Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода

Полный текст

Введение. При исследовании системы неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ2) с переменными коэффициентами u1 x + p1 x + r1 x + v1 y + q1 y + s1 y = f1 , u2 x + p2 x + r2 x + v2 y + q2 y + s2 y = f2 , (1) где x(t), y(t) - неизвестные непрерывные функции; uj , pj , rj , vj , qj , sj , fj - заданные функции аргумента t, дифференцируемые нужное число раз; j = 1, 2 - номер уравнения в системе (1). Будем, как и первом сообщении [1], придерживаться следующих принятых в [2] обозначений: 1) D - область интегрирования, ограниченная отрезком [a, b], Dh - узлы сетки, определяемые значениями ti = t0 + ih, i = 1, 2, . . . , n, t0 = a, tn = b, h = (b - a)/n, n + 1 - число узлов сетки; 2) x(t), y(t) - непрерывные функции, являющиеся точным решением системы (1) с теми или иными граничными условиями; 3) [x]h , [y]h - сеточные функции, совпадающие с точным решением в узлах сетки Dh ; 4) x(h) , y (h) - искомые сеточные функции. Для краткости примем для любой функции обозначение ϕ(ti ) = ϕi , где ti - узел сетки Dh . В дальнейшем опустим индекс h в наименованиях сеточных функций [x]h , [y]h , x(h) , y (h) . В первом сообщении [1] представлены преобразования, приводящие дифференциальную краевую задачу для ОДУ2 с переменными коэффициентами (1) с граничными условиями первого рода x0 = x0 , 56 y0 = y0 , xn = xn , yn = yn Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . к разностной краевой задаче, которая в компактной символической форме была записана, по аналогии с [2], как k Lkh,I z = fh,I , (2) где k - степень используемого многочлена Тейлора в разложениях в ряд Тейлора искомых функций x(t), y(t);  ki bki xi bki bki b  12 13 14  x - y + - x - yi+1 , - 11 i-1 i-1 i+1  ki ki ki ki  b15 b15 b15 b15 bki  15     bki bki yi bki bki  22 23 24  - 21 x - y + - x - y , i-1 i-1 i+1 ki ki ki ki ki i+1 x k k b b b b b 26 26 26 26 26 = Lh,I z ≡ Lh,I y   x0 ,     y0 ,     xn ,    yn ,  bki bki  bki bki bki  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2) 17 18 16  f + f + f + · · · + f + f2i , f +  1i 1i  ki 2i ki 1i ki 2i ki  b b b b bki  15 15 15 15 15     bki bki  bki bki bki   25 f1i + f2i + 27 f1i + 28 f2i + · · · + 2(2k+1) f (k-2) + 2(2k+2) f (k-2) , 1i 2i ki k bki bki bki bki = b26 fh,I 26 26 26 26   x0 ,     y0 ,      xn ,    yn , для всех i = 1, 2, . . . , n - 1, где i - номер узла сетки Dh ; xi , yi - искомые ki сеточные функции; bki 1j , b2j , j = 1, 2, . . . , 2k + 2 - элементы обратных матриц от локальных матриц Aki . Второй нижний индекс в записи задачи (2) указывает на использование граничных условий первого рода. Выше и далее верхний индекс k означает степень используемого многочлена Тейлора, если речь не идет о показателях алгебраических степеней, степенях производных и символов транспонирования. В дальнейшем наряду с обозначением (2) ту же разностную краевую задачу будем обозначать для краткости как Lkh,I . 1. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода. В первом сообщении [1] показано, что в развернутом виде задача (2) есть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящая из (2n - 2) уравнений, в которой x0 , y0 , xn , yn - заданные числа. В граничных условиях третьего рода α0 x0 + β0 x0 = x0 , α1 y0 + β1 y0 = y0 , α2 xn + β2 xn = xn , α3 yn + β3 yn = yn , (3) где x0 , y0 , xn , yn , αj , βj - заданные числа, j = 0, 1, 2, 3; значения x0 , y0 , xn , yn не заданы. Следовательно, в задачу (2) необходимо добавить четыре 57 М а к л а к о в В. Н. алгебраических уравнения, которые содержали бы величины x0 , y0 , xn , yn в качестве искомых неизвестных. Локальные матрицы Aki , i = 1, 2, . . . , n - 1, и их последующие преобразования оставим без изменения в виде, как это было выполнено в [1]. Составим локальную матрицу Ak0 для двухточечного шаблона t0 , t1 так, чтобы искомые решения задачи удовлетворяли граничным условиям (3) в левой границе t0 = a области интегрирования D. Выполним преобразования. Запишем для функций x(t), x (t) в левой границе области интегрирования при фиксированном k следующие многочлены Тейлора: h2 h3 hk (k) x1 - x1 + · · · + (-1)k x1 , 2! 3! k! k-1 h h2 (k) x0 = x1 - hx1 + x1 - · · · + (-1)k-1 x . 2! (k - 1)! 1 x0 = x1 - hx1 + (4) (5) Сложив умноженные на α0 обе части равенства (4) и умноженные на β0 обе части равенства (5), с учетом первого из граничных условий третьего рода (3) получим следующее: h2 h3 h2 - β0 h x1 + -α0 + β0 x + 2! 3! 2! 1 hk-1 hk (k) x1 = α0 x0 + β0 x0 = x0 . (6) α0 - β0 k! (k - 1)! α0 x1 + -α0 h + β0 x1 + α0 + · · · + (-1)k Выполним аналогичные преобразования с многочленами Тейлора для функций y(t), y (t) в левой границе области интегрирования: h3 hk (k) h2 y1 - y1 + · · · + (-1)k y1 , 2! 3! k! 2 k-1 h h (k) y0 = y1 - hy1 + y1 - · · · + (-1)k-1 y1 . 2! (k - 1)! y0 = y1 - hy1 + (7) (8) C учетом второго из граничных условий третьего рода (3) получим α1 y1 + -α1 h + β1 y1 + α1 + · · · + (-1)k h2 h3 h2 - β1 h y1 + -α1 + β1 y + 2! 3! 2! 1 hk hk-1 (k) α1 - β1 y = α1 y0 + β1 y0 = y0 . (9) k! (k - 1)! 1 Введем обозначения Hjm = (-1)m αj hm hm-1 - βj , m! (m - 1)! j = 0, 1, m = 1, 2, . . . , k, (10) и равенства (6), (9) запишем компактно: (k) α0 x1 + H01 x1 + H02 x1 + H03 x1 + · · · + H0k x1 = x0 , 58 (11) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . (k) α1 y1 + H11 y1 + H12 y1 + H13 y1 + · · · + H1k y1 = y0 . (12) Производные по аргументу t от обеих частей уравнений системы (1) в узле t1 запишем в виде u11 x1 + p11 x1 + r11 x1 + v11 y1 + q11 y1 + s11 y1 u21 x1 + p21 x1 + r21 x1 + v21 y1 + q21 y1 + s21 y1 (r) = (f11 )(r) , (r) = (f21 )(r) , (13) где r = 1, 2, . . . , k - 2. Из равенств (11), (12), многочленов Тейлора (4), (7), дифференциальных уравнений системы (1), записанных в узле t1 , и производных (13) составим следующую систему из 2k + 2 уравнений:  (k) α0 x1 + H01 x1 + H02 x1 + H03 x1 + · · · + H0k x1 = x0 ,     (k)  α1 y1 + H11 y1 + H12 y1 + H13 y1 + · · · + H1k y1 = y0 ,       h3 hk h2   x1 - hx1 + x1 - x1 + · · · + (-1)k x(k) = x0 ,   2! 3! k! 1    k  h2 h3  k h y (k) = y ,  y - hy + y - y + · · · + (-1)  1 0 1 1 1  2! 3! k! 1      r11 x1 + p11 x1 + u11 x1 + s11 y1 + q11 y1 + v11 y1 = f11 , r21 x1 + p21 x1 + u21 x1 + s21 y1 + q21 y1 + v21 y1 = f21 , (14)   r x + (r + p )x + (p + u )x + u x + s y +  1 11 11 11 1 11 11 1 11 1 1 11     +(s11 + q11 )y1 + (q11 + v11 )y1 + v11 y1 = f11 ,     r21 x1 + (r21 + p21 )x1 + (p21 + u21 )x1 + u21 x1 + s21 y1 +      +(s21 + q21 )y1 + (q21 + v21 )y1 + v21 y1 = f21 ,     ...      (k-2) (k) (k-2) (k) (k-2)   r11 x1 + · · · + u11 x1 + s11 y1 + · · · + v11 y1 = f11 ,    (k-2) (k) (k-2) (k) (k-2) r21 x1 + · · · + u21 x1 + s21 y1 + · · · + v21 y1 = f21 . Система (14) является СЛАУ, имеющей в матричной форме вид Ak0 W k0 = Gk0 в обозначениях  α0 0 H01 0 H02 0 α1 0 H11 0 H12  0  h2   1 0 -h 0 0  2!  h2  1 0 -h 0  0 k0 A = 2!  r11 s p q u v 11 11 11 11 11   r21 s p q u v 21 21 21 21 21   ... ... ... ... ... ...  (k-2) (k-2) r11 s11 ... ... ... ... (k-2) (k-2) r21 s21 ... ... ... ... ... ... H0k 0 hk . . . (-1)k k! ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... u11 u21 0 H1k      0  k h  (-1)k  k!  , (15)  0   0  ...   v11  v21 59 М а к л а к о в В. Н. (k) (k) (k-2) f21 W k0 = x1 y1 x1 y1 x1 y1 . . . x1 y1 Gk0 = x0 y0 x0 y0 f11 f21 . . . f11 , (k-2) , где - символ транспонирования. Предполагая существование обратной матрицы B k0 = (Ak0 )-1 от локальной матрицы (15), найдем матричное равенство B k0 Gk0 = W k0 , из которого выпишем два первых уравнения: k0 k0 k0 k0 k0 b11 x0 + bk0 12 y0 + b13 x0 + b14 y0 + b15 f11 + b16 f21 + · · · + (k-2) + bk0 1(2k+1) f11 (k-2) = x1 , (16) (k-2) = y1 , (17) + bk0 1(2k+2) f21 k0 k0 k0 k0 k0 bk0 21 x0 + b22 y0 + b23 x0 + b24 y0 + b25 f11 + b26 f21 + · · · + (k-2) + bk0 2(2k+1) f11 + bk0 2(2k+2) f21 k0 где bk0 jm - элементы матрицы B . Из соотношений (16), (17) найдем - bk0 bk0 x1 bk0 bk0 bk0 13 14 11 12 16 x - y + = x + y + f + f + ···+ 0 11 k0 0 k0 k0 0 k0 0 k0 21 bk0 b b b b b 15 15 15 15 15 15 + - bk0 1(2k+1) bk0 15 (k-2) f11 + bk0 1(2k+2) bk0 15 (k-2) , (18) (k-2) . (19) f21 bk0 bk0 y1 bk0 bk0 bk0 23 24 21 22 25 x - y + = x + y + f + f21 + · · · + 0 k0 0 k0 k0 0 k0 0 k0 11 bk0 b b b b b 26 26 26 26 26 26 + bk0 2(2k+1) bk0 26 (k-2) f11 + bk0 2(2k+2) bk0 26 f21 Выполним аналогичные преобразования в правой границе tn = b области интегрирования D: bkn bkn bkn bkn xn-1 bkn 13 14 11 12 16 - x - y = x + y + f + f + ···+ 1(n-1) kn n kn n kn n kn n kn 2(n-1) bkn b b b b b 15 15 15 15 15 15 + bkn 1(2k+1) bkn 15 (k-2) f1(n-1) + bkn 1(2k+2) bkn 15 (k-2) f2(n-1) , (20) yn-1 bkn bkn bkn bkn bkn 23 24 21 22 25 - x - y = x + y + f1(n-1) + f2(n-1) + · · · + n n n n kn kn kn kn kn kn b26 b26 b26 b26 b26 b26 + 60 bkn 2(2k+1) bkn 26 (k-2) f1(n-1) + bkn 2(2k+2) bkn 26 (k-2) f2(n-1) , (21) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . kn = (Akn )-1 . где bkn jm - элементы матрицы B Теперь рассматриваемую разностную краевую задачу с граничными условиями третьего рода c учетом (18)-(21) запишем в компактной символической форме: k Lkh,III z = fh,III , (22) где  ki bki xi bki bki b11  12 13 14  x - y + - x - -   bki i-1 bki i-1 bki bki i+1 bki yi+1 ,   15 15 15 15 15    ki ki ki ki  b yi b23 b b21   xi-1 - 22 yi-1 + ki - ki xi+1 - 24 yi+1 , - ki   ki  b26 b26 b26 b26 bki  26     bk0 bk0 x1  13 14  - x - y0 + k0 ,  0  bk0 k0 b15 b15 x 15 = Lkh,III z ≡ Lkh,III k0 k0 y  b23 b24 y1    - k0 x0 - k0 y0 + k0 ,   b26 b26 b26      xn-1 bkn bkn  13 14   - x - yn , n  kn kn  b15 b15 bkn  15     y bkn bkn  23 24   n-1 - x - y , n kn kn n bkn b b 26 26 26  ki ki ki bki bki  f + b16 f + b17 f + b18 f + · · · + 1(2k+1) f (k-2) + 1(2k+2) f (k-2) ,  2i 1i  1i 2i 1i 2i  bki bki bki bki bki  15 15 15 15 15     bki bki  bki bki bki  2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2) 27 28 25  f + f + f + f + · · · + f + f2i ,  2i 1i  ki 1i ki 1i ki 2i ki ki  b b b b b  26 26 26 26 26     bk0 bk0  bk0 bk0 bk0 1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)  11 12 16  x + y + f + f + · · · + f + f21 ,  11 11  k0 0 k0 0 k0 21 k0  b b b b bk0  15 15 15 15 15     bk0 bk0  bk0 bk0 bk0 2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2) 21 22 25   x0 + y0 + k0 f11 + f21 + · · · + f11 + f21 ,  k0 k0 k0 b26 b26 b26 b26 bk0 k 26 fh,III =   bkn bkn bkn  12 16 11  x + y + f + f + ···+  kn n 1(n-1) kn n kn 2(n-1)   b b b  15 15 15     bkn bkn  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)   + f + f2(n-1) ,  1(n-1) kn  b15 bkn  15    kn   b21 bkn bkn  22 25  x + y + f + f2(n-1) + · · · +  kn n kn n kn 1(n-1)   b b b 26 26 26      bkn bkn  2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2)   + kn f1(n-1) + f2(n-1) , b26 bkn 26 для всех i = 1, 2, . . . , n - 1. Система (22) состоит из (2n + 2) уравнений с (2n + 2) неизвестными, включая и x0 , y0 , xn , yn . 61 М а к л а к о в В. Н. Положим в (10) и в аналогичном обозначении постоянных в локальной матрице Akn значения αj = 0, βj = 1, j = 0, 1, 2, 3. Тогда задача (22) превратится в разностную краевую задачу k Lkh,II z = fh,II , в которой использованы граничные условия второго рода x0 = x0 , y0 = y0 , xn = xn , yn = yn . (23) 2. Оценка порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода. При исследовании дифференциальной краевой задачи для одного ОДУ2 относительно x(t) сеточная функция xi , i = 0, 1, . . . , n, являющаяся решением разностной краевой задачи, при подстановке в уравнения этой разностной краевой задачи обратит их в верные равенства. В [2] показано, что подстановка в уравнения задачи сеточной функции [xi ], совпадающей с точным решением в узлах сетки Dh и отличающейся от xi , приведет к некоторому отличию от верных равенств. Эти отличия и характеризует невязка δfhk [2]. Иными словами, подстановка [x] в Lkh x = fhk приводит к Lkh [x] = fhk + δfhk . Согласно [2, 3], разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу на точном решении x, если δfhk → 0 при h → 0. Если при этом имеет место неравенство δfhk | Chk , где C > 0, k > 0 - некоторые постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место аппроксимация порядка k относительно величины h. Подстановка [z] в задачу (22) приводит к k k Lkh,III [z] = fh,III + δfh,III . (24) При оценке порядка аппроксимации задачи (2) в [1] были использованы лишь внутренние узлы сетки Dh в силу того, что в граничных узлах сетки невязка в этой задаче обращается в нуль [1, 2]. В [2] для оценки порядка аппроксимации обоснована целесообразность разбиения разностной задачи на подзадачи (подсистемы); в частности, граничные точки области интегрирования можно выделить в отдельные подзадачи. В силу того, что во внутренних узлах сетки Dh разностные уравнения задач Lkh,I и Lkh,III совпадают, а невязка задачи Lkh,I вычислена в [1], для вычисления невязки задачи (22) остается исследовать лишь граничные точки области интегрирования. Поэтому задачу (22) разобьем на три подзадачи в зависимости от области изменения независимого аргумента t: - внутренние точки области интегрирования исследуются в первой подзадаче - это рассмотренная в [1] задача Lkh,I ; 62 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . - левая граница t0 = a области интегрирования исследуется во второй подзадаче: k0 Lk0 (25) h,III z = fh,III , где k0 Lk0 h,III z ≡ Lh,III k0 fh,III x y  k0 b13   x0 - - k0  b15 =  bk0   - 23 x0 - bk0 26 bk0 x1 14 y0 + k0 , k0 b15 b15 bk0 y1 24 y0 + k0 , k0 b26 b26  k0 bk0 bk0 b11  12 16   x + y + f + f + ···+ 0 0 11  k0 k0 k0 21  b b b  15 15 15    bk0 bk0  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)   + f11 + f21 ,  k0 b15 bk0 15 = bk0 bk0 bk0  21 25   k0 x0 + 22 y + f + f21 + · · · + 0  k0 k0 11  b b b  26 26 26    bk0 bk0  2(2k+2) (k-2) 2(2k+1) (k-2)   f11 + f21 ; +  k0 b26 bk0 26 - правая граница tn = b - в третьей подзадаче kn Lkn h,III z = fh,III . (26) Рассмотрим задачу (25). При составлении локальной матрицы Ak0 используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле t1 , и производные (13), а вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем следующие точные равенства: h2 h3 hk (k) [x1 ] - [x1 ] + · · · + (-1)k [x1 ], 2! 3! k! 2 k-1 h h k-1 [x(k) ], [x0 ] - Rx,0 = [x1 ] - h[x1 ] + [x1 ] - · · · + (-1)k-1 2! (k - 1)! h2 h3 hk (k) k [y0 ] - Ry,0 = [y1 ] - h[y1 ] + [y1 ] - [y1 ] + · · · + (-1)k [y1 ], 2! 3! k! k-1 2 h h (k) k-1 [y ]. [y0 ] - Ry,0 = [y1 ] - h[y1 ] + [y1 ] - · · · + (-1)k-1 2! (k - 1)! 1 k [x0 ] - Rx,0 = [x1 ] - h[x1 ] + (27) (28) (29) (30) В равенствах (27)-(30) вторые слагаемые в левых частях есть дополнительные члены разложений в ряд Тейлора в форме Лагранжа [4] соответствующих функций, например, k R0,x = hk+1 (k+1) x (ξ) = O(hk+1 ), (k + 1)! ξ ∈ (t0 , t1 ). В итоге получим матричное равенство Ak0 W k0 = Gk0 , 63 М а к л а к о в В. Н. в котором локальная матрица Ak0 , как и ранее, определяется формулой (15) и   k - β Rk-1   x0 - α0 Rx,0 0 x,0 [x1 ]  k - β Rk-1   [y1 ]   y0 - α1 Ry,0 1 y,0   [x ]    k  1    [x0 ] - Rx,0  [y ]    k  1    [y ] - R 0 y,0  [x ]     1    f11  [y1 ]    k0 k0 [W ] =  , [G ] =   . f21  [x1 ]    f11      [y1 ]    f21      ...    ...  (k)      [x1 ] (k-2) f11   (k) (k-2) [y1 ] f21 Выполняя преобразования, аналогичные приведенным выше при исследовании задачи (22), получим в граничной точке t0 = a вместо (18), (19) следующие равенства: - bk0 [x1 ] bk0 bk0 bk0 bk0 14 11 12 16 13 [x ] - [y ] + = x + y + f + f + ···+ 0 0 0 0 11 k0 k0 k0 k0 k0 21 bk0 b b b b b 15 15 15 15 15 15 + bk0 1(2k+1) bk0 15 (k-2) f11 + bk0 1(2k+2) bk0 15 (k-2) f21 - - - k-1 k0 k k bk0 11 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b13 Rx,0 bk0 15 k-1 k0 k k bk0 12 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b14 Ry,0 bk0 15 - , (31) bk0 bk0 [y1 ] bk0 bk0 bk0 23 24 21 22 25 [x ] - [y ] + = x + y + f11 + f21 + · · · + 0 0 0 0 k0 k0 k0 k0 k0 b26 b26 b26 b26 b26 bk0 26 + bk0 2(2k+1) bk0 26 (k-2) f11 + bk0 2(2k+2) bk0 26 (k-2) f21 - - k-1 k k0 k bk0 21 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b23 Rx,0 bk0 26 k-1 k k0 k bk0 22 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b24 Ry,0 bk0 26 - . (32) Отбрасывание двух последних дробей в равенствах (31), (32), что равносильно переходу от точного решения [xi ], [yi ], i = 0, 1, к искомому приближенному xi , yi , i = 0, 1, приводит к задаче (25). Следовательно, в соответствии с (24), последние две дроби в равенствах (31), (32) характеризуют величины невязок в левой границе области интегрирования; в итоге для рассматриваемой задачи (25) имеем k0 δfh,III = где 64 k0 δf1h,III , k0 δf2h,III , Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . k0 δf1h,III =- k-1 k k0 k bk0 11 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b13 Rx,0 bk0 15 - k0 δf2h,III =- k-1 k k0 k bk0 12 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b14 Ry,0 bk0 15 k-1 k k0 k bk0 21 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b23 Rx,0 bk0 26 - - , (33) - k-1 k k0 k bk0 22 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b24 Ry,0 bk0 26 . (34) Первое слагаемое в равенствах (33), (34) характеризует величину невязки, появление которой обусловлено функцией x, второе - функцией y. k0 k0 Исследуем невязки δf1h,III и δf2h,III . В узле t0 введем, как в [1], компактные обозначения для определителей второго порядка, например, U0 V 0 = u10 v10 . u20 v20 (35) В дальнейшем будем опускать индекс 0 в левой части в обозначениях определителей вида (35). Отметим, что вычисление точных значений алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (A20 ) , как это было сделано в [1], не является особо трудоемкой процедурой; тем не менее нет строгой необходимости в нахождении точных значений в силу того, что для вычисления невязок необходимы лишь главные части этих алгебраических дополнений в их разложениях по степеням h; поэтому допустим, лишь для сокращения объема выкладок, пренебрежение старшими степенями в каждом элементе локальной матрицы A20 при нахождении алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (A20 ) . Для задачи (25) непосредственными вычислениями можно для любого k 3 убедиться в справедливости оценки k0 20 M11 ≈ (U V )k-2 M11 , k0 M11 (36) ak0 11 где - алгебраическое дополнение элемента транспонированной лоk0 кальной матрицы A . Частный случай равенства (36) при k = 3, где для матрицы A30 учтено приведенное выше допущение для матрицы A20 , пренебрегая старшими степенями и опуская номер 0 узла сетки, запишем, используя обозначения (10), как 3 M11 α1 0 H11 = 0 H12 0 H13 0 h 0 h2 2 0 h3 3! 0 1 0 h 0 h2 2 0 h3 3! s1 s2 s1 s2 p1 p2 p1 p2 q1 q2 q1 q2 u1 u2 u1 u2 ≈ v1 v2 v1 v2 0 0 u1 u2 0 0 v1 v2 65 М а к л а к о в В. Н. α1 0 0 h β1 0 h2 0 ≈ 2 -β1 h 0 h3 0 3! 2 β1 h2 0 α1 0 β1 + u1 0 -β1 h 2 β1 h2 1 0 h 0 s1 p1 q1 u1 v1 0 0 1 0 h 0 h2 2 0 h3 3! 0 h 0 h2 2 h2 2 h3 3! 5 0 0 s2 p2 q2 u2 v2 0 0 s1 p1 q1 u1 v1 0 s1 p1 q1 u1 v1 u1 v1 s2 p2 q2 u2 v2 0 s2 α1 p2 0 q2 3 β1 u2 = h 0 3! v2 -β1 h 2 u2 β1 h2 v2 s2 α1 p2 0 q2 β1 u2 - u2 0 v2 -β1 h 2 v2 β1 h2 1 0 h 0 s1 s2 s1 s2 p1 p2 p1 p2 q1 q2 q1 q2 u1 u2 u1 u2 + v1 v2 v1 v2 0 0 v1 v2 h2 2 h3 3! 0 h 0 h2 2 0 0 1 0 h 0 h2 2 h3 3! s1 s2 s1 p1 p2 p1 q1 q2 q1 u1 u2 u1 = v1 v2 v1 0 0 v1 2 = c3 h + O(h6 ) + u1 d3 h3 + O(h4 ) + v2 M11 - 2 2 2 - u2 g3 h3 + O(h4 ) + v1 M11 ≈ (u1 v2 - u2 v1 ) M11 = U V M11 , где pj , qj , uj , vj , j = 1, 2, есть функции от pj , qj , uj , vj и их первых производных; c3 , d3 , g3 - независящие от h величины. Формулы, аналогичные (36), имеют место, по крайней мере, для первых шести элементов первой и второй строк матрицы (Ak0 ) ; на основании чего и очевидных равенств bk0 1j bk0 15 = k M1j k M15 , bk0 2j bk0 26 = k M2j k M26 , j = 1, 2, 3, 4, , j = 1, 2, 3, 4. следуют оценки bk0 1j bk0 15 ≈ 2 M1j 2 M15 , bk0 2j bk0 26 ≈ 2 M2j 2 M26 (37) Невязка (33) с учетом соотношений (37) примет вид k0 δf1h,III ≈- 2 (α Rk + β Rk-1 ) + M 2 Rk M11 0 x,0 0 x,0 13 x,0 2 M15 - - 2 (α Rk + β Rk-1 ) + M 2 Rk M12 1 y,0 1 y,0 14 y,0 2 M15 . (38) Найдем оценки алгебраических дополнений первых пяти элементов первой строки матрицы (A20 ) . C учетом приведенного выше допущения имеем 2 M11 66 α1 0 H = 11 0 H12 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 α1 p1 p2 0 q1 q2 ≈ β1 u1 u2 0 v1 v2 -β1 h 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 = u1 u2 v1 v2 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . α1 β1 =h 0 -β1 h 1 h 0 h2 2 α1 s1 s2 2 0 q1 q2 h β1 u1 u2 + 2 -β1 h v1 v2 1 0 h h2 2 s1 p1 q1 v1 s2 p2 q2 . (39) v2 Вычислим оценку первого определителя последнего равенства: α1 β1 0 -β1 h 1 h 0 h2 2 s1 s2 α1 q1 q2 β1 = u 1 u1 u2 -β1 h v1 v2 1 h h2 2 s2 α1 q2 - u2 β1 -β1 h v2 1 h h2 2 s1 q1 = v1 3 = -β1 U V + h(α1 U V + β1 QU ) + h2 α1 QU - β1 SU ≈ -β1 U V. 2 Заметим, что в равенстве (39) значение второго определителя отличается знаком от первого определителя, в котором элементы u1 , u2 заменены на p1 , p2 соответственно. Тогда с учетом замечания получим оценку 2 M11 ≈ -β1 hU V + β1 h2 P V ≈ -β1 hU V, 2 M13 0 α1 H01 0 = 0 H11 H02 0 0 H12 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ u1 u2 v1 v2 0 α1 1 0 β1 ≈ β0 0 -h 0 0 -β1 h 2 M12 0 H01 =- 0 H02 0 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 (40) 0 s1 s2 β0 p1 p2 q1 q2 ≈ - 0 -β0 h u1 u2 v1 v2 0 0 0 1 0 3 = - β0 h2 0 0 2 -h 1 0 0 1 0 h 0 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ β0 β1 U V, (41) u1 u2 v1 v2 h2 2 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 1 0 h 0 h2 2 s1 p1 q1 u1 v1 s1 p1 q1 u1 v1 s2 p2 q2 u2 v2 s2 p2 q2 = u2 v2 3 ≈ β0 h2 QV, (42) 2 67 М а к л а к о в В. Н. 2 M14 0 α1 H01 0 0 H =- 11 H02 0 0 H12 2 M15 0 α1 H01 0 0 H 11 = H02 0 0 H12 0 h 0 s1 s2 p 1 p2 q1 q2 ≈ h2 u1 u2 2 0 v1 v2 0 α1 0 s1 s2 1 0 0 p1 p2 3 3 β1 0 q1 q2 ≈ - β0 h2 (α1 QV - β1 SV ), (43) ≈ - β0 h2 0 2 2 -h 0 1 u1 u2 0 -β1 h 0 v1 v2 0 h 0 1 0 h 0 s2 p2 q2 ≈ h2 u2 2 2 0 h2 v2 0 α1 1 0 3 2 0 β ≈ β0 h 1 2 -h 0 0 -β1 h 0 1 s2 0 0 p2 3 0 h q2 ≈ - β0 β1 h2 v2 . (44) 2 1 0 u2 0 h2 v2 При точном вычислении соответствующих определителей результаты оценок значений алгебраических дополнений совпали с полученными выше оценками (40)-(44); указанный факт является прямым следствием принятого выше допущения о главных частях в разложениях алгебраических дополнений по степеням h. С учетом оценок (40)-(44) запишем величину невязки (38): k0 δf1h,III - 3β0 β1 h2 v2 k + β Rk-1 ) + β h2 (α QV - β SV )Rk -β0 h2 QV (α1 Ry,0 1 y,0 0 1 1 y,0 ≈- - k + β Rk-1 ) - 2β β U V Rk 2β1 hU V (α0 Rx,0 0 x,0 0 1 x,0 = β0 β1 h2 v2 = O(hk ) + O(hk-1 ) + O(hk-1 ) + O(hk+1 ) + O(hk ) + O(hk+1 ) = O(hk-1 ) (45) для произвольного k 2. Заметим, что главенствующую роль во вкладе в веk0 личину невязки δf1h,III играет функция x независимо от четности k. Оценка k0 невязки δf2h,III оказалась схожей с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция y. Тогда, в соответствии с [2], k0 k0 k0 δfh,III = max δf1h,III , δf2h,III = = max O(hk-1 ), O(hk-1 ) = O(hk-1 ). (46) 68 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . Выполненные расчеты показали совпадение главенствующих ролей функций x, y и оценок невязок задач (25) и (26): kn = O(hk-1 ). δfh,III (47) Анализ оценки (45) показывает ее справедливость при α0 = 0, α1 = 0, β0 = 1, β1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (45) слагаемые, обеспечивающие порядок O(hk-1 ), содержат в качестве сомножителей произведения чисел β0 , β1 , которые отличны от нуля одновременно и не содержат α0 , α1 в качестве сомножителей. Вернемся к оценке порядка аппроксимации задачи (22). Определим итоговую норму невязки этой задачи в соответствии с [2] следующим образом: kn k0 k k , δfh,III , δfh,III = max δfh,I δfh,III . (48) При вычислении порядка аппроксимации задачи (2) в [1] показана зависимость оценки нормы невязки от четности k: - для четного k k = O(hk ), (49) δfh,I - для нечетного k k δfh,I = O(hk-1 ). (50) Порядок аппроксимации той или иной разностной задачи будем компактно обозначать как E O(hk ) = k. Тогда оценка (49) для четного k дает EIk = k, (51) EIk = k - 1. (52) k0 kn EIII = EIII = k - 1. (53) а оценка (50) для нечетного k - Из оценок (46), (47) имеем Соотношения (48), (51)-(53) для задачи (22) для четного k дают оценку k EIII = min(k, k - 1, k - 1) = k - 1, (54) а для нечетного k - k EIII = min(k - 1, k - 1, k - 1) = k - 1, т. е. порядок аппроксимации задачи (22) оказался на единицу меньше степени k используемого многочлена Тейлора независимо от ее четности. Аналогичная ситуация имела место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 с граничными условиями второго или третьего рода [5]. 69 М а к л а к о в В. Н. Из (48) для четного k и (54) видно, что, повысив порядок аппроксимации на единицу в граничных узлах t0 , tn , тем самым повысим порядок аппроксимации всей задачи Lkh,III на единицу. 3. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода для четного k. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода рассмотрим на примере задачи L2h,III . При составлении локальной матрицы A20 используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле t1 , вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем точные равенства (27)-(30), положив в них k = 3. В итоге получим систему  3 2  α0 [x1 ] + H01 [x1 ] + H02 [x1 ] + H03 [x1 ] = x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 ,    3 - β R2 ,  α1 [y1 ] + H11 [y1 ] + H12 [y1 ] + H13 [y1 ] = y0 - α1 Ry,0  1 y,0     3 2  h h  3 ,  [x1 ] + h[x1 ] + [x1 ] + [x1 ] = [x0 ] - Rx,0 2! 3!   h2 h3  3 ,  ] + [y ] + h[y [y ] + [y1 ] = [y0 ] - Ry,0  1 1 1   2! 3!     r11 [x1 ] + s11 [y1 ] + p11 [x1 ] + q11 [y1 ] + u11 [x1 ] + v11 [y1 ] = f11 ,     r21 [x1 ] + s21 [y1 ] + p21 [x1 ] + q21 [y1 ] + u21 [x1 ] + v21 [y1 ] = f21 . (55) Отметим, что локальная матрица задачи (55) содержит шесть строк и восемь столбцов вследствие наличия в левых частях первых четырех уравнений третьих производных x , y . Выразим третьи производные через производные меньших степеней. Дифференциальные уравнения системы (1) запишем в форме u1 x + v1 y = z1 , u2 x + v2 y = z2 , (56) где zj = fj -rj x-sj y-pj x -qj y , j = 1, 2. Решение системы (56) относительно x , y имеет вид z1 u1 ZV ZV , y = - , (57) x = UV v1 v1 U V где, например, определитель UV = u1 v1 u2 v2 (58) является функцией t, в отличие от определителя (35). Определитель ZV вычисляется аналогичной (58) формулой с заменой U = [u1 u1 ] на Z = [z1 z2 ] . 70 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . Непосредственными вычислениями можно убедиться в справедливости равенств (U V ) = U V + U V , PQ (P Q) U V - P Q(U V ) , = (59) UV (U V )2 P U + P V = P (U + V ), P V + RV = (P + R)V, где, например, P (U + V ) - вычисляемый аналогичной (58) формулой определитель, в котором (U + V ) = [u1 + v1 u2 + v2 ] ; U = [u1 u1 ] ; (U V )2 - квадрат определителя U V . Вычисление производной по t с использованием формул (59) от обеих частей первого соотношения (57) дает точное равенство x = Lx0 + Lx1 x + Lx2 y + Lx3 x + Lx4 y + Lx5 x + Lx6 y , (60) где верхний индекс x в коэффициентах Lxj , j = 0, 1, . . . , 6, означает принадлежность этого коэффициента к третьей производной x ; Lx0 = (F V ) (U V ) F V - , UV (U V )2 Lx2 = - Lx4 = - Lx1 = - R (V + V ) (U V ) RV + , UV (U V )2 RV + P V (U V ) P V + , UV (U V )2 S (V + V ) (U V ) SV + , UV (U V )2 Lx5 = - Lx3 = -P V, SV + QV (U V ) QV + , UV (U V )2 Lx6 = -QV. Аналогичное равенству (60) дает дифференцирование по t обеих частей второго соотношения в (57): y = Ly0 + Ly1 x + Ly2 y + Ly3 x + Ly4 y + Ly5 x + Ly6 y . (61) Заметим, что все коэффициенты Lxj , Lyj , j = 0, 1, . . . , 6, равенств (60), (61) не зависят от h и являются лишь функциями t. Подстановка в систему (55) точных равенств (60), (61), записанных в узле t1 , дает старшую степень производной функций x и y, равной двум в этой СЛАУ, матричную форму которой запишем как A20 [W 20 ] = [G20 ] в обозначениях  α0 + KLx1 KLx2 y  N L1 α1 + N Ly2  3 h x h3 x  L1 + 1 L  3! 2 A20 =  3! 3 3 h y  h y  L L +1  3! 1 3! 2  r1 s1 r2 s2 I + KLx3 KLx4 y N L3 L + N Ly4 h3 x h3 x L3 + h L 3! 3 3! 4 3 h y h y L3 L +h 3! 3! 4 p1 q1 p2 q2 J + KLx5 N Ly5 h3 x h2 L + 2 3! 53 h y L 3! 5 u1 u2  KLx6 M + N Ly6    h3 x  L 6 3!  , 3 2 y h h   3! L6 + 2   v1 v2 71 М а к л а к о в В. Н.   [x1 ]  [y1 ]    [x ] [W 20 ] =  1  ,  [y1 ]  [x ] 1 [y1 ]  3 - β R2 - KLx  x0 - α0 Rx,0 0 x,0 0  y 3 2  y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0      3 h   3 x   [x0 ] - Rx,0 - L0 20  , 3! [G ] =   3 h   3 -   Ly0 [y0 ] - Ry,0   3!   f11   f21 где с использованием (10) принято I = H01 , J = H02 , K = H03 , L = H11 , M = H12 , N = H13 . Отметим, что локальная матрица A20 теперь содержит шесть строк и шесть столбцов. В предположении существования обратной матрицы B 20 = (A20 )-1 от матрицы A20 найдем B 20 [G20 ] = [W 20 ]. Выпишем первые два уравнения последнего матричного равенства: y 3 2 x 20 3 2 b20 11 x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 - KL0 + b12 y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0 + h3 x h3 y 20 3 L0 + b20 L + b20 15 f11 + b16 f21 = [x1 ], 14 [y0 ] - Ry,0 - 3! 3! 0 y 3 2 3 2 x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 - KLx0 + b20 22 y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0 + 3 +b20 13 [x0 ] - Rx,0 - b20 21 3 +b20 23 [x0 ] - Rx,0 - h3 x h3 y 3 20 L0 + b20 [y ] - R - L + b20 0 24 y,0 25 f11 + b26 f21 = [y1 ]. 3! 3! 0 20 Здесь b20 jm , j = 1, 2 - элементы матрицы B . Эти же уравнения после преобразований будут иметь вид - b20 b20 [x1 ] b20 b20 13 14 11 12 [x ] - [y ] + = x + y0 + 0 0 0 b20 b20 b20 b20 b20 15 15 15 15 15 20 3 + Ly 6b20 N + b20 h3 Lx0 6b20 b20 11 K + b13 h 12 14 0 16 - + f11 + 20 f21 - b15 6b20 15 - 3 2 20 3 b20 11 α0 Rx,0 + β0 Rx,0 + b13 Rx,0 b20 15 - 3 2 20 3 b20 12 α1 Ry,0 + β1 Ry,0 + b14 Ry,0 b20 15 , (62) b20 b20 [y1 ] b20 b20 23 [x0 ] - 24 [y0 ] + 20 = 21 x0 + 22 y0 + 20 20 20 b26 b26 b26 b26 b20 26 20 3 + Ly 6b20 N + b20 h3 Lx0 6b20 b20 21 K + b23 h 22 24 0 25 - + 20 f11 + f21 - b26 6b20 26 - 3 2 20 3 b20 21 α0 Rx,0 + β0 Rx,0 + b23 Rx,0 b20 26 - 3 2 20 3 b20 22 α1 Ry,0 + β1 Ry,0 + b24 Ry,0 b20 26 . (63) Две последние дроби в равенствах (62), (63) характеризуют величины невязок в узле t0 , причем, как и ранее, первая из них характеризует величину 72 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . невязки, появление которой обусловлено функцией x, вторая - функцией y. Заметим, что две последние дроби в равенствах (62), (63) совпали по форме с невязками (33), (34) задачи (25) при k = 3. Вычислим оценки алгебраических дополнений, останавливаясь лишь на их главных частях, первых пяти элементов первой строки матрицы A20 , упрощенной указанным выше способом. Имеем 3 2 M11 h x α1 1 s1 s2 3! L2 2 y h3 y h h β1 2 L3 3! L3 p1 p2 h3 x = β1 L h q1 q2 ≈ 3! 2 4 h h3 y h2 y β1 2 L5 5 u1 u2 2 3! L h3 x h2 -β1 h v1 v2 3! L6 2 γ1 ≈ (-1) m13 m22 m31 m44 m55 + (-1)γ2 m13 m22 m31 m45 m54 = = -β1 hu1 v2 + β1 hu2 v1 = -β1 h (u1 v2 - u2 v1 ) = -β1 hU V, (64) где U V определяется формулой (35) с последующим допущением для нее об 2 , i, j = 1, 2, . . . , 5; γ , γ - число индексе 0; mij - элементы определителя M11 1 2 инверсий в парах вторых индексов сомножителей в произведениях первого и второго слагаемых соответственно, при условии, что первые индексы сомножителей в произведениях расположены по возрастанию [6]; 2 2 M13 2 2 M12 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h β0 h2 Lx2 β0 2 = - β0 h2 Lx4 -β0 h 2 β0 h2 Lx6 h3 x 3! L2 h h3 x 3! L4 h2 2 h3 x 3! L6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 h2 x 2 L2 1 = -β0 h h2 x 2 L4 -h h2 x 2 L6 2 2 M14 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = - β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ β0 β1 U V, u1 u2 v1 v2 (65) s1 s2 p1 p2 q1 q2 = u1 u2 v1 v2 2 - h3 Lx2 0 2 - h3 Lx4 3h 22 - h3 Lx6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s1 s2 p1 p2 3 q1 q2 ≈ β0 h2 QV, (66) 2 u1 u2 v1 v2 h3 x 3! L2 s1 s2 h p1 p2 3 2 h3 x 4 q1 q2 ≈ - 2 β0 h (α1 QV - β1 SV ) , (67) 3! L 2 h u1 u2 2 h3 x L 3! 6 v1 v2 73 М а к л а к о в В. Н. 2 2 M15 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h h3 x 3! L2 h h3 x 3! L4 h2 2 h3 x 3! L6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s2 p2 3 q2 ≈ - β0 β1 h2 v2 . 2 u2 v2 (68) Очевидные соотношения (37), при построении которых использованы приближенные равенства (64)-(68), дают оценку невязки из равенства (62) в форме 3 + β R2 ) - 2β β U V R3 2β1 hU V (α0 Rx,0 0 x,0 0 1 x,0 - 2 3β0 β1 h v2 3 + β R2 ) + β h2 (α QV - β SV )R3 -β0 h2 QV (α1 Ry,0 1 y,0 0 1 1 y,0 - = 2 β0 β1 h v2 = O(h3 ) + O(h2 ) + O(h2 ) + O(h4 ) + O(h3 ) + O(h4 ) = O(h2 ). (69) 20 ≈- δf1h,III Заметим, что, как и ранее, главенствующую роль во вкладе в величину 20 20 невязки δf1h,III играет функция x. Оценка невязки δf2h,III оказалась схожей с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция y. Тогда в соответствии с [2] имеем 20 δfh,III = O(h2 ). Выполненные расчеты показали совпадение оценок невязки задач L20 h,III и 2n Lh,III , т.е. оказалось, что 2n δfh,III = O(h2 ). Следовательно, порядок аппроксимации рассматриваемой задачи L2h,III стал равным степени k = 2 используемого многочлена Тейлора. Аналогичным образом может быть повышен порядок аппроксимации на единицу для любого четного значения k использованием операции дифференцирования обеих частей равенств (57) k - 1 раз с последующей подстановкой результатов дифференцирования в многочлены Тейлора степени k в системе вида (55). Анализ оценки (69) показывает ее справедливость при α0 = 0, α1 = 0, β0 = 1, β1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (69) слагаемые, обеспечивающие порядок O(h2 ), содержат в качестве сомножителей произведения чисел β0 , β1 , которые отличны от нуля одновременно и не содержат α0 , α1 в качестве сомножителей. 4. Оценка погрешностей. При выполнении численного эксперимента, как и в [1], использованы следующие нормы - в качестве суммарной оценки относительных погрешностей: Dxk = 74 n 2 i=0 (xi - [xi ]) 100%, n i=0 [xi ] Dyk = n 2 i=0 (yi - [yi ]) 100%, n i=0 [yi ] (70) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . которые можно трактовать как некий аналог коэффициента вариации в статистике, характеризующий меру разброса в процентах [7]; и в качестве максимальной оценки абсолютных погрешностей [2, 8]: Exk = max xi - [xi ] , Eyk = max yi - [yi ] , i = 0, 1, . . . , n. (71) В качестве примера использована имеющая аналитическое решение система нелинейных ОДУ2 вида (1)  t2 + 2   x - tx - x - ty = 2t cos t, t2  1 x t2 - 4   x + +y + y = -2t sin t 2 t 2t2 (72) с граничными условиями x(2π) + x (2π) = 4π 2 , y(2π) + 2y (2π) = 4π(π + 2), 3x(3π) + 2x (3π) = -18π 2 , 2y(3π) + 3y (3π) = -18π(π + 1). (73) В вычислениях использовались следующие параметры сетки: n = 15, h = 0.20944. Расчеты выполнялись без использования метода повышения порядка аппроксимации. Результаты численного эксперимента для краевой задачи (72) с граничными условиями (73) приведены в табл. 1, 2. Данные табл. 1 свидетельствуют об уменьшении погрешностей при увеличении числа k, что имело место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 [5, 9]. В табл. 2 нормы Dxk , Dyk , Exk , Eyk для производных x (t), y (t) характеризуют суммарные оценки относительных погрешностей. Максимальные оценки абсолютных погрешностей, соответственно, вычислены по формулам (70), (71), в которых значения функций заменены на значения своих первых производных, найденным по формулам ki ki ki ki ki bki j1 xi-1 + bj2 yi-1 + bj3 xi+1 + bj4 yi+1 + bj5 f1i + bj6 f2i + (k-2) + · · · + bki j(2k+1) f1i (k-2) + bki j(2k+2) f2i ((j-1)/2) , (74) ((j-1)/2) , (75) = xi ki ki ki ki bki (j+1)1 xi-1 + b(j+1)2 yi-1 + b(j+1)3 xi+1 + b(j+1)4 yi+1 + b(j+1)5 f1i (k-2) ki + bki (j+1)6 f2i + · · · + b(j+1)(2k+1) f1i (k-2) + bki (j+1)(2k+2) f2i = yi i = 1, 2, . . . , n - 1, j = 3, 5, . . . , 2k + 1, полученным в [1]. Первые производные в левой границе t0 = a области интегрирования вычислены с помощью равенств (5), (8), в которых использованы результаты вычислений производных по формулам (74), (75) при i = 1, j = 3, 5, . . . , 2k + 1. Выполнение в правой границе tn = b преобразований, аналогичных преобразованиям в левой границе, позволило вычислить первые производные xn , yn . 75 М а к л а к о в В. Н. Таблица 1 Значения погрешностей для решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the solution of the boundary value problem (72), (73)] k 2 3 4 5 6 7 Dxk , % Dyk , % Exk Eyk 4.83 · 10-1 7.01 · 10-1 1.03 1.52 1.35 · 10-1 3.52 · 10-1 4.50 · 10-1 6.54 · 10-1 2.64 · 10-3 2.51 · 10-3 5.72 · 10-3 5.80 · 10-3 3.93 · 10-4 2.56 · 10-4 7.65 · 10-4 7.24 · 10-4 8.29 · 10-5 8.10 · 10-5 1.66 · 10-4 1.50 · 10-4 8.70 · 10-5 8.18 · 10-5 1.72 · 10-4 1.57 · 10-4 Таблица 2 Значения погрешностей для первых производных решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the first derivatives of the boundary value problem (72), (73)] k 2 3 4 5 6 7 Dxk , % Dyk , % Exk Eyk 8.05 · 10-1 6.64 · 10-1 1.33 1.53 1.06 · 10-1 1.39 · 10-1 2.28 · 10-1 4.33 · 10-1 3.60 · 10-3 3.03 · 10-3 6.06 · 10-3 7.03 · 10-3 2.48 · 10-4 2.94 · 10-4 7.00 · 10-4 7.65 · 10-4 7.87 · 10-5 6.18 · 10-5 1.44 · 10-4 1.38 · 10-4 8.16 · 10-5 6.52 · 10-5 1.50 · 10-4 1.44 · 10-4 Практически аналогичный характер изменения погрешностей (динамика и абсолютные значения) имел место для ряда систем ОДУ2, в частности для системы (1 + t)x + 2x + ty - 2y = 2 sin 2t, x + 2x - 2ty = 2(1 + t2 ) sin 2t, с граничными условиями x(2π) + x (2π) = 0, y(2π) + 2y (2π) = 2(π + 1), 3x(3π) + 2x (3π) = 0, 2y(3π) + 3y (3π) = 3(2π + 1). Данные табл. 1 указывают на линейную зависимость порядка аппроксимации задачи Lkh,III от степени k используемого многочлена Тейлора. Эта зависимость отсутствует для задачи Lkh,I , подтверждение чему приведено в [1]. Заключение. По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы. 1. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации матричного метода и степенью k используемого многочлена Тейлора в разностных краевых задачах для систем линейных ОДУ2 с граничными условиями второго и третьего рода. Установлено следующее: а) порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу; б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках; в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу. 76 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . k0 kn 2. Главенствующую роль во вкладах в величины невязок δf1h,III , δf1h,III играет функция x; главенствующую роль во вкладах в величины невяk0 kn зок δf2h,III , δf2h,III играет функция y. 3. Для четной степени используемого многочлена Тейлора дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Об авторах

Владимир Николаевич Маклаков

Самарский государственный технический университет

Email: makvo63@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. высшей математики и прикладной информатики Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы