On one nonlocal problem for the Euler-Darboux equation

Full Text

Введение. Результаты, представленные авторами настоящей статьи, являются продолжением исследований по постановке и решению краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в специальных классах решений, введенных авторами и опубликованных в работах [1-6]. В 1969 году А. М. Нахушев [7, 8] предложил для дифференциальных уравнений в частных производных ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, отметил их важность для развития и обобщения теории уравнений смешанного типа, а также практическую значимость. Краевым задачам со смещением посвящена монография З. А. Нахушевой [9], в которой отмечается актуальность данных задач в связи с их приложениями к динамическим системам с распределенными параметрами, проблемам газовой динамики, математического моделирования нелокальных физических процессов и др. Нелокальные краевые задачи существенное развитие получили в работах самарских математиков. Начиная с 70-х годов прошлого столетия вплоть до его конца появилось значительное количество работ, посвящённых краевым задачам с условиями типа Бицадзе-Самарского или условиями Нахушева для различных вырождающихся уравнений гиперболического типа, уравнений смешанного типа в области гиперболичности и собственно для уравнения Эйлера-Дарбу [10-19]. Отметим здесь также монографию О. А. Репина [20], посвященную краевым задачам со смещением, в которой, идя по пути обобщений, автор использует в нелокальных краевых условиях оператор М. Сайго. По-видимому, В. Ф. Волкодавов первый обратил внимание на то, что при всем разнообразии вырождающихся уравнений и нелокальных условий, удачно подобранных к данному дифференциальному уравнению, последнее в характеристических координатах редуцируется к уравнению Эйлера-Дарбу. Соответствующим образом преобразуются и нелокальные краевые условия. Таким образом, представляло интерес описать все многообразие корректных постановок нелокальных краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу, но эта работа осталась тогда не законченной. Отталкиваясь от свойств решений уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона, эту задачу решил А. М. Нахушев в монографии [21], описав индуцированные этими решениями локальные и нелокальные краевые условия (см. [21, раздел 7 на с. 175]). С начала 2000-х годов и по настоящий момент времени интерес к нелокальным краевым задачам математической физики, их приложениям к описанию реальных физических процессов не ослабевал, о чем можно судить по многочисленным публикациям в периодической научной печати. Не претендуя на обзор всех известных публикаций, отметим лишь некоторые работы самарских математиков. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе- Лыкова рассмотрел О. А. Репин в работе [22]. Нелокальные краевые задачи со смещением рассматриваются в серии работ О. А. Репина и С. К. Кумыковой [23-26]. Отметим здесь также две работы А. А. Андреева и Е. Н. Огородникова, касающиеся постановки и решения нелокальных краевых задач для систем вырождающихся уравнений гиперболического типа [27, 28]. В настоящей работе рассматривается задача со смещением для обобщенного уравнения Эйлера-Дарбу, содержащая два условия, одно из которых связывает интегралы, а второе - производные дробного порядка от значений искомого решения в граничных точках. Задача сводится к однозначно разрешимой системе интегральных уравнений Вольтерры. Уравнение Uξη - 260 p p Uξ + Uη - λU = 0, ξ-η ξ-η (1) Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу в котором p, λ - const, 0 < |p| < 1/2, рассмотрим на множестве D = D1 ∪ D2 , где D1 = {(ξ, η) | 0 < ξ < η < +∞}, D2 = {(ξ, η) | 0 < η < ξ < +∞}. 1. Постановка задачи S (2) . На линии η = ξ возьмем точку M (ξ, ξ) и опустим перпендикуляры на оси Oξ и Oη. Точки P (ξ, 0), Q(0, ξ) - основания этих перпендикуляров. На множестве D найти решение уравнения (1) U (ξ, η), непрерывное в D, удовлетворяющее условиям x ∂ ∂x x U (P )(x - ξ)-α dξ + 0 x U (Q)(x - ξ)-β dξ = ψ(x), (2) 0 U (P )(x - ξ)β-1 dξ + 0 ∂ ∂x x U (Q)(x - ξ)α-1 dξ = ϕ(x), (3) 0 0 < α, β < 1 при p > 0 (α > p, β > p) и на линии ξ = η условиям сопряжения ν1 (ξ) = lim (η - ξ)2p η→ξ+0 ∂U ∂U - ∂η ∂ξ = lim (ξ - η)2p η→ξ-0 ∂U ∂U - ∂η ∂ξ = ν2 (ξ). (4) Отметим, что в отличие от всех предыдущих постановок задач со смещением здесь задаются два условия, одно из которых связывает интегралы, а второе - производные дробного порядка от значений искомого решения в граничных точках P и Q. Условия, налагаемые на заданные функции ϕ(x) и ψ(x), определим позднее. 2. Решение системы интегральных уравнений с несверточными операторами. Данный параграф носит вспомогательный характер, в нем доказана однозначная разрешимость системы двух интегральных уравнений, к которой, как это будет показано ниже, сведется решение задачи S (2) . Решение системы x N1 (s)(x - s)δ-10F 1 δ; λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)(x - s)ε-10F 1 ε; λs(x - s) ds = ϕ(x), (5) 0 x N1 (s)(x - s)-ε0F 1 1 - ε; λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)(x - s)-δ0F 1 1 - δ; λs(x - s) ds = ψ(x), (6) 0 где 0 < δ < ε < 1, |λ| < +∞, ∞ 0F 1 (α; z) = n=0 zn , (α)n n! 261 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в М. В., Д о л г о п о л о в В. М. будем искать в классе непрерывных на [0, +∞) функций. На свободные члены налагаются следующие условия: ϕ(x), ψ(x) ∈ C (1) [0, +∞); ϕ(0) = ψ(0) = 0. (7) В предположении, что решение системы (5), (6) существует, применим к обеим частям тождеств (5), (6) соответственно операторы y y · · · (y - x)-δ dx, · · · (y - x)δ-1 dx. 0 0 При этом воспользуемся тождеством y x (y - x)-α dx 0 N (s)(x - s)-β0F 1 1 - β; λs(x - s) ds = 0 Γ(1 - α)Γ(1 - β) = Γ(2 - α - β) y N (s)(y - s)1-α-β0F 1 2 - α - β; λs(y - s) ds. 0 В результате получаем x Γ(δ)Γ(1 - δ) N1 (s)0F 1 1; λs(x - s) ds+ 0 + Γ(1 - δ)Γ(ε) Γ(1 - δ + ε) x N2 (s)(x - s)ε-δ0F 1 1 + ε - δ; λs(x - s) ds = 0 x = ϕ(t)(x - t)-δ dt, (8) 0 Γ(1 - ε)Γ(δ) Γ(1 - ε + δ) x N1 (s)(x - s)δ-ε0F 1 1 + δ - ε; λs(x - s) ds+ 0 x N2 (s)0F 1 1; λs(x - s) ds = + Γ(δ)Γ(1 - δ) 0 x = ψ(t)(x - t)-δ-1 dt. (9) 0 Введем функции x N1 (s)0F 1 1; λs(x - s) ds, ν1 (x) = 0 (10) x N2 (s)0F 1 1; λs(x - s) ds. ν2 (x) = 0 С учетом ε > 0 имеем представления x (x - s)ε-δ N2 (s)0F 1 1 + ε - δ; λs(x - s) ds = 0 262 Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу = Γ(ε - δ + 1) Γ(ε - δ) y x (x - y)ε-δ-1 dy N2 (s)0F 1 1; λs(y - s) ds = 0 0 = x Γ(ε - δ + 1) Γ(ε - δ) (x - y)ε-δ-1 ν2 (y)dy, (11) 0 x (x - s)δ-ε N1 (s)0F 1 1 - ε + δ; λs(x - s) ds = 0 = d Γ(1 - ε + δ) x N1 (s)(x - s)1-ε+δ0F 1 2 - ε + δ; λs(x - s) ds = dx Γ(2 - ε + δ) 0 x y d = (x - y)-ε+δ dy N1 (s)0F 1 1; λs(y - s) ds = dx 0 0 x d (x - y)δ-ε ν1 (y)dy. (12) = dx 0 Подставим во второе слагаемое формулы (8) выражение (11), а первое слагаемое формулы (9) заменим интегралом (12). С учетом введенных обозначений (10) система примет вид Γ(δ)Γ(1 - δ)ν1 (x) + Γ(1 - δ)Γ(ε) Γ(ε - δ) x (x - y)ε-δ-1 ν2 (y)dy = 0 x = ϕ(t)(x - t)-δ dt, (13) 0 Γ(1 - ε)Γ(δ) d Γ(1 - ε + δ) dx x (x - y)δ-ε ν1 (y)dy + Γ(δ)Γ(1 - δ)ν2 (x) = 0 x = ψ(t)(x - t)δ-1 dt. (14) 0 Из равенства (13) находим ν1 (x) и подставляем в первое слагаемое формулы (14). После несложных преобразований получаем выражение для ν2 : ν2 (x) = 1 × B(δ, 1 - δ) - B(ε, 1 - ε) x x ψ(t)(x - t)δ-1 dt - × 0 ϕ(t)(x - t)-ε dt . (15) 0 Найденное выражение для ν2 подставляем в формулу (13), в результате имеем ν1 (x) = 1 × B(δ, 1 - δ) - B(ε, 1 - ε) x × 0 x ϕ(t)(x - t)-δ dt - ψ(t)(x - t)ε-1 dt . (16) 0 263 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в М. В., Д о л г о п о л о в В. М. Обозначим правые части формул (16), (15) соответственно Φ1 (x) и Φ2 (x). С учетом обозначений (10) находим x Nk (s)0F 1 1; λs(x - s) ds = Φk (x), k = 1, 2. (17) 0 Решения уравнений (17) запишем, пользуясь формулами (41)-(44) из работы [2, с. 586]: x Nk (x) = Φk (x) - x-1 Φk (t)t 0 ∂ 0F 1 1; -λx(x - t) dt, ∂t k = 1, 2 (18) (1) при условии, что Φk (x) ∈ C[0,+∞) , Φk (0) = 0. Подставляя вместо Φk (x) их выражения из формул (15), (16) в равенство (18), после ряда преобразований получаем функции N1 , N2 : s ϕ (t)(s - t)ε-10F 1 ε; -λs(s - t) dt- N1 (s) = k - 0 - s λ ε ψ(t)(s - t)ε0F 1 1 + ε; -λs(s - t) dt+ 0 s + ϕ (t)(s - t)-δ0F 1 1 - δ; -λs(s - t) dt+ 0 + λ 1-δ s ϕ(t)(s - t)1-δ0F 1 2 - δ; -λs(s - t) dt ; (19) 0 s ψ (t)(s - t)δ-10F 1 δ; -λs(s - t) dt+ N2 (s) = k 0 + s λ ε ψ(t)(s - t)δ0F 1 1 + δ; -λs(s - t) dt- 0 s - ϕ (t)(s - t)-ε0F 1 1 - ε; -λs(s - t) dt- 0 - λ 1-ε s ϕ(t)(s - t)1-ε0F 1 2 - ε; -λs(s - t) dt . (20) 0 Непосредственной подстановкой убеждаемся, что при выполнении условий (7) функции (19), (20) удовлетворяют обоим уравнениям системы (5), (6). Из вида интегралов, входящих в решение, и свойств функции 0F 1 следует принадлежность N1 , N2 классу функций непрерывных на полуинтервале [0, +∞). Заметим, что в формулах (19), (20) k= 1 . B(δ, 1 - δ) - B(ε, 1 - ε) 3. Решение задачи S (2) . Для решения поставленной задачи воспользуемся вновь результатами работы [2], в которой для уравнения (1) в области 264 Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу D1 получено решение задачи Коши для положительных значений параметра p. За счет интегрального представления одного из данных задачи решение приобрело более простой вид и получило распространение на случай отрицательных значений параметра. Случай А. Рассмотрим случай 0 < p < 1/2. Согласно формулам (24)-(26) из работы [2, с. 586], решение задачи Коши для уравнения (1) имеет в области D1 следующий вид: ξ U (ξ, η) = T1 (s)(ξ - s)-p (η - s)-p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)(η - s) ds+ 0 η + N1 (s)(s - ξ)-p (η - s)-p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)(η - s) ds, (21) ξ где ξ U (ξ, ξ + 0) = T1 (s)(ξ - s)-2p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)2 ds, (22) 0 N1 (s) = 1 1 Γ(1 - 2p) T1 (s) + ν1 (s), 2 cos πp 2 Γ2 (1 - p) (23) а в области D2 - η U (ξ, η) = T2 (s)(ξ - s)-p (η - s)-p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)(η - s) ds+ 0 ξ + N2 (s)(s - η)-p (ξ - s)-p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)(η - s) ds, (24) η где ξ U (ξ, ξ - 0) = T2 (s)(ξ - s)-2p0F 1 1 - p; λ(ξ - s)2 ds, (25) 0 N2 (s) = 1 Γ(1 - 2p) 1 T2 (s) - ν2 (s). 2 cos πp 2 Γ2 (1 - p) (26) Функции Nk , Tk , k = 1, 2, предполагаются непрерывными на [0, +∞). Подчиняя решение уравнения (1), определяемое функциями (21), (24), условиям (2), (3), проводя некоторые преобразования, получаем систему уравнений относительно N1 , N2 . Причем в условиях (2), (3) для случая 0 < p < 1/2 положим ψ = ψ1 , ϕ = ϕ1 . С учетом условия α > p, β > p имеем систему Γ(1 - p)Γ(1 - β) x N1 (s)s-p (x - s)1-p-β0F 1 2 - p - β; -λs(x - s) ds+ Γ(2 - p - β) 0 Γ(1 - p)Γ(1 - α) x + N2 (s)s-p (x - s)1-p-α0F 1 2 - p - α; -λs(x - s) ds = Γ(2 - p - α) 0 = ψ1 (x), (27) 265 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в М. В., Д о л г о п о л о в В. М. Γ(1 - p)Γ(α) x N1 (s)s-p (x - s)α-p-10F 1 α - p; -λs(x - s) ds+ Γ(α - p) 0 Γ(1 - p)Γ(β) x + N2 (s)s-p (x - s)β-p-10F 1 β - p; -λs(x - s) ds = Γ(β - p) 0 = ϕ1 (x). (28) Решение системы (27), (28) будем искать в классе функций, непрерывных на полуинтервале [0, +∞). Для этого потребуем от заданных функций выполнения следующих условий. Условия A: ϕ1 (x) ∈ C (1) [0, +∞), ϕ1 (0) = 0; ψ1 (x) ∈ C (2) [0, +∞), ψ1 (0) = ψ1 (0) = 0. В каждом равенстве системы (27), (28) заменим x на y и применим к обеим частям оператор x · · · (x - y)p-1 dx, 0 в результате получим Γ(1 - p)Γ(p) x N1 (s)s-p (x - s)1-β0F 1 2 - β; -λs(x - s) ds+ 1-β 0 Γ(1 - p)Γ(p) x N2 (s)s-p (x - s)1-α0F 1 2 - α; -λs(x - s) ds = + 1-α 0 x = ψ1 (t)(x - t)p-1 dt, (29) 0 x Γ(1 - p)Γ(p) N1 (s)s-p (x - s)α-10F 1 α; -λs(x - s) ds+ 0 x + Γ(1 - p)Γ(p) N2 (s)s-p (x - s)β-10F 1 β; -λs(x - s) ds = 0 x ϕ1 (t)(x - t)p-1 dt. = 0 После дифференцирования обеих частей равенства (29) приходим к системе интегральных уравнений (5), (6): x N1 (s)s-p (x - s)α-10F 1 α; -λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)s-p (x - s)β-10F 1 β; -λs(x - s) ds = Φ1 (x), (30) 0 x N1 (s)s-p (x - s)-β0F 1 1 - β; -λs(x - s) ds+ 0 x + 0 266 N2 (s)s-p (x - s)-α0F 1 1 - α; -λs(x - s) ds = Φ2 (x), (31) Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу где Φ1 (x) = Φ2 (x) = 1 B(1 - p, p) 1 B(1 - p, p) x ϕ1 (t)(x - t)p-1 dt, 0 x ψ1 (t)(x - t)p-1 dt. 0 Решение системы (30), (31) запишем, пользуясь формулами (19), (20), в которых положим ε = β, δ = α, и заменяя λ на -λ, ϕ(x) = Φ1 (x), ψ(x) = = Φ2 (x). После замены порядка интегрирования некоторых преобразований с учетом условий A получаем s k1 sp λΓ(β) ψ1 (t)(s-t)p+β0F 1 1+p+β; λs(s-t) dt- Γ(1 - p) Γ(1 + β + p) 0 s Γ(β) ψ1 (t)(s - t)p+β-10F 1 p + β; λs(s - t) dt+ - Γ(β + p) 0 s Γ(1 - α) + ϕ1 (t)(s - t)p-α0F 1 1 + p - α; λs(s - t) dt- Γ(1 - α + p) 0 s λΓ(1 - α) ϕ1 (t)(s - t)1+p-α0F 1 2 + p - α; λs(s - t) dt , (32) - Γ(2 - α + p) 0 N1 (s) = s k1 sp Γ(α) ψ1 (t)(s - t)p+α-10F 1 p + α; λs(s - t) dt- Γ(1 - p) Γ(α + p) 0 s λΓ(α) - ψ1 (t)(s - t)p+α0F 1 1 + p + α; λs(s - t) dt+ Γ(1 + α + p) 0 s λΓ(1 - β) ϕ1 (t)(s - t)1+p-β0F 1 2 + p - β; λs(s - t) dt- + Γ(2 - β + p) 0 s Γ(1 - β) ϕ1 (t)(s - t)p-β0F 1 1 + p - β; λs(s - t) dt , (33) - Γ(1 - β + p) 0 N2 (s) = где k1 = 1 . B(α, 1 - α) - B(β, 1 - β) Из непрерывности решения на y = x формул (22), (25) имеем T1 = T2 . (34) Складывая соотношения (23), (26), с учетом условий сопряжения (4) и равенства (34) получаем T1 = T2 = cos πp(N1 + N2 ). Выражения для T1 , T2 в силу их громоздкости не приводятся. Принадлежность Nk , Tk , k = 1, 2, классу непрерывных на [0, +∞) функций с очевидностью следует из представлений (32), (33) свойств функций ϕ1 , ψ1 , 0F 1 . 267 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в М. В., Д о л г о п о л о в В. М. Случай Б. Рассмотрим случай -1/2 < p < 0. Сделаем замену -p = q, 0 < q < 1/2. В формулах (21)-(26) заменим -p на q, в условиях (2), (3) заданные функции обозначим соответственно ψ2 (x), ϕ2 (x). От них потребуем выполнения следующих условий. Условия Б: ϕ2 (x) ∈ C (2) [0, +∞), ϕ2 (0) = ϕ2 (0) = 0; ψ2 (x) ∈ C (3) [0, +∞), ψ2 (0) = ψ2 (0) = ψ2 (0) = 0. Система (27), (28) примет вид Γ(1 + q)Γ(1 - β) x N1 (s)sq (x - s)1+q-β0F 1 2 + q - β; -λs(x - s) ds+ Γ(2 + q - β) 0 Γ(1 + q)Γ(1 - α) x + N2 (s)sq (x - s)1+q-α0F 1 2 + q - α; -λs(x - s) ds = Γ(2 + q - α) 0 = ψ2 (x), (35) Γ(1 + q)Γ(α) x N1 (s)sq (x - s)α+q-10F 1 α + q; -λs(x - s) ds+ Γ(α + q) 0 Γ(1 + q)Γ(β) x N2 (s)sq (x - s)β+q-10F 1 β + q; -λs(x - s) ds = + Γ(β + q) 0 = ϕ2 (x). (36) Продифференцируем обе части равенства (35), затем применим к полученному выражению, а также к равенству (36) оператор x . . . (x - y)-q dy. 0 В результате получим Γ(1 + q)Γ(1 - q) x N1 (s)sq (x - s)1-β0F 1 2 - β; -λs(x - s) ds+ 1-β 0 Γ(1 + q)Γ(1 - q) x + N2 (s)sq (x - s)1-α0F 1 2 - α; -λs(x - s) ds = 1-α 0 x = ψ2 (t)(x - t)-q dt, (37) 0 Γ(1 + q)Γ(1 - q) x N1 (s)sq (x - s)α0F 1 1 + α; -λs(x - s) ds+ α 0 Γ(1 + q)Γ(1 - q) x + N2 (s)sq (x - s)β0F 1 β + 1; -λs(x - s) ds = β 0 x = ϕ2 (t)(x - t)-q dt. (38) 0 Продифференцируем обе части тождеств (37), (38) с учетом условий Б: 268 Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу x N1 (s)sq (x - s)α-10F 1 α; -λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)sq (x - s)β-10F 1 β; -λs(x - s) ds = Φ3 (x), (39) 0 x N1 (s)sq (x - s)-β0F 1 1 - β; -λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)sq (x - s)-α0F 1 1 - α; -λs(x - s) ds = Φ4 (x), (40) 0 где 1 Γ(1 + q)Γ(1 - q) 1 Φ4 (x) = Γ(1 + q)Γ(1 - q) x Φ3 (x) = 0 x ϕ2 (t)(x - t)-q dt, ψ1 (t)(x - t)-q dt. 0 Решение системы (39), (40), так же как и при положительном значении параметра p, получаем из формул (19), (20) при ϕ = Φ3 , ψ = Φ4 , ε = β, δ = α заменой λ на -λ: N1 (s) = s Γ(β) k1 s-q - ψ2 (t)(s - t)-q+β0F 1 1 - q + β; λs(s - t) dt+ Γ(1 + q) Γ(1 + β - q) 0 s λΓ(1 + β) + ψ2 (t)(s - t)-q+β+10F 1 2 - q + β; λs(s - t) dt+ Γ(2 + β - q) 0 s Γ(1 - α) ϕ2 (t)(s - t)1-q-α0F 1 2 - q - α; λs(s - t) dt- + Γ(2 - α - q) 0 s λΓ(1 - α) ϕ2 (t)(s - t)2-q-α0F 1 3 - q - α; λs(s - t) dt , (41) - Γ(3 - α - q) 0 = N2 (s) = = s k2 s-q Γ(α) ψ2 (t)(s - t)-q+α0F 1 1 - q + α; λs(s - t) dt- Γ(1 + q) Γ(1 + α - q) 0 s λΓ(α) - ψ2 (t)(s - t)-q+α+10F 1 2 - q + α; λs(s - t) dt- Γ(2 + α - q) 0 s Γ(1 - β) - ϕ2 (t)(s - t)1-q-β0F 1 2 - q - β; λs(s - t) dt+ Γ(2 - β - q) 0 s λΓ(1 - β) + ϕ2 (t)(s - t)2-q-β0F 1 3 - q - β; λs(s - t) dt . (42) Γ(3 - β - q) 0 Как и в случае положительного параметра, получаем T1 = T2 = cos πq(N1 + N2 ). (43) 269 Р о д и о н о в а И. Н., Д о л г о п о л о в М. В., Д о л г о п о л о в В. М. При выполнении условий B непрерывность функций Nk , Tk на полуинтервале [0, +∞) следует из представлений (41), (42), (43) с учетом, что 0<q<1/2. Единственность решения задачи S (2) вытекает из единственности решения задачи Коши, взятого за основу, а также единственности решения системы интегральных уравнений, к которым свелась задача. Существование доказано непосредственной проверкой. Резюме. В настоящей работе на множестве D = D1 ∪ D2 , где D1 = {(ξ, η) | 0 < ξ < η < +∞}, D2 = {(ξ, η) | 0 < η < ξ < +∞}, рассмотрено обобщенное уравнение Эйлера-Дарбу: Uξη - p p Uξ + Uη - λU = 0, ξ-η ξ-η в котором p, λ - константы такие, что 0 < |p| < 1/2, |λ| < ∞. На линии сингулярности коэффициентов уравнения η = ξ взята точка M (ξ, ξ), из которой опущены перпендикуляры на части границы ξ = 0 и η = 0. Точки P (ξ, 0), Q(0, ξ) - основания этих перпендикуляров. Постановлена задача S (2) . На множестве D найти решение уравнения U (ξ, η), непрерывное в D и удовлетворяющее следующим условиям: x ∂ ∂x x U (P )(x - ξ)-α dξ + 0 x U (Q)(x - ξ)-β dξ = ψ(x), 0 U (P )(x - ξ)β-1 dξ + 0 ∂ ∂x x U (Q)(x - ξ)α-1 dξ = ϕ(x), 0 где 0 < α, β < 1. На линии сингулярности коэффициентов уравнения η = ξ заданы условия сопряжения, которые непрерывны относительно искомого решения и его нормальной производной. Поставленная задача сводится к системе интегральных уравнений Вольтерры с несверточными операторами: x N1 (s)(x - s)δ-10F 1 δ; λs(x - s) ds+ 0 x N2 (s)(x - s)ε-10F 1 ε; λs(x - s) ds = Φ(x), + 0 x N1 (s)(x - s)-ε0F 1 1 - ε; λs(x - s) ds+ 0 x + N2 (s)(x - s)-δ0F 1 1 - δ; λs(x - s) ds = Ψ(x). 0 Здесь ∞ 0F 1 (α; z) = n=0 270 zn (α)n n! и 0 < δ < ε < 1. Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера-Дарбу Получено единственное решение системы в классе функций, непрерывных на полуинтервале [0, +∞), при некоторых ограничениях, налагаемых на заданные функции φ(x), ψ(x). Единственность решения задачи S (2) вытекает из единственности решения задачи Коши, взятого за основу, а также единственности решения системы интегральных уравнений, к которым свелась задача. Существование решения доказано проверкой. Благодарности. Авторы выражают благодарность редакции и рецензентам за ценные замечания, которые позволили улучшить содержание статьи.

About the authors

Irina N Rodionova

Samara National Research University

(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Mikhail V Dolgopolov

Samara National Research University

Email: volopoglodahsim@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; volopoglodahsim@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of General and Theoretical Physics; Lab. of Mathematical Physics. 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Vyacheslav M Dolgopolov

Samara National Research University

Email: paskal1940@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; paskal1940@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files