On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data

Full Text

Введение. В этой работе мы продолжим исследование стабилизации решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных на примере так называемой дискретной модели Карлемана кинетического уравнения Больцмана [1-10]. В работе [9] были получены труднопроверяемые условия существования глобального решения без установления скорости стабилизации и структуры решения для больших значений t 1. Последнее важно с точки зрения гипотезы Буслаева-Пелермана-Комеча [11, 12]: на больших временах решения задачи Коши с ограниченной энергией распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающую дисперсионную волну. Для общих гиперболических уравнений в частных производных рассматривались начальные данные с компактным носителем и убывание решения доказывалось на фиксированном компакте. Но такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений [11-14]. В данной статье исследуется одномерная система уравнений для дискретной модели газа (система уравнений Карлемана). Доказывается существование глобального решения задачи Коши для возмущения состояния равновесия с периодическими начальными данными. Впервые устанавливается скорость стабилизации к состоянию равновесия (экспоненциальная стабилизация). 1. Постановка задачи. Рассмотрим модель Карлемана 1 ∂t u + ∂x u = - (u2 - w2 ), ε 1 2 ∂t w - ∂x w = (u - w2 ), ε x ∈ R, t > 0, (1) которая описывает одноатомный газ с двумя частицами с соответствующими плотностями u = u(x, t), w = w(x, t). При этом одна из них имеет скорость c = 1, другая c = -1. Задача. Необходимо найти периодическое по x решение u(x, t), w(x, t) задачи Коши для системы уравнений Карлемана (1). 2. Фурье-решение (локальное равновесие для уравнения Карлемана). Мы исследуем задачу Коши (1) для малых возмущений состояния равновесия ue = we > 0 системы (1). Положим u = ue + we1/2 ε2 u, w = we + we1/2 ε2 w. Тогда 1 ∂t u + ∂x u - 2we (w - u) = -εwe1/2 (u + w)(u - w), x ∈ R, t > 0, ε 1 ∂t w - ∂x w + 2we (w - u) = εwe1/2 (u + w)(u - w), ε u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 . Для периодических решений с нулевыми средними uk (t)eikx , u(t, x) = u0 (t) + k∈Z0 8 wk (t)eikx , w(t, x) = w0 (t) + k∈Z0 (2) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . 1 (R ; H ), L (R ; H ), Z0 = {k ∈ Z, k = 0}, введем весовые пространства W2,γ + σ 2,γ + σ Hσ со следующими нормами: u 1 (R ;H ) W2,γ σ + d u dt = ∞ u 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) + u L2,γ (R+ ;Hσ-1 ) ∞ 2γt 2 e2γt |u0 (t)| dt + = 0 |||u0 |||2Hσ = u|t=0 |k|2σ |uk (t)|2 dt, e 0 2 Hσ L2,γ (R+ ;Hσ ) , k∈Z0 |k|2σ |u0k |2 . = |u00 |2 + k∈Z0 Целью этой статьи является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Существуют постоянные γ = εµ0 > 0, µ0 = O(1), q ∈ (0, 1) такие, что для периодических начальных данных (u0 , w0 ) с нулевыми средними и ограниченной нормой ε2 q |||u0 |||Hσ + |||w0 |||Hσ 1 (R ; H ) задачи для σ > 3/2 существует глобальное решение (u, w) ∈ W2,γ + σ Коши (2). Отсюда следует принцип локального равновесия с экспоненциальной стабилизацией к состоянию равновесия. В [7] получена система ОДУ для так называемого обобщенного Фурье-решения задачи Коши (2), т. е. получена система ОДУ для коэффициентов Фурье {u0 , w0 , uk , wk , k ∈ Z0 }: t uk = -wk + (u0k + wk0 )e-ikt + 2ik eik(s-t) wk ds, u0 = -w0 , 0 wk = wk0 e(ik-4we /ε)t + yk , k ∈ Z0 . Предполагаем, что средние u00 = 1 2π 2π u0 (x)dx = 0, w00 = 0 1 2π 2π w0 (x)dx = 0. 0 В [7] доказывается, что для yk имеет место бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) d 1 1 yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe dt ε ε + fk (t)e Здесь -4we t/ε Tkadd (y) - оператор t + 0 1/2 εwe yk t=0 1 eik(s-t) yk ds = we1/2 Dk e-ikt + ε 2Lk (y) + 4Bk (y, y) - εwe1/2 Tkadd (y), (3) = 0, k ∈ Z0 . возмущения базовой системы d 1 1 t ik(s-t) yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe e yk ds = dt ε ε 0 1 = we1/2 Dk e-ikt + fk (t)e-4we t/ε + εwe1/2 2Lk (y) + 4Bk (y, y) , (4) ε yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 . 9 Д у х н о в с к и й C. А. Функции Dk , fk (t), Lk (y), Bk (y, y), Tkadd (y) определены в [4, 7]. 3. Конечная аппроксимация. Для построения аппроксимационного решения задачи Коши (2) в [7] вводится конечная аппроксимация бесконечной системы (4): (m) Tk 1 (m) 1 t ik(s-t) (m) d (m) (m) yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe e yk ds = dt ε ε 0 1 (m) (m) = we1/2 Dk e-ikt + fk (t)e-4we t/ε + ε (m) (m) + εwe1/2 2Lk (y (m) ) + 4Bk (y (m) , y (m) ) , (5) (m) (yk ) = (m) yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 , |k| m. Из классических результатов следует следующая теорема. Теорема 2. Пусть σ > 3/2, u|t=0 , w|t=0 ∈ H σ (0, 2π) и средние значения = w00 = 0. Пусть m ∈ N фиксировано. Тогда существует T ∗ > 0, возможно, зависящее от m, такое что усеченная система (5) имеет единственное решение на интервале [0, T ∗ ]. u00 Ниже мы докажем, что T ∗ = ∞ и определяемое Фурье-решением решение задачи Коши экспоненциально быстро стремится к состоянию равновесия. 1/2 В правой части (5) появляются секулярные члены we 1ε Dk e-ikt , не принад(m) лежащие L2,γ (R+ ). Введем векторное пространство Q(m) = (Qk , |k| (m) k = 0) ∈ Hσ с нормой (m) |||Q(m)|||2 (m) = Hσ m, |k|2σ |Qk |2 . k, |k| m,k=0 Решение системы (5) будем искать в виде (m) yk (m) (m) Qm ∈ Hσ(m) , (m) где x(m) = (xk , |k| x(m) (m) = Qk Tk-1 (e-ikt ) + Tk-1 (zk ), zk |t=0 = 0, 1 Z (m) ∈ W2,γ (R+ ; Hσ(m) ), (m) m, k = 0), Z (m) = (zk , |k| 1 (R ;H(m) ) W2,γ + σ = d (m) x dt (m) L2,γ (R+ ;Hσ-1 ) m, k = 0), а нормы + x(m) ∞ x(m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 0 ) , (m) e2γt = (m) L2,γ (R+ ;Hσ |k|2σ |xk (t)|2 dt. k, |k| m,k=0 В [7] доказано существование γ = O(ε) > 0 такого, что для любого k ∈ Z0 существует единственное решение задачи Коши Tk (xk ) = e-ikt , 10 xk t=0 = 0, О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . 1 (R ). Такое решение будем обозначать через принадлежащее xk (t) ∈ W2,γ + -1 -ikt xk (t) = Tk (e ). Также единственное решение задачи Коши Tk (xk ) = zk , xk |t=0 = 0, zk (t) ∈ L2,γ (R+ ), 1 (R ), будем обозначать через x (t) = T -1 (z ). xk (t) ∈ W2,γ + k k k (m) В переменных (zk , Qk ) (см. [7]) система (5) при выполнении условия секулярности 1 (m) (m) (m) we1/2 Dk - Qk + εwe1/2 Sk (Q(m) ) = 0, ε запишется в виде (m) zk (m) = fk |k| = 1, 2, . . . , m, (t) + εwe1/2 gkL (t) e-4we t/ε + (m) -1 + εwe1/2 2(HkL (t) + 4HkB (t) + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + (m) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) + 2Lk (m) Tk-1 (zk ) . (6) В итоге получаем систему в гильбертовом пространстве L2,γ (R+ ). 4. Нелинейное уравнение в банаховом пространстве L2,γ(R+ ;H(m) σ ). Теперь докажем теорему существования и единственности решения нелинейного уравнения (6). Для доказательства нам понадобятся следующие оценки (m) (m) (см. [22]) линеаризованного оператора Tk-1 (zk ) в L2,γ (R+ ; Hσ ). 1 Лемма 1. Пусть 0 < µ0 < 4w . Тогда существует c0 > 0, не зависящая e от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z0 и T -1 (Z (m) ) Более того, для p p -εµ0 , µ0 > 0, имеем 1 c0 Z (m) ε (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (7) -εµ0 , µ0 > 0, имеем 1 d -1 (m) T (Z ) |k| dt 1 c0 Z (m) ε2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (8) Теперь положим Ik (Tk-1 (zk )) = -4iwe t 0 eik(s-t) Tk-1 (zk )ds, I(T -1 (Z)) = Ik (Tk-1 (zk )), k ∈ Z0 , I(T -1 (Z)) = kIk (Tk-1 (zk )), k ∈ Z0 . Лемма 2. Существует c1 > 0, не зависящая от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z и p -εµ0 , µ0 > 0, имеем I(T -1 (Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 c1 Z (m) ε (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (9) 11 Д у х н о в с к и й C. А. В то же время I(T -1 (Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ c1 Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Далее определим класс решений следующей задачи Коши: (m) Tk (zk ) = 1 (m) d (m) (m) z - ikzk + 4we zk - dt k ε 1 t ik(s-t) (m) - 4ikwe e zk ds = e-ikt , ε 0 (m) zk (10) = 0. t=0 Лемма 3. Существует c2 > 0, не зависящая от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z0 и p -γ, γ = εµ0 , µ0 > 0, решение задачи Коши (10) Z (m) = {Tk-1 (e-ikt ), k ∈ Z0 }: Tk-1 (e-ikt ) ∈ L2,γ (R+ ), γ = εµ0 , Z (m) √ c2 ε, ∀k ∈ Z0 . L2,γ (R+ ) (m) (m) Более того, для любой Q(m) = {Qk , k ∈ Z0 } ∈ Hσ функция Z Q (m) {Qk Tk-1 (e-ikt ), k ∈ Z0 }: ZQ ZQ (m) (m) d Q(m) Z dt L2,γ (R+ = 1 ∈ H2,γ (R+ ; Hσ(m) ), √ ε c2 |||Q(m) |||H(m) , (m) ;H ) σ σ 1 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ε3/2 ) c2 |||Q(m) |||H(m) . σ (m) Перепишем нелинейное уравнение в гильбертовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) в более компактном виде: (m) zk (m) = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) (m) -1 + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + 2Lk (m) + 4Bk (m) Tk-1 (zk ) + (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) . (11) Здесь Z (m) , G (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ(m) ), (m) Z (m) (t) = (zk (t), |k| m, k = 0), (m) F (m) (t) = (Fk (m) Fk 12 (m) (t) = fk F (m) ∈ L∞ (R+ ; Hσ(m) ); (m) G (m) (t) = (Gk (t), |k| (t), |k| (t) + 2εwe1/2 gkL (t), (m) m, k = 0); m, k = 0); Gk (t) = 2 HkL (t) + 2HkB (t) ; О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) fk (t) = 2ik 0 1 ikt 1 we wk ε e + (ik - 2we ε ) + 4εwe1/2 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ik2 1 w0 eik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 1 ik1 w0 (e(ik1 -4we /ε)t - e-ik1 t ) - wk01 e(ik1 -4we /ε)t - 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 1 ik1 - w0 e-ik2 t eik1 t w0 - wk01 + 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 w0 eik2 t + + 2εwe1/2 (u0k1 + wk01 )e-ik1 t 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 × k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m + gkL (t) = k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m 1 ik1 w0 - wk01 eik1 t (u0k2 + wk02 )e-ik2 t , 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 w0 eik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 ε (m) -ik1 t ε (m) Qk1 e Q + 4we 4we k1 1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 ε 1 ε (m) -ik2 t ε (m) Qk2 e Q + - + 4we 4we k2 1 + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) ε 2 × - HkB (t) = - k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m d -1 -ik1 t T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t )+ 1 dt k1 (m) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 1 d -1 -ik2 t T (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t )+ 2 dt k2 1 ik1 w0 eik1 t - wk01 eik1 t 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 , ε (m) -ik2 t Q e × 4we k2 ε (m) d -1 -ik1 t 1 Qk1 Tk1 (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 4we dt ε 1 ε (m) -ik1 t ε (m) d -1 -ik2 t (m) Q e Q T (e - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) + - )- 1 4we k1 4we k2 dt k2 1 - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 2 ε 2 ε (m) d -1 -ik2 t 1 + Q T (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) × 2 4we k2 dt k2 ε 2 ε (m) d -1 -ik1 t × Q T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t )+ 1 4we k1 dt k1 1 (m) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) 1 ε 1 × , 13 Д у х н о в с к и й C. А. HkL (t) = - k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m 1 ik2 w0 e-ik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 ε (m) d -1 -ik1 t 1 Qk1 Tk1 (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 4we dt ε 1 × (m) (e-ik1 t ) + - Qk1 Tk-1 1 1 ε (m) d -1 -ik2 t Qk2 Tk2 (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) × 2 4we dt ε 2 1 ik1 × - w0 e-ik1 t + 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 ε (m) d -1 -ik2 t Q T (e )- + (u0k1 + wk01 )e-ik1 t 4we k2 dt k2 + k1 + k2 = k, |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m + ε (m) Q 4we k1 1 - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) + 2 ε 2 1 d -1 -ik1 t T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 dt k1 ε 1 (m) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) (u0k2 + wk02 )e-ik2 t . 1 5. Оценки правой части нелинейного уравнения (11). Для доказательства вышеуказанных теорем необходимы оценки каждого слагаемого в правой части нелинейного уравнения (11). Лемма 4. Для σ > 3/2 справедливы следующие оценки: εwe1/2 B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 ε3/2 (m) εwe1/2 Lk (Tk-1 (Z (m) )) c25,σ Z (m) (12) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c6,σ Z (m) σ εwe1/2 B(Tk-1 (Z (m) ), Q(m) Tk-1 (e-ikt )) σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ εwe1/2 B(Q(m) Tk-1 (e-ikt ), Tk-1 (Z (m) )) (m) L2,γ (R+ ;Hσ (m) ) (m) ) (m) ) L2,γ (R+ ;Hσ , (13) ) 1 |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c7,σ Z (m) σ σ ε L2,γ (R+ ;Hσ , (14) ) 1 |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c7,σ Z (m) σ σ ε 14 2 (m) , L2,γ (R+ ;Hσ ) L2,γ (R+ ;Hσ , (15) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с оценки билинейной формы: 2 (m) = L2,γ (R+ ;Hσ ) t (m) (zk2 )ds× ik2 eik2 (s-t) Tk-1 2 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m J1 = ε2 we B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) = t × ik1 0 (m) 2 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds - Tk-1 (zk1 ) 1 1 . (16) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Распишем (16) по определению нормы: ∞ J1 = ε2 we t e2γt sup |k|2σ k∈Z0 0 eik2 (s-t) × ik2 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t (m) × Tk-1 (zk2 )ds ik1 2 0 0 (m) (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds - Tk-1 (zk1 ) 1 1 2 dt. Вносим супремум под знак суммы. Здесь пользуемся тем,что σ |k1 | + |k2 | cσ |k1 |σ + |k2 |σ , где cσ = 2σ-1 . Тогда оценка перепишется в виде ∞ J1 ε2 we c2σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t × t × ik1 0 (m) (|k2 |σ zk2 )ds× eik2 (s-t) Tk-1 2 sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m ik2 × |k2 |σ 0 (m) (m) 2 eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds - Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 1 ∞ + ε2 we c2σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t × sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m ik2 0 (m) t 0 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds 1 ∞ e2γt 0 k1 × |k1 |σ eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds× 2 × i + ε2 we c2σ dt+ k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m 2 dt+ k1 × |k1 |σ 15 Д у х н о в с к и й C. А. t × sup ik2 k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 (m) (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds 2 Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 2 dt. k1 Обозначим интегралы через t Ak2 (t) = i 0 t Ak1 (t) = ik1 0 (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds, 2 (m) (m) eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds - Tk-1 (|k1 |σ zk1 ), 1 1 t Bk2 (t) = ik2 0 t Bk1 (t) = i 0 (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds, 2 (m) (|k1 |σ zk1 )ds. eik1 (s-t) Tk-1 1 С учетом вышеуказанных обозначений получаем следующую оценку: ∞ ε2 we c2σ J1 k2 |k2 |σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ∞ + ε2 we c2σ k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ∞ +ε 2 we c2σ e 2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m k1 ∈ Z0 , |k1 | m k1 |k1 |σ e2γt 0 2 sup k1 |k1 |σ Ak2 Ak1 dt+ 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m Bk2 Bk1 dt+ (m) sup Bk2 k2 ∈ Z0 , |k2 | m (|k1 |σ zk1 ) Tk-1 1 k1 2 dt. Для вычисления выносим супремум выражений по переменной t для того, чтобы получить подынтегральное выражение, не зависящее от соответствующих k1 или k2 , при этом знак суммы можно вынести из-под знака интеграла. Следует учесть, что ряды ∞ c1 = k1 =1 k12 < ∞, |k1 |2σ c2 = k2 =1 k22 <∞ |k2 |2σ сходятся при 2σ - 2 > 1, σ > 3/2, а также, что k1 |k1 |σ k1 = k - k2 , k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m 2 ∞ k1 =1 k1 |k1 |σ 2 . Тогда оценка J1 примет следующий вид: J1 16 ε 2 we c2σ ∞ 2 sup sup t k 2 ∈ Z0 , |k2 | m 2γt Ak2 e 0 2 sup k 1 ∈ Z0 , |k1 | m ∞ Ak1 dt k2 =1 k22 + (17) |k2 |2σ О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . +ε 2 we c2σ ∞ 2 sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 e k2 ∈ Z0 , |k2 | m (m) t sup 0 Tk-1 (k1σ zk1 ) 1 +ε2 we c2σ sup sup k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk2 dt k1 =1 ∞ 2 ∞ 2 2γt ∞ 2 e2γt sup Bk2 dt k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 k12 + (18) |k1 |2σ k1 =1 k12 . (19) |k1 |2σ Остается вычислить супремумы: sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 t 2 = sup sup t i k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 (m) 2 eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds . 2 Умножим подынтегральное выражение на e-γt и eγt : sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 t = sup t sup i k2 ∈ Z0 , |k2 | m ik2 (s-t) -γt γt e e e 0 (m) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds 2 2 . Положим (m) X1 (m) = Tk-1 (zk1 ), |k1 | 1 (m) m, k1 = 0 , (m) = Tk-1 (zk2 ), |k2 | m, k2 = 0 , 2 1 -1 (m) (m) T (z ), |k1 | m, k1 = 0 , X3 = k1 k 1 k 1 1 d -1 (m) (m) T (z ), |k1 | m, k1 = 0 . X4 = k1 dt k1 k1 X2 Воспользуемся неравенством Гельдера, тогда sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 ∞ sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m 1/2 ∞ e-2γt 0 0 (m) 1/2 2 e2γt Tk-1 (|k2 |σ zk2 ) ds 2 = 1 (m) X 2γ 2 2 = 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Воспользуемся оценкой нормы (7) и фактом, что γ = εµ0 : sup sup t k 2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 c1 1 c2 Z (m) ε ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (20) Далее 17 Д у х н о в с к и й C. А. ∞ 2 e2γt N1 = sup Ak1 dt = k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 ∞ t e2γt = 0 + |k1 |2σ ik1 sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m ∞ 2γt 0 e (m) sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 = I(T -1 (Z (m) ) 2 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds dt+ 1 2 |k1 |2σ Tk-1 (zk1 ) dt = 1 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) + X1 (21) Первую норму (21) оцениваем согласно формуле (9), а другую с помощью (7): 1 2 (m) c Z ε2 3 N1 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) (22) Таким образом, оценка для слагаемого (17) принимает вид ∞ ε2 we c2σ 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ε2 we c2σ c1 1 c2 Z (m) ε ε 2 k2 |k2 |σ e2γt sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Ak2 Ak1 dt 2 1 c2 Z (m) L (R ;H(m) ) = + 2,γ σ ε 1 = 3 c3,σ Z (m) L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε 4 . Аналогично оцениваем слагаемое (18). Здесь пользуемся оценками (20), (22): sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 ∞ e2γt 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 c1 1 c2 ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε ε 2 Bk2 dt 2 1 c2 ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε , 2 . Отсюда следует ε2 we c2σ sup t sup k 1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 ∞ 2 e2γt 0 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m ∞ Bk2 dt k1 =1 k12 |k1 |2σ 1 c3,σ ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε3 Для слагаемого (19) супремум оценивается следующим образом: 18 4 . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) N2 = sup Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 sup t 2 = k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m (m) -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 t = sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 t 2 sup t sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m (m) (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) ds. ds k1 k1 0 Используя неравенство Гельдера, получим (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 ∞ N2 sup 2 k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 1/2 2 × ds (m) ∞ × sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 ∞ 2 1/2 . e2γt , ∀t > 0. Значит, последнее неравенство можно перепи- Заметим, что 1 сать в виде N2 -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 2γs sup e k1 ∈ Z0 , |k1 | m sup (m) e2γs sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 (m) L2,γ (R+ ;Hσ Поскольку мы рассматриваем задачу при |k| = ) X4 (m) L2,γ (R+ ;Hσ X4 L2,γ (R+ ;Hσ,m ) ) . 1, можно записать (m) (m) X1 1/2 (m) (m) = X3 N2 × ds -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 ∞ × k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 1/2 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Воспользуемся оценками (7), (8): N2 1 c3 Z (m) ) ε3 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) (23) В итоге мы получаем следующую оценку: (m) ε 2 we c2σ sup sup t k 1 ∈ Z0 , |k1 | m Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 k1 ∞ 2 2γt e 0 2 ∞ sup Bk2 dt k2 ∈ Z0 , |k2 | m k1 =1 k12 |k1 |2σ 19 Д у х н о в с к и й C. А. 1 4 c4,σ ||Z (m) )||L (R ;H(m) ) . 3 + 2,γ σ ε Таким образом, доказали, что B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) 1 4 c Z (m) ε3 5,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 4 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Аналогично проводятся оценки для других выражений в правой части нелинейного уравнения (11). Лемма 4 доказана. 6. Существование решения нелинейного уравнения. Решение нелинейного уравнения (11) будем находить последовательностью итераций X (j) = (j) = (Xk , 1 |k| m): (j) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) + εwe1/2 Bk (j-1) Tk-1 (Xk (j-1) -1 + 4LB k Tk (Xk (0) (j-1) ), Tk-1 (Xk (m) ) + 2Lk (m) Xk = e-4we t/ε Fk ) + (j-1) Tk-1 (Xk ) , j 1, (24) (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Здесь (m) Fk (m) (t) = fk (t) + 2εwe1/2 gkL (t), (m) Gk (t) = 2 HkL (t) + 2HkB (t) . Далее будет доказано, что последовательность итераций X (j) является фундаментальной и ее предел является решением нелинейного уравнения (11) (m) в весовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ). Обозначим (m) Fk (m) = e-4we t/ε Fk (m) F (m) = Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t), (t), |k| m, k = 0 . Сформулируем теорему существования решения нелинейного уравнения (11) (m) в L2,γ (R+ ; Hσ ). Теорема 3. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε и выполняется неравенство Z (m) 20 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1-q q2 , (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . q2 ∈ (0, 1) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Здесь q определяется на основании нижеследующей теоремы 4. 7. Ограниченность последовательности итераций. Начнем с дока(j) зательства ограниченности последовательности итераций Xk нелинейного уравнения (11). Теорема 4. Пусть σ > 3/2 и существует q ∈ (0, 1), не зависящее от m, p, ε, такое, что 1 ε3/2 1 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε Тогда для любого j q ∈ (0, 1). q, 1 справедлива оценка X (j) (m) L2,γ (R+ ;Hσ 1 F (m) 1-q ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (m) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим формулу (24) в L2,γ (R+ ; Hσ ) и применим оценки выражений правой части нелинейного уравнения (11): ||X (j) ||2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) ||F (m) ||2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ + c24,σ Положим X 2 = max1 j N ) + 1 2 c ||X (j-1) ||2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 (|||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) ) Hσ Hσ ε2 X (j) X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) X 2, выполняется оценка X2 F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 1 2 c X 2 + c23,σ 4 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε3 1,σ ε X 2. Если 1 2 1 c1,σ X 2 + c24,σ 2 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) 3 Hσ Hσ ε ε то X2 q2, q ∈ (0, 1), 1 ||F (m) ||2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 - q2 (25) (26) Действительно, неравенство (26) верно, если 1 2 1 c1,σ F (m) 3 ε 1 - q2 2 2 1 (m) +c4,σ 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) ε |||u0 |||2 (m) +|||w0 |||2 (m) Hσ Hσ q 2 , q ∈ (0, 1). 21 Д у х н о в с к и й C. А. Далее, необходимо применить математическую индукцию, поскольку в этом случае справедливо (25). При j = 0 имеем X (0) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) = F (m) При j = 1: X (1) 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Пусть выполнено для j = s: X (s) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Покажем, что неравенство (26) выполняется и при j = s + 1. Имеем X (s+1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) F (m) X (0) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q2 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 - q2 + X (s) 2 2 (m) q L2,γ (R+ ;Hσ ) F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) = = 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Верно для j = s + 1. Таким образом, ограниченность нашей последовательности доказана. 8. Фундаментальность последовательности итераций. Теорема 5. Последовательность X (j) является фундаментальной в (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε q1 , q1 ∈ (0, 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим итерационную последовательность (j) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) +εwe1/2 Bk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (j-1) Tk-1 (Xk (j-1) ), Tk-1 (Xk (m) +2Lk (0) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (j-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk (j-1) Tk-1 (Xk ) , j ) + 1, (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Наряду с (24), определим последовательность с другим индексом: (s) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) +εwe1/2 Bk 22 (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (s-1) Tk-1 (Xk (s-1) ), Tk-1 (Xk (s-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk ) + О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) (s-1) Tk-1 (Xk +2Lk (0) (m) Xk = e-4we t/ε Fk ) , s 1, (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Рассмотрим их разность: (j) (s) (m) (j-1) Tk-1 (Xk Xk - Xk = εwe1/2 Bk (m) + Bk (s-1) Tk-1 (Xk (j-1) (s-1) - Xk (s-1) ), Tk-1 (Xk - Xk (j-1) ), Tk-1 (Xk (j-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk (m) + 2Lk Отсюда для 1 X (j) - X (s) (j-1) Tk-1 (Xk (s-1) - Xk (s-1) - Xk ) + ) . s < j имеем 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) X (j-1) - X (s-1) + ) + 1 2 c X (s-1) ε3 1,σ 1 2 c X (j-1) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Hσ Hσ ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Если 1 2 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 c |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε2 4,σ q12 , то X (j) - X (s) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q12s X (j-s) - X (0) q12 X (j-1) - X (s-1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q12s (1 + 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 ) F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Таким образом, мы показали, что последовательность итераций X (j) является последовательностью Коши. 9. Теорема существования решения. Теорема 6. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε q2 , q2 ∈ (0, 1), для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1-q (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . 23 Д у х н о в с к и й C. А. Здесь q следует из теоремы ограниченности последовательности итераций (теорема 4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимо показать, что Z (m) = lim X (j) j→∞ (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), (m) Z (m) = (zk , |k| (m) L2,γ (R+ ; Hσ ). в m, k = 0) есть решение нелинейного уравнения (11) в Существование предела следует в силу фундаментальности последова(m) тельности итераций (24). Обозначим через M (zk ) оператор, определенный по формуле (m) (m) M (zk ) = zk (m) (m) (m) -1 -1 - εwe1/2 4LB k Tk (zk )) + 2Lk (Tk (zk ) + (m) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) (m) (m) + M1 (zk ) = Fk = zk , (27) где (m) (m) (m) (m) -1 -1 M1 (zk ) = -εwe1/2 4LB k Tk (zk )) + 2Lk (Tk (zk ) + (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) + 4Bk (j) . (m) В формуле (27) добавим и вычтем слагаемые Xk , M1 (zk ), а также воспользуемся определением, что (j) (j-1) Xk + M1 (Xk (m) ) = Fk . Тогда (m) zk (m) (j) (j-1) + M1 (zk ) = Xk + M1 (Xk (m) ) + zk (j) - Xk + (m) (j-1) + M1 (zk ) - M1 (Xk (m) ) = Fk (m) + R(zk ). (m) В весовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) получаем (m) zk (m) (m) + M1 (zk ) = Fk (m) + R(zk ). Здесь (m) (m) R(zk ) = zk (m) (j-1) M1 (zk ) - M1 (Xk (m) + Bk (j-1) Tk-1 (Xk (j) (m) (j-1) - Xk + M1 (zk ) - M1 (Xk (m) (m) ) = -εwe1/2 Bk (Tk-1 zk (m) ), Tk-1 (zk (j-1) - Xk (j-1) - Xk (m) -1 ) + 4LB k Tk (zk (m) (m) ), Tk-1 (zk ) + (j-1) - Xk (m) + 2Lk (Tk-1 zk 24 ), ) + (j-1) - Xk ) . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Покажем, что R(Z (m) ) R(Z (m) ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0. Имеем Z (m) - X (j) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Здесь Z (m) - X (j) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) →0 в силу фундаментальности последовательности итераций. Далее оценим M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) × 1 2 c Z (m) ε3 1,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + Z (m) - X (j-1) 2 (m) × L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 2 c X (j-1) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 + 2 c24,σ |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε . Исходя из теоремы 5 имеем E= 1 2 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 c |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε2 4,σ q22 , q2 ∈ (0, 1), поэтому можно записать M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q22 Z (m) - X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку Z (m) - X (j-1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0, имеем M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0. (m) (m) Получаем, что R(zk ) → 0 в L2,γ (R+ ; Hσ ). Итак, в L2,γ (R+ ; Hσ ) имеем (m) zk (m) Можно показать, что оценка для F (m) F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) c23 (m) + M1 (zk ) = Fk . 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) имеет вид 1 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) + Hσ Hσ ε 1 2 + c213,σ |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) . (28) Hσ Hσ ε С учетом (28) переформулируем теорему существования решения уравнения (24). 25 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 7. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ ε2 q 4 , σ q4 ∈ (0, 1), (29) для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ Q1,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) , σ σ ε1/2 ) где Q1,σ = 1 c2 + c213,σ ε3/2 q4 . 1-q 3 10. Единственность решения. Пусть имеется другое решение Z ∗ = {zk∗ , |k| m} нелинейного уравнения (24). Тогда получим Z ∗ - Z (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Z ∗ - Z (m) + 1 2 c Z (m) ε3 1,σ 1 2 c Z∗ 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Hσ Hσ ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Если Z∗ 2 1 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ то 1 F (m) 2 (m) , L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 - q2 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) Hσ Hσ L2,γ (R+ ;Hσ ) ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Z ∗ - Z (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q42 Z ∗ - Z (m) q42 < 1, 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку 0 < q42 < 1, отсюда следует единственность решения Z ∗ = Z (m) . 11. Существование решения нелинейного уравнения с оператором возмущения. Теперь рассмотрим нелинейное уравнение с оператором возмущения в правой части: (m) zk (m) = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) (m) -1 + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + 2Lk (m) (m) Tk-1 (zk ) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) - (m) - εwe1/2 T add Tk-1 (Qk Tk-1 (e-ikt ) + Tk-1 (zk ) Оценка оператора возмущения имеет вид (m) (m) ε2 we Tkadd (Tk-1 (zk ) + Qk Tk-1 (e-ikt )) 26 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) , (30) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . √ 3 c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) + σ σ 2 + c210,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ 1 + c211,σ σ Z (m) |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) ε1/2 σ σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ Z (m) ) + 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + c212,σ 1 (m) Z ε 3 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Перепишем теоремы 4, 5, 6 с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения. Теорема 8. Пусть σ > 3/2 и существует q ∈ (0, 1), не зависящее от m, p, ε, такое, что 1 ε c2 3/2 2,σ 1 1-q F (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ 3 + σ √ c22,σ = c21,σ + c212,σ ε 1 2 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) q, q ∈ (0, 1), σ σ ε2 4,σ √ 3 F (m) L (R ;H(m) ) + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) . Тогда для любого j 1 справедлива оценка + X (j) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2,γ 1 1-q + F (m) σ σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) σ + √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ 3 . Теорема 9. Последовательность X (j) является фундаментальной в (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 2 2 c F (m) ε3/2 1 - q 2,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) q1 , q1 ∈ (0, 1), σ σ ε2 4,σ √ 3 F (m) L (R ;H(m) ) + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) . + √ c22,σ = c21,σ + c212,σ ε 2,γ + σ σ σ Теорема 10. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 2,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ + ) + 1 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε2 4,σ q2 , q2 ∈ (0, 1), для которого выполняется неравенство 27 Д у х н о в с к и й C. А. Z (m) ||L (m) 2,γ (R+ ;Hσ ) 1 1-q F (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ 3 . (31) Применим оценку (28) к (31), чтобы переписать теорему существования решения через начальные данные с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения. Теорема 11. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если ε2 q 4 , |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ q4 ∈ (0, 1), (32) для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ где ) Q1,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) , σ σ ε1/2 1 c2 + c213,σ ε3/2 q4 + c29,σ ε5 q4 . 1-q 3 Q1,σ = 12. Аппроксимационное решение системы уравнений Карлемана. Теперь введем последовательность аппроксимационных решений: (m) (m) u(m) (x, t) = u0 (t) + uj (t)eijx , j∈Z0 ,|j| m w (m) (x, t) = (m) w0 (t) (m) + wj (t)eijx (33) j∈Z0 ,|j| m 1 (R ; W 1 (R)) периодических по x и следующее гильбертово пространство W2,γ + ∞ функций g(x, t) = gj (t)eijx j∈Z с нормой |||g(x, t)|||2W 1 = 1 2,γ (R+ ;W∞ (R)) ∞ e2γt (sup |∂t g(x, t)|)2 + (sup |∂x g(x, t)|)2 + (sup |g(x, t)|)2 dt. = 0 x∈R x∈R x∈R Лемма 5. Для σ > 3/2 справедливо следующее неравенство: |||g(x, t)|||2W 1 1 2,γ (R+ ;W∞ (R)) Cσ2 g(x, t) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, имеем 28 2 1 (R ;H ) . W2,γ σ + (34) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . sup |∂t g(x, t)| 2 x∈R 2 d 2 g0 (t) + 2 dt 2 j∈Z0 2 d d g0 (t) + 2 sup |j|2σ gj (t) dt dt j∈Z0 Положим Cσ2 2 d gj (t) dt =2 j∈Z0 1 |j|σ 2 j∈Z0 1 |j|σ 2 . 2 . Тогда ∞ 2 e2γt sup |∂t g(x, t)| dt x∈R 0 ∞ Cσ2 e2σt 0 2 d d g0 (t) + sup |j|2σ gj (t) dt dt j∈Z0 2 dt. Отсюда следует оценка (34). Ниже, в зависимости от удобства, мы будем работать в одном из гильбер1 (R ; W 1 (R)) или W 1 (R ; H ). товых пространств W2,γ + + σ ∞ 2,γ Теорема 12. Последовательность аппроксимационных решений фунда1 (R ; H ). Более того, ментальна по норме гильбертова пространства W2,γ + σ стремится к слабому решению {uj , wj } задачи Коши (2): ∞ ∞ uj -∞ 0 1 d + ij + 2we (wj - uj )- dt ε - εwe1/2 (uj1 - wj1 )(uj2 + wj2 ) ϕ(x, t)dxdt+ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 ∞ + -∞ ∞ ∞ wj 0 -∞ u0j ϕ(x, t) t=0 dx = 0, 1 d - ij - 2we (wj - uj )+ dt ε + εwe1/2 (uj1 - wj1 )(uj2 + wj2 ) ψ(x, t)dxdt+ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 ∞ + -∞ wj0 ψ(x, t) t=0 dx = 0 для любых тестовых функций ϕ, ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 29 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 13. Если (u, w) ∈ W21 (R+ × R1 ), то слабое решение становится классическим для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . 1) Итак, покажем что последовательность аппроксимационных решений 1 (R ; H ) в норме (33) фундаментальна в W2,γ + σ1 ∞ V (x, t) 2 1 (R ;H ) W2,γ σ1 + e2γt |V0 |2 dt+ = 0 ∞ + j∈Z0 e2γt |j|2σ1 |Vj (t)|2 + |j|2(σ1 -1) 0 d Vj (t) dt 2 dt. Заметим, что имеет место вложение пространства Hσ(m) ⊂ Hσ , (m) если элементы пространства Hσ (35) продолжить нулями при |j| > m. Теорема 14. Пусть σ > 3/2 и выполнено (32). Тогда последовательность (m) Z (m) = zj , |j| m, j = 0 является фундаментальной в пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) и имеет предел lim Z (m) = Z. m→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Из уравнения (11) для |j| Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 L2,γ (R+ ) e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) 2 L2,γ (R+ ) + ε2 we G (m2 ) (t) - G (m1 ) (t) -1 (m2 ) + ε 2 we 4 L B ) - Tj-1 (Z (m1 ) ) j Tj (Z (m2 ) + 4 Lj (m2 ) +16 Bj m1 имеем 2 + L2,γ (R+ ) 2 + L2,γ (R+ ) (m1 ) Tj-1 (Z (m1 ) ) (m1 ) Tj-1 (Z (m1 ) ), Tj-1 (Z (m1 ) ) Tj-1 (Z (m2 ) ) - Lj Tj-1 (Z (m2 ) ), Tj-1 (Z (m2 ) ) -Bj 2 L2,γ (R+ ) + + ε2 we Tjadd Tj-1 (Z (m2 ) ) - Tj-1 (Z (m1 ) ) 2 + L2,γ (R+ ) 2 L2,γ (R+ ) . (36) Домножим (36) на |j|2σ , а также возьмем супремум: sup |j|2σ e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) j,|j| m1 2 L2,γ (R+ ) (m2 ) c1 ε sup sup |j|2σ Fj t j,|j| m1 Для вычисления разности воспользуемся следующей леммой. 30 (m1 ) (t) - Fj 2 (t) . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Лемма 6. Пусть даны две суммы Aj1 ,j2 (t), s1 (t) = Aj1 ,j2 (t). s2 (t) = j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m1 , |j2 | m1 j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m2 , |j2 | m2 Тогда их разность при условии, что m2 > m1 , вычисляется по формуле s1 (t) - s2 (t) = Aj1 ,j2 (t). j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m2 , |j2 | m2 , max(|j1 |, |j2 |) > m1 Д о к а з а т е л ь с т в о. При вычитании индексы, ограниченные m1 , изменяются следующим образом 1) |j1 | m1 , |j2 | > m1 ; 2) |j1 | > m1 , |j2 | m1 ; 3) |j1 | > m1 , |j2 | > m2 . Отсюда получаем условие max(|j1 |, |j2 |) > m1 . Тогда (m2 ) sup sup t j∈Z0 ,|j| m1 |j|2σ Fj (m1 ) (t) - Fj (t) 2 c26,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) Hσ 2 Hσ |j2 | + c27,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) Hσ j2 ∈ Z 0 , m2 , |j2 | > m1 2 Hσ |j1 | j1 ∈ Z 0 , m2 , |j1 | > m1 c28,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) 1 |j1 |2σ 2 Hσ Hσ 1 + |j2 |2σ |j2 | j2 ∈ Z0 , m2 , |j2 | > m1 1 . |j2 |2σ Лемма 7. Имеет место следующая оценка: S= |j2 | j2 ∈ Z 0 , m2 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ csum σ 1 , m12σ-1 σ > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что S= |j2 | j2 ∈ Z0 , m2 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ ∞ m1 dx 1 1 = . 2σ-1 2σ x 2σ - 1 m1 Сумма S стремится к нулю при m1 → ∞, если σ > 1. 31 Д у х н о в с к и й C. А. Тогда c9,σ 4 q6 . m12σ-1 Аналогично оцениваются другие выражения (36). Таким образом, неравенство (36) примет следующий вид: e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 (m ) L2,γ (R+ ,Hσ 1 ) c11,σ 4 2 2 (m2 ) - Z (m1 ) 2σ-1 q6 + c12,σ q6 Z m1 2 (m ) L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) 2 (m ) . L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) Перенесем норму, стоящую справа, влево: Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 (m ) L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) c11,σ 4 q6 . m12σ-1 1 - c212,σ q62 Потребуем выполнения неравенства 1 - c212,σ q62 > 0. Для того чтобы перейти к пространству L2,γ (R+ ; Hσ ), доопределяем Z (m1 ) = 0, |j| > m1 и пользуемся (35). Тогда получаем неравенство Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) c11,σ q64 , (1 - c212,σ q62 )m2σ-1 1 которое дает фундаментальность Z (m) . Получаем существование предела в L2,γ (R+ ; Hσ ): lim Z (m) = Z. m→∞ u(m) Отсюда вытекает, что → u, w(m) → w при m → ∞. 2) Аппроксимационное решение при m → ∞ слабо стремится к решению задачи Коши (2): ∞ ∞ -∞ 0 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ =- -∞ 0 ϕ(x, t)dxdt = 1 u(m) (∂t + ∂x ) + 2we (w(m) - u(m) )- ε ∞ - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ - 0 -∞ u0 ϕ(x, t) ϕ(x, t)dxdt - -∞ t=0 dx → 1 u(∂t + ∂x ) + 2we (w - u) - εwe1/2 (u2 - w2 ) ϕ(x, t)dxdt- ε ∞ u0 ϕ(x, t) - -∞ 32 t=0 dx О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . для любой тестовой функции ϕ ∈ C0∞ (R+ × R1 ), где u = lim u(m) , w = lim w(m) m→∞ m→∞ 1 (R ; H ), W2,γ + σ в σ > 3/2. Это непосредственно вытекает из теоремы 14. Далее покажем, что нелинейная часть также слабо сходится. Имеем ∞ ∞ (u(m) )2 - (w(m) )2 ϕ(x, t)dxdt = -∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ (u(m) )2 - u2 ϕ(x, t)dxdt- (u2 - w2 )ϕ(x, t)dxdt + = -∞ 0 -∞ ∞ 0 ∞ (w(m) )2 - w2 ϕ(x, t)dxdt. (37) - -∞ 0 Обозначим ∞ ∞ (u(m) )2 - u2 ϕ(x, t)dxdt I1 = -∞ 0 ∞ ∞ (u(m) - u)ϕ(x, t) dxdt . sup sup u(m) + u t x -∞ 0 Ограниченность выражения supt supx u(m) + u вытекает из (12)-(15), (23), теорем 9 и 12. Положим ϕ(x, t) ≡ ϕ(x, t)χ(x, t), χ(x, t) ∈ C0∞ (R+ × R1 ), χ(x, t) ≡ 1 на supp ϕ(x, t). Применим неравенство Гельдера: ∞ I1 ∞ (u(m) - u)2 |χ(x, t)|2 dxdt c1 ∞ 1/2 1/2 |ϕ(x, t)|2 dxdt -∞ 0 ∞ . -∞ 0 Выносим супремум по x выражения (u(m) - u)2 . Тогда 1/2 ∞ ∞ I1 |χ(x, t)|2 dxdt sup(u(m) - u)2 c1 x∈R 0 × -∞ ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt 0 ∞ 2γt c1 e 0 (m) sup(u 2 2 - u) 1/2 ∞ × 1/4 ∞ -∞ ∞ 1/4 4 |χ(x, t)| dxdt dt x∈R 0 × -∞ ∞ 1/2 ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt × . -∞ 0 Пользуясь оценкой (34) для перехода к другой норме, получаем I1 c2,σ (u(m) - u)2 1/2 1 (R ;H ) W2,γ σ + ∞ 1/4 ∞ |χ(x, t)|4 dxdt 0 × -∞ ∞ 1/2 ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt × 0 . -∞ 33 Д у х н о в с к и й C. А. Отсюда следует, что I1 → 0, m → ∞. Так же при m → ∞ получим ∞ ∞ 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε -∞ 0 - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ =- -∞ 0 ψ(x, t)dxdt = 1 w(m) (∂t - ∂x ) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε ∞ + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ - -∞ 0 w0 ψ(x, t) ψ(x, t)dxdt - -∞ t=0 dx → 1 w(∂t - ∂x ) - 2we (w - u) + εwe1/2 (u2 - w2 ) ψ(x, t)dxdt- ε ∞ w0 ψ(x, t) - -∞ t=0 dx для любой тестовой функции ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 3) На третьем шаге надо доказать, что ∞ ∞ 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε -∞ 0 + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ 0 ∞ ϕ(x, t)dxdt → 0, m → ∞, 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε -∞ - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ψ(x, t)dxdt → 0, m → ∞. (38) Для этого подставим ряд Фурье в (38): ∞ ∞ J1 = -∞ 0 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ = 0 - -∞ d (m) 1 (m) (m) w0 + 2we (w0 - u0 )- dt ε (m) (m) εwe1/2 ψ(x, t)dxdt = (m) (m) (uj1 uj2 - wj1 wj2 ) ψ(x, t) dxdt+ j1 +j2 =0 ∞ ∞ eijx + 0 34 -∞ j∈Z0 d (m) 1 (m) (m) (m) wj - ijwj + 2we (wj - uj ) - dt ε О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) (m) (m) (m) - εwe1/2 uj1 uj2 - wj1 wj2 eijx ψ(x, t)dxdt. j1 + j2 = j, j ∈ Z0 Воспользуемся тем, что для j = 0 имеем d (m) 1 (m) (m) w0 + 2we w0 - u0 - εwe1/2 dt ε а при |j| (m) (m) (m) (m) uj1 uj2 - wj1 wj2 = 0, j1 +j2 =0 m d (m) 1 (m) (m) (m) w - ijwj + 2we wj - uj - dt j ε (m) (m) (m) (m) - εwe1/2 uj1 uj2 - wj1 wj2 = 0, |j| m. j1 + j2 = j, j ∈ Z0 Покажем, что члены ∞ ∞ d (m) 1 (m) (m) (m) wj - ijwj + 2we (wj - uj ) - dt ε eijx J2 = -∞ 0 |j|>m - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 Здесь для j ψ(x, t)dxdt → 0. m+1 ∞ ∞ (u(m) )2 - (w(m) )2 ψ(x, t)dxdt = J3 = -∞ ∞ 0 ∞ (m) (m) -∞ j + j = j, j ∈ Z , 1 2 0 |j1 | > m, |j2 | > m 0 (m) (m) uj1 uj2 - wj1 wj2 = eijx ψ(x, t)dxdt. Домножим и разделим последнее неравенство на |j1 |σ |j2 |σ . В итоге приходим к оценке |J3 |2 j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m ∞ 1 2σ |j1 | |j2 |2σ ∞ -∞ 0 ∞ ∞ + -∞ 0 (m) 2 (m) |j1 |σ |uj1 | |j2 |σ |uj2 | |ψ(x, t)|dxdt (m) + 2 (m) |j1 |σ |wj1 | |j2 |σ |wj2 | |ψ(x, t)|dxdt . Надо показать, что J3 стремится к нулю при m → ∞. Обозначим ∞ ∞ 2 σ |J4 | = |j1 | 0 -∞ (m) (m) |uj1 | |j2 |σ |uj2 | |ψ(x, t)|dxdt 2 . 35 Д у х н о в с к и й C. А. Вынесем супремум по j2 ∈ Z0 , |j2 | > m, а затем применим неравенство Гельдера. В результате получим |J4 |2 ∞ (m) sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt× |j2 |2σ |uj2 |2 -∞ 0 ∞ × sup 0 j1 ∈ Z0 , |j1 | > m (m) |j1 |2σ |uj1 |2 dt, где ∞ (m) sup j1 ∈ Z 0 , |j1 | > m 0 |j1 |2σ |uj1 |2 dt ∞ 0 (m) sup e2γt |j1 |2σ |uj1 |2 dt = u(m) j1 ∈Z0 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) . Аналогично получим следующую оценку: ∞ ∞ (m) |J5 |2 = -∞ 0 sup 2 (m) |j1 |σ |wj1 | |j2 |σ |wj2 | |ψ(x, t)|dxdt sup t∈R+ |j2 | m, j2 = 0 ∞ (m) |j2 |2σ |wj2 |2 ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt w(m) -∞ 0 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) . Суммируя результаты оценок |J4 |2 , |J5 |2 , получаем оценку |J3 |2 sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m + sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m ∞ (m) |j2 |2σ |uj2 |2 |ψ(x, t)|2 dxdt u(m) -∞ 0 ∞ (m) |j2 |2σ |wj2 |2 ∞ ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt w(m) 0 -∞ × 1 m2σ 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ < ∞. |j1 |2σ |j2 |2σ Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что имеет место равенство |j1 |2σ × |j2 |2σ = max(|j1 |, |j2 |) 2σ × |j1 |2σ |j2 |2σ Лемма 8. Следующая сумма сходится при σ > 1/2: 36 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) + min(|j1 |, |j2 |) 2σ , . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . а сумму можно переписать в следующем виде: S= j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ = |j1 |2σ |j2 |2σ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , min(|j1 |, |j2 |) > m m2σ . |j1 |2σ |j2 |2σ В этом случае m2σ S= j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , min(|j1 |, |j2 |) > m max(|j1 |, |j2 |) 2σ ∞ 1 < j1 +j2 =j,j∈Z0 2σ min(|j1 |, |j2 |) 2σ max(|j1 |, |j2 |) j1 =1 < 1 + |j1 |2σ ∞ j2 =1 1 . |j2 |2σ Поскольку в суммы входят одинаковые слагаемые, сумму S можно оценить так: ∞ 1 < ∞, S 2 |j1 |2σ j1 =1 если σ > 1/2. Из ограниченности выражений sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m и норм u(m) 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) , (m) |j2 |2σ |uj2 |2 , w(m) sup 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) J3 → 0, (m) sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m |j2 |2σ |wj2 |2 следует, что m→∞ равномерно по m. Откуда делается вывод, что предельные функции (u, w) - слабое решение задачи Коши (2): ∞ ∞ -∞ 0 1 w(∂t -∂x )ψ(x, t)-2we (w-u)ψ(x, t)+εwe1/2 (u2 - w2 )ψ(x, t) dxdt+ ε ∞ w0 ψ(x, t) + -∞ ∞ 0 ∞ -∞ t=0 dx = 0, 1 u(∂t +∂x )ϕ(x, t)+2we (w - u)ϕ(x, t)-εwe1/2 (u2 - w2 )ϕ(x, t) dxdt+ ε ∞ u0 ϕ(x, t) + -∞ t=0 dx = 0 для любых тестовых функций ϕ, ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 37 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда (u, w) ∈ W21 (R+ × R1 ) является классическим решением задачи Коши: 1 ∂t u + ∂x u - 2we (w - u) = -εwe1/2 (u + w)(u - w), x ∈ R, ε 1 ∂t w - ∂x w + 2we (w - u) = εwe1/2 (u + w)(u - w), ε u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 t > 0, для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем задачу Коши для аппроксимационного решения: 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) ) = -εwe1/2 (u(m) + w(m) )(u(m) - w(m) ), ε 1 (m) (m) ∂t w - ∂x w + 2we (w(m) - u(m) ) = εwe1/2 (u(m) + w(m) )(u(m) - w(m) ), ε u(m) |t=0 = u0 , w(m) |t=0 = w0 . Из теоремы 14 следует, что u = lim u(m) , m→∞ w = lim w(m) m→∞ в L2,γ (R+ ; Hσ ), если σ > 3/2. Аналогично доказательству, примененному при рассмотрении (37): (u(m) )2 → u2 , (w(m) )2 → w2 , m → ∞. 1 (R ; W 1 (R1 )) согласно Значит, имеет место сходимость в пространстве W2,γ + ∞ 1 1 неравенству (34). Тогда (u, w) ∈ W2 (R+ × R ) - классическое решение для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования. Благодарности. Я благодарен рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

About the authors

Sergey A Dukhnovskii

National Research Moscow State University of Civil Engineering

Email: sergeidukhnvskijj@rambler.ru
Postgraduate Student; Dept. of Applied Mathematics 26, Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation

References

Supplementary files