On a speed of solutions stabilization of the Cauchy problem for the Carleman equation with periodic initial data

Abstract


This article explores a one-dimensional system of equations for the discrete model of a gas (Carleman system of equations). The Carleman system is the Boltzmann kinetic equation of a model one-dimensional gas consisting of two particles. For this model, momentum and energy are not retained. On the example of the Carleman model, the essence of the Boltzmann equation can be clearly seen. It describes a mixture of "competing” processes: relaxation and free movement. We prove the existence of a global solution of the Cauchy problem for the perturbation of the equilibrium state with periodic initial data. For the first time we calculate the stabilization speed to the equilibrium state (exponential stabilization).

Full Text

Введение. В этой работе мы продолжим исследование стабилизации решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных на примере так называемой дискретной модели Карлемана кинетического уравнения Больцмана [1-10]. В работе [9] были получены труднопроверяемые условия существования глобального решения без установления скорости стабилизации и структуры решения для больших значений t 1. Последнее важно с точки зрения гипотезы Буслаева-Пелермана-Комеча [11, 12]: на больших временах решения задачи Коши с ограниченной энергией распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающую дисперсионную волну. Для общих гиперболических уравнений в частных производных рассматривались начальные данные с компактным носителем и убывание решения доказывалось на фиксированном компакте. Но такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений [11-14]. В данной статье исследуется одномерная система уравнений для дискретной модели газа (система уравнений Карлемана). Доказывается существование глобального решения задачи Коши для возмущения состояния равновесия с периодическими начальными данными. Впервые устанавливается скорость стабилизации к состоянию равновесия (экспоненциальная стабилизация). 1. Постановка задачи. Рассмотрим модель Карлемана 1 ∂t u + ∂x u = - (u2 - w2 ), ε 1 2 ∂t w - ∂x w = (u - w2 ), ε x ∈ R, t > 0, (1) которая описывает одноатомный газ с двумя частицами с соответствующими плотностями u = u(x, t), w = w(x, t). При этом одна из них имеет скорость c = 1, другая c = -1. Задача. Необходимо найти периодическое по x решение u(x, t), w(x, t) задачи Коши для системы уравнений Карлемана (1). 2. Фурье-решение (локальное равновесие для уравнения Карлемана). Мы исследуем задачу Коши (1) для малых возмущений состояния равновесия ue = we > 0 системы (1). Положим u = ue + we1/2 ε2 u, w = we + we1/2 ε2 w. Тогда 1 ∂t u + ∂x u - 2we (w - u) = -εwe1/2 (u + w)(u - w), x ∈ R, t > 0, ε 1 ∂t w - ∂x w + 2we (w - u) = εwe1/2 (u + w)(u - w), ε u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 . Для периодических решений с нулевыми средними uk (t)eikx , u(t, x) = u0 (t) + k∈Z0 8 wk (t)eikx , w(t, x) = w0 (t) + k∈Z0 (2) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . 1 (R ; H ), L (R ; H ), Z0 = {k ∈ Z, k = 0}, введем весовые пространства W2,γ + σ 2,γ + σ Hσ со следующими нормами: u 1 (R ;H ) W2,γ σ + d u dt = ∞ u 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) + u L2,γ (R+ ;Hσ-1 ) ∞ 2γt 2 e2γt |u0 (t)| dt + = 0 |||u0 |||2Hσ = u|t=0 |k|2σ |uk (t)|2 dt, e 0 2 Hσ L2,γ (R+ ;Hσ ) , k∈Z0 |k|2σ |u0k |2 . = |u00 |2 + k∈Z0 Целью этой статьи является доказательство следующей теоремы. Теорема 1. Существуют постоянные γ = εµ0 > 0, µ0 = O(1), q ∈ (0, 1) такие, что для периодических начальных данных (u0 , w0 ) с нулевыми средними и ограниченной нормой ε2 q |||u0 |||Hσ + |||w0 |||Hσ 1 (R ; H ) задачи для σ > 3/2 существует глобальное решение (u, w) ∈ W2,γ + σ Коши (2). Отсюда следует принцип локального равновесия с экспоненциальной стабилизацией к состоянию равновесия. В [7] получена система ОДУ для так называемого обобщенного Фурье-решения задачи Коши (2), т. е. получена система ОДУ для коэффициентов Фурье {u0 , w0 , uk , wk , k ∈ Z0 }: t uk = -wk + (u0k + wk0 )e-ikt + 2ik eik(s-t) wk ds, u0 = -w0 , 0 wk = wk0 e(ik-4we /ε)t + yk , k ∈ Z0 . Предполагаем, что средние u00 = 1 2π 2π u0 (x)dx = 0, w00 = 0 1 2π 2π w0 (x)dx = 0. 0 В [7] доказывается, что для yk имеет место бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) d 1 1 yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe dt ε ε + fk (t)e Здесь -4we t/ε Tkadd (y) - оператор t + 0 1/2 εwe yk t=0 1 eik(s-t) yk ds = we1/2 Dk e-ikt + ε 2Lk (y) + 4Bk (y, y) - εwe1/2 Tkadd (y), (3) = 0, k ∈ Z0 . возмущения базовой системы d 1 1 t ik(s-t) yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe e yk ds = dt ε ε 0 1 = we1/2 Dk e-ikt + fk (t)e-4we t/ε + εwe1/2 2Lk (y) + 4Bk (y, y) , (4) ε yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 . 9 Д у х н о в с к и й C. А. Функции Dk , fk (t), Lk (y), Bk (y, y), Tkadd (y) определены в [4, 7]. 3. Конечная аппроксимация. Для построения аппроксимационного решения задачи Коши (2) в [7] вводится конечная аппроксимация бесконечной системы (4): (m) Tk 1 (m) 1 t ik(s-t) (m) d (m) (m) yk - ikyk + 4we yk - 4ikwe e yk ds = dt ε ε 0 1 (m) (m) = we1/2 Dk e-ikt + fk (t)e-4we t/ε + ε (m) (m) + εwe1/2 2Lk (y (m) ) + 4Bk (y (m) , y (m) ) , (5) (m) (yk ) = (m) yk |t=0 = 0, k ∈ Z0 , |k| m. Из классических результатов следует следующая теорема. Теорема 2. Пусть σ > 3/2, u|t=0 , w|t=0 ∈ H σ (0, 2π) и средние значения = w00 = 0. Пусть m ∈ N фиксировано. Тогда существует T ∗ > 0, возможно, зависящее от m, такое что усеченная система (5) имеет единственное решение на интервале [0, T ∗ ]. u00 Ниже мы докажем, что T ∗ = ∞ и определяемое Фурье-решением решение задачи Коши экспоненциально быстро стремится к состоянию равновесия. 1/2 В правой части (5) появляются секулярные члены we 1ε Dk e-ikt , не принад(m) лежащие L2,γ (R+ ). Введем векторное пространство Q(m) = (Qk , |k| (m) k = 0) ∈ Hσ с нормой (m) |||Q(m)|||2 (m) = Hσ m, |k|2σ |Qk |2 . k, |k| m,k=0 Решение системы (5) будем искать в виде (m) yk (m) (m) Qm ∈ Hσ(m) , (m) где x(m) = (xk , |k| x(m) (m) = Qk Tk-1 (e-ikt ) + Tk-1 (zk ), zk |t=0 = 0, 1 Z (m) ∈ W2,γ (R+ ; Hσ(m) ), (m) m, k = 0), Z (m) = (zk , |k| 1 (R ;H(m) ) W2,γ + σ = d (m) x dt (m) L2,γ (R+ ;Hσ-1 ) m, k = 0), а нормы + x(m) ∞ x(m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 0 ) , (m) e2γt = (m) L2,γ (R+ ;Hσ |k|2σ |xk (t)|2 dt. k, |k| m,k=0 В [7] доказано существование γ = O(ε) > 0 такого, что для любого k ∈ Z0 существует единственное решение задачи Коши Tk (xk ) = e-ikt , 10 xk t=0 = 0, О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . 1 (R ). Такое решение будем обозначать через принадлежащее xk (t) ∈ W2,γ + -1 -ikt xk (t) = Tk (e ). Также единственное решение задачи Коши Tk (xk ) = zk , xk |t=0 = 0, zk (t) ∈ L2,γ (R+ ), 1 (R ), будем обозначать через x (t) = T -1 (z ). xk (t) ∈ W2,γ + k k k (m) В переменных (zk , Qk ) (см. [7]) система (5) при выполнении условия секулярности 1 (m) (m) (m) we1/2 Dk - Qk + εwe1/2 Sk (Q(m) ) = 0, ε запишется в виде (m) zk (m) = fk |k| = 1, 2, . . . , m, (t) + εwe1/2 gkL (t) e-4we t/ε + (m) -1 + εwe1/2 2(HkL (t) + 4HkB (t) + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + (m) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) + 2Lk (m) Tk-1 (zk ) . (6) В итоге получаем систему в гильбертовом пространстве L2,γ (R+ ). 4. Нелинейное уравнение в банаховом пространстве L2,γ(R+ ;H(m) σ ). Теперь докажем теорему существования и единственности решения нелинейного уравнения (6). Для доказательства нам понадобятся следующие оценки (m) (m) (см. [22]) линеаризованного оператора Tk-1 (zk ) в L2,γ (R+ ; Hσ ). 1 Лемма 1. Пусть 0 < µ0 < 4w . Тогда существует c0 > 0, не зависящая e от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z0 и T -1 (Z (m) ) Более того, для p p -εµ0 , µ0 > 0, имеем 1 c0 Z (m) ε (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (7) -εµ0 , µ0 > 0, имеем 1 d -1 (m) T (Z ) |k| dt 1 c0 Z (m) ε2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (8) Теперь положим Ik (Tk-1 (zk )) = -4iwe t 0 eik(s-t) Tk-1 (zk )ds, I(T -1 (Z)) = Ik (Tk-1 (zk )), k ∈ Z0 , I(T -1 (Z)) = kIk (Tk-1 (zk )), k ∈ Z0 . Лемма 2. Существует c1 > 0, не зависящая от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z и p -εµ0 , µ0 > 0, имеем I(T -1 (Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 c1 Z (m) ε (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (9) 11 Д у х н о в с к и й C. А. В то же время I(T -1 (Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ c1 Z (m) ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Далее определим класс решений следующей задачи Коши: (m) Tk (zk ) = 1 (m) d (m) (m) z - ikzk + 4we zk - dt k ε 1 t ik(s-t) (m) - 4ikwe e zk ds = e-ikt , ε 0 (m) zk (10) = 0. t=0 Лемма 3. Существует c2 > 0, не зависящая от ε, p, такая, что для любых k ∈ Z0 и p -γ, γ = εµ0 , µ0 > 0, решение задачи Коши (10) Z (m) = {Tk-1 (e-ikt ), k ∈ Z0 }: Tk-1 (e-ikt ) ∈ L2,γ (R+ ), γ = εµ0 , Z (m) √ c2 ε, ∀k ∈ Z0 . L2,γ (R+ ) (m) (m) Более того, для любой Q(m) = {Qk , k ∈ Z0 } ∈ Hσ функция Z Q (m) {Qk Tk-1 (e-ikt ), k ∈ Z0 }: ZQ ZQ (m) (m) d Q(m) Z dt L2,γ (R+ = 1 ∈ H2,γ (R+ ; Hσ(m) ), √ ε c2 |||Q(m) |||H(m) , (m) ;H ) σ σ 1 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ε3/2 ) c2 |||Q(m) |||H(m) . σ (m) Перепишем нелинейное уравнение в гильбертовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) в более компактном виде: (m) zk (m) = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) (m) -1 + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + 2Lk (m) + 4Bk (m) Tk-1 (zk ) + (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) . (11) Здесь Z (m) , G (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ(m) ), (m) Z (m) (t) = (zk (t), |k| m, k = 0), (m) F (m) (t) = (Fk (m) Fk 12 (m) (t) = fk F (m) ∈ L∞ (R+ ; Hσ(m) ); (m) G (m) (t) = (Gk (t), |k| (t), |k| (t) + 2εwe1/2 gkL (t), (m) m, k = 0); m, k = 0); Gk (t) = 2 HkL (t) + 2HkB (t) ; О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) fk (t) = 2ik 0 1 ikt 1 we wk ε e + (ik - 2we ε ) + 4εwe1/2 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ik2 1 w0 eik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 1 ik1 w0 (e(ik1 -4we /ε)t - e-ik1 t ) - wk01 e(ik1 -4we /ε)t - 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 1 ik1 - w0 e-ik2 t eik1 t w0 - wk01 + 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 w0 eik2 t + + 2εwe1/2 (u0k1 + wk01 )e-ik1 t 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 × k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m + gkL (t) = k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m 1 ik1 w0 - wk01 eik1 t (u0k2 + wk02 )e-ik2 t , 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 1 ik2 w0 eik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 ε (m) -ik1 t ε (m) Qk1 e Q + 4we 4we k1 1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 ε 1 ε (m) -ik2 t ε (m) Qk2 e Q + - + 4we 4we k2 1 + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) ε 2 × - HkB (t) = - k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m d -1 -ik1 t T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t )+ 1 dt k1 (m) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 1 d -1 -ik2 t T (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t )+ 2 dt k2 1 ik1 w0 eik1 t - wk01 eik1 t 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 , ε (m) -ik2 t Q e × 4we k2 ε (m) d -1 -ik1 t 1 Qk1 Tk1 (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 4we dt ε 1 ε (m) -ik1 t ε (m) d -1 -ik2 t (m) Q e Q T (e - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) + - )- 1 4we k1 4we k2 dt k2 1 - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 2 ε 2 ε (m) d -1 -ik2 t 1 + Q T (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) × 2 4we k2 dt k2 ε 2 ε (m) d -1 -ik1 t × Q T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t )+ 1 4we k1 dt k1 1 (m) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) 1 ε 1 × , 13 Д у х н о в с к и й C. А. HkL (t) = - k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m 1 ik2 w0 e-ik2 t × 2 (ik2 - 2we 1ε ) k2 ε (m) d -1 -ik1 t 1 Qk1 Tk1 (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 4we dt ε 1 × (m) (e-ik1 t ) + - Qk1 Tk-1 1 1 ε (m) d -1 -ik2 t Qk2 Tk2 (e ) - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) × 2 4we dt ε 2 1 ik1 × - w0 e-ik1 t + 2 (ik1 - 2we 1ε ) k1 ε (m) d -1 -ik2 t Q T (e )- + (u0k1 + wk01 )e-ik1 t 4we k2 dt k2 + k1 + k2 = k, |k1 |, |k2 | = 1, . . . , m + ε (m) Q 4we k1 1 - ik2 Tk-1 (e-ik2 t ) + 4we Tk-1 (e-ik2 t ) + 2 ε 2 1 d -1 -ik1 t T (e ) - ik1 Tk-1 (e-ik1 t ) + 4we Tk-1 (e-ik1 t ) - 1 dt k1 ε 1 (m) - Qk1 Tk-1 (e-ik1 t ) (u0k2 + wk02 )e-ik2 t . 1 5. Оценки правой части нелинейного уравнения (11). Для доказательства вышеуказанных теорем необходимы оценки каждого слагаемого в правой части нелинейного уравнения (11). Лемма 4. Для σ > 3/2 справедливы следующие оценки: εwe1/2 B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 ε3/2 (m) εwe1/2 Lk (Tk-1 (Z (m) )) c25,σ Z (m) (12) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c6,σ Z (m) σ εwe1/2 B(Tk-1 (Z (m) ), Q(m) Tk-1 (e-ikt )) σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ εwe1/2 B(Q(m) Tk-1 (e-ikt ), Tk-1 (Z (m) )) (m) L2,γ (R+ ;Hσ (m) ) (m) ) (m) ) L2,γ (R+ ;Hσ , (13) ) 1 |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c7,σ Z (m) σ σ ε L2,γ (R+ ;Hσ , (14) ) 1 |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) c7,σ Z (m) σ σ ε 14 2 (m) , L2,γ (R+ ;Hσ ) L2,γ (R+ ;Hσ , (15) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Д о к а з а т е л ь с т в о. Начнем с оценки билинейной формы: 2 (m) = L2,γ (R+ ;Hσ ) t (m) (zk2 )ds× ik2 eik2 (s-t) Tk-1 2 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m J1 = ε2 we B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) = t × ik1 0 (m) 2 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds - Tk-1 (zk1 ) 1 1 . (16) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Распишем (16) по определению нормы: ∞ J1 = ε2 we t e2γt sup |k|2σ k∈Z0 0 eik2 (s-t) × ik2 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t (m) × Tk-1 (zk2 )ds ik1 2 0 0 (m) (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds - Tk-1 (zk1 ) 1 1 2 dt. Вносим супремум под знак суммы. Здесь пользуемся тем,что σ |k1 | + |k2 | cσ |k1 |σ + |k2 |σ , где cσ = 2σ-1 . Тогда оценка перепишется в виде ∞ J1 ε2 we c2σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t × t × ik1 0 (m) (|k2 |σ zk2 )ds× eik2 (s-t) Tk-1 2 sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m ik2 × |k2 |σ 0 (m) (m) 2 eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds - Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 1 ∞ + ε2 we c2σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m t × sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m ik2 0 (m) t 0 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds 1 ∞ e2γt 0 k1 × |k1 |σ eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds× 2 × i + ε2 we c2σ dt+ k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m 2 dt+ k1 × |k1 |σ 15 Д у х н о в с к и й C. А. t × sup ik2 k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 (m) (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds 2 Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 2 dt. k1 Обозначим интегралы через t Ak2 (t) = i 0 t Ak1 (t) = ik1 0 (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds, 2 (m) (m) eik1 (s-t) Tk-1 (|k1 |σ zk1 )ds - Tk-1 (|k1 |σ zk1 ), 1 1 t Bk2 (t) = ik2 0 t Bk1 (t) = i 0 (m) eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds, 2 (m) (|k1 |σ zk1 )ds. eik1 (s-t) Tk-1 1 С учетом вышеуказанных обозначений получаем следующую оценку: ∞ ε2 we c2σ J1 k2 |k2 |σ e2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ∞ + ε2 we c2σ k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ∞ +ε 2 we c2σ e 2γt 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m k1 ∈ Z0 , |k1 | m k1 |k1 |σ e2γt 0 2 sup k1 |k1 |σ Ak2 Ak1 dt+ 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m Bk2 Bk1 dt+ (m) sup Bk2 k2 ∈ Z0 , |k2 | m (|k1 |σ zk1 ) Tk-1 1 k1 2 dt. Для вычисления выносим супремум выражений по переменной t для того, чтобы получить подынтегральное выражение, не зависящее от соответствующих k1 или k2 , при этом знак суммы можно вынести из-под знака интеграла. Следует учесть, что ряды ∞ c1 = k1 =1 k12 < ∞, |k1 |2σ c2 = k2 =1 k22 <∞ |k2 |2σ сходятся при 2σ - 2 > 1, σ > 3/2, а также, что k1 |k1 |σ k1 = k - k2 , k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m 2 ∞ k1 =1 k1 |k1 |σ 2 . Тогда оценка J1 примет следующий вид: J1 16 ε 2 we c2σ ∞ 2 sup sup t k 2 ∈ Z0 , |k2 | m 2γt Ak2 e 0 2 sup k 1 ∈ Z0 , |k1 | m ∞ Ak1 dt k2 =1 k22 + (17) |k2 |2σ О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . +ε 2 we c2σ ∞ 2 sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 e k2 ∈ Z0 , |k2 | m (m) t sup 0 Tk-1 (k1σ zk1 ) 1 +ε2 we c2σ sup sup k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk2 dt k1 =1 ∞ 2 ∞ 2 2γt ∞ 2 e2γt sup Bk2 dt k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 k12 + (18) |k1 |2σ k1 =1 k12 . (19) |k1 |2σ Остается вычислить супремумы: sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 t 2 = sup sup t i k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 (m) 2 eik2 (s-t) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds . 2 Умножим подынтегральное выражение на e-γt и eγt : sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 t = sup t sup i k2 ∈ Z0 , |k2 | m ik2 (s-t) -γt γt e e e 0 (m) Tk-1 (|k2 |σ zk2 )ds 2 2 . Положим (m) X1 (m) = Tk-1 (zk1 ), |k1 | 1 (m) m, k1 = 0 , (m) = Tk-1 (zk2 ), |k2 | m, k2 = 0 , 2 1 -1 (m) (m) T (z ), |k1 | m, k1 = 0 , X3 = k1 k 1 k 1 1 d -1 (m) (m) T (z ), |k1 | m, k1 = 0 . X4 = k1 dt k1 k1 X2 Воспользуемся неравенством Гельдера, тогда sup sup t k2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 ∞ sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m 1/2 ∞ e-2γt 0 0 (m) 1/2 2 e2γt Tk-1 (|k2 |σ zk2 ) ds 2 = 1 (m) X 2γ 2 2 = 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Воспользуемся оценкой нормы (7) и фактом, что γ = εµ0 : sup sup t k 2 ∈ Z0 , |k2 | m Ak2 2 c1 1 c2 Z (m) ε ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (20) Далее 17 Д у х н о в с к и й C. А. ∞ 2 e2γt N1 = sup Ak1 dt = k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 ∞ t e2γt = 0 + |k1 |2σ ik1 sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m ∞ 2γt 0 e (m) sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 = I(T -1 (Z (m) ) 2 (m) eik1 (s-t) Tk-1 (zk1 )ds dt+ 1 2 |k1 |2σ Tk-1 (zk1 ) dt = 1 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) (m) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) + X1 (21) Первую норму (21) оцениваем согласно формуле (9), а другую с помощью (7): 1 2 (m) c Z ε2 3 N1 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) (22) Таким образом, оценка для слагаемого (17) принимает вид ∞ ε2 we c2σ 0 k1 + k2 = k, k ∈ Z0 , |k1 | m, |k2 | m ε2 we c2σ c1 1 c2 Z (m) ε ε 2 k2 |k2 |σ e2γt sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Ak2 Ak1 dt 2 1 c2 Z (m) L (R ;H(m) ) = + 2,γ σ ε 1 = 3 c3,σ Z (m) L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε 4 . Аналогично оцениваем слагаемое (18). Здесь пользуемся оценками (20), (22): sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 ∞ e2γt 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m 0 c1 1 c2 ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε ε 2 Bk2 dt 2 1 c2 ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε , 2 . Отсюда следует ε2 we c2σ sup t sup k 1 ∈ Z0 , |k1 | m Bk1 ∞ 2 e2γt 0 2 sup k2 ∈ Z0 , |k2 | m ∞ Bk2 dt k1 =1 k12 |k1 |2σ 1 c3,σ ||Z (m) ||L (R ;H(m) ) + 2,γ σ ε3 Для слагаемого (19) супремум оценивается следующим образом: 18 4 . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) N2 = sup Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 sup t 2 = k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m (m) -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 t = sup sup t k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 t 2 sup t sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m (m) (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) ds. ds k1 k1 0 Используя неравенство Гельдера, получим (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 ∞ N2 sup 2 k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 1/2 2 × ds (m) ∞ × sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 (m) Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 ∞ 2 1/2 . e2γt , ∀t > 0. Значит, последнее неравенство можно перепи- Заметим, что 1 сать в виде N2 -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 2γs sup e k1 ∈ Z0 , |k1 | m sup (m) e2γs sup k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 (m) L2,γ (R+ ;Hσ Поскольку мы рассматриваем задачу при |k| = ) X4 (m) L2,γ (R+ ;Hσ X4 L2,γ (R+ ;Hσ,m ) ) . 1, можно записать (m) (m) X1 1/2 (m) (m) = X3 N2 × ds -1 σ d Tk1 (|k1 | zk1 ) 2 ds ds k1 ∞ × k1 k1 ∈ Z0 , |k1 | m 0 1/2 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Воспользуемся оценками (7), (8): N2 1 c3 Z (m) ) ε3 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) (23) В итоге мы получаем следующую оценку: (m) ε 2 we c2σ sup sup t k 1 ∈ Z0 , |k1 | m Tk-1 (|k1 |σ zk1 ) 1 k1 ∞ 2 2γt e 0 2 ∞ sup Bk2 dt k2 ∈ Z0 , |k2 | m k1 =1 k12 |k1 |2σ 19 Д у х н о в с к и й C. А. 1 4 c4,σ ||Z (m) )||L (R ;H(m) ) . 3 + 2,γ σ ε Таким образом, доказали, что B(Tk-1 (Z (m) ), Tk-1 (Z (m) )) 1 4 c Z (m) ε3 5,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 4 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Аналогично проводятся оценки для других выражений в правой части нелинейного уравнения (11). Лемма 4 доказана. 6. Существование решения нелинейного уравнения. Решение нелинейного уравнения (11) будем находить последовательностью итераций X (j) = (j) = (Xk , 1 |k| m): (j) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) + εwe1/2 Bk (j-1) Tk-1 (Xk (j-1) -1 + 4LB k Tk (Xk (0) (j-1) ), Tk-1 (Xk (m) ) + 2Lk (m) Xk = e-4we t/ε Fk ) + (j-1) Tk-1 (Xk ) , j 1, (24) (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Здесь (m) Fk (m) (t) = fk (t) + 2εwe1/2 gkL (t), (m) Gk (t) = 2 HkL (t) + 2HkB (t) . Далее будет доказано, что последовательность итераций X (j) является фундаментальной и ее предел является решением нелинейного уравнения (11) (m) в весовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ). Обозначим (m) Fk (m) = e-4we t/ε Fk (m) F (m) = Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t), (t), |k| m, k = 0 . Сформулируем теорему существования решения нелинейного уравнения (11) (m) в L2,γ (R+ ; Hσ ). Теорема 3. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε и выполняется неравенство Z (m) 20 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1-q q2 , (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . q2 ∈ (0, 1) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Здесь q определяется на основании нижеследующей теоремы 4. 7. Ограниченность последовательности итераций. Начнем с дока(j) зательства ограниченности последовательности итераций Xk нелинейного уравнения (11). Теорема 4. Пусть σ > 3/2 и существует q ∈ (0, 1), не зависящее от m, p, ε, такое, что 1 ε3/2 1 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε Тогда для любого j q ∈ (0, 1). q, 1 справедлива оценка X (j) (m) L2,γ (R+ ;Hσ 1 F (m) 1-q ) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . (m) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим формулу (24) в L2,γ (R+ ; Hσ ) и применим оценки выражений правой части нелинейного уравнения (11): ||X (j) ||2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) ||F (m) ||2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ + c24,σ Положим X 2 = max1 j N ) + 1 2 c ||X (j-1) ||2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 (|||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) ) Hσ Hσ ε2 X (j) X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) X 2, выполняется оценка X2 F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 1 2 c X 2 + c23,σ 4 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε3 1,σ ε X 2. Если 1 2 1 c1,σ X 2 + c24,σ 2 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) 3 Hσ Hσ ε ε то X2 q2, q ∈ (0, 1), 1 ||F (m) ||2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 - q2 (25) (26) Действительно, неравенство (26) верно, если 1 2 1 c1,σ F (m) 3 ε 1 - q2 2 2 1 (m) +c4,σ 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) ε |||u0 |||2 (m) +|||w0 |||2 (m) Hσ Hσ q 2 , q ∈ (0, 1). 21 Д у х н о в с к и й C. А. Далее, необходимо применить математическую индукцию, поскольку в этом случае справедливо (25). При j = 0 имеем X (0) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) = F (m) При j = 1: X (1) 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Пусть выполнено для j = s: X (s) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Покажем, что неравенство (26) выполняется и при j = s + 1. Имеем X (s+1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) F (m) X (0) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q2 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 - q2 + X (s) 2 2 (m) q L2,γ (R+ ;Hσ ) F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) = = 1 F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Верно для j = s + 1. Таким образом, ограниченность нашей последовательности доказана. 8. Фундаментальность последовательности итераций. Теорема 5. Последовательность X (j) является фундаментальной в (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε q1 , q1 ∈ (0, 1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим итерационную последовательность (j) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) +εwe1/2 Bk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (j-1) Tk-1 (Xk (j-1) ), Tk-1 (Xk (m) +2Lk (0) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (j-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk (j-1) Tk-1 (Xk ) , j ) + 1, (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Наряду с (24), определим последовательность с другим индексом: (s) (m) Xk = e-4we t/ε Fk (m) +εwe1/2 Bk 22 (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (s-1) Tk-1 (Xk (s-1) ), Tk-1 (Xk (s-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk ) + О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) (s-1) Tk-1 (Xk +2Lk (0) (m) Xk = e-4we t/ε Fk ) , s 1, (m) (t) + εwe1/2 Gk (t). Рассмотрим их разность: (j) (s) (m) (j-1) Tk-1 (Xk Xk - Xk = εwe1/2 Bk (m) + Bk (s-1) Tk-1 (Xk (j-1) (s-1) - Xk (s-1) ), Tk-1 (Xk - Xk (j-1) ), Tk-1 (Xk (j-1) -1 ) + 4LB k Tk (Xk (m) + 2Lk Отсюда для 1 X (j) - X (s) (j-1) Tk-1 (Xk (s-1) - Xk (s-1) - Xk ) + ) . s < j имеем 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) X (j-1) - X (s-1) + ) + 1 2 c X (s-1) ε3 1,σ 1 2 c X (j-1) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Hσ Hσ ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Если 1 2 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 c |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε2 4,σ q12 , то X (j) - X (s) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q12s X (j-s) - X (0) q12 X (j-1) - X (s-1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q12s (1 + 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 ) F (m) 1 - q2 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Таким образом, мы показали, что последовательность итераций X (j) является последовательностью Коши. 9. Теорема существования решения. Теорема 6. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 1,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 + c24,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε q2 , q2 ∈ (0, 1), для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 F (m) 1-q (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . 23 Д у х н о в с к и й C. А. Здесь q следует из теоремы ограниченности последовательности итераций (теорема 4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимо показать, что Z (m) = lim X (j) j→∞ (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), (m) Z (m) = (zk , |k| (m) L2,γ (R+ ; Hσ ). в m, k = 0) есть решение нелинейного уравнения (11) в Существование предела следует в силу фундаментальности последова(m) тельности итераций (24). Обозначим через M (zk ) оператор, определенный по формуле (m) (m) M (zk ) = zk (m) (m) (m) -1 -1 - εwe1/2 4LB k Tk (zk )) + 2Lk (Tk (zk ) + (m) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) (m) (m) + M1 (zk ) = Fk = zk , (27) где (m) (m) (m) (m) -1 -1 M1 (zk ) = -εwe1/2 4LB k Tk (zk )) + 2Lk (Tk (zk ) + (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) + 4Bk (j) . (m) В формуле (27) добавим и вычтем слагаемые Xk , M1 (zk ), а также воспользуемся определением, что (j) (j-1) Xk + M1 (Xk (m) ) = Fk . Тогда (m) zk (m) (j) (j-1) + M1 (zk ) = Xk + M1 (Xk (m) ) + zk (j) - Xk + (m) (j-1) + M1 (zk ) - M1 (Xk (m) ) = Fk (m) + R(zk ). (m) В весовом пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) получаем (m) zk (m) (m) + M1 (zk ) = Fk (m) + R(zk ). Здесь (m) (m) R(zk ) = zk (m) (j-1) M1 (zk ) - M1 (Xk (m) + Bk (j-1) Tk-1 (Xk (j) (m) (j-1) - Xk + M1 (zk ) - M1 (Xk (m) (m) ) = -εwe1/2 Bk (Tk-1 zk (m) ), Tk-1 (zk (j-1) - Xk (j-1) - Xk (m) -1 ) + 4LB k Tk (zk (m) (m) ), Tk-1 (zk ) + (j-1) - Xk (m) + 2Lk (Tk-1 zk 24 ), ) + (j-1) - Xk ) . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Покажем, что R(Z (m) ) R(Z (m) ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0. Имеем Z (m) - X (j) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Здесь Z (m) - X (j) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) →0 в силу фундаментальности последовательности итераций. Далее оценим M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) × 1 2 c Z (m) ε3 1,σ 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + Z (m) - X (j-1) 2 (m) × L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 2 c X (j-1) 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 + 2 c24,σ |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε . Исходя из теоремы 5 имеем E= 1 2 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 c |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) Hσ Hσ ε2 4,σ q22 , q2 ∈ (0, 1), поэтому можно записать M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q22 Z (m) - X (j-1) 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку Z (m) - X (j-1) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0, имеем M1 (Z (m) ) - M1 (X (j-1) ) (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) → 0. (m) (m) Получаем, что R(zk ) → 0 в L2,γ (R+ ; Hσ ). Итак, в L2,γ (R+ ; Hσ ) имеем (m) zk (m) Можно показать, что оценка для F (m) F (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) c23 (m) + M1 (zk ) = Fk . 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) имеет вид 1 |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) + Hσ Hσ ε 1 2 + c213,σ |||u0 |||2 (m) + |||w0 |||2 (m) . (28) Hσ Hσ ε С учетом (28) переформулируем теорему существования решения уравнения (24). 25 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 7. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (11) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ ε2 q 4 , σ q4 ∈ (0, 1), (29) для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ Q1,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) , σ σ ε1/2 ) где Q1,σ = 1 c2 + c213,σ ε3/2 q4 . 1-q 3 10. Единственность решения. Пусть имеется другое решение Z ∗ = {zk∗ , |k| m} нелинейного уравнения (24). Тогда получим Z ∗ - Z (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Z ∗ - Z (m) + 1 2 c Z (m) ε3 1,σ 1 2 c Z∗ 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) ε3 1,σ 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Hσ Hσ ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) . Если Z∗ 2 1 c2 F (m) ε3 1 - q 2 1,σ то 1 F (m) 2 (m) , L2,γ (R+ ;Hσ ) 1 - q2 1 2 2 0 2 0 2 (m) + 2 c4,σ |||u ||| (m) + |||w ||| (m) Hσ Hσ L2,γ (R+ ;Hσ ) ε 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) Z ∗ - Z (m) 2 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) q42 Z ∗ - Z (m) q42 < 1, 2 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Поскольку 0 < q42 < 1, отсюда следует единственность решения Z ∗ = Z (m) . 11. Существование решения нелинейного уравнения с оператором возмущения. Теперь рассмотрим нелинейное уравнение с оператором возмущения в правой части: (m) zk (m) = e-4we t/ε Fk (m) (t) + εwe1/2 Gk (t)+ (m) (m) -1 + εwe1/2 4LB k Tk (zk ) + 2Lk (m) (m) Tk-1 (zk ) + 4Bk (m) (m) (m) Tk-1 (zk ), Tk-1 (zk ) - (m) - εwe1/2 T add Tk-1 (Qk Tk-1 (e-ikt ) + Tk-1 (zk ) Оценка оператора возмущения имеет вид (m) (m) ε2 we Tkadd (Tk-1 (zk ) + Qk Tk-1 (e-ikt )) 26 (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) , (30) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . √ 3 c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) + σ σ 2 + c210,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ 1 + c211,σ σ Z (m) |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) ε1/2 σ σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ Z (m) ) + 2 (m) + L2,γ (R+ ;Hσ ) + c212,σ 1 (m) Z ε 3 (m) . L2,γ (R+ ;Hσ ) Перепишем теоремы 4, 5, 6 с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения. Теорема 8. Пусть σ > 3/2 и существует q ∈ (0, 1), не зависящее от m, p, ε, такое, что 1 ε c2 3/2 2,σ 1 1-q F (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ 3 + σ √ c22,σ = c21,σ + c212,σ ε 1 2 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) q, q ∈ (0, 1), σ σ ε2 4,σ √ 3 F (m) L (R ;H(m) ) + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) . Тогда для любого j 1 справедлива оценка + X (j) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) 2,γ 1 1-q + F (m) σ σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) σ + √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ 3 . Теорема 9. Последовательность X (j) является фундаментальной в (m) L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 2 2 c F (m) ε3/2 1 - q 2,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + 1 2 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) q1 , q1 ∈ (0, 1), σ σ ε2 4,σ √ 3 F (m) L (R ;H(m) ) + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) . + √ c22,σ = c21,σ + c212,σ ε 2,γ + σ σ σ Теорема 10. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если 1 ε3/2 2 2 c F (m) 1 - q 2,σ (m) L2,γ (R+ ;Hσ + ) + 1 2 c |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ ε2 4,σ q2 , q2 ∈ (0, 1), для которого выполняется неравенство 27 Д у х н о в с к и й C. А. Z (m) ||L (m) 2,γ (R+ ;Hσ ) 1 1-q F (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ ) + √ + c29,σ ε |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ 3 . (31) Применим оценку (28) к (31), чтобы переписать теорему существования решения через начальные данные с учетом того, что в правой части нелинейного уравнения (30) присутствует оператор возмущения. Теорема 11. Пусть σ > 3/2. Тогда для нелинейного уравнения (30) суще(m) ствует единственное решение Z (m) ∈ L2,γ (R+ ; Hσ ), если ε2 q 4 , |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) σ σ q4 ∈ (0, 1), (32) для которого выполняется неравенство Z (m) (m) L2,γ (R+ ;Hσ где ) Q1,σ |||u0 |||H(m) + |||w0 |||H(m) , σ σ ε1/2 1 c2 + c213,σ ε3/2 q4 + c29,σ ε5 q4 . 1-q 3 Q1,σ = 12. Аппроксимационное решение системы уравнений Карлемана. Теперь введем последовательность аппроксимационных решений: (m) (m) u(m) (x, t) = u0 (t) + uj (t)eijx , j∈Z0 ,|j| m w (m) (x, t) = (m) w0 (t) (m) + wj (t)eijx (33) j∈Z0 ,|j| m 1 (R ; W 1 (R)) периодических по x и следующее гильбертово пространство W2,γ + ∞ функций g(x, t) = gj (t)eijx j∈Z с нормой |||g(x, t)|||2W 1 = 1 2,γ (R+ ;W∞ (R)) ∞ e2γt (sup |∂t g(x, t)|)2 + (sup |∂x g(x, t)|)2 + (sup |g(x, t)|)2 dt. = 0 x∈R x∈R x∈R Лемма 5. Для σ > 3/2 справедливо следующее неравенство: |||g(x, t)|||2W 1 1 2,γ (R+ ;W∞ (R)) Cσ2 g(x, t) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, имеем 28 2 1 (R ;H ) . W2,γ σ + (34) О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . sup |∂t g(x, t)| 2 x∈R 2 d 2 g0 (t) + 2 dt 2 j∈Z0 2 d d g0 (t) + 2 sup |j|2σ gj (t) dt dt j∈Z0 Положим Cσ2 2 d gj (t) dt =2 j∈Z0 1 |j|σ 2 j∈Z0 1 |j|σ 2 . 2 . Тогда ∞ 2 e2γt sup |∂t g(x, t)| dt x∈R 0 ∞ Cσ2 e2σt 0 2 d d g0 (t) + sup |j|2σ gj (t) dt dt j∈Z0 2 dt. Отсюда следует оценка (34). Ниже, в зависимости от удобства, мы будем работать в одном из гильбер1 (R ; W 1 (R)) или W 1 (R ; H ). товых пространств W2,γ + + σ ∞ 2,γ Теорема 12. Последовательность аппроксимационных решений фунда1 (R ; H ). Более того, ментальна по норме гильбертова пространства W2,γ + σ стремится к слабому решению {uj , wj } задачи Коши (2): ∞ ∞ uj -∞ 0 1 d + ij + 2we (wj - uj )- dt ε - εwe1/2 (uj1 - wj1 )(uj2 + wj2 ) ϕ(x, t)dxdt+ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 ∞ + -∞ ∞ ∞ wj 0 -∞ u0j ϕ(x, t) t=0 dx = 0, 1 d - ij - 2we (wj - uj )+ dt ε + εwe1/2 (uj1 - wj1 )(uj2 + wj2 ) ψ(x, t)dxdt+ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 ∞ + -∞ wj0 ψ(x, t) t=0 dx = 0 для любых тестовых функций ϕ, ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 29 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 13. Если (u, w) ∈ W21 (R+ × R1 ), то слабое решение становится классическим для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . 1) Итак, покажем что последовательность аппроксимационных решений 1 (R ; H ) в норме (33) фундаментальна в W2,γ + σ1 ∞ V (x, t) 2 1 (R ;H ) W2,γ σ1 + e2γt |V0 |2 dt+ = 0 ∞ + j∈Z0 e2γt |j|2σ1 |Vj (t)|2 + |j|2(σ1 -1) 0 d Vj (t) dt 2 dt. Заметим, что имеет место вложение пространства Hσ(m) ⊂ Hσ , (m) если элементы пространства Hσ (35) продолжить нулями при |j| > m. Теорема 14. Пусть σ > 3/2 и выполнено (32). Тогда последовательность (m) Z (m) = zj , |j| m, j = 0 является фундаментальной в пространстве L2,γ (R+ ; Hσ ) и имеет предел lim Z (m) = Z. m→∞ Д о к а з а т е л ь с т в о. Из уравнения (11) для |j| Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 L2,γ (R+ ) e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) 2 L2,γ (R+ ) + ε2 we G (m2 ) (t) - G (m1 ) (t) -1 (m2 ) + ε 2 we 4 L B ) - Tj-1 (Z (m1 ) ) j Tj (Z (m2 ) + 4 Lj (m2 ) +16 Bj m1 имеем 2 + L2,γ (R+ ) 2 + L2,γ (R+ ) (m1 ) Tj-1 (Z (m1 ) ) (m1 ) Tj-1 (Z (m1 ) ), Tj-1 (Z (m1 ) ) Tj-1 (Z (m2 ) ) - Lj Tj-1 (Z (m2 ) ), Tj-1 (Z (m2 ) ) -Bj 2 L2,γ (R+ ) + + ε2 we Tjadd Tj-1 (Z (m2 ) ) - Tj-1 (Z (m1 ) ) 2 + L2,γ (R+ ) 2 L2,γ (R+ ) . (36) Домножим (36) на |j|2σ , а также возьмем супремум: sup |j|2σ e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) j,|j| m1 2 L2,γ (R+ ) (m2 ) c1 ε sup sup |j|2σ Fj t j,|j| m1 Для вычисления разности воспользуемся следующей леммой. 30 (m1 ) (t) - Fj 2 (t) . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . Лемма 6. Пусть даны две суммы Aj1 ,j2 (t), s1 (t) = Aj1 ,j2 (t). s2 (t) = j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m1 , |j2 | m1 j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m2 , |j2 | m2 Тогда их разность при условии, что m2 > m1 , вычисляется по формуле s1 (t) - s2 (t) = Aj1 ,j2 (t). j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | m2 , |j2 | m2 , max(|j1 |, |j2 |) > m1 Д о к а з а т е л ь с т в о. При вычитании индексы, ограниченные m1 , изменяются следующим образом 1) |j1 | m1 , |j2 | > m1 ; 2) |j1 | > m1 , |j2 | m1 ; 3) |j1 | > m1 , |j2 | > m2 . Отсюда получаем условие max(|j1 |, |j2 |) > m1 . Тогда (m2 ) sup sup t j∈Z0 ,|j| m1 |j|2σ Fj (m1 ) (t) - Fj (t) 2 c26,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) Hσ 2 Hσ |j2 | + c27,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) Hσ j2 ∈ Z 0 , m2 , |j2 | > m1 2 Hσ |j1 | j1 ∈ Z 0 , m2 , |j1 | > m1 c28,σ |||u0 |||2 (m1 ) + |||w0 |||2 (m1 ) 1 |j1 |2σ 2 Hσ Hσ 1 + |j2 |2σ |j2 | j2 ∈ Z0 , m2 , |j2 | > m1 1 . |j2 |2σ Лемма 7. Имеет место следующая оценка: S= |j2 | j2 ∈ Z 0 , m2 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ csum σ 1 , m12σ-1 σ > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что S= |j2 | j2 ∈ Z0 , m2 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m1 1 |j2 |2σ ∞ m1 dx 1 1 = . 2σ-1 2σ x 2σ - 1 m1 Сумма S стремится к нулю при m1 → ∞, если σ > 1. 31 Д у х н о в с к и й C. А. Тогда c9,σ 4 q6 . m12σ-1 Аналогично оцениваются другие выражения (36). Таким образом, неравенство (36) примет следующий вид: e-4we t/ε (F (m2 ) (t) - F (m1 ) (t)) Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 (m ) L2,γ (R+ ,Hσ 1 ) c11,σ 4 2 2 (m2 ) - Z (m1 ) 2σ-1 q6 + c12,σ q6 Z m1 2 (m ) L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) 2 (m ) . L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) Перенесем норму, стоящую справа, влево: Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 (m ) L2,γ (R+ ;Hσ 1 ) c11,σ 4 q6 . m12σ-1 1 - c212,σ q62 Потребуем выполнения неравенства 1 - c212,σ q62 > 0. Для того чтобы перейти к пространству L2,γ (R+ ; Hσ ), доопределяем Z (m1 ) = 0, |j| > m1 и пользуемся (35). Тогда получаем неравенство Z (m2 ) - Z (m1 ) 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) c11,σ q64 , (1 - c212,σ q62 )m2σ-1 1 которое дает фундаментальность Z (m) . Получаем существование предела в L2,γ (R+ ; Hσ ): lim Z (m) = Z. m→∞ u(m) Отсюда вытекает, что → u, w(m) → w при m → ∞. 2) Аппроксимационное решение при m → ∞ слабо стремится к решению задачи Коши (2): ∞ ∞ -∞ 0 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ =- -∞ 0 ϕ(x, t)dxdt = 1 u(m) (∂t + ∂x ) + 2we (w(m) - u(m) )- ε ∞ - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ - 0 -∞ u0 ϕ(x, t) ϕ(x, t)dxdt - -∞ t=0 dx → 1 u(∂t + ∂x ) + 2we (w - u) - εwe1/2 (u2 - w2 ) ϕ(x, t)dxdt- ε ∞ u0 ϕ(x, t) - -∞ 32 t=0 dx О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . для любой тестовой функции ϕ ∈ C0∞ (R+ × R1 ), где u = lim u(m) , w = lim w(m) m→∞ m→∞ 1 (R ; H ), W2,γ + σ в σ > 3/2. Это непосредственно вытекает из теоремы 14. Далее покажем, что нелинейная часть также слабо сходится. Имеем ∞ ∞ (u(m) )2 - (w(m) )2 ϕ(x, t)dxdt = -∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ (u(m) )2 - u2 ϕ(x, t)dxdt- (u2 - w2 )ϕ(x, t)dxdt + = -∞ 0 -∞ ∞ 0 ∞ (w(m) )2 - w2 ϕ(x, t)dxdt. (37) - -∞ 0 Обозначим ∞ ∞ (u(m) )2 - u2 ϕ(x, t)dxdt I1 = -∞ 0 ∞ ∞ (u(m) - u)ϕ(x, t) dxdt . sup sup u(m) + u t x -∞ 0 Ограниченность выражения supt supx u(m) + u вытекает из (12)-(15), (23), теорем 9 и 12. Положим ϕ(x, t) ≡ ϕ(x, t)χ(x, t), χ(x, t) ∈ C0∞ (R+ × R1 ), χ(x, t) ≡ 1 на supp ϕ(x, t). Применим неравенство Гельдера: ∞ I1 ∞ (u(m) - u)2 |χ(x, t)|2 dxdt c1 ∞ 1/2 1/2 |ϕ(x, t)|2 dxdt -∞ 0 ∞ . -∞ 0 Выносим супремум по x выражения (u(m) - u)2 . Тогда 1/2 ∞ ∞ I1 |χ(x, t)|2 dxdt sup(u(m) - u)2 c1 x∈R 0 × -∞ ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt 0 ∞ 2γt c1 e 0 (m) sup(u 2 2 - u) 1/2 ∞ × 1/4 ∞ -∞ ∞ 1/4 4 |χ(x, t)| dxdt dt x∈R 0 × -∞ ∞ 1/2 ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt × . -∞ 0 Пользуясь оценкой (34) для перехода к другой норме, получаем I1 c2,σ (u(m) - u)2 1/2 1 (R ;H ) W2,γ σ + ∞ 1/4 ∞ |χ(x, t)|4 dxdt 0 × -∞ ∞ 1/2 ∞ |ϕ(x, t)|2 dxdt × 0 . -∞ 33 Д у х н о в с к и й C. А. Отсюда следует, что I1 → 0, m → ∞. Так же при m → ∞ получим ∞ ∞ 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε -∞ 0 - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ =- -∞ 0 ψ(x, t)dxdt = 1 w(m) (∂t - ∂x ) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε ∞ + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ - -∞ 0 w0 ψ(x, t) ψ(x, t)dxdt - -∞ t=0 dx → 1 w(∂t - ∂x ) - 2we (w - u) + εwe1/2 (u2 - w2 ) ψ(x, t)dxdt- ε ∞ w0 ψ(x, t) - -∞ t=0 dx для любой тестовой функции ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 3) На третьем шаге надо доказать, что ∞ ∞ 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) )+ ε -∞ 0 + εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ 0 ∞ ϕ(x, t)dxdt → 0, m → ∞, 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε -∞ - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ψ(x, t)dxdt → 0, m → ∞. (38) Для этого подставим ряд Фурье в (38): ∞ ∞ J1 = -∞ 0 1 ∂t w(m) - ∂x w(m) + 2we (w(m) - u(m) )- ε - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 ∞ ∞ = 0 - -∞ d (m) 1 (m) (m) w0 + 2we (w0 - u0 )- dt ε (m) (m) εwe1/2 ψ(x, t)dxdt = (m) (m) (uj1 uj2 - wj1 wj2 ) ψ(x, t) dxdt+ j1 +j2 =0 ∞ ∞ eijx + 0 34 -∞ j∈Z0 d (m) 1 (m) (m) (m) wj - ijwj + 2we (wj - uj ) - dt ε О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . (m) (m) (m) (m) - εwe1/2 uj1 uj2 - wj1 wj2 eijx ψ(x, t)dxdt. j1 + j2 = j, j ∈ Z0 Воспользуемся тем, что для j = 0 имеем d (m) 1 (m) (m) w0 + 2we w0 - u0 - εwe1/2 dt ε а при |j| (m) (m) (m) (m) uj1 uj2 - wj1 wj2 = 0, j1 +j2 =0 m d (m) 1 (m) (m) (m) w - ijwj + 2we wj - uj - dt j ε (m) (m) (m) (m) - εwe1/2 uj1 uj2 - wj1 wj2 = 0, |j| m. j1 + j2 = j, j ∈ Z0 Покажем, что члены ∞ ∞ d (m) 1 (m) (m) (m) wj - ijwj + 2we (wj - uj ) - dt ε eijx J2 = -∞ 0 |j|>m - εwe1/2 (u(m) )2 - (w(m) )2 Здесь для j ψ(x, t)dxdt → 0. m+1 ∞ ∞ (u(m) )2 - (w(m) )2 ψ(x, t)dxdt = J3 = -∞ ∞ 0 ∞ (m) (m) -∞ j + j = j, j ∈ Z , 1 2 0 |j1 | > m, |j2 | > m 0 (m) (m) uj1 uj2 - wj1 wj2 = eijx ψ(x, t)dxdt. Домножим и разделим последнее неравенство на |j1 |σ |j2 |σ . В итоге приходим к оценке |J3 |2 j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m ∞ 1 2σ |j1 | |j2 |2σ ∞ -∞ 0 ∞ ∞ + -∞ 0 (m) 2 (m) |j1 |σ |uj1 | |j2 |σ |uj2 | |ψ(x, t)|dxdt (m) + 2 (m) |j1 |σ |wj1 | |j2 |σ |wj2 | |ψ(x, t)|dxdt . Надо показать, что J3 стремится к нулю при m → ∞. Обозначим ∞ ∞ 2 σ |J4 | = |j1 | 0 -∞ (m) (m) |uj1 | |j2 |σ |uj2 | |ψ(x, t)|dxdt 2 . 35 Д у х н о в с к и й C. А. Вынесем супремум по j2 ∈ Z0 , |j2 | > m, а затем применим неравенство Гельдера. В результате получим |J4 |2 ∞ (m) sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt× |j2 |2σ |uj2 |2 -∞ 0 ∞ × sup 0 j1 ∈ Z0 , |j1 | > m (m) |j1 |2σ |uj1 |2 dt, где ∞ (m) sup j1 ∈ Z 0 , |j1 | > m 0 |j1 |2σ |uj1 |2 dt ∞ 0 (m) sup e2γt |j1 |2σ |uj1 |2 dt = u(m) j1 ∈Z0 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) . Аналогично получим следующую оценку: ∞ ∞ (m) |J5 |2 = -∞ 0 sup 2 (m) |j1 |σ |wj1 | |j2 |σ |wj2 | |ψ(x, t)|dxdt sup t∈R+ |j2 | m, j2 = 0 ∞ (m) |j2 |2σ |wj2 |2 ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt w(m) -∞ 0 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) . Суммируя результаты оценок |J4 |2 , |J5 |2 , получаем оценку |J3 |2 sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m + sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m ∞ (m) |j2 |2σ |uj2 |2 |ψ(x, t)|2 dxdt u(m) -∞ 0 ∞ (m) |j2 |2σ |wj2 |2 ∞ ∞ |ψ(x, t)|2 dxdt w(m) 0 -∞ × 1 m2σ 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ < ∞. |j1 |2σ |j2 |2σ Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что имеет место равенство |j1 |2σ × |j2 |2σ = max(|j1 |, |j2 |) 2σ × |j1 |2σ |j2 |2σ Лемма 8. Следующая сумма сходится при σ > 1/2: 36 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) + min(|j1 |, |j2 |) 2σ , . О скорости стабилизации решений задачи Коши для уравнения Карлемана . . . а сумму можно переписать в следующем виде: S= j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , |j1 | > m, |j2 | > m m2σ = |j1 |2σ |j2 |2σ j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , min(|j1 |, |j2 |) > m m2σ . |j1 |2σ |j2 |2σ В этом случае m2σ S= j1 + j2 = j, j ∈ Z0 , min(|j1 |, |j2 |) > m max(|j1 |, |j2 |) 2σ ∞ 1 < j1 +j2 =j,j∈Z0 2σ min(|j1 |, |j2 |) 2σ max(|j1 |, |j2 |) j1 =1 < 1 + |j1 |2σ ∞ j2 =1 1 . |j2 |2σ Поскольку в суммы входят одинаковые слагаемые, сумму S можно оценить так: ∞ 1 < ∞, S 2 |j1 |2σ j1 =1 если σ > 1/2. Из ограниченности выражений sup sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m и норм u(m) 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) , (m) |j2 |2σ |uj2 |2 , w(m) sup 2 L2,γ (R+ ;Hσ ) J3 → 0, (m) sup t∈R+ j2 ∈ Z0 , |j2 | > m |j2 |2σ |wj2 |2 следует, что m→∞ равномерно по m. Откуда делается вывод, что предельные функции (u, w) - слабое решение задачи Коши (2): ∞ ∞ -∞ 0 1 w(∂t -∂x )ψ(x, t)-2we (w-u)ψ(x, t)+εwe1/2 (u2 - w2 )ψ(x, t) dxdt+ ε ∞ w0 ψ(x, t) + -∞ ∞ 0 ∞ -∞ t=0 dx = 0, 1 u(∂t +∂x )ϕ(x, t)+2we (w - u)ϕ(x, t)-εwe1/2 (u2 - w2 )ϕ(x, t) dxdt+ ε ∞ u0 ϕ(x, t) + -∞ t=0 dx = 0 для любых тестовых функций ϕ, ψ ∈ C0∞ (R+ × R1 ). 37 Д у х н о в с к и й C. А. Теорема 15. Пусть выполнены условия теоремы 14. Тогда (u, w) ∈ W21 (R+ × R1 ) является классическим решением задачи Коши: 1 ∂t u + ∂x u - 2we (w - u) = -εwe1/2 (u + w)(u - w), x ∈ R, ε 1 ∂t w - ∂x w + 2we (w - u) = εwe1/2 (u + w)(u - w), ε u|t=0 = u0 , w|t=0 = w0 t > 0, для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем задачу Коши для аппроксимационного решения: 1 ∂t u(m) + ∂x u(m) - 2we (w(m) - u(m) ) = -εwe1/2 (u(m) + w(m) )(u(m) - w(m) ), ε 1 (m) (m) ∂t w - ∂x w + 2we (w(m) - u(m) ) = εwe1/2 (u(m) + w(m) )(u(m) - w(m) ), ε u(m) |t=0 = u0 , w(m) |t=0 = w0 . Из теоремы 14 следует, что u = lim u(m) , m→∞ w = lim w(m) m→∞ в L2,γ (R+ ; Hσ ), если σ > 3/2. Аналогично доказательству, примененному при рассмотрении (37): (u(m) )2 → u2 , (w(m) )2 → w2 , m → ∞. 1 (R ; W 1 (R1 )) согласно Значит, имеет место сходимость в пространстве W2,γ + ∞ 1 1 неравенству (34). Тогда (u, w) ∈ W2 (R+ × R ) - классическое решение для почти всех (x, t) ∈ R+ × R1 . Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования. Благодарности. Я благодарен рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

About the authors

Sergey A Dukhnovskii

National Research Moscow State University of Civil Engineering

Email: sergeidukhnvskijj@rambler.ru
26, Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation
Postgraduate Student; Dept. of Applied Mathematics

References

  1. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // УМН, 1971. Т. 26, № 3(159). С. 3-51.
  2. Broadwell T. E. Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method // Journal of Fluid Mechanics, 1971. vol. 19, no. 3. pp. 401-414. doi: 10.1017/S0022112064000817.
  3. Vedenyapin V., Sinitsyn A., Dulov E. Kinetic Boltzmann, Vlasov and related equations. Amsterdam: Elsevier, 2011. xiii+304 pp. doi: 10.1016/c2011-0-00134-5.
  4. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина / Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22-29 августа, 2014). Часть 3 / СМФН, Т. 60. М.: РУДН, 2016. С. 23-81.
  5. Carleman T. Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz / Publications Scientifiques de l’Institut Mittag-Leffler. vol. 2. Uppsala: Almqvist & Wiksells, 1957. 112 pp.
  6. Boltzmann L. Lectures on Gas Theory. Berkeley: University of California Press, 1964. 490 pp.
  7. Васильева О. А., Духновский С. А., Радкевич Е. В. О локальном равновесии уравнения Карлемана // Проблемы математического анализа, 2015. Т. 78. С. 165-190.
  8. Годунов С. К. Проблема обобщенного решения в теории квазилинейных уравнений и в газовой динамике // УМН, 1962. Т. 17, № 3(105). С. 147-158.
  9. Ильин О. В. Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007. Т. 47, № 12. С. 2076-2087.
  10. Васильева О. А., Духновский С. А. Условие секулярности кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ, 2015. № 7. С. 33-40. doi: 10.22227/1997-0935.2015.7.33-40.
  11. Buslaev V., Komech A., Kopylova E. A., Stuart D. On asymptotic stability of solitary waves in Schrödinger equation coupled to nonlinear oscillator // Commun. Partial Differ. Equations, 2008. vol. 33, no. 4. pp. 669-705. doi: 10.1080/03605300801970937.
  12. Komech A., Kopylova E. A. On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrödinger equation // Commun. Pure Appl. Anal., 2012. vol. 11, no. 3. pp. 1063-1079. doi: 10.3934/cpaa.2012.11.1063.
  13. Komech A., Kopylova E. A. Dispersion decay and scattering theory. New Jersey: John Willey and Sons, 2012. 175+xxvi pp. doi: 10.1002/9781118382868
  14. Kopylova E. A. On long-time decay for magnetic Schrödinger and Klein-Gordon equations / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей / Тр. МИАН, Т. 278. М.: МАИК, 2012. С. 129-137.
  15. Буслаев В. С., Перельман Г. С. Рассеяние для нелинейного уравнения Шрёдингера: состояния, близкие к солитону // Алгебра и анализ, 1992. Т. 4, № 6. С. 63-102.
  16. Buslaev V. S., Perelman G. S. On the stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations // Amer. Math. Soc. Transl., 1995. vol. 164, no. 22. pp. 75-98.
  17. Buslaev V. S., Sulem C. On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations // Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2003. vol. 20, no. 3. pp. 419-475, arXiv: math-ph/0702013. doi: 10.1016/S0294-1449(02)00018-5.
  18. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Издательство Московского университета, 1982. 294 с.
  19. Вайнберг Б. Р. О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач и асимптотике при t → ∞ решений нестационарных задач // УМН, 1975. Т. 30, № 2(182). С. 3-55.
  20. Вайнберг Б. Р. Поведение при больших временах решений уравнения Клейна-Гордона / Тр. ММО, Т. 30. М.: Издательство Московского университета, 1974. С. 139-158.
  21. Morawetz C. S., Strauss W. A. Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation // Commun. Pure Appl. Anal., 1972. vol. 25, no. 1. pp. 1-31. doi: 10.1002/cpa.3160250103.
  22. Духновский С. А. Об оценках линеаризованного оператора кинетической системы Карлемана // Вестник МГСУ, 2016. № 9. С. 7-14. doi: 10.22227/1997-0935.2016.9.7-14.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 9

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies