0, l). Интегрируя по частям и применяя краевые условия (4), после элементарных преобразований получим l λ2 (qX 2 + bX 2 )dx+ a(0) - λ2 b(0) a(l) - λ2 b(l) 0 l + M1 X 2 (0) + M2 X 2 (l) = aX 2 dx + K1 X 2 (0) + K2 X 2 (l). 0 Заметим, что из физического смысла функции a(x), b(x), q(x) положительны, Ki , Mi неотрицательны. Но тогда из полученного равенства следует, что X (x) = 0, X(0) = X(l) = 0, следовательно, X(x) = 0, что противоречит сделанному предположению. Стало быть, и предположение о том, что нуль есть собственное число задачи (3), (4) неверно. Представление решения уравнения (3) зависит от знака выражения a(x)- -λ2 b(x). Покажем, что a(x)-λ2 b(x) > 0 ∀x ∈ (0, l). Зафиксируем произвольно x ∈ (0, l) и найдём значения в этой точке функций a(x), b(x), q(x). Запишем уравнение (3) в виде X (x) + µX(x) = 0, (5) где мы обозначили µ= λ2 q a - λ2 b в выбранной фиксированной точке, а условия (4) запишем в виде X (0) - αX(0) = 0, X (l) + βX(l) = 0, (6) где α, β легко вычисляются. Как известно, классическая задача Штурма-Лиувилля (5), (6) имеет счётное множество собственных функций при µ > 0, откуда в силу произвольности x следует нужное неравенство. Собственные функции задачи (3), (4) обладают свойством ортогональности с нагрузкой [4, с. 158], выраженным соотношением l qXm (x)Xn (x) + bXm (x)Xn (x) dx+ 0 + M1 Xm (0)Xn (0) + M2 Xm (l)Xn (l) = 0, (7) которое можно получить стандартным способом (см., например, [4, с. 159]), реализация которого в случае рассматриваемой задачи связана с элементарными, но кропотливыми вычислениями. Приведём кратко его вывод, опустив аргумент функций Xi (x) во избежание громоздкости. 252 Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня Пусть λm , λn - различные собственные числа, Xm , Xn - соответствующие им собственные функции задачи (3), (4). Тогда (a - λ2m b)Xm + λ2m qXm = 0, (a - λ2n b)Xn + λ2n qXn = 0. Умножим первое из этих уравнений на Xn , а второе на Xm и вычтем из первого второе. После элементарных преобразований получим равенство (λ2m - λ2n )qXm Xn = (aXm Xn ) - λ2n (bXm Xn ) - (aXm Xn ) + λ2m (bXm Xn ) , которое проинтегрируем по промежутку (0, l). В результате, учитывая (4) и сокращая на (λ2m - λ2n ), получим соотношение (7). Доказанные утверждения о свойствах собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4) позволяют применить для отыскания решения поставленной задачи метод разделения переменных. 3. Разрешимость задачи. Обозначим ¯ T ) ∩ C 2 (QT ), uttxx ∈ C(QT )}. C (QT ) = {u : u ∈ C(Q Теорема 1. Пусть a, b ∈ C 1 [0, l], q ∈ C[0, l]. Тогда существует не более одного решения u ∈ C (QT ) задачи (1), (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует два различных решения задачи (1), (2), u1 (x, t) и u2 (x, t). Тогда, в силу линейности задачи, их разность u = u1 - u2 является решением однородной задачи, соответствующей (1), (2). Покажем, что её решение тривиально. Предварительно заметим, что из физического смысла коэффициентов уравнения и краевых условий функции a, b, q положительны всюду в QT , а Mi , Ki неотрицательны. Умножив равенство (1) на ut и проинтегрировав по области Qτ , где τ ∈ [0, T ] и произвольно, после несложных преобразований получим l qu2t (x, τ ) + au2x (x, τ ) + bu2xt (x, τ ) dx+ 0 + K1 u2 (0, τ ) + M1 u2t (0, τ ) + K2 u2 (l, τ ) + M2 u2t (l, τ ) = 0, откуда в силу произвольности τ сразу вытекает справедливость утверждения теоремы. Доказательство существования решения проведём для случая постоянных коэффициентов. Теорема 2. Пусть ϕ ∈ C 2 [0, l], ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ (0) = ϕ (l) = 0, имеет кусочно непрерывную производную третьего порядка в (0, l), ψ ∈ C 1 [0, l], ψ(0) = ψ(l) = 0 и имеет кусочно непрерывную производную второго порядка ¯ T ), тогда решение задачи (1), (2) существует и может в (0, l), f ∈ C(Q быть получено в виде суммы ряда по собственным функциям. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем, как обычно, искать решение задачи в виде суммы u ˜ = u + v, 253 Б е й л и н А. Б. где первое слагаемое - решение поставленной задачи для однородного уравнения, соответствующего (1), второе - решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным и граничным условиям. Воспользуемся результатами проведённых в предыдущем пункте исследований и запишем общее решение уравнения (3): X(x) = C1 cos λ q x + C2 sin λ a - λ2 b q x. a - λ2 b Применив краевые условия (4), приходим к системе уравнений относительно Ci : (a - λ2 b)c2 - (K1 - λ2 M1 )c1 = 0, q q l + (K2 - λ2 M2 ) cos λ l c1 + 2 a-λ b a - λ2 b q q q l cos λ l + (K2 - λ2 M2 ) sin λ l c2 = 0. 2 2 a-λ b a-λ b a - λ2 b -λ(a - λ2 b) sin λ + λ(a - λ2 b) Приравнивая нулю ее определитель, получаем спектральное уравнение ctg λ q (a - λ2 b)λ2 q - (K1 - λ2 M1 )(K2 - λ2 M2 ) l= . 2 a-λ b λ q(a - λ2 b)(K1 + K2 - λ2 (M1 + M2 )) (8) Выясним, имеет ли это трансцендентное уравнение решения. Для этого рассмотрим функции, стоящие в левой и правой его частях, и исследуем их поведение. Не слишком ограничивая общность, положим M1 = M2 = M, K1 = K2 = K, что позволит слегка упростить необходимые вычисления. Уравнение (8) принимает вид √ √ λ a - λ2 b q q K - λ2 M √ l = - . ctg λ √ a - λ2 b 2(K - λ2 M ) 2λ q a - λ2 b Обозначим µ= √ √ λ ql a - λ2 b и запишем в новых обозначениях спектральное уравнение: ctg µ = aqlµ Kql2 + µ2 (Kb - aM ) - . 2Kql2 + 2µ2 (Kb - aM ) 2µaql Анализ функций левой и правой частей последнего уравнения позволяет утверждать, что существует счётное множество его корней и, стало быть, счётное множество собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3), (4), которые с учетом соотношения, полученного из системы относительно ci , можно выписать Xn (x) = cos λn 254 q K - λ2n M x + √ sin λn a - λ2n b λn a - λ2n b q q x. a - λ2n b Задача о продольных колебаниях упруго закрепленного нагруженного стержня Теперь перейдём к отысканию решения, удовлетворяющего и начальным условиям. Решение задачи для однородного уравнения мы теперь легко найдём в виде ряда ∞ u(x, t) = Tn (t)Xn (x), n=1 коэффициенты которого можно найти из начальных данных, пользуясь свойством ортогональности функций Xn (x), норма которых может быть получена из соотношения (7): l ||X||2 = qXn2 + bXn2 dx + M1 Xn2 (0) + M2 Xn2 (l). 0 Процесс нахождения функции v(x, t) также является, по существу, стандартным, но мы всё же заметим, что, отыскивая решение в традиционном виде ∞ T˜n (t)Xn (x), v(x, t) = n=1 мы получаем два уравнения. Действительно, учитывая вид собственных функций, уточним структуру ряда, в виде которого мы ищем решение: ∞ Vn (t) cos λn v(x, t) = n=1 q x+ a - λ2n b + Wn (t) K - λ2n M √ sin λn λn a - λ2n b q q x . (9) a - λ2n b Для выполнения нулевых начальных условий v(x, 0) = vt (x, 0) = 0 потребуем, чтобы Vn (0) = Vn (0) = 0, Wn (0) = Wn (0) = 0. Разложив f (x, t) в ряд Фурье по собственным функциям Xn (x), найдём коэффициенты fn (t) и gn (t). Подставив (9) в уравнение (1), записанное относительно v(x, t), после ряда преобразований получим уравнения для отыскания Vn (t) и Wn (t): Vn (t) + λ2n Vn (t) = Wn (t) + λ2n Wn (t) = λn a - λ2n b fn (t), aq (a - λ2n b) a - λ2n b gn (t). √ a q(K - λ2n M ) Учитывая начальные условия Vn (0) = Vn (0) = 0, Wn (0) = Wn (0) = 0, приходим к задачам Коши относительно каждой из функций Vn (t) и Wn (t), однозначная разрешимость которых гарантирована условиями теоремы. Свойства начальных данных, сформулированные в теореме, не оставляют сомнений в сходимости всех рядов, возникших в ходе наших исследований и, стало быть, в существовании решения поставленной задачи. Заключение. Доказано существование ортогональной с нагрузкой системы собственных функций исследуемой задачи и получено их представление. 255 Б е й л и н А. Б. Установленные свойства собственных функций позволили доказать существование единственного решения поставленной задачи. Отметим, что полученные в статье результаты могут быть использованы как для дальнейших теоретических исследований задач с динамическими граничными условиями, так и для практических целей, а именно для расчёта продольных колебаний широкого круга технических объектов.

About the authors

Alexander B Beylin

Samara State Technical University

Email: abeilin@mail.ru
(Cand. Techn. Sci.; abeilin@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Automation Machine Tools and Tooling Systems 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files