A problem with nonlocal integral condition of the second kind for one-dimensional hyperbolic equation

Full Text

Задача с нелокальным интегральным условием . . . 1. Постановка задачи. В области QT = (0, l) × (0, T ), l, T < ∞, рассмотрим уравнение utt - a(x, t)ux x + c(x, t)u = f (x, t) (1) и поставим задачу с нелокальным интегральным условием второго рода. Задача 1. Найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, (2) а также условиям ux (0, t) = 0, l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx = 0. (3) (4) 0 В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач, в том числе задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений. Отметим как наиболее близкие к тематике данного исследования статьи [1-11], в которых разработаны некоторые методы исследования разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями. Выбор конкретного метода обусловлен видом нелокальных условий. В нашем случае можно применить как метод вспомогательных задач [3], так и метод сведения к задаче с классическими краевыми условиями, но для нагруженного уравнения [4]. Мы предлагаем в этой статье другой подход, позволяющий воспользоваться идеей метода компактности [12], который зарекомендовал себя как эффективный метод обоснования разрешимости как начально-краевых задач [13], так и нелокальных [10]. Исследования задач с нелокальными интегральными условиями показали их связь с другими неклассическими задачами, в частности, с задачами с динамическими краевыми условиями. Один из вариантов такой связи демонстрируется в предлагаемой статье. Динамические граничные условия, содержащие значения вторых производных по переменной времени, возникают, например, при исследовании колебаний стержня при упругом закреплении, если к концам пружины прикреплен груз [14, 15], при изучении нестационарных внутренних волн в неоднородной или во вращающейся и стратифицированной жидкости [16, 17]. К динамическим условиям можно прийти и в результате формальных преобразований при переходе от интегральных условий первого рода к условиям второго рода [11]. 2. Эквивалентность нелокальных условий. Начнем изучение поставленной задачи с доказательства утверждения, которое и обнаруживает связь условия (4) с динамическим условием. ¯ T ) удовлетворяет уравнению (1) и условиям Теорема 1. Если u ∈ C 2 (Q 2 1 (2), (3), K ∈ C (0, l) ∩ C [0, l], K(l) = 0, то условие (4) эквивалентно динамическому граничному условию 277 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. K(l)a(l, t)ux (l, t) - K (l)a(l, t)u(l, t) + K (0)a(0, t)u(0, t) + utt (l, t)+ l + H(x, t)u(x, t)dx = g(t), (5) 0 где обозначено l H(x, t) = K (x)a(x, t) - c(x, t)K(x), x g(t) = - K(x)f (x, t)dx. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнены условия теоремы 1 и функция u(x, t) удовлетворяет условию (4). Дифференцируя (4) дважды по t, получим l utt (l, t) + K(x)utt (x, t)dx = 0, 0 откуда в силу предположений о выполнении условий теоремы следует равенство l K(x) (aux )x - cu + f dx = 0. utt (l, t) + 0 Интегрируя первое слагаемое интегрального члена и применяя условия теоремы 1, приходим к (5). Предположим теперь, что выполнены условия теоремы, но функция u(x, t) удовлетворяет условию (5). После интегрирования одного слагаемого интегрального члена и очевидных преобразований приходим к равенству l utt (l, t) + K(x)utt (x, t)dx = 0, 0 которое может быть записано в виде l d2 u(l, t) + dt2 K(x)u(x, t)dx = 0. 0 В силу условий (2) получаем соотношения l u(l, 0) + l K(x)u(x, 0)dx = 0, 0 ut (l, 0) + K(x)ut (x, 0)dx = 0 0 и приходим к задаче Коши относительно функции l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx, 0 которая имеет единственное решение. Стало быть, l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx = 0, 0 278 Задача с нелокальным интегральным условием . . . что означает выполнение условия (4). Доказанное в теореме 1 утверждение позволяет перейти от задачи 1 к задаче с динамическим граничным условием. Задача 2. Найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) и (5). Поясним смысл перехода от задачи 1 к задаче 2. Заметим, что условие (5) в отличие от условия (4) содержит в качестве внеинтегрального члена значение выводящей производной искомой функции на x = l, а именно ux (l, t), что и позволит нам воспользоваться основными идеями метода компактности. Это становится видно на первом шаге доказательства разрешимости задачи в процессе вывода интегрального тождества, на котором и базируется определение решения. Действительно, применяя стандартную процедуру [13], получим в результате интегрирования уравнения (1) равенство T l -ut vt + aux vx + cuv dxdt - 0 0 - 1 K(l) 1 K(l) T ut (l, t)vt (l, t)dt- 0 T l v(l, t) γ(l, t)u(l, t) - γ(0, t)u(0, t) + 0 H(x, t)u(x, t)dx dt = 0 T l f vdxdt - = 0 0 1 K(l) T l v(l, t) 0 Kf dxdt, (6) 0 где γ(x, t) = K(x)a(x, t). Обозначим следующие область и классы: Γl = {(x, t) : x = l, t ∈ [0, T ]}, W (QT ) = {u(x, t) : u ∈ W21 (QT ), ux (0, t) = 0, ut ∈ L2 (Γl )}, ˆ (QT ) = {v(x, t) : v(x, t) ∈ W21 (QT ), v(x, T ) = 0}. W Определение. Обобщенным решением задачи 2 будем называть функцию u(x, t) ∈ W (QT ), удовлетворяющую условиям (2) и тождеству (6) для любой ˆ (QT ). v(x, t) ∈ W 3. Разрешимость задачи 2. Разрешимость задачи 2 декларируется следующим утверждением. Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия: ¯ T ), at ∈ C(Q ¯ T ), a(x, t) > 0, c ∈ C(Q ¯ T ), f ∈ L2 (QT ), (i) a ∈ C(Q 2 1 (ii) K ∈ C (0, l) ∩ C [0, l], K(l) > 0. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность решения. Предположим, что существует два различных решения этой задачи: u1 (x, t) и u2 (x, t). Тогда их разность u(x, t) = u1 (x, t) - - u2 (x, t) удовлетворяет условию u(x, 0) = 0 и тождеству 279 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. T l -ut vt + aux vx + cuv dxdt - 0 0 - 1 K(l) T 1 K(l) ut (l, t)vt (l, t)dt- 0 T l v(l, t) γ(l)u(l, t) - γ(0)u(0, l) + 0 H(x, t)u(x, t)dx dt = 0. (7) 0 Выберем в тождестве (7) функцию v(x, t), положив  t  u(x, η)dη, 0 t τ, v(x, t) = τ  0, τ t T, где τ ∈ [0, T ] выбирается произвольно. Элементарные преобразования тождества (7) с выбранной указанным образом функцией v(x, t) приводят к равенству l 1 2 u2 (x, τ ) + a(x, 0)v 2 (x, 0) dx + 0 τ l = cuv dxdt + 0 0 1 K(l) + 1 u2 (l, τ ) = 2K(l) K (l) Kx (l)a(l, 0) 2 v (l, 0) + 2K(l) 2K(l) τ l v(l, t) Hu dxdt + 0 0 K (0) K(l) τ τ at (l, t)v 2 (l, t)dt+ 0 a(0, t)u(0, t)v(l, t)dt. (8) 0 Оценим правую часть последнего равенства. Рассмотрим сначала последнее слагаемое и, прежде чем сделать оценку, проинтегрируем его, заметив при этом, что u = vt , v(x, τ ) = 0: τ τ a(0, t)vt (0, t)v(l, t)dt = - a(0, t)v(0, t)vt (l, t)dt- 0 0 τ - at (0, t)v(0, t)v(l, t)dt - a(0,0)v(0, 0)v(l, 0). 0 Теперь оценим каждое из трех слагаемых, полученных в результате интегрирования. Заметим, что из условий теоремы следует существование чисел k1 , c0 , a1 , h0 таких, что max |c(x, t)| ¯T Q max |a(x, t), at (x, t)| c0 , ¯T Q a1 , l max |K(x), K (x)| [0,T ] k1 , H 2 (x, t)dx max [0,T ] h0 . 0 Тогда, применяя неравенство Коши, получим τ a(0, t)v(0, t)u(l, t)dt 0 τ at (0, t)v(0, t)v(l, t)dt 0 280 a1 2 a1 2 τ v 2 (0, t) + u2 (l, t) dt; 0 τ v 2 (0, t) + v 2 (l, t) dt; 0 Задача с нелокальным интегральным условием . . . 1 2 v (0, 0) + v 2 (l, 0) . 2 v(0, 0)v(l, 0) Для дальнейшей оценки нам понадобятся неравенства, которые играют ту же роль, что и известное неравенство для следов [13, с. 77] l v 2 (si , t) l vx2 (x, t)dx + c(ε) ε 0 v 2 (x, t)dx, 0 l 2 l 2 vx2 (x, t)dx + v (x, t)dx, v 2 (si , t) 2l l 0 0 s1 = 0, s2 = l, t ∈ [0, T ], и в нашем частном случае прямоугольной области легко выводятся из представлений si vξ (ξ, t)dξ + v(x, t). v(si , t) = x Также мы будем пользоваться неравенством, вытекающим из вида выбранной функции v(x, t) : τ v 2 (x, t) u2 (x, t)dt. τ 0 Оценив теперь каждое из слагаемых правой части (8), получим l u2 (x, τ ) + a(x, 0)vx2 (x, 0) dx + 0 τ 1 2 u (l, τ ) K(l) τ l u2 + vx2 dxdt+ M1 0 0 K (0) + K (l) u2 (l, t)dt + a1 ε K(l) + M2 0 l vx2 (x, 0)dx, (9) 0 где числа M1 , M2 зависят только от c0 , c1 , k1 , h0 . Пусть a(x, t) a0 > 0. Если K (0) + K (l) = 0, выберем ε так, чтобы a0 - K (0) + K (l) a1 ε > 0, K(l) и перенесем интеграл K (0) + K (l) a1 ε K(l) l vx2 (x, 0)dx 0 в левую часть (9). Для определенности будем считать, что a0 - K (0) + K (l) a1 ε K(l) a0 . 2 Тогда приходим к неравенству l u2 (x, τ ) + 0 a0 2 1 2 vx (x, 0) dx + u (l, τ ) 2 K(l) 281 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. τ l τ u2 + vx2 dxdt + M2 M1 0 0 u2 (l, t)dt. (10) 0 Заметим, что в случае K (0) + K (l) = 0 мы придем к неравенству (10) с той лишь разницей, что в левой части его вместо a0 /2 будет a0 . Введем функцию t ux (x, η)dη. w(x, t) = 0 Тогда, как нетрудно видеть, vx (x, t) = w(x, t) - w(x, τ ), vx (x, 0) = -w(x, τ ). Введенная таким образом функция w(x, t) позволяет получить неравенство для одного из слагаемых правой части (10): τ l τ l vx2 (x, t)dxdt = 0 0 2 w(x, t) - w(x, τ ) dxdt 0 0 τ l l w2 (x, t)dxdt + 2τ 2 0 0 w2 (x, τ )dx. 0 Пользуясь произволом, выберем τ так, чтобы a0 - 2M1 τ 2 a0 . 4 Если τ ∈ [0, a0 /(8M1 )], то это неравенство выполнено и можно перенести интеграл l w2 (x, τ )dx 2M1 τ 0 в левую часть (10). После всех сделанных оценок и преобразований из (10) получаем неравенство l u2 (x, τ ) + w2 (x, τ ) dx + m0 0 1 2 u (l, τ ) K(l) τ l τ u2 + w2 dxdt + M2 2M1 0 0 u2 (l, t)dt, 0 где m0 = min{1, a0 /4}, к которому можно применить неравенство Гронуолла, что моментально влечет выполнение равенства u(x, τ ) = 0 для всех τ ∈ [0, a0 /(8M1 )]. Повторяя рассуждения для τ ∈ [a0 /(8M1 ), a0 /(4M1 )] и продолжая этот процесс, мы за конечное число шагов убедимся в том, что u(x, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ], что и приводит к противоречию с предположением о существовании более одного решения. Существование решения. Доказательство существования обобщенного решения проведем по следующей схеме: 282 Задача с нелокальным интегральным условием . . . - построим последовательность приближенных решений; - выведем априорную оценку; - покажем, что полученная оценка позволяет выделить слабо сходящуюся подпоследовательность; - убедимся в том, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое решение. Перейдем к реализации нашего плана. Пусть функции wk (x) ∈ C 2 [0, l], wk (0) = 0, образуют линейно независимую и полную в W21 (0, l) систему. Будем искать приближенное решение задачи в виде m um (x, t) = ck (t)wk (x) k=1 из соотношений l m m (um tt wk + aux wk + cu wk )dx+ 0 + wk (l) m utt (l, t) - γ(l)um (l, t) + γ(0)um (0, l) + K(l) l f (x, t)wk (x)dx - = 0 wk (l) K(l) l H(x, t)um (x, t)dx = 0 l K(x, t)f (x, t)dxdt. (11) 0 Дополнив соотношения (11), которые представляют собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ck (t), начальными условиями ck (0) = 0, ck (0) = 0, приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (11), разрешимость которой гарантирована условиями теоремы. Прежде всего покажем, что система (11) разрешима относительно старших производных. Запишем ее в виде m m Akj (t)ck (t) + r=1 Bkj (t)ck (t) = fj (t), k=1 l Akj (t) = wk (x)wj (x)dx + 0 1 wk (l)wj (l), K(l) l Bkj (t) = a(x, t)wk (x)wj (x) + c(x, t)wk (x)wj (x) dx+ 0 + 1 K (l)a(l, t)wk (l)wj (l) - K (0)a(0, t)wk (0)wj (l)+ K(l) l + wj (l) H(x, t)wk (x)dx . 0 283 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. Рассмотрим квадратичную форму с коэффициентами Akj : m l q= |z(x)|2 dx + Akl ξk ξl = 0 k,l=1 где 1 |z(l)|2 K(l) 0, m z= ξi wi (x), i=1 причем равенство нулю возможно лишь при z = 0. Так как функции wi (x) линейно независимы, z = 0 только в том случае, когда ξi = 0 ∀i = 1, . . . , m. Стало быть, квадратичная форма q, а с ней и матрица из коэффициентов при старших производных системы (11), положительно определена, что и означает разрешимость системы относительно старших производных. В силу условий теоремы коэффициенты системы ограничены, а свободные члены fj ∈ L1 (0, T ). Таким образом, мы приходим к выводу о существовании решения задачи Коши для системы (11), причем ck ∈ L1 (0, T ). Это, в свою очередь, означает, что последовательность приближенных решений построена. Для дальнейших шагов в доказательстве существования обобщенного решения поставленной задачи нам потребуется априорная оценка, к выводу которой мы и перейдем. Умножим каждое из равенств (11) на cj (t), просуммируем по j от 1 до m, а затем проинтегрируем от 0 до τ , в результате чего придем к равенству τ l m m m m m um tt ut + aux uxt + cu ut dxdt+ 0 0 + τ 1 K(l) m m m um t (l, t) utt (l, t) - γ(l)u (l, t) + γ(0)u (0, t)+ 0 l H(x, t)um (x, t)dx dt = + 0 τ l f (x, t)um t (x, t)dxdt - = 0 0 1 K(l) τ l um (l, t) 0 K(x)f (x, t)dxdt. (12) 0 Интегрируя по частям, преобразуем равенство (12). Получим 1 2 l 2 m 2 (um t ) + a(ux ) t=τ 0 τ dx + l cum um t dxdt + =- 0 τ 0 l 2 at (um x ) dxdt - + 0 0 τ 1 K(l) 0 = um (0, t)um t (l, t)dt+ 0 τ l um t (l, t) Hum dxdt+ 0 0 f um t dxdt - 0 2 τ γ(l) K(l) l + 284 1 um (l, τ ) 2K(l) t 1 K(l) τ l um t (l, t) 0 0 Kf dxdt. (13) Задача с нелокальным интегральным условием . . . Применяя неравенства Коши, Коши-Буняковского, очевидное неравенство um (x, τ ) τ 2 2 um t (x, t) dt τ 0 и условия теоремы, с помощью той же техники, что и при доказательстве единственности решения, из (13) получим неравенство l 2 m 2 (um )2 + (um t ) + (ux ) t=τ 0 τ dx + 1 (um (l, τ ))2 K(l) t l 2 m 2 (um )2 + (um t ) + (ux ) dxdt+ M3 0 0 τ τ 2 l f 2 dxdt, um t (l, t) dt + M5 + M4 0 0 0 где Mi зависят лишь от постоянных c0 , k0 , c1 , a0 , a1 , h0 и не зависят от m. Из этого неравенства, справедливого для любого m, в силу леммы Гронуолла вытекает априорная оценка um 2 W21 (QT ) + um t 2 L2 (Γl ) R. Стало быть, из построенной последовательности {um (x, t)} приближенных решений можно выделить слабо сходящуюся в W (QT ) подпоследовательность, за которой во избежание громоздкой записи сохраним прежнее обозначение. Покажем теперь, что предел выделенной подпоследовательности u∈W (QT ) и есть искомое приближенное решение. Умножим каждое из равенств (11) на dj ∈ C 1 (0, T ), dj (T ) = 0, просуммируем по l от 1 до m, а затем проинтегрируем от 0 до T . После интегрирования первого слагаемого полученного равенства по частям и введения обозначения m η(x, t) = dj (t)wj (x) j=1 получим T l m m -um t ηt + aux ηx + cu η dxdt - 0 - 0 1 K(l) 1 K(l) T ut (l, t)ηt (l, t)dt- 0 T l η(l, t) γ(l, t)um (l, t) - γ(0, t)um (0, t) + 0 T l f ηdxdt - = 0 0 1 K(l) H(x, t)um (x, t)dx dt = 0 T l η(l, t) 0 Kf dxdt. (14) 0 Совокупность функций вида m dj (t)wj (x) j=1 285 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. обозначим Nm . Зафиксируем произвольно функцию η(x, t) из какого-либо множества Nmi . В (14) можно перейти к пределу при m → ∞ в силу обоснованной выше слабой сходимости выделенной подпоследовательности. В результате мы приходим к тождеству (6) для предельной функции u ∈ W (QT ), справедливому для произвольной функции η ∈ Nmi . Так как ∞ Nm m=1 ˆ , полученное в результате предельного перехода тождество выплотно в W ˆ (QT ), что и завершает доказательство полняется для любой функции из W существования обобщенного решения задачи 2. Продифференцируем соотношение (11) по t, а затем умножим на ck (t), просуммируем по k = 1, . . . , m и проинтегрируем по t ∈ (0, τ ). В результате получим τ l m m m m m um ttt utt + auxt uxtt + cut utt dxdt+ 0 0 τ l m m m at um x uxtt + ct u utt dxdt+ + 0 1 + K(l) 0 τ um tt (l, t) 0 τ l um tt (l, t) + m m um ttt (l, t) - γ(l)ut (l, t) + γ(0)ut (0, t) dt+ 0 τ Hum t dxdt + 0 l um tt (l, t) 0 τ l = 0 0 1 f um tt dxdt - K(l) Ht um dxdt = 0 τ l um tt (l, t) (Kf )t dxdt. 0 0 Применяя ту же технику, что приведена выше, получим вторую априорную оценку: utt L2 (QT ) P1 , uxt L2 (QT ) P2 , utt L2 (0,T ) P3 , c помощью которой можно показать, следуя [13] и учитывая условия теоремы, существование производной uxx , причем uxx ∈ L2 (QT ). Таким образом, u ∈ W22 . Тогда уже нетрудно показать, проделав интегрирование по частям в тождестве (6), что решение задачи 2 является и решением задачи 1.

About the authors

Ludmila S Pulkina

Samara National Research University

Email: louise@samdiff.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; louise@samdiff.ru), Professor, Dept. Of Mathematical Physics Equations 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Alesya E Savenkova

Samara State Technical University

Email: alesya.savenkova@mail.ru
(alesya.savenkova@mail.ru; Corresponding Author), Assistant, Dept. of Mathematics and Applied Informatics 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files