# Abstract

We present the second message of the cycle from two articles where the rearrangement of the order of approximation of the matrix method of numerical integration depending on the degree in the Taylor’s polynomial expansion of solutions of boundary value problems for systems of ordinary differential equations of the second order with variable coefficients with boundary conditions of the second kind were investigated. Using the Taylor polynomial of the second degree at the approximation of derivatives by finite differences leads to the second order of approximation of the traditional method of nets in inner points of the integration domain. In the study of boundary value problems for systems of ordinary differential equations of the second order we offer the previously proposed method of numerical integration with the use of matrix calculus where the approximation of derivatives by finite differences was not performed. According to this method a certain degree of Taylor polynomial can be selected at random for the construction of the difference equations system. The disparity is calculated and the order of the method of approximation is assessed depending on the chosen degree of Taylor polynomial. It is theoretically shown that a) for the boundary value problem with boundary conditions of the second and third kind the order of approximation is linearly proportional to the Taylor polynomial used and less than this level by 1 without regard to its parity; b) at even degree the order of approximation at boundary points of the integration domain is less by 1 than the order of approximation of the inner points; c) at uneven degree the orders of approximation at boundary points and in inner points of the integration domain are the same and less than this level by 1. For even degree the method of increasing of the order of approximation by 1 at boundary points of the integration domain to the order of approximation in inner points is performed. The theoretical conclusions are confirmed by a numerical experiment for boundary value problems with boundary conditions of the third kind.

# Full Text

Введение. При исследовании системы неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ2) с переменными коэффициентами u1 x + p1 x + r1 x + v1 y + q1 y + s1 y = f1 , u2 x + p2 x + r2 x + v2 y + q2 y + s2 y = f2 , (1) где x(t), y(t) - неизвестные непрерывные функции; uj , pj , rj , vj , qj , sj , fj - заданные функции аргумента t, дифференцируемые нужное число раз; j = 1, 2 - номер уравнения в системе (1). Будем, как и первом сообщении [1], придерживаться следующих принятых в [2] обозначений: 1) D - область интегрирования, ограниченная отрезком [a, b], Dh - узлы сетки, определяемые значениями ti = t0 + ih, i = 1, 2, . . . , n, t0 = a, tn = b, h = (b - a)/n, n + 1 - число узлов сетки; 2) x(t), y(t) - непрерывные функции, являющиеся точным решением системы (1) с теми или иными граничными условиями; 3) [x]h , [y]h - сеточные функции, совпадающие с точным решением в узлах сетки Dh ; 4) x(h) , y (h) - искомые сеточные функции. Для краткости примем для любой функции обозначение ϕ(ti ) = ϕi , где ti - узел сетки Dh . В дальнейшем опустим индекс h в наименованиях сеточных функций [x]h , [y]h , x(h) , y (h) . В первом сообщении [1] представлены преобразования, приводящие дифференциальную краевую задачу для ОДУ2 с переменными коэффициентами (1) с граничными условиями первого рода x0 = x0 , 56 y0 = y0 , xn = xn , yn = yn Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . к разностной краевой задаче, которая в компактной символической форме была записана, по аналогии с [2], как k Lkh,I z = fh,I , (2) где k - степень используемого многочлена Тейлора в разложениях в ряд Тейлора искомых функций x(t), y(t);  ki bki xi bki bki b  12 13 14  x - y + - x - yi+1 , - 11 i-1 i-1 i+1  ki ki ki ki  b15 b15 b15 b15 bki  15     bki bki yi bki bki  22 23 24  - 21 x - y + - x - y , i-1 i-1 i+1 ki ki ki ki ki i+1 x k k b b b b b 26 26 26 26 26 = Lh,I z ≡ Lh,I y   x0 ,     y0 ,     xn ,    yn ,  bki bki  bki bki bki  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2) 17 18 16  f + f + f + · · · + f + f2i , f +  1i 1i  ki 2i ki 1i ki 2i ki  b b b b bki  15 15 15 15 15     bki bki  bki bki bki   25 f1i + f2i + 27 f1i + 28 f2i + · · · + 2(2k+1) f (k-2) + 2(2k+2) f (k-2) , 1i 2i ki k bki bki bki bki = b26 fh,I 26 26 26 26   x0 ,     y0 ,      xn ,    yn , для всех i = 1, 2, . . . , n - 1, где i - номер узла сетки Dh ; xi , yi - искомые ki сеточные функции; bki 1j , b2j , j = 1, 2, . . . , 2k + 2 - элементы обратных матриц от локальных матриц Aki . Второй нижний индекс в записи задачи (2) указывает на использование граничных условий первого рода. Выше и далее верхний индекс k означает степень используемого многочлена Тейлора, если речь не идет о показателях алгебраических степеней, степенях производных и символов транспонирования. В дальнейшем наряду с обозначением (2) ту же разностную краевую задачу будем обозначать для краткости как Lkh,I . 1. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода. В первом сообщении [1] показано, что в развернутом виде задача (2) есть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящая из (2n - 2) уравнений, в которой x0 , y0 , xn , yn - заданные числа. В граничных условиях третьего рода α0 x0 + β0 x0 = x0 , α1 y0 + β1 y0 = y0 , α2 xn + β2 xn = xn , α3 yn + β3 yn = yn , (3) где x0 , y0 , xn , yn , αj , βj - заданные числа, j = 0, 1, 2, 3; значения x0 , y0 , xn , yn не заданы. Следовательно, в задачу (2) необходимо добавить четыре 57 М а к л а к о в В. Н. алгебраических уравнения, которые содержали бы величины x0 , y0 , xn , yn в качестве искомых неизвестных. Локальные матрицы Aki , i = 1, 2, . . . , n - 1, и их последующие преобразования оставим без изменения в виде, как это было выполнено в [1]. Составим локальную матрицу Ak0 для двухточечного шаблона t0 , t1 так, чтобы искомые решения задачи удовлетворяли граничным условиям (3) в левой границе t0 = a области интегрирования D. Выполним преобразования. Запишем для функций x(t), x (t) в левой границе области интегрирования при фиксированном k следующие многочлены Тейлора: h2 h3 hk (k) x1 - x1 + · · · + (-1)k x1 , 2! 3! k! k-1 h h2 (k) x0 = x1 - hx1 + x1 - · · · + (-1)k-1 x . 2! (k - 1)! 1 x0 = x1 - hx1 + (4) (5) Сложив умноженные на α0 обе части равенства (4) и умноженные на β0 обе части равенства (5), с учетом первого из граничных условий третьего рода (3) получим следующее: h2 h3 h2 - β0 h x1 + -α0 + β0 x + 2! 3! 2! 1 hk-1 hk (k) x1 = α0 x0 + β0 x0 = x0 . (6) α0 - β0 k! (k - 1)! α0 x1 + -α0 h + β0 x1 + α0 + · · · + (-1)k Выполним аналогичные преобразования с многочленами Тейлора для функций y(t), y (t) в левой границе области интегрирования: h3 hk (k) h2 y1 - y1 + · · · + (-1)k y1 , 2! 3! k! 2 k-1 h h (k) y0 = y1 - hy1 + y1 - · · · + (-1)k-1 y1 . 2! (k - 1)! y0 = y1 - hy1 + (7) (8) C учетом второго из граничных условий третьего рода (3) получим α1 y1 + -α1 h + β1 y1 + α1 + · · · + (-1)k h2 h3 h2 - β1 h y1 + -α1 + β1 y + 2! 3! 2! 1 hk hk-1 (k) α1 - β1 y = α1 y0 + β1 y0 = y0 . (9) k! (k - 1)! 1 Введем обозначения Hjm = (-1)m αj hm hm-1 - βj , m! (m - 1)! j = 0, 1, m = 1, 2, . . . , k, (10) и равенства (6), (9) запишем компактно: (k) α0 x1 + H01 x1 + H02 x1 + H03 x1 + · · · + H0k x1 = x0 , 58 (11) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . (k) α1 y1 + H11 y1 + H12 y1 + H13 y1 + · · · + H1k y1 = y0 . (12) Производные по аргументу t от обеих частей уравнений системы (1) в узле t1 запишем в виде u11 x1 + p11 x1 + r11 x1 + v11 y1 + q11 y1 + s11 y1 u21 x1 + p21 x1 + r21 x1 + v21 y1 + q21 y1 + s21 y1 (r) = (f11 )(r) , (r) = (f21 )(r) , (13) где r = 1, 2, . . . , k - 2. Из равенств (11), (12), многочленов Тейлора (4), (7), дифференциальных уравнений системы (1), записанных в узле t1 , и производных (13) составим следующую систему из 2k + 2 уравнений:  (k) α0 x1 + H01 x1 + H02 x1 + H03 x1 + · · · + H0k x1 = x0 ,     (k)  α1 y1 + H11 y1 + H12 y1 + H13 y1 + · · · + H1k y1 = y0 ,       h3 hk h2   x1 - hx1 + x1 - x1 + · · · + (-1)k x(k) = x0 ,   2! 3! k! 1    k  h2 h3  k h y (k) = y ,  y - hy + y - y + · · · + (-1)  1 0 1 1 1  2! 3! k! 1      r11 x1 + p11 x1 + u11 x1 + s11 y1 + q11 y1 + v11 y1 = f11 , r21 x1 + p21 x1 + u21 x1 + s21 y1 + q21 y1 + v21 y1 = f21 , (14)   r x + (r + p )x + (p + u )x + u x + s y +  1 11 11 11 1 11 11 1 11 1 1 11     +(s11 + q11 )y1 + (q11 + v11 )y1 + v11 y1 = f11 ,     r21 x1 + (r21 + p21 )x1 + (p21 + u21 )x1 + u21 x1 + s21 y1 +      +(s21 + q21 )y1 + (q21 + v21 )y1 + v21 y1 = f21 ,     ...      (k-2) (k) (k-2) (k) (k-2)   r11 x1 + · · · + u11 x1 + s11 y1 + · · · + v11 y1 = f11 ,    (k-2) (k) (k-2) (k) (k-2) r21 x1 + · · · + u21 x1 + s21 y1 + · · · + v21 y1 = f21 . Система (14) является СЛАУ, имеющей в матричной форме вид Ak0 W k0 = Gk0 в обозначениях  α0 0 H01 0 H02 0 α1 0 H11 0 H12  0  h2   1 0 -h 0 0  2!  h2  1 0 -h 0  0 k0 A = 2!  r11 s p q u v 11 11 11 11 11   r21 s p q u v 21 21 21 21 21   ... ... ... ... ... ...  (k-2) (k-2) r11 s11 ... ... ... ... (k-2) (k-2) r21 s21 ... ... ... ... ... ... H0k 0 hk . . . (-1)k k! ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... u11 u21 0 H1k      0  k h  (-1)k  k!  , (15)  0   0  ...   v11  v21 59 М а к л а к о в В. Н. (k) (k) (k-2) f21 W k0 = x1 y1 x1 y1 x1 y1 . . . x1 y1 Gk0 = x0 y0 x0 y0 f11 f21 . . . f11 , (k-2) , где - символ транспонирования. Предполагая существование обратной матрицы B k0 = (Ak0 )-1 от локальной матрицы (15), найдем матричное равенство B k0 Gk0 = W k0 , из которого выпишем два первых уравнения: k0 k0 k0 k0 k0 b11 x0 + bk0 12 y0 + b13 x0 + b14 y0 + b15 f11 + b16 f21 + · · · + (k-2) + bk0 1(2k+1) f11 (k-2) = x1 , (16) (k-2) = y1 , (17) + bk0 1(2k+2) f21 k0 k0 k0 k0 k0 bk0 21 x0 + b22 y0 + b23 x0 + b24 y0 + b25 f11 + b26 f21 + · · · + (k-2) + bk0 2(2k+1) f11 + bk0 2(2k+2) f21 k0 где bk0 jm - элементы матрицы B . Из соотношений (16), (17) найдем - bk0 bk0 x1 bk0 bk0 bk0 13 14 11 12 16 x - y + = x + y + f + f + ···+ 0 11 k0 0 k0 k0 0 k0 0 k0 21 bk0 b b b b b 15 15 15 15 15 15 + - bk0 1(2k+1) bk0 15 (k-2) f11 + bk0 1(2k+2) bk0 15 (k-2) , (18) (k-2) . (19) f21 bk0 bk0 y1 bk0 bk0 bk0 23 24 21 22 25 x - y + = x + y + f + f21 + · · · + 0 k0 0 k0 k0 0 k0 0 k0 11 bk0 b b b b b 26 26 26 26 26 26 + bk0 2(2k+1) bk0 26 (k-2) f11 + bk0 2(2k+2) bk0 26 f21 Выполним аналогичные преобразования в правой границе tn = b области интегрирования D: bkn bkn bkn bkn xn-1 bkn 13 14 11 12 16 - x - y = x + y + f + f + ···+ 1(n-1) kn n kn n kn n kn n kn 2(n-1) bkn b b b b b 15 15 15 15 15 15 + bkn 1(2k+1) bkn 15 (k-2) f1(n-1) + bkn 1(2k+2) bkn 15 (k-2) f2(n-1) , (20) yn-1 bkn bkn bkn bkn bkn 23 24 21 22 25 - x - y = x + y + f1(n-1) + f2(n-1) + · · · + n n n n kn kn kn kn kn kn b26 b26 b26 b26 b26 b26 + 60 bkn 2(2k+1) bkn 26 (k-2) f1(n-1) + bkn 2(2k+2) bkn 26 (k-2) f2(n-1) , (21) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . kn = (Akn )-1 . где bkn jm - элементы матрицы B Теперь рассматриваемую разностную краевую задачу с граничными условиями третьего рода c учетом (18)-(21) запишем в компактной символической форме: k Lkh,III z = fh,III , (22) где  ki bki xi bki bki b11  12 13 14  x - y + - x - -   bki i-1 bki i-1 bki bki i+1 bki yi+1 ,   15 15 15 15 15    ki ki ki ki  b yi b23 b b21   xi-1 - 22 yi-1 + ki - ki xi+1 - 24 yi+1 , - ki   ki  b26 b26 b26 b26 bki  26     bk0 bk0 x1  13 14  - x - y0 + k0 ,  0  bk0 k0 b15 b15 x 15 = Lkh,III z ≡ Lkh,III k0 k0 y  b23 b24 y1    - k0 x0 - k0 y0 + k0 ,   b26 b26 b26      xn-1 bkn bkn  13 14   - x - yn , n  kn kn  b15 b15 bkn  15     y bkn bkn  23 24   n-1 - x - y , n kn kn n bkn b b 26 26 26  ki ki ki bki bki  f + b16 f + b17 f + b18 f + · · · + 1(2k+1) f (k-2) + 1(2k+2) f (k-2) ,  2i 1i  1i 2i 1i 2i  bki bki bki bki bki  15 15 15 15 15     bki bki  bki bki bki  2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2) 27 28 25  f + f + f + f + · · · + f + f2i ,  2i 1i  ki 1i ki 1i ki 2i ki ki  b b b b b  26 26 26 26 26     bk0 bk0  bk0 bk0 bk0 1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)  11 12 16  x + y + f + f + · · · + f + f21 ,  11 11  k0 0 k0 0 k0 21 k0  b b b b bk0  15 15 15 15 15     bk0 bk0  bk0 bk0 bk0 2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2) 21 22 25   x0 + y0 + k0 f11 + f21 + · · · + f11 + f21 ,  k0 k0 k0 b26 b26 b26 b26 bk0 k 26 fh,III =   bkn bkn bkn  12 16 11  x + y + f + f + ···+  kn n 1(n-1) kn n kn 2(n-1)   b b b  15 15 15     bkn bkn  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)   + f + f2(n-1) ,  1(n-1) kn  b15 bkn  15    kn   b21 bkn bkn  22 25  x + y + f + f2(n-1) + · · · +  kn n kn n kn 1(n-1)   b b b 26 26 26      bkn bkn  2(2k+1) (k-2) 2(2k+2) (k-2)   + kn f1(n-1) + f2(n-1) , b26 bkn 26 для всех i = 1, 2, . . . , n - 1. Система (22) состоит из (2n + 2) уравнений с (2n + 2) неизвестными, включая и x0 , y0 , xn , yn . 61 М а к л а к о в В. Н. Положим в (10) и в аналогичном обозначении постоянных в локальной матрице Akn значения αj = 0, βj = 1, j = 0, 1, 2, 3. Тогда задача (22) превратится в разностную краевую задачу k Lkh,II z = fh,II , в которой использованы граничные условия второго рода x0 = x0 , y0 = y0 , xn = xn , yn = yn . (23) 2. Оценка порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода. При исследовании дифференциальной краевой задачи для одного ОДУ2 относительно x(t) сеточная функция xi , i = 0, 1, . . . , n, являющаяся решением разностной краевой задачи, при подстановке в уравнения этой разностной краевой задачи обратит их в верные равенства. В [2] показано, что подстановка в уравнения задачи сеточной функции [xi ], совпадающей с точным решением в узлах сетки Dh и отличающейся от xi , приведет к некоторому отличию от верных равенств. Эти отличия и характеризует невязка δfhk [2]. Иными словами, подстановка [x] в Lkh x = fhk приводит к Lkh [x] = fhk + δfhk . Согласно [2, 3], разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу на точном решении x, если δfhk → 0 при h → 0. Если при этом имеет место неравенство δfhk | Chk , где C > 0, k > 0 - некоторые постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место аппроксимация порядка k относительно величины h. Подстановка [z] в задачу (22) приводит к k k Lkh,III [z] = fh,III + δfh,III . (24) При оценке порядка аппроксимации задачи (2) в [1] были использованы лишь внутренние узлы сетки Dh в силу того, что в граничных узлах сетки невязка в этой задаче обращается в нуль [1, 2]. В [2] для оценки порядка аппроксимации обоснована целесообразность разбиения разностной задачи на подзадачи (подсистемы); в частности, граничные точки области интегрирования можно выделить в отдельные подзадачи. В силу того, что во внутренних узлах сетки Dh разностные уравнения задач Lkh,I и Lkh,III совпадают, а невязка задачи Lkh,I вычислена в [1], для вычисления невязки задачи (22) остается исследовать лишь граничные точки области интегрирования. Поэтому задачу (22) разобьем на три подзадачи в зависимости от области изменения независимого аргумента t: - внутренние точки области интегрирования исследуются в первой подзадаче - это рассмотренная в [1] задача Lkh,I ; 62 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . - левая граница t0 = a области интегрирования исследуется во второй подзадаче: k0 Lk0 (25) h,III z = fh,III , где k0 Lk0 h,III z ≡ Lh,III k0 fh,III x y  k0 b13   x0 - - k0  b15 =  bk0   - 23 x0 - bk0 26 bk0 x1 14 y0 + k0 , k0 b15 b15 bk0 y1 24 y0 + k0 , k0 b26 b26  k0 bk0 bk0 b11  12 16   x + y + f + f + ···+ 0 0 11  k0 k0 k0 21  b b b  15 15 15    bk0 bk0  1(2k+1) (k-2) 1(2k+2) (k-2)   + f11 + f21 ,  k0 b15 bk0 15 = bk0 bk0 bk0  21 25   k0 x0 + 22 y + f + f21 + · · · + 0  k0 k0 11  b b b  26 26 26    bk0 bk0  2(2k+2) (k-2) 2(2k+1) (k-2)   f11 + f21 ; +  k0 b26 bk0 26 - правая граница tn = b - в третьей подзадаче kn Lkn h,III z = fh,III . (26) Рассмотрим задачу (25). При составлении локальной матрицы Ak0 используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле t1 , и производные (13), а вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем следующие точные равенства: h2 h3 hk (k) [x1 ] - [x1 ] + · · · + (-1)k [x1 ], 2! 3! k! 2 k-1 h h k-1 [x(k) ], [x0 ] - Rx,0 = [x1 ] - h[x1 ] + [x1 ] - · · · + (-1)k-1 2! (k - 1)! h2 h3 hk (k) k [y0 ] - Ry,0 = [y1 ] - h[y1 ] + [y1 ] - [y1 ] + · · · + (-1)k [y1 ], 2! 3! k! k-1 2 h h (k) k-1 [y ]. [y0 ] - Ry,0 = [y1 ] - h[y1 ] + [y1 ] - · · · + (-1)k-1 2! (k - 1)! 1 k [x0 ] - Rx,0 = [x1 ] - h[x1 ] + (27) (28) (29) (30) В равенствах (27)-(30) вторые слагаемые в левых частях есть дополнительные члены разложений в ряд Тейлора в форме Лагранжа [4] соответствующих функций, например, k R0,x = hk+1 (k+1) x (ξ) = O(hk+1 ), (k + 1)! ξ ∈ (t0 , t1 ). В итоге получим матричное равенство Ak0 W k0 = Gk0 , 63 М а к л а к о в В. Н. в котором локальная матрица Ak0 , как и ранее, определяется формулой (15) и   k - β Rk-1   x0 - α0 Rx,0 0 x,0 [x1 ]  k - β Rk-1   [y1 ]   y0 - α1 Ry,0 1 y,0   [x ]    k  1    [x0 ] - Rx,0  [y ]    k  1    [y ] - R 0 y,0  [x ]     1    f11  [y1 ]    k0 k0 [W ] =  , [G ] =   . f21  [x1 ]    f11      [y1 ]    f21      ...    ...  (k)      [x1 ] (k-2) f11   (k) (k-2) [y1 ] f21 Выполняя преобразования, аналогичные приведенным выше при исследовании задачи (22), получим в граничной точке t0 = a вместо (18), (19) следующие равенства: - bk0 [x1 ] bk0 bk0 bk0 bk0 14 11 12 16 13 [x ] - [y ] + = x + y + f + f + ···+ 0 0 0 0 11 k0 k0 k0 k0 k0 21 bk0 b b b b b 15 15 15 15 15 15 + bk0 1(2k+1) bk0 15 (k-2) f11 + bk0 1(2k+2) bk0 15 (k-2) f21 - - - k-1 k0 k k bk0 11 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b13 Rx,0 bk0 15 k-1 k0 k k bk0 12 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b14 Ry,0 bk0 15 - , (31) bk0 bk0 [y1 ] bk0 bk0 bk0 23 24 21 22 25 [x ] - [y ] + = x + y + f11 + f21 + · · · + 0 0 0 0 k0 k0 k0 k0 k0 b26 b26 b26 b26 b26 bk0 26 + bk0 2(2k+1) bk0 26 (k-2) f11 + bk0 2(2k+2) bk0 26 (k-2) f21 - - k-1 k k0 k bk0 21 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b23 Rx,0 bk0 26 k-1 k k0 k bk0 22 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b24 Ry,0 bk0 26 - . (32) Отбрасывание двух последних дробей в равенствах (31), (32), что равносильно переходу от точного решения [xi ], [yi ], i = 0, 1, к искомому приближенному xi , yi , i = 0, 1, приводит к задаче (25). Следовательно, в соответствии с (24), последние две дроби в равенствах (31), (32) характеризуют величины невязок в левой границе области интегрирования; в итоге для рассматриваемой задачи (25) имеем k0 δfh,III = где 64 k0 δf1h,III , k0 δf2h,III , Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . k0 δf1h,III =- k-1 k k0 k bk0 11 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b13 Rx,0 bk0 15 - k0 δf2h,III =- k-1 k k0 k bk0 12 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b14 Ry,0 bk0 15 k-1 k k0 k bk0 21 (α0 Rx,0 + β0 Rx,0 ) + b23 Rx,0 bk0 26 - - , (33) - k-1 k k0 k bk0 22 (α1 Ry,0 + β1 Ry,0 ) + b24 Ry,0 bk0 26 . (34) Первое слагаемое в равенствах (33), (34) характеризует величину невязки, появление которой обусловлено функцией x, второе - функцией y. k0 k0 Исследуем невязки δf1h,III и δf2h,III . В узле t0 введем, как в [1], компактные обозначения для определителей второго порядка, например, U0 V 0 = u10 v10 . u20 v20 (35) В дальнейшем будем опускать индекс 0 в левой части в обозначениях определителей вида (35). Отметим, что вычисление точных значений алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (A20 ) , как это было сделано в [1], не является особо трудоемкой процедурой; тем не менее нет строгой необходимости в нахождении точных значений в силу того, что для вычисления невязок необходимы лишь главные части этих алгебраических дополнений в их разложениях по степеням h; поэтому допустим, лишь для сокращения объема выкладок, пренебрежение старшими степенями в каждом элементе локальной матрицы A20 при нахождении алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (A20 ) . Для задачи (25) непосредственными вычислениями можно для любого k 3 убедиться в справедливости оценки k0 20 M11 ≈ (U V )k-2 M11 , k0 M11 (36) ak0 11 где - алгебраическое дополнение элемента транспонированной лоk0 кальной матрицы A . Частный случай равенства (36) при k = 3, где для матрицы A30 учтено приведенное выше допущение для матрицы A20 , пренебрегая старшими степенями и опуская номер 0 узла сетки, запишем, используя обозначения (10), как 3 M11 α1 0 H11 = 0 H12 0 H13 0 h 0 h2 2 0 h3 3! 0 1 0 h 0 h2 2 0 h3 3! s1 s2 s1 s2 p1 p2 p1 p2 q1 q2 q1 q2 u1 u2 u1 u2 ≈ v1 v2 v1 v2 0 0 u1 u2 0 0 v1 v2 65 М а к л а к о в В. Н. α1 0 0 h β1 0 h2 0 ≈ 2 -β1 h 0 h3 0 3! 2 β1 h2 0 α1 0 β1 + u1 0 -β1 h 2 β1 h2 1 0 h 0 s1 p1 q1 u1 v1 0 0 1 0 h 0 h2 2 0 h3 3! 0 h 0 h2 2 h2 2 h3 3! 5 0 0 s2 p2 q2 u2 v2 0 0 s1 p1 q1 u1 v1 0 s1 p1 q1 u1 v1 u1 v1 s2 p2 q2 u2 v2 0 s2 α1 p2 0 q2 3 β1 u2 = h 0 3! v2 -β1 h 2 u2 β1 h2 v2 s2 α1 p2 0 q2 β1 u2 - u2 0 v2 -β1 h 2 v2 β1 h2 1 0 h 0 s1 s2 s1 s2 p1 p2 p1 p2 q1 q2 q1 q2 u1 u2 u1 u2 + v1 v2 v1 v2 0 0 v1 v2 h2 2 h3 3! 0 h 0 h2 2 0 0 1 0 h 0 h2 2 h3 3! s1 s2 s1 p1 p2 p1 q1 q2 q1 u1 u2 u1 = v1 v2 v1 0 0 v1 2 = c3 h + O(h6 ) + u1 d3 h3 + O(h4 ) + v2 M11 - 2 2 2 - u2 g3 h3 + O(h4 ) + v1 M11 ≈ (u1 v2 - u2 v1 ) M11 = U V M11 , где pj , qj , uj , vj , j = 1, 2, есть функции от pj , qj , uj , vj и их первых производных; c3 , d3 , g3 - независящие от h величины. Формулы, аналогичные (36), имеют место, по крайней мере, для первых шести элементов первой и второй строк матрицы (Ak0 ) ; на основании чего и очевидных равенств bk0 1j bk0 15 = k M1j k M15 , bk0 2j bk0 26 = k M2j k M26 , j = 1, 2, 3, 4, , j = 1, 2, 3, 4. следуют оценки bk0 1j bk0 15 ≈ 2 M1j 2 M15 , bk0 2j bk0 26 ≈ 2 M2j 2 M26 (37) Невязка (33) с учетом соотношений (37) примет вид k0 δf1h,III ≈- 2 (α Rk + β Rk-1 ) + M 2 Rk M11 0 x,0 0 x,0 13 x,0 2 M15 - - 2 (α Rk + β Rk-1 ) + M 2 Rk M12 1 y,0 1 y,0 14 y,0 2 M15 . (38) Найдем оценки алгебраических дополнений первых пяти элементов первой строки матрицы (A20 ) . C учетом приведенного выше допущения имеем 2 M11 66 α1 0 H = 11 0 H12 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 α1 p1 p2 0 q1 q2 ≈ β1 u1 u2 0 v1 v2 -β1 h 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 = u1 u2 v1 v2 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . α1 β1 =h 0 -β1 h 1 h 0 h2 2 α1 s1 s2 2 0 q1 q2 h β1 u1 u2 + 2 -β1 h v1 v2 1 0 h h2 2 s1 p1 q1 v1 s2 p2 q2 . (39) v2 Вычислим оценку первого определителя последнего равенства: α1 β1 0 -β1 h 1 h 0 h2 2 s1 s2 α1 q1 q2 β1 = u 1 u1 u2 -β1 h v1 v2 1 h h2 2 s2 α1 q2 - u2 β1 -β1 h v2 1 h h2 2 s1 q1 = v1 3 = -β1 U V + h(α1 U V + β1 QU ) + h2 α1 QU - β1 SU ≈ -β1 U V. 2 Заметим, что в равенстве (39) значение второго определителя отличается знаком от первого определителя, в котором элементы u1 , u2 заменены на p1 , p2 соответственно. Тогда с учетом замечания получим оценку 2 M11 ≈ -β1 hU V + β1 h2 P V ≈ -β1 hU V, 2 M13 0 α1 H01 0 = 0 H11 H02 0 0 H12 1 0 h 0 h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ u1 u2 v1 v2 0 α1 1 0 β1 ≈ β0 0 -h 0 0 -β1 h 2 M12 0 H01 =- 0 H02 0 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 (40) 0 s1 s2 β0 p1 p2 q1 q2 ≈ - 0 -β0 h u1 u2 v1 v2 0 0 0 1 0 3 = - β0 h2 0 0 2 -h 1 0 0 1 0 h 0 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ β0 β1 U V, (41) u1 u2 v1 v2 h2 2 0 h 0 h2 2 0 1 0 h 0 h2 2 1 0 h 0 h2 2 s1 p1 q1 u1 v1 s1 p1 q1 u1 v1 s2 p2 q2 u2 v2 s2 p2 q2 = u2 v2 3 ≈ β0 h2 QV, (42) 2 67 М а к л а к о в В. Н. 2 M14 0 α1 H01 0 0 H =- 11 H02 0 0 H12 2 M15 0 α1 H01 0 0 H 11 = H02 0 0 H12 0 h 0 s1 s2 p 1 p2 q1 q2 ≈ h2 u1 u2 2 0 v1 v2 0 α1 0 s1 s2 1 0 0 p1 p2 3 3 β1 0 q1 q2 ≈ - β0 h2 (α1 QV - β1 SV ), (43) ≈ - β0 h2 0 2 2 -h 0 1 u1 u2 0 -β1 h 0 v1 v2 0 h 0 1 0 h 0 s2 p2 q2 ≈ h2 u2 2 2 0 h2 v2 0 α1 1 0 3 2 0 β ≈ β0 h 1 2 -h 0 0 -β1 h 0 1 s2 0 0 p2 3 0 h q2 ≈ - β0 β1 h2 v2 . (44) 2 1 0 u2 0 h2 v2 При точном вычислении соответствующих определителей результаты оценок значений алгебраических дополнений совпали с полученными выше оценками (40)-(44); указанный факт является прямым следствием принятого выше допущения о главных частях в разложениях алгебраических дополнений по степеням h. С учетом оценок (40)-(44) запишем величину невязки (38): k0 δf1h,III - 3β0 β1 h2 v2 k + β Rk-1 ) + β h2 (α QV - β SV )Rk -β0 h2 QV (α1 Ry,0 1 y,0 0 1 1 y,0 ≈- - k + β Rk-1 ) - 2β β U V Rk 2β1 hU V (α0 Rx,0 0 x,0 0 1 x,0 = β0 β1 h2 v2 = O(hk ) + O(hk-1 ) + O(hk-1 ) + O(hk+1 ) + O(hk ) + O(hk+1 ) = O(hk-1 ) (45) для произвольного k 2. Заметим, что главенствующую роль во вкладе в веk0 личину невязки δf1h,III играет функция x независимо от четности k. Оценка k0 невязки δf2h,III оказалась схожей с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция y. Тогда, в соответствии с [2], k0 k0 k0 δfh,III = max δf1h,III , δf2h,III = = max O(hk-1 ), O(hk-1 ) = O(hk-1 ). (46) 68 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . Выполненные расчеты показали совпадение главенствующих ролей функций x, y и оценок невязок задач (25) и (26): kn = O(hk-1 ). δfh,III (47) Анализ оценки (45) показывает ее справедливость при α0 = 0, α1 = 0, β0 = 1, β1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (45) слагаемые, обеспечивающие порядок O(hk-1 ), содержат в качестве сомножителей произведения чисел β0 , β1 , которые отличны от нуля одновременно и не содержат α0 , α1 в качестве сомножителей. Вернемся к оценке порядка аппроксимации задачи (22). Определим итоговую норму невязки этой задачи в соответствии с [2] следующим образом: kn k0 k k , δfh,III , δfh,III = max δfh,I δfh,III . (48) При вычислении порядка аппроксимации задачи (2) в [1] показана зависимость оценки нормы невязки от четности k: - для четного k k = O(hk ), (49) δfh,I - для нечетного k k δfh,I = O(hk-1 ). (50) Порядок аппроксимации той или иной разностной задачи будем компактно обозначать как E O(hk ) = k. Тогда оценка (49) для четного k дает EIk = k, (51) EIk = k - 1. (52) k0 kn EIII = EIII = k - 1. (53) а оценка (50) для нечетного k - Из оценок (46), (47) имеем Соотношения (48), (51)-(53) для задачи (22) для четного k дают оценку k EIII = min(k, k - 1, k - 1) = k - 1, (54) а для нечетного k - k EIII = min(k - 1, k - 1, k - 1) = k - 1, т. е. порядок аппроксимации задачи (22) оказался на единицу меньше степени k используемого многочлена Тейлора независимо от ее четности. Аналогичная ситуация имела место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 с граничными условиями второго или третьего рода [5]. 69 М а к л а к о в В. Н. Из (48) для четного k и (54) видно, что, повысив порядок аппроксимации на единицу в граничных узлах t0 , tn , тем самым повысим порядок аппроксимации всей задачи Lkh,III на единицу. 3. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода для четного k. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода рассмотрим на примере задачи L2h,III . При составлении локальной матрицы A20 используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле t1 , вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем точные равенства (27)-(30), положив в них k = 3. В итоге получим систему  3 2  α0 [x1 ] + H01 [x1 ] + H02 [x1 ] + H03 [x1 ] = x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 ,    3 - β R2 ,  α1 [y1 ] + H11 [y1 ] + H12 [y1 ] + H13 [y1 ] = y0 - α1 Ry,0  1 y,0     3 2  h h  3 ,  [x1 ] + h[x1 ] + [x1 ] + [x1 ] = [x0 ] - Rx,0 2! 3!   h2 h3  3 ,  ] + [y ] + h[y [y ] + [y1 ] = [y0 ] - Ry,0  1 1 1   2! 3!     r11 [x1 ] + s11 [y1 ] + p11 [x1 ] + q11 [y1 ] + u11 [x1 ] + v11 [y1 ] = f11 ,     r21 [x1 ] + s21 [y1 ] + p21 [x1 ] + q21 [y1 ] + u21 [x1 ] + v21 [y1 ] = f21 . (55) Отметим, что локальная матрица задачи (55) содержит шесть строк и восемь столбцов вследствие наличия в левых частях первых четырех уравнений третьих производных x , y . Выразим третьи производные через производные меньших степеней. Дифференциальные уравнения системы (1) запишем в форме u1 x + v1 y = z1 , u2 x + v2 y = z2 , (56) где zj = fj -rj x-sj y-pj x -qj y , j = 1, 2. Решение системы (56) относительно x , y имеет вид z1 u1 ZV ZV , y = - , (57) x = UV v1 v1 U V где, например, определитель UV = u1 v1 u2 v2 (58) является функцией t, в отличие от определителя (35). Определитель ZV вычисляется аналогичной (58) формулой с заменой U = [u1 u1 ] на Z = [z1 z2 ] . 70 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . Непосредственными вычислениями можно убедиться в справедливости равенств (U V ) = U V + U V , PQ (P Q) U V - P Q(U V ) , = (59) UV (U V )2 P U + P V = P (U + V ), P V + RV = (P + R)V, где, например, P (U + V ) - вычисляемый аналогичной (58) формулой определитель, в котором (U + V ) = [u1 + v1 u2 + v2 ] ; U = [u1 u1 ] ; (U V )2 - квадрат определителя U V . Вычисление производной по t с использованием формул (59) от обеих частей первого соотношения (57) дает точное равенство x = Lx0 + Lx1 x + Lx2 y + Lx3 x + Lx4 y + Lx5 x + Lx6 y , (60) где верхний индекс x в коэффициентах Lxj , j = 0, 1, . . . , 6, означает принадлежность этого коэффициента к третьей производной x ; Lx0 = (F V ) (U V ) F V - , UV (U V )2 Lx2 = - Lx4 = - Lx1 = - R (V + V ) (U V ) RV + , UV (U V )2 RV + P V (U V ) P V + , UV (U V )2 S (V + V ) (U V ) SV + , UV (U V )2 Lx5 = - Lx3 = -P V, SV + QV (U V ) QV + , UV (U V )2 Lx6 = -QV. Аналогичное равенству (60) дает дифференцирование по t обеих частей второго соотношения в (57): y = Ly0 + Ly1 x + Ly2 y + Ly3 x + Ly4 y + Ly5 x + Ly6 y . (61) Заметим, что все коэффициенты Lxj , Lyj , j = 0, 1, . . . , 6, равенств (60), (61) не зависят от h и являются лишь функциями t. Подстановка в систему (55) точных равенств (60), (61), записанных в узле t1 , дает старшую степень производной функций x и y, равной двум в этой СЛАУ, матричную форму которой запишем как A20 [W 20 ] = [G20 ] в обозначениях  α0 + KLx1 KLx2 y  N L1 α1 + N Ly2  3 h x h3 x  L1 + 1 L  3! 2 A20 =  3! 3 3 h y  h y  L L +1  3! 1 3! 2  r1 s1 r2 s2 I + KLx3 KLx4 y N L3 L + N Ly4 h3 x h3 x L3 + h L 3! 3 3! 4 3 h y h y L3 L +h 3! 3! 4 p1 q1 p2 q2 J + KLx5 N Ly5 h3 x h2 L + 2 3! 53 h y L 3! 5 u1 u2  KLx6 M + N Ly6    h3 x  L 6 3!  , 3 2 y h h   3! L6 + 2   v1 v2 71 М а к л а к о в В. Н.   [x1 ]  [y1 ]    [x ] [W 20 ] =  1  ,  [y1 ]  [x ] 1 [y1 ]  3 - β R2 - KLx  x0 - α0 Rx,0 0 x,0 0  y 3 2  y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0      3 h   3 x   [x0 ] - Rx,0 - L0 20  , 3! [G ] =   3 h   3 -   Ly0 [y0 ] - Ry,0   3!   f11   f21 где с использованием (10) принято I = H01 , J = H02 , K = H03 , L = H11 , M = H12 , N = H13 . Отметим, что локальная матрица A20 теперь содержит шесть строк и шесть столбцов. В предположении существования обратной матрицы B 20 = (A20 )-1 от матрицы A20 найдем B 20 [G20 ] = [W 20 ]. Выпишем первые два уравнения последнего матричного равенства: y 3 2 x 20 3 2 b20 11 x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 - KL0 + b12 y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0 + h3 x h3 y 20 3 L0 + b20 L + b20 15 f11 + b16 f21 = [x1 ], 14 [y0 ] - Ry,0 - 3! 3! 0 y 3 2 3 2 x0 - α0 Rx,0 - β0 Rx,0 - KLx0 + b20 22 y0 - α1 Ry,0 - β1 Ry,0 - N L0 + 3 +b20 13 [x0 ] - Rx,0 - b20 21 3 +b20 23 [x0 ] - Rx,0 - h3 x h3 y 3 20 L0 + b20 [y ] - R - L + b20 0 24 y,0 25 f11 + b26 f21 = [y1 ]. 3! 3! 0 20 Здесь b20 jm , j = 1, 2 - элементы матрицы B . Эти же уравнения после преобразований будут иметь вид - b20 b20 [x1 ] b20 b20 13 14 11 12 [x ] - [y ] + = x + y0 + 0 0 0 b20 b20 b20 b20 b20 15 15 15 15 15 20 3 + Ly 6b20 N + b20 h3 Lx0 6b20 b20 11 K + b13 h 12 14 0 16 - + f11 + 20 f21 - b15 6b20 15 - 3 2 20 3 b20 11 α0 Rx,0 + β0 Rx,0 + b13 Rx,0 b20 15 - 3 2 20 3 b20 12 α1 Ry,0 + β1 Ry,0 + b14 Ry,0 b20 15 , (62) b20 b20 [y1 ] b20 b20 23 [x0 ] - 24 [y0 ] + 20 = 21 x0 + 22 y0 + 20 20 20 b26 b26 b26 b26 b20 26 20 3 + Ly 6b20 N + b20 h3 Lx0 6b20 b20 21 K + b23 h 22 24 0 25 - + 20 f11 + f21 - b26 6b20 26 - 3 2 20 3 b20 21 α0 Rx,0 + β0 Rx,0 + b23 Rx,0 b20 26 - 3 2 20 3 b20 22 α1 Ry,0 + β1 Ry,0 + b24 Ry,0 b20 26 . (63) Две последние дроби в равенствах (62), (63) характеризуют величины невязок в узле t0 , причем, как и ранее, первая из них характеризует величину 72 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . невязки, появление которой обусловлено функцией x, вторая - функцией y. Заметим, что две последние дроби в равенствах (62), (63) совпали по форме с невязками (33), (34) задачи (25) при k = 3. Вычислим оценки алгебраических дополнений, останавливаясь лишь на их главных частях, первых пяти элементов первой строки матрицы A20 , упрощенной указанным выше способом. Имеем 3 2 M11 h x α1 1 s1 s2 3! L2 2 y h3 y h h β1 2 L3 3! L3 p1 p2 h3 x = β1 L h q1 q2 ≈ 3! 2 4 h h3 y h2 y β1 2 L5 5 u1 u2 2 3! L h3 x h2 -β1 h v1 v2 3! L6 2 γ1 ≈ (-1) m13 m22 m31 m44 m55 + (-1)γ2 m13 m22 m31 m45 m54 = = -β1 hu1 v2 + β1 hu2 v1 = -β1 h (u1 v2 - u2 v1 ) = -β1 hU V, (64) где U V определяется формулой (35) с последующим допущением для нее об 2 , i, j = 1, 2, . . . , 5; γ , γ - число индексе 0; mij - элементы определителя M11 1 2 инверсий в парах вторых индексов сомножителей в произведениях первого и второго слагаемых соответственно, при условии, что первые индексы сомножителей в произведениях расположены по возрастанию [6]; 2 2 M13 2 2 M12 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h β0 h2 Lx2 β0 2 = - β0 h2 Lx4 -β0 h 2 β0 h2 Lx6 h3 x 3! L2 h h3 x 3! L4 h2 2 h3 x 3! L6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 h2 x 2 L2 1 = -β0 h h2 x 2 L4 -h h2 x 2 L6 2 2 M14 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = - β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s1 s2 p1 p2 q1 q2 ≈ β0 β1 U V, u1 u2 v1 v2 (65) s1 s2 p1 p2 q1 q2 = u1 u2 v1 v2 2 - h3 Lx2 0 2 - h3 Lx4 3h 22 - h3 Lx6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s1 s2 p1 p2 3 q1 q2 ≈ β0 h2 QV, (66) 2 u1 u2 v1 v2 h3 x 3! L2 s1 s2 h p1 p2 3 2 h3 x 4 q1 q2 ≈ - 2 β0 h (α1 QV - β1 SV ) , (67) 3! L 2 h u1 u2 2 h3 x L 3! 6 v1 v2 73 М а к л а к о в В. Н. 2 2 M15 α1 β0 h2 Lx2 2 β0 β1 h2 Ly3 2 = β0 h2 Lx4 β1 2 -β0 h β1 h2 Ly5 2 β0 h2 Lx6 -β1 h h3 x 3! L2 h h3 x 3! L4 h2 2 h3 x 3! L6 1 h3 y 3! L3 h h3 y 5 3! L h2 2 s2 p2 3 q2 ≈ - β0 β1 h2 v2 . 2 u2 v2 (68) Очевидные соотношения (37), при построении которых использованы приближенные равенства (64)-(68), дают оценку невязки из равенства (62) в форме 3 + β R2 ) - 2β β U V R3 2β1 hU V (α0 Rx,0 0 x,0 0 1 x,0 - 2 3β0 β1 h v2 3 + β R2 ) + β h2 (α QV - β SV )R3 -β0 h2 QV (α1 Ry,0 1 y,0 0 1 1 y,0 - = 2 β0 β1 h v2 = O(h3 ) + O(h2 ) + O(h2 ) + O(h4 ) + O(h3 ) + O(h4 ) = O(h2 ). (69) 20 ≈- δf1h,III Заметим, что, как и ранее, главенствующую роль во вкладе в величину 20 20 невязки δf1h,III играет функция x. Оценка невязки δf2h,III оказалась схожей с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция y. Тогда в соответствии с [2] имеем 20 δfh,III = O(h2 ). Выполненные расчеты показали совпадение оценок невязки задач L20 h,III и 2n Lh,III , т.е. оказалось, что 2n δfh,III = O(h2 ). Следовательно, порядок аппроксимации рассматриваемой задачи L2h,III стал равным степени k = 2 используемого многочлена Тейлора. Аналогичным образом может быть повышен порядок аппроксимации на единицу для любого четного значения k использованием операции дифференцирования обеих частей равенств (57) k - 1 раз с последующей подстановкой результатов дифференцирования в многочлены Тейлора степени k в системе вида (55). Анализ оценки (69) показывает ее справедливость при α0 = 0, α1 = 0, β0 = 1, β1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (69) слагаемые, обеспечивающие порядок O(h2 ), содержат в качестве сомножителей произведения чисел β0 , β1 , которые отличны от нуля одновременно и не содержат α0 , α1 в качестве сомножителей. 4. Оценка погрешностей. При выполнении численного эксперимента, как и в [1], использованы следующие нормы - в качестве суммарной оценки относительных погрешностей: Dxk = 74 n 2 i=0 (xi - [xi ]) 100%, n i=0 [xi ] Dyk = n 2 i=0 (yi - [yi ]) 100%, n i=0 [yi ] (70) Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . которые можно трактовать как некий аналог коэффициента вариации в статистике, характеризующий меру разброса в процентах [7]; и в качестве максимальной оценки абсолютных погрешностей [2, 8]: Exk = max xi - [xi ] , Eyk = max yi - [yi ] , i = 0, 1, . . . , n. (71) В качестве примера использована имеющая аналитическое решение система нелинейных ОДУ2 вида (1)  t2 + 2   x - tx - x - ty = 2t cos t, t2  1 x t2 - 4   x + +y + y = -2t sin t 2 t 2t2 (72) с граничными условиями x(2π) + x (2π) = 4π 2 , y(2π) + 2y (2π) = 4π(π + 2), 3x(3π) + 2x (3π) = -18π 2 , 2y(3π) + 3y (3π) = -18π(π + 1). (73) В вычислениях использовались следующие параметры сетки: n = 15, h = 0.20944. Расчеты выполнялись без использования метода повышения порядка аппроксимации. Результаты численного эксперимента для краевой задачи (72) с граничными условиями (73) приведены в табл. 1, 2. Данные табл. 1 свидетельствуют об уменьшении погрешностей при увеличении числа k, что имело место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 [5, 9]. В табл. 2 нормы Dxk , Dyk , Exk , Eyk для производных x (t), y (t) характеризуют суммарные оценки относительных погрешностей. Максимальные оценки абсолютных погрешностей, соответственно, вычислены по формулам (70), (71), в которых значения функций заменены на значения своих первых производных, найденным по формулам ki ki ki ki ki bki j1 xi-1 + bj2 yi-1 + bj3 xi+1 + bj4 yi+1 + bj5 f1i + bj6 f2i + (k-2) + · · · + bki j(2k+1) f1i (k-2) + bki j(2k+2) f2i ((j-1)/2) , (74) ((j-1)/2) , (75) = xi ki ki ki ki bki (j+1)1 xi-1 + b(j+1)2 yi-1 + b(j+1)3 xi+1 + b(j+1)4 yi+1 + b(j+1)5 f1i (k-2) ki + bki (j+1)6 f2i + · · · + b(j+1)(2k+1) f1i (k-2) + bki (j+1)(2k+2) f2i = yi i = 1, 2, . . . , n - 1, j = 3, 5, . . . , 2k + 1, полученным в [1]. Первые производные в левой границе t0 = a области интегрирования вычислены с помощью равенств (5), (8), в которых использованы результаты вычислений производных по формулам (74), (75) при i = 1, j = 3, 5, . . . , 2k + 1. Выполнение в правой границе tn = b преобразований, аналогичных преобразованиям в левой границе, позволило вычислить первые производные xn , yn . 75 М а к л а к о в В. Н. Таблица 1 Значения погрешностей для решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the solution of the boundary value problem (72), (73)] k 2 3 4 5 6 7 Dxk , % Dyk , % Exk Eyk 4.83 · 10-1 7.01 · 10-1 1.03 1.52 1.35 · 10-1 3.52 · 10-1 4.50 · 10-1 6.54 · 10-1 2.64 · 10-3 2.51 · 10-3 5.72 · 10-3 5.80 · 10-3 3.93 · 10-4 2.56 · 10-4 7.65 · 10-4 7.24 · 10-4 8.29 · 10-5 8.10 · 10-5 1.66 · 10-4 1.50 · 10-4 8.70 · 10-5 8.18 · 10-5 1.72 · 10-4 1.57 · 10-4 Таблица 2 Значения погрешностей для первых производных решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the first derivatives of the boundary value problem (72), (73)] k 2 3 4 5 6 7 Dxk , % Dyk , % Exk Eyk 8.05 · 10-1 6.64 · 10-1 1.33 1.53 1.06 · 10-1 1.39 · 10-1 2.28 · 10-1 4.33 · 10-1 3.60 · 10-3 3.03 · 10-3 6.06 · 10-3 7.03 · 10-3 2.48 · 10-4 2.94 · 10-4 7.00 · 10-4 7.65 · 10-4 7.87 · 10-5 6.18 · 10-5 1.44 · 10-4 1.38 · 10-4 8.16 · 10-5 6.52 · 10-5 1.50 · 10-4 1.44 · 10-4 Практически аналогичный характер изменения погрешностей (динамика и абсолютные значения) имел место для ряда систем ОДУ2, в частности для системы (1 + t)x + 2x + ty - 2y = 2 sin 2t, x + 2x - 2ty = 2(1 + t2 ) sin 2t, с граничными условиями x(2π) + x (2π) = 0, y(2π) + 2y (2π) = 2(π + 1), 3x(3π) + 2x (3π) = 0, 2y(3π) + 3y (3π) = 3(2π + 1). Данные табл. 1 указывают на линейную зависимость порядка аппроксимации задачи Lkh,III от степени k используемого многочлена Тейлора. Эта зависимость отсутствует для задачи Lkh,I , подтверждение чему приведено в [1]. Заключение. По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы. 1. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации матричного метода и степенью k используемого многочлена Тейлора в разностных краевых задачах для систем линейных ОДУ2 с граничными условиями второго и третьего рода. Установлено следующее: а) порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу; б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках; в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу. 76 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования. . . k0 kn 2. Главенствующую роль во вкладах в величины невязок δf1h,III , δf1h,III играет функция x; главенствующую роль во вкладах в величины невяk0 kn зок δf2h,III , δf2h,III играет функция y. 3. Для четной степени используемого многочлена Тейлора дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Samara State Technical University

Email: makvo63@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Hight Mathematics & Applied Computer Science

# References

1. Маклаков В. Н. Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 1. Краевые задачи с граничными условиями первого рода // Вестн. Сам. гос. Техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 3. С. 389-409. doi: 10.14498/vsgtu1511.
2. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 439 с.
3. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 608 с.
5. Маклаков В. Н. Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 36. С. 143-160. doi: 10.14498/vsgtu1364.
6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 431 с.
7. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. 598 с.
8. Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.
9. Радченко В. П., Усов А. А. Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки, 2008. № 2(17). С. 60-65. doi: 10.14498/vsgtu646.

# Statistics

#### Views

Abstract - 45

PDF (Russian) - 11

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University