A problem with nonlocal integral condition of the second kind for one-dimensional hyperbolic equation

Abstract


In this paper, we consider a problem for a one-dimensional hyperbolic equation with nonlocal integral condition of the second kind. Uniqueness and existence of a generalized solution are proved. In order to prove this statement we suggest a new approach. The main idea of it is that given nonlocal integral condition is equivalent with a different condition, nonlocal as well but this new condition enables us to derive a priori estimates of a required solution in Sobolev space. By means of derived estimates we show that a sequence of approximate solutions constructed by Galerkin procedure is bounded in Sobolev space. This fact implies the existence of weakly convergent subsequence. Finally, we show that the limit of extracted subsequence is the required solution to the problem.

Full Text

Задача с нелокальным интегральным условием . . . 1. Постановка задачи. В области QT = (0, l) × (0, T ), l, T < ∞, рассмотрим уравнение utt - a(x, t)ux x + c(x, t)u = f (x, t) (1) и поставим задачу с нелокальным интегральным условием второго рода. Задача 1. Найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, (2) а также условиям ux (0, t) = 0, l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx = 0. (3) (4) 0 В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных изучению нелокальных задач, в том числе задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений. Отметим как наиболее близкие к тематике данного исследования статьи [1-11], в которых разработаны некоторые методы исследования разрешимости задач с нелокальными интегральными условиями. Выбор конкретного метода обусловлен видом нелокальных условий. В нашем случае можно применить как метод вспомогательных задач [3], так и метод сведения к задаче с классическими краевыми условиями, но для нагруженного уравнения [4]. Мы предлагаем в этой статье другой подход, позволяющий воспользоваться идеей метода компактности [12], который зарекомендовал себя как эффективный метод обоснования разрешимости как начально-краевых задач [13], так и нелокальных [10]. Исследования задач с нелокальными интегральными условиями показали их связь с другими неклассическими задачами, в частности, с задачами с динамическими краевыми условиями. Один из вариантов такой связи демонстрируется в предлагаемой статье. Динамические граничные условия, содержащие значения вторых производных по переменной времени, возникают, например, при исследовании колебаний стержня при упругом закреплении, если к концам пружины прикреплен груз [14, 15], при изучении нестационарных внутренних волн в неоднородной или во вращающейся и стратифицированной жидкости [16, 17]. К динамическим условиям можно прийти и в результате формальных преобразований при переходе от интегральных условий первого рода к условиям второго рода [11]. 2. Эквивалентность нелокальных условий. Начнем изучение поставленной задачи с доказательства утверждения, которое и обнаруживает связь условия (4) с динамическим условием. ¯ T ) удовлетворяет уравнению (1) и условиям Теорема 1. Если u ∈ C 2 (Q 2 1 (2), (3), K ∈ C (0, l) ∩ C [0, l], K(l) = 0, то условие (4) эквивалентно динамическому граничному условию 277 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. K(l)a(l, t)ux (l, t) - K (l)a(l, t)u(l, t) + K (0)a(0, t)u(0, t) + utt (l, t)+ l + H(x, t)u(x, t)dx = g(t), (5) 0 где обозначено l H(x, t) = K (x)a(x, t) - c(x, t)K(x), x g(t) = - K(x)f (x, t)dx. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнены условия теоремы 1 и функция u(x, t) удовлетворяет условию (4). Дифференцируя (4) дважды по t, получим l utt (l, t) + K(x)utt (x, t)dx = 0, 0 откуда в силу предположений о выполнении условий теоремы следует равенство l K(x) (aux )x - cu + f dx = 0. utt (l, t) + 0 Интегрируя первое слагаемое интегрального члена и применяя условия теоремы 1, приходим к (5). Предположим теперь, что выполнены условия теоремы, но функция u(x, t) удовлетворяет условию (5). После интегрирования одного слагаемого интегрального члена и очевидных преобразований приходим к равенству l utt (l, t) + K(x)utt (x, t)dx = 0, 0 которое может быть записано в виде l d2 u(l, t) + dt2 K(x)u(x, t)dx = 0. 0 В силу условий (2) получаем соотношения l u(l, 0) + l K(x)u(x, 0)dx = 0, 0 ut (l, 0) + K(x)ut (x, 0)dx = 0 0 и приходим к задаче Коши относительно функции l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx, 0 которая имеет единственное решение. Стало быть, l u(l, t) + K(x)u(x, t)dx = 0, 0 278 Задача с нелокальным интегральным условием . . . что означает выполнение условия (4). Доказанное в теореме 1 утверждение позволяет перейти от задачи 1 к задаче с динамическим граничным условием. Задача 2. Найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3) и (5). Поясним смысл перехода от задачи 1 к задаче 2. Заметим, что условие (5) в отличие от условия (4) содержит в качестве внеинтегрального члена значение выводящей производной искомой функции на x = l, а именно ux (l, t), что и позволит нам воспользоваться основными идеями метода компактности. Это становится видно на первом шаге доказательства разрешимости задачи в процессе вывода интегрального тождества, на котором и базируется определение решения. Действительно, применяя стандартную процедуру [13], получим в результате интегрирования уравнения (1) равенство T l -ut vt + aux vx + cuv dxdt - 0 0 - 1 K(l) 1 K(l) T ut (l, t)vt (l, t)dt- 0 T l v(l, t) γ(l, t)u(l, t) - γ(0, t)u(0, t) + 0 H(x, t)u(x, t)dx dt = 0 T l f vdxdt - = 0 0 1 K(l) T l v(l, t) 0 Kf dxdt, (6) 0 где γ(x, t) = K(x)a(x, t). Обозначим следующие область и классы: Γl = {(x, t) : x = l, t ∈ [0, T ]}, W (QT ) = {u(x, t) : u ∈ W21 (QT ), ux (0, t) = 0, ut ∈ L2 (Γl )}, ˆ (QT ) = {v(x, t) : v(x, t) ∈ W21 (QT ), v(x, T ) = 0}. W Определение. Обобщенным решением задачи 2 будем называть функцию u(x, t) ∈ W (QT ), удовлетворяющую условиям (2) и тождеству (6) для любой ˆ (QT ). v(x, t) ∈ W 3. Разрешимость задачи 2. Разрешимость задачи 2 декларируется следующим утверждением. Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия: ¯ T ), at ∈ C(Q ¯ T ), a(x, t) > 0, c ∈ C(Q ¯ T ), f ∈ L2 (QT ), (i) a ∈ C(Q 2 1 (ii) K ∈ C (0, l) ∩ C [0, l], K(l) > 0. Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 2. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность решения. Предположим, что существует два различных решения этой задачи: u1 (x, t) и u2 (x, t). Тогда их разность u(x, t) = u1 (x, t) - - u2 (x, t) удовлетворяет условию u(x, 0) = 0 и тождеству 279 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. T l -ut vt + aux vx + cuv dxdt - 0 0 - 1 K(l) T 1 K(l) ut (l, t)vt (l, t)dt- 0 T l v(l, t) γ(l)u(l, t) - γ(0)u(0, l) + 0 H(x, t)u(x, t)dx dt = 0. (7) 0 Выберем в тождестве (7) функцию v(x, t), положив  t  u(x, η)dη, 0 t τ, v(x, t) = τ  0, τ t T, где τ ∈ [0, T ] выбирается произвольно. Элементарные преобразования тождества (7) с выбранной указанным образом функцией v(x, t) приводят к равенству l 1 2 u2 (x, τ ) + a(x, 0)v 2 (x, 0) dx + 0 τ l = cuv dxdt + 0 0 1 K(l) + 1 u2 (l, τ ) = 2K(l) K (l) Kx (l)a(l, 0) 2 v (l, 0) + 2K(l) 2K(l) τ l v(l, t) Hu dxdt + 0 0 K (0) K(l) τ τ at (l, t)v 2 (l, t)dt+ 0 a(0, t)u(0, t)v(l, t)dt. (8) 0 Оценим правую часть последнего равенства. Рассмотрим сначала последнее слагаемое и, прежде чем сделать оценку, проинтегрируем его, заметив при этом, что u = vt , v(x, τ ) = 0: τ τ a(0, t)vt (0, t)v(l, t)dt = - a(0, t)v(0, t)vt (l, t)dt- 0 0 τ - at (0, t)v(0, t)v(l, t)dt - a(0,0)v(0, 0)v(l, 0). 0 Теперь оценим каждое из трех слагаемых, полученных в результате интегрирования. Заметим, что из условий теоремы следует существование чисел k1 , c0 , a1 , h0 таких, что max |c(x, t)| ¯T Q max |a(x, t), at (x, t)| c0 , ¯T Q a1 , l max |K(x), K (x)| [0,T ] k1 , H 2 (x, t)dx max [0,T ] h0 . 0 Тогда, применяя неравенство Коши, получим τ a(0, t)v(0, t)u(l, t)dt 0 τ at (0, t)v(0, t)v(l, t)dt 0 280 a1 2 a1 2 τ v 2 (0, t) + u2 (l, t) dt; 0 τ v 2 (0, t) + v 2 (l, t) dt; 0 Задача с нелокальным интегральным условием . . . 1 2 v (0, 0) + v 2 (l, 0) . 2 v(0, 0)v(l, 0) Для дальнейшей оценки нам понадобятся неравенства, которые играют ту же роль, что и известное неравенство для следов [13, с. 77] l v 2 (si , t) l vx2 (x, t)dx + c(ε) ε 0 v 2 (x, t)dx, 0 l 2 l 2 vx2 (x, t)dx + v (x, t)dx, v 2 (si , t) 2l l 0 0 s1 = 0, s2 = l, t ∈ [0, T ], и в нашем частном случае прямоугольной области легко выводятся из представлений si vξ (ξ, t)dξ + v(x, t). v(si , t) = x Также мы будем пользоваться неравенством, вытекающим из вида выбранной функции v(x, t) : τ v 2 (x, t) u2 (x, t)dt. τ 0 Оценив теперь каждое из слагаемых правой части (8), получим l u2 (x, τ ) + a(x, 0)vx2 (x, 0) dx + 0 τ 1 2 u (l, τ ) K(l) τ l u2 + vx2 dxdt+ M1 0 0 K (0) + K (l) u2 (l, t)dt + a1 ε K(l) + M2 0 l vx2 (x, 0)dx, (9) 0 где числа M1 , M2 зависят только от c0 , c1 , k1 , h0 . Пусть a(x, t) a0 > 0. Если K (0) + K (l) = 0, выберем ε так, чтобы a0 - K (0) + K (l) a1 ε > 0, K(l) и перенесем интеграл K (0) + K (l) a1 ε K(l) l vx2 (x, 0)dx 0 в левую часть (9). Для определенности будем считать, что a0 - K (0) + K (l) a1 ε K(l) a0 . 2 Тогда приходим к неравенству l u2 (x, τ ) + 0 a0 2 1 2 vx (x, 0) dx + u (l, τ ) 2 K(l) 281 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. τ l τ u2 + vx2 dxdt + M2 M1 0 0 u2 (l, t)dt. (10) 0 Заметим, что в случае K (0) + K (l) = 0 мы придем к неравенству (10) с той лишь разницей, что в левой части его вместо a0 /2 будет a0 . Введем функцию t ux (x, η)dη. w(x, t) = 0 Тогда, как нетрудно видеть, vx (x, t) = w(x, t) - w(x, τ ), vx (x, 0) = -w(x, τ ). Введенная таким образом функция w(x, t) позволяет получить неравенство для одного из слагаемых правой части (10): τ l τ l vx2 (x, t)dxdt = 0 0 2 w(x, t) - w(x, τ ) dxdt 0 0 τ l l w2 (x, t)dxdt + 2τ 2 0 0 w2 (x, τ )dx. 0 Пользуясь произволом, выберем τ так, чтобы a0 - 2M1 τ 2 a0 . 4 Если τ ∈ [0, a0 /(8M1 )], то это неравенство выполнено и можно перенести интеграл l w2 (x, τ )dx 2M1 τ 0 в левую часть (10). После всех сделанных оценок и преобразований из (10) получаем неравенство l u2 (x, τ ) + w2 (x, τ ) dx + m0 0 1 2 u (l, τ ) K(l) τ l τ u2 + w2 dxdt + M2 2M1 0 0 u2 (l, t)dt, 0 где m0 = min{1, a0 /4}, к которому можно применить неравенство Гронуолла, что моментально влечет выполнение равенства u(x, τ ) = 0 для всех τ ∈ [0, a0 /(8M1 )]. Повторяя рассуждения для τ ∈ [a0 /(8M1 ), a0 /(4M1 )] и продолжая этот процесс, мы за конечное число шагов убедимся в том, что u(x, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ], что и приводит к противоречию с предположением о существовании более одного решения. Существование решения. Доказательство существования обобщенного решения проведем по следующей схеме: 282 Задача с нелокальным интегральным условием . . . - построим последовательность приближенных решений; - выведем априорную оценку; - покажем, что полученная оценка позволяет выделить слабо сходящуюся подпоследовательность; - убедимся в том, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое решение. Перейдем к реализации нашего плана. Пусть функции wk (x) ∈ C 2 [0, l], wk (0) = 0, образуют линейно независимую и полную в W21 (0, l) систему. Будем искать приближенное решение задачи в виде m um (x, t) = ck (t)wk (x) k=1 из соотношений l m m (um tt wk + aux wk + cu wk )dx+ 0 + wk (l) m utt (l, t) - γ(l)um (l, t) + γ(0)um (0, l) + K(l) l f (x, t)wk (x)dx - = 0 wk (l) K(l) l H(x, t)um (x, t)dx = 0 l K(x, t)f (x, t)dxdt. (11) 0 Дополнив соотношения (11), которые представляют собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ck (t), начальными условиями ck (0) = 0, ck (0) = 0, приходим к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (11), разрешимость которой гарантирована условиями теоремы. Прежде всего покажем, что система (11) разрешима относительно старших производных. Запишем ее в виде m m Akj (t)ck (t) + r=1 Bkj (t)ck (t) = fj (t), k=1 l Akj (t) = wk (x)wj (x)dx + 0 1 wk (l)wj (l), K(l) l Bkj (t) = a(x, t)wk (x)wj (x) + c(x, t)wk (x)wj (x) dx+ 0 + 1 K (l)a(l, t)wk (l)wj (l) - K (0)a(0, t)wk (0)wj (l)+ K(l) l + wj (l) H(x, t)wk (x)dx . 0 283 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. Рассмотрим квадратичную форму с коэффициентами Akj : m l q= |z(x)|2 dx + Akl ξk ξl = 0 k,l=1 где 1 |z(l)|2 K(l) 0, m z= ξi wi (x), i=1 причем равенство нулю возможно лишь при z = 0. Так как функции wi (x) линейно независимы, z = 0 только в том случае, когда ξi = 0 ∀i = 1, . . . , m. Стало быть, квадратичная форма q, а с ней и матрица из коэффициентов при старших производных системы (11), положительно определена, что и означает разрешимость системы относительно старших производных. В силу условий теоремы коэффициенты системы ограничены, а свободные члены fj ∈ L1 (0, T ). Таким образом, мы приходим к выводу о существовании решения задачи Коши для системы (11), причем ck ∈ L1 (0, T ). Это, в свою очередь, означает, что последовательность приближенных решений построена. Для дальнейших шагов в доказательстве существования обобщенного решения поставленной задачи нам потребуется априорная оценка, к выводу которой мы и перейдем. Умножим каждое из равенств (11) на cj (t), просуммируем по j от 1 до m, а затем проинтегрируем от 0 до τ , в результате чего придем к равенству τ l m m m m m um tt ut + aux uxt + cu ut dxdt+ 0 0 + τ 1 K(l) m m m um t (l, t) utt (l, t) - γ(l)u (l, t) + γ(0)u (0, t)+ 0 l H(x, t)um (x, t)dx dt = + 0 τ l f (x, t)um t (x, t)dxdt - = 0 0 1 K(l) τ l um (l, t) 0 K(x)f (x, t)dxdt. (12) 0 Интегрируя по частям, преобразуем равенство (12). Получим 1 2 l 2 m 2 (um t ) + a(ux ) t=τ 0 τ dx + l cum um t dxdt + =- 0 τ 0 l 2 at (um x ) dxdt - + 0 0 τ 1 K(l) 0 = um (0, t)um t (l, t)dt+ 0 τ l um t (l, t) Hum dxdt+ 0 0 f um t dxdt - 0 2 τ γ(l) K(l) l + 284 1 um (l, τ ) 2K(l) t 1 K(l) τ l um t (l, t) 0 0 Kf dxdt. (13) Задача с нелокальным интегральным условием . . . Применяя неравенства Коши, Коши-Буняковского, очевидное неравенство um (x, τ ) τ 2 2 um t (x, t) dt τ 0 и условия теоремы, с помощью той же техники, что и при доказательстве единственности решения, из (13) получим неравенство l 2 m 2 (um )2 + (um t ) + (ux ) t=τ 0 τ dx + 1 (um (l, τ ))2 K(l) t l 2 m 2 (um )2 + (um t ) + (ux ) dxdt+ M3 0 0 τ τ 2 l f 2 dxdt, um t (l, t) dt + M5 + M4 0 0 0 где Mi зависят лишь от постоянных c0 , k0 , c1 , a0 , a1 , h0 и не зависят от m. Из этого неравенства, справедливого для любого m, в силу леммы Гронуолла вытекает априорная оценка um 2 W21 (QT ) + um t 2 L2 (Γl ) R. Стало быть, из построенной последовательности {um (x, t)} приближенных решений можно выделить слабо сходящуюся в W (QT ) подпоследовательность, за которой во избежание громоздкой записи сохраним прежнее обозначение. Покажем теперь, что предел выделенной подпоследовательности u∈W (QT ) и есть искомое приближенное решение. Умножим каждое из равенств (11) на dj ∈ C 1 (0, T ), dj (T ) = 0, просуммируем по l от 1 до m, а затем проинтегрируем от 0 до T . После интегрирования первого слагаемого полученного равенства по частям и введения обозначения m η(x, t) = dj (t)wj (x) j=1 получим T l m m -um t ηt + aux ηx + cu η dxdt - 0 - 0 1 K(l) 1 K(l) T ut (l, t)ηt (l, t)dt- 0 T l η(l, t) γ(l, t)um (l, t) - γ(0, t)um (0, t) + 0 T l f ηdxdt - = 0 0 1 K(l) H(x, t)um (x, t)dx dt = 0 T l η(l, t) 0 Kf dxdt. (14) 0 Совокупность функций вида m dj (t)wj (x) j=1 285 П у л ь к и н а Л. С., С а в е н к о в а А. Е. обозначим Nm . Зафиксируем произвольно функцию η(x, t) из какого-либо множества Nmi . В (14) можно перейти к пределу при m → ∞ в силу обоснованной выше слабой сходимости выделенной подпоследовательности. В результате мы приходим к тождеству (6) для предельной функции u ∈ W (QT ), справедливому для произвольной функции η ∈ Nmi . Так как ∞ Nm m=1 ˆ , полученное в результате предельного перехода тождество выплотно в W ˆ (QT ), что и завершает доказательство полняется для любой функции из W существования обобщенного решения задачи 2. Продифференцируем соотношение (11) по t, а затем умножим на ck (t), просуммируем по k = 1, . . . , m и проинтегрируем по t ∈ (0, τ ). В результате получим τ l m m m m m um ttt utt + auxt uxtt + cut utt dxdt+ 0 0 τ l m m m at um x uxtt + ct u utt dxdt+ + 0 1 + K(l) 0 τ um tt (l, t) 0 τ l um tt (l, t) + m m um ttt (l, t) - γ(l)ut (l, t) + γ(0)ut (0, t) dt+ 0 τ Hum t dxdt + 0 l um tt (l, t) 0 τ l = 0 0 1 f um tt dxdt - K(l) Ht um dxdt = 0 τ l um tt (l, t) (Kf )t dxdt. 0 0 Применяя ту же технику, что приведена выше, получим вторую априорную оценку: utt L2 (QT ) P1 , uxt L2 (QT ) P2 , utt L2 (0,T ) P3 , c помощью которой можно показать, следуя [13] и учитывая условия теоремы, существование производной uxx , причем uxx ∈ L2 (QT ). Таким образом, u ∈ W22 . Тогда уже нетрудно показать, проделав интегрирование по частям в тождестве (6), что решение задачи 2 является и решением задачи 1.

About the authors

Ludmila S Pulkina

Samara National Research University

Email: louise@samdiff.ru
34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.; louise@samdiff.ru), Professor, Dept. Of Mathematical Physics Equations

Alesya E Savenkova

Samara State Technical University

Email: alesya.savenkova@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(alesya.savenkova@mail.ru; Corresponding Author), Assistant, Dept. of Mathematics and Applied Informatics

References

  1. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование, 2000. Т. 12, № 1. С. 94-103.
  2. Bouziani A. On the solvability of a nonlocal problems arising in dynamics of moisture transfer // Georgian Mathematical Journal, 2003. vol. 10, no. 4. pp. 607-622. doi: 10.1515/GMJ.2003.607.
  3. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.
  4. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Диффер. уравн., 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.
  5. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 288 с.
  6. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2006. № 2(42). С. 15-27.
  7. Стригун М. В. Об одной нелокальной задаче с интегральным граничным условием для гиперболического уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. Сер., 2009. № 8(74). С. 78-87.
  8. Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential equations // Bull. Georg. Natl. Acad. Sci., 2011. vol. 5, no. 1. pp. 31-37.
  9. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Матем., 2012. № 4. С. 74-83.
  10. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарский университет, 2012. 194 с.
  11. Pulkina L. S. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations // EJDE, 2014. vol. 2014, no. 116. pp. 1-9.
  12. Lions J. L. Quelques m´ethodes de r´esolution des probl`emes aux limites non linéaires [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems] / Etudes mathematiques. Paris: Dunod, 1969. xx+554 pp. (In French)
  13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 402 с.
  14. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с.
  15. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДАН, 2007. Т. 417, № 1. С. 56-61.
  16. Doronin G. G., Lar'kin N. A., Souza A. J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping // EJDE, 1998. vol. 1998, no. 28. pp. 1-10.
  17. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с.

Statistics

Views

Abstract - 24

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies