On existence of solution in $\mathbb R^n$ of stochastic differential inclusions with current velocities in the presence of approximations with uniformly bounded first partial derivatives

Abstract

Notion of mean derivatives was introduced by Edward Nelson for the needs of stochastic mechanics (a version of quantum mechanics). Nelson introduced forward and backward mean derivatives while only their half-sum, symmetric mean derivative called current velocity, is a direct analog of ordinary velocity for deterministic processes. Another mean derivative called quadratic, was introduced by Yuri E. Gliklikh and Svetlana V. Azarina. It gives information on the diffusion coefficient of the process and using Nelson’s and quadratic mean derivatives together, one can in principle recover the process from its mean derivatives. Since the current velocities are natural analogs of ordinary velocities of deterministic processes, investigation of equations and especially inclusions with current velocities is very much important for applications since there are a lot of models of various physical, economical etc. processes based on such equations and inclusions. Existence of solution theorems are obtained for stochastic differential inclusions given in terms of the so-called current velocities (symmetric mean derivatives, a direct analogs of ordinary velocity of deterministic systems) and quadratic mean derivatives (giving information on the diffusion coefficient) on $\mathbb R^n$. Right-hand sides in both the current velocity part and the quadratic part are set-valued but satisfy some natural conditions.

Full Text

Введение. В середине двадцатого века для стохастической механики, варианта квантовой механики, Э. Нельсоном было введено понятие производных в среднем. В этой теории был первый пример уравнений с производными в среднем - уравнение движения. В работах Ю. Е. Гликлиха [1] было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений. Поскольку уравнениями и включениями с производными в среднем задаются сложные физические процессы, возникла задача об описании включений с текущими скоростями (в терминах так называемых производных в среднем) и о разрешимости этих включений. Начиная с работ С. Азариной и Ю. Е. Гликлиха (см. например [2]), дифференциальные включения с производными в среднем рассматривались как отдельный класс включений. Дальнейшее развитие этой теории продолжено в работах [3-8], в которых рассматривались задачи о разрешимости включений на плоском n-мерном торе Tn . Использование Tn объяснялось тем, что Tn является компактным многообразием и, следовательно, все гладкие объекты на нём ограничены, что существенно упрощает задачу. В данной работе мы рассматриваем задачу о существовании решений для дифференциальных включений на Rn при наличии некоторых дополнительных условий. В статье используется евклидова норма в Rn . 1. Предварительные сведения. Рассмотрим случайный процесс ξ(t) в Rn при t ∈ [0; T ], определённый на некотором вероятностном пространстве (Ω, F, P). Обозначим через Ptξ σ-подалгебру F, порожденную прообразами борелевских множеств в Rn всеми отображениями ξ(s) : Ω → Rn при 0 s t; Ptξ называется «прошлым» для ξ(t). Обозначим через Ntξ σ-подалгебру F, порожденную прообразами борелевских множеств в Rn отображением ξ(t) : Ω → Rn ; Ntξ называется «настоящим» для ξ(t). Ptξ и Ntξ при всех t предполагаются полными, т.е. содержащими все множества вероятности ноль. Очевидным образом Ntξ - σ-подалгебра в Ptξ . Пусть Ω - банахово пространство C 0 ([0; T ], Rn ) всех непрерывных кривых x : [0; T ] → Rn с обычной равномерной нормой. Через F обозначим σ-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами на Ω. Обозначим через Etξ условное математическое ожидание относительно Ntξ для ξ(t). Следуя [9-13], введем следующие понятия: (i) производная справа Dξ(t) задается формулой Dξ(t) = lim Etξ t→+0 ξ(t + t) - ξ(t) , t 43 М а к а р о в а А. В., Д е м ч у к А. А., Н о в и к о в а С. С. где предел предполагается существующим в L1 (Ω, F, P) а чает, что t стремится к нулю и при этом t > 0. (ii) производная слева D∗ ξ(t) задается формулой D∗ ξ(t) = lim Etξ ∆t→+0 t → +0 озна- ξ(t) - ξ(t - ∆t) . ∆t (iii) симметрическая и антисимметрическая производные задаются следующими формулами: 1 DS = (D + D∗ ), 2 1 DA = (D - D∗ ). 2 Пусть вектор v ξ (t)) = v ξ (t, ξ(t)) = DS ξ(t) называется текущей скоростью процесса ξ(t), а uξ (t) = uξ (t, ξ(t)) = DA ξ(t) называется осмотической скоростью процесса ξ(t). Эти векторы существуют и называются регрессиями (подробнее в [13, 14]). Согласно [11, 12], физический смысл полей v ξ и uξ следующий: допустим, ξ(t) описывает движение физического процесса. Текущая скорость v ξ является аналогом обычной физической скорости, тогда как осмотическая скорость uξ показывает, насколько быстро меняется «случайность» процесса. Зададим дифференцирование D2 формулой D2 ξ(t) = lim Etξ t→+0 (ξ(t + t) - ξ(t))(ξ(t + t t) - ξ(t))∗ , где (ξ(t+ t)-ξ(t)) - вектор-столбец (вектор в Rn ), а (ξ(t+ t)-ξ(t))∗ - вектор-строка (транспонированный, или сопряженный вектор). Результат этого матричного произведения - матрица ранга 1, но после взятия условного математического ожидания и перехода к пределу D2 ξ(t) становится симметрической неотрицательно определенной матричной функцией на [0, T ] × Rn . D2 называется квадратичной производной в среднем. Она принимает значения во множестве симметрических неотрицательно определенных тензоров (матриц). С физической точки зрения важно исследовать уравнения и включения с текущими скоростями, так как текущая скорость является физически правильным аналогом обычной скорости неслучайных процессов. При этом важно знать информацию о квадратичной производной в среднем. Система DS ξ(t) = v(t, ξ(t)), (1) D2 ξ(t) = α(t, ξ(t)) называется уравнением с текущими скоростями первого порядка. Определение 1. Говорят, что (1) имеет решение на [0; T ] с начальным условием ξ(0) = ξ0 , если существует вероятностное пространство (Ω, F, P) и заданный на нем процесс принимает значения в Rn (подробнее в [2]) такой, что при всех t ∈ [0, T ] уравнение (1) выполняется P-п.н. для ξ(t). Следует заметить, что в работе используется единственная известная в настоящее время теорема существования решений уравнения (1), доказанная С. В. Азариной и Ю. Е. Гликлихом [2, теорема 3], в предположениях, что 44 Существование решений в Rn для стохастических дифференциальных включений. . . правые части (1) гладки и ограничены вместе с первыми частными производными, а плотность распределения начального условия гладка и нигде не равна нулю. 2. Включения с текущими скоростями. Пусть v(t, m) - многозначное векторное поле, α(t, m) - многозначное симметрическое положительно определенное (2, 0)-тензорное поле на Rn . Система вида DS ξ(t) ∈ v(t, ξ(t)), D2 ξ(t) ∈ α(t, ξ(t)) (2) называется дифференциальным включением с текущими скоростями первого порядка. Понятие решения включения (2) в точности аналогично понятию решения для уравнения с текущими скоростями. Напомним следующее определение (подробнее изложено в [15]). Определение 2. Пусть X и Y - метрические пространства. Для заданного ε > 0 непрерывное однозначное отображение fε : X → Y называется εаппроксимацией многозначного отображения F : X → Y, если график отображения f, как множество в X × Y, лежит в ε-окрестности графика отображения F. В этой работе мы исследуем включения типа (2) в Rn при отсутствии гладких селекторов правых частей, но при существовании гладких ε-аппроксимаций с равномерно ограниченными первыми частными производными. В частности, из этого условия следует, что правые части имеют непрерывные селекторы. Теорема. Пусть многозначное векторное поле v(m) и многозначное (2, 0)тензорное поле α на Rn автономны, равномерно ограничены и имеют замкнутые образы. Пусть существует последовательность положительных чисел εk → 0 такая, что для любого εk поле v(m) (соответственно, α(m) ) имеет гладкую εk -аппроксимацию vk (m) (αk (m) соответственно) и все эти аппроксимации имеют равномерно ограниченные одной и той же констан∂v i ∂αij той первые частные производные ∂m соответственно . Тогда для наj ∂ml чального условия ξ(0) = ξ0 с гладкой плотностью, нигде не равной нулю, включение (2) имеет решение, определенное на всем интервале t ∈ [0, T ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию данной теоремы для последовательности положительных чисел εk → 0 существуют последовательности vk (m) (αk (m), соответственно) εk -аппроксимаций (гладкие) с равномерно ограни∂v i ченными одной и той же константой первыми частными производными ∂m j ∂αij соответственно , т. е. v (m) (α (m) соответственно) равностепенно непреk k ∂ml рывны. Тогда на любом компакте в Rn по Обобщенной теореме Арцела (теорема Асколи-Арцела, см. [16]) эти наборы аппроксимаций компактны относительно равномерной нормы, то есть можно выделить подпоследовательности vk (αk соответственно), сходящиеся к непрерывным селекторам v(m) (α(m) соответственно) в v(m) (α(m) соответственно). Рассмотрим в Rn расширяющуюся последовательность замкнутых шаров (компактов) Bj такую, что 45 М а к а р о в а А. В., Д е м ч у к А. А., Н о в и к о в а С. С. Bj = Rn . Выберем подпоследовательность vk (αk соответственно), сходящуюся равномерно в B1 , из нее выберем подпоследовательность, сходящуюся равномерно в B2 , и так далее. Таким образом, мы получаем непрерывные селекторы v(m) (α(m) соответственно), которые на любом компакте являются пределом равномерно сходящейся последовательности аппроксимаций. Факт, что это селектор, следует из определения εk -аппроксимации. Действительно, график εk -аппроксимации лежит в εk -окрестности графика многозначного отображения, и поскольку εk → 0, график предельной функции лежит в графике многозначного отображения. Отсюда следует, что предельная функция - селектор (сечение) многозначного отображения. Обозначим компоненты поля αk (m) через αkij . Из тензорных полей αk (m) построим Римановы метрики αk ( · , · ). Рассмотрим последовательность уравнений типа (1): DS ξ(t) = vk (ξ(t)), D2 ξ(t) = αk (ξ(t)). (3) Для всех этих уравнений можно рассматривать одно и то же начальное условие ξ0 . Аппроксимации vk и αk равномерно ограничены одной и той же константой, так как они являются εk -аппроксимациями равномерно ограниченных многозначных отображений. Также все эти εk -аппроксимации для любого k имеют равномерно ограниченные одной и той же константой первые част∂αij ∂v i ные производные ∂m соответственно . Таким образом, уравнения (3) j ∂ml удовлетворяют [2, теорема 3], то есть для каждого уравнения существует решение. Пусть ξk - решение k-того уравнения. На банаховом многообразии C 0 ([0, T ], Rn ) непрерывных кривых в Rn введем σ-алгебру C, порожденную цилиндрическими множествами, и обозначим через µk меру на (C 0 ([0, T ], Rn ), C), порожденную решением ξk (t). Также введем семейство полных σ-подалгебр Pt , порожденных цилиндрическими множествами с основаниями над [0, t], t ∈ [0, T ], и семейство полных σ-подалгебр Nt , порожденных прообразами борелевских множеств в Rn при отображении x(·) → x(t). Ясно, что Nt является σ-подалгеброй в Pt и что Pt есть «прошлое», а Nt - «настоящее» для координатного процесса на (C 0 ([0, T ], Rn ), C, µk ). Зададим на (C 0 ([0, T ], Rn ) поля αk (t, m( · )) = αk (m(t)), vk (t, m( · )) = vk (m(t)). Из равномерной сходимости vk и αk на компактах в Rn следует равномерная сходимость αk (t, m( · )) и vk (t, m( · )) на компактах в C 0 ([0, T ], Rn ). Покажем, что множество мер {µk } на (C 0 ([0, T ], Rn ), C) слабо компактно. Рассмотрим уравнения (3) на Rn , чья правая часть гладка и равномерно ограничена для любого k одной и той же константой. Для k-того уравнения обозначим через µk меру на пространстве непрерывных траекторий (C 0 ([0, T ], Rn ), C), где C - σ-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами, соответствующую решению ξk (t) k-того уравнения. Лемма. Множество мер µk на (C 0 ([0, T ], Rn ), C) слабо компактно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего, напомним, что все решения имеют одно и то же начальное условие ξ0 . Так как правые части уравнений (3) равно46 Существование решений в Rn для стохастических дифференциальных включений. . . мерно ограничены, все математические ожидания E(ξk (t))2 тоже равномерно ограничены. В работе [17] на основе разложения Гаусса показано, что каждая матрица α ∈ S+ (n) (S+ (n) - множество симметрических положительно определенных матриц размера n × n) представима в виде α = ζδζ ∗ , где ζ - верхне-треугольная матрица с единицами на диагонали, ζ ∗ - ее транспонированная, т. е. нижне-треугольная матрица с единицами на диагонали, и δ - диагональная матрица, чьи угловые миноры (отметим, что все они положительны) совпадают с угловыми минорами матрицы α.√Обозначим диагональные элементы матрицы δ√через δ1 , . . . , δn . Тогда A = ζ δ, где qrtδ - диагональная матрица √ с δ1 , . . . , δn на диагонали, такова, что α = AA∗ . Так как мы имеем дело с гладким полем αk (t, m), t ∈ R и m ∈ Rn , вышеупомянутые аппроксимации соответствующих матриц Ak (t, m) также гладкие. Так как αk (t, m) равномерно ограничены той же константой для всех k, все Ak (t, m) обладают тем же свойством. Выберем два действительных числа 0 s<t T с достаточно малой разностью t - s. Тогда для любого k приращение ξk на [s, t] аппроксимируется выражением vk s+t (t - s) + Ak (s) w(t) - w(s) . 2 Рассмотрим выражение E vk s+t (t - s) + Ak (s) w(t) - w(s) × 2 s+t × vk (t - s) + Ak (s) w(t) - w(s) 2 ∗ . Так как vk и Ak равномерно ограничены для всех k единственной константой, легко видеть, что среди элементов в полученном выражении, только αk (t - s) является бесконечно малой величиной того же порядка t - s, в то время как остальные элементы являются бесконечно малыми более высокого порядка. Следовательно, существует постоянная h1 такая, что разность t - s достаточно мала и вышеупомянутое выражение не больше, чем h1 (t - s). Интегрируя, можно показать, что существует постоянная h > 0, зависимая от T и от константы, которая ограничивает нормы vk и αk , такая, что для любых 0 t1 < t2 T и каждого k выполнено неравенство E ξk (t2 ) - ξk (t1 ) 4 < h(t2 - t1 )2 . Таким образом, утверждение леммы следует из [9, теорема 2, § 1, гл. VI]. Исходя из доказанной выше леммы можно выбрать подпоследовательность, которая слабо сходится к некоторой мере µ. Без ограничения общности можно предположить, что последовательность µk слабо сходится к µ. Рассмотрим некоторый координатный процесс ξ(t) на вероятностном пространстве (C 0 ([0, T ], Rn ), C, µ), то есть для каждого элементарного события x(·) ∈ C 0 ([0, T ], Rn ) по определению ξ(t, x(·)) = m(t). Напомним, Pt - «прошлое» ξ(t), а Nt - «настоящее» для этого же координатного процесса. По построению ξk (t) его квадратичная производная равна αk (ξk (t)). Это означает, что для любой ограниченной непрерывной вещественной функции 47 М а к а р о в а А. В., Д е м ч у к А. А., Н о в и к о в а С. С. f на C 0 ([0, T ], Rn ), измеримой относительно Nt , при всех k выполняется равенство lim ∆t→0 C 0 ([0,T ],Rn ) m(t + ∆t) - m(t) m(t + ∆t) - m(t) ∆t ∗ - - αk m(t) f m( · ) dµk = 0. Напомним (см. выше), что αk (t, mt, m( · )) сходятся равномерно к α(t, m( · )) при k → ∞ на компактах в C 0 ([0, T ], Rn ). ˜δ ⊂ По теореме Прохорова (см. [18]) для любого δ существует компакт K 0 n ˜ ˜ C ([0, T ], R ) такой, что (µk )(Kδ ) > 1 - δ для всех µk . Так как Kδ - компакт, на нем имеется указанная равномерная сходимость. Из ограниченности f (m( · )) выводим, что при достаточно больших k ˜δ K [αk (m(t)) - α(m(t))]f (m(·))dµk < δ. Поскольку f (m(·)) ограничено, имеется некоторое число Ξ > 0 такое, что |f (m( · ))| < Ξ для всех m( · ). Так как все αk (m) и α(m) равномерно ограничены, их нормы не превосходят некоторого числа Q > 0. И поскольку ˜δ) < δ µk (C 0 ([0, T ], Rn )\K для всех достаточно больших k, справедлива оценка ˜δ C 0 ([0,T ],Rn )\K αk m(t)) - α(m(t) f m( · ) dµk < 2δQΞ при всех достаточно больших k. Так как δ - произвольное положительное число, существует lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) αk m(t)) - α(m(t) f m( · ) dµk = 0. Функция α(m(t)) - µ-п.н. непрерывна и ограничена на C 0 ([0, T ], Rn ) (как показано выше). Ну и так как меры µk слабо сходятся к µ, согласно [9, теорема 2, § 1, гл. VI] существует lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) α m(t) f m( · ) dµk = α m(t) f m( · ) dµ. C 0 ([0,T ],Rn ) Очевидно, lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) m(t + ∆t) - m(t) m(t + ∆t) - m(t) f m( · ) dµk = m(t + ∆t) - m(t) m(t + ∆t) - m(t) = C 0 ([0,T ],Rn ) 48 ∗ ∗ f m( · ) dµ. Существование решений в Rn для стохастических дифференциальных включений. . . Таким образом, m(t + ∆t) - m(t) m(t + ∆t) - m(t) ∆t lim ∆t→0 C 0 ([0,T ],Rn ) ∗ - - α m(t) f m( · ) dµ = 0. Отметим, что f (m( · )) - произвольная ограниченная непрерывная функция, измеримая относительно Nt . Это означает, что D2 ξ(t) = α(ξ(t)). Но по построению α(ξ(t)) ∈ α(ξ(t)) µ-п.н. Далее нас будет интересовать текущая скорость решения. По построению DS ξk (t) = vk (t, ξk (t)) для всех k. Это означает, что для любой вещественной ограниченной непрерывной функции f на C 0 ([0, T ], Rn ), измеримой относительно Nt , при любом k lim ∆t→0 C 0 ([0,T ],Rn ) m(t + ∆t) - m(t - ∆t) - vk m(t) f m( · ) dµk = 0. ∆t Выберем произвольное ε > 0. Так как µk слабо сходится к µ, существует K(ε) такое, что при k > K(ε) m(t + ∆t) - m(t - ∆t) f m( · ) dµk - C 0 ([0,T ],Rn ) - m(t + ∆t) - m(t - ∆t) f m( · ) dµ < ε C 0 ([0,T ],Rn ) и f m( · ) v(m(t))dµk - C 0 ([0,T ],Rn ) f m( · ) v(m(t))dµ < ε. C 0 ([0,T ],Rn ) Такими же рассуждениями, как и выше, докажем, что lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) vk m(t) - v m(t) f m( · ) dµk = 0, т.е., что и v непрерывна. Напомним, что v ограничена как селектор ограниченного многозначного отображения. Тогда на основании [9, теорема 2, § 1, гл. VI] получаем lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) v m(t) f m( · ) dµk = v m(t) f m( · ) dµ. C 0 ([0,T ],Rn ) Очевидно, что lim k→∞ C 0 ([0,T ],Rn ) m(t + ∆t) - m(t - ∆t) f m( · ) dµk = m(t + ∆t) - m(t - ∆t) f m( · ) dµ. = C 0 ([0,T ],Rn ) 49 М а к а р о в а А. В., Д е м ч у к А. А., Н о в и к о в а С. С. Таким образом, lim ∆t→0 C 0 ([0,T ],Rn ) (m(t + ∆t) - m(t - ∆t) - v m(t) f m( · ) dµ = 0. ∆t Напомним, что f (m(·)) - произвольная ограниченная непрерывная функция, измеримая относительно Nt . Это означает, что DS ξ(t) = v(ξ(t)). Но по построению v(ξ(t)) ∈ v(ξ(t)) µ-п.н. Конкурирующие интересы. Мы не имеем конкурирующих интересов. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
×

About the authors

Alla V Makarova

Russian Air Force Military Educational and Scientific Center of the “N. E. Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Force Academy”

Email: allagm@mail.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Lecturer; the 206 Department of Mathematics 54a, Starykh Bolshevikov st., Voronezh, 394064, Russian Federation

Anzhelika A Demchuk

Russian Air Force Military Educational and Scientific Center of the “N. E. Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Force Academy”

Email: angel2268@mail.ru
Cand. Pedagogy Sci.; Associate Proffesor; the 206 Department of Mathematics 54a, Starykh Bolshevikov st., Voronezh, 394064, Russian Federation

Svetlana S Novikova

Russian Air Force Military Educational and Scientific Center of the “N. E. Zhukovskiy and Yu. A. Gagarin Air Force Academy”

Email: sv281174@rambler.ru
Cand. Pedagogy Sci.; Senior Researcher; the 21 Scientific and Research Department of Scientific and Research Center 54a, Starykh Bolshevikov st., Voronezh, 394064, Russian Federation

References

  1. Гликлих Ю. Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. I // Изв. Росс. Акад. Естеств. наук. Сер. Мат., Мат. модел., Информ., Управл., 1997. Т. 1, № 4. С. 26-52.
  2. Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. On existence of solutions to stochastic differential equations with current velocities // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 2015. Т. 8, № 4. С. 100-106. doi: 10.14529/mmp150408.
  3. Gliklikh Yu. E., Makarova A. V. On solvability of stochastic differential inclusions with current velocities // Applicable Analysis, 2012. vol. 91, no. 9. pp. 1731-1739. doi: 10.1080/00036811.2011.579565.
  4. Гликлих Ю. Е., Макарова А. В. Теорема существования решений для стохастических дифференциальных включений с текущими скоростями // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика, 2012. Т. 28, № 17(136). С. 5-15.
  5. Makarova A. V. On solvability of stochastic differential inclusions with current velocities. II // Global and Stochastic Analysis, 2012. vol. 2, no. 1. pp. 101-112.
  6. Gliklikh Yu. E., Makarova A. V. On stochastic differential inclusions with current velocities // J. Comp. Eng. Math., 2015. vol. 2, no. 3. pp. 25-33. doi: 10.14529/jcem150303.
  7. Макарова А. В. О разрешимости дифференциальных включений с текущими скоростями с полунепрерывной снизу правой частью // Вестник Липецкого государственного педагогического университета. Серия МИФЕ: математика, информационные технологии, физика, естествознание, 2015. № 1(16). С. 22-29.
  8. Gliklikh Yu. E., Makarova A. V. On existence of solutions to stochastic differential inclusions with current velocities. II // J. Comp. Eng. Math., 2016. vol. 3, no. 1 pp. 48-60. doi: 10.14529/jcem160106.
  9. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Физматлит, 1971. 664 с.
  10. Nelson E. Derivation of the Schrödinger equation from Newtonian mechanics // Phys. Rev., 1966. vol. 150, no. 4. pp. 1079-1085. doi: 10.1103/PhysRev.150.1079.
  11. Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1967. 142 pp.
  12. Nelson E. Quantum fluctuations / Princeton Series in Physics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1985. viii+146 pp.
  13. Gliklikh Yu. E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics / Theoretical and Mathematical Physics. London: Springer, 2011. xxiii+436 pp. doi: 10.1007/978-0-85729-163-9.
  14. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1988. 344 с.
  15. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Комкнига, 2005. 215 с.
  16. Yosida K. Functional Analysis: Reprint of the 1980 Edition (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 123) / Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1995. xvi+504 pp. doi: 10.1007/978-3-642-61859-8
  17. Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. Differential inclusions with mean derivatives // Dynamic Systems and Applications, 2007. vol. 16. pp. 49-71.
  18. Billingsley P. Convergence of probability measures / Wiley Series in Probability and Statistics. Chichester: Wiley, 1999. x+277 pp.

Statistics

Views

Abstract: 68

PDF (Russian): 31

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies