The nonlinear Maxwell-type model for viscoelastoplastic materials: simulation of temperature influence on creep, relaxation and strain-stress curves

Full Text

Введение. Данная статья - продолжение цикла работ, посвященных качественному анализу нелинейного определяющего соотношения (ОС) типа Максвелла для вязкоупругопластичных материалов с целью выявления необходимых ограничений на материальные функции, области применимости, арсенала возможностей и способов идентификации и настройки этого ОС [1-4]. Будем рассматривать изотермические одномерные процессы, характеризуемые в точке тела историей напряжения σ(t) и деформации ε(t), t > 0. Связь между процессами σ(t) и ε(t) зададим по аналогии с реологической моделью Максвелла, т. е. постулируем, что деформация ε(t) разлагается в сумму упругой и вязкопластической компонент, каждая из которых зависит от (безразмерного) напряжения σ(t), но нелинейно: ε = εe + εv , εe = F (σ)/E, ε˙v = V (σ)/η. (1) Определяющее соотношение (1) содержит две материальные функции (МФ): F (x), V (x), x ∈ (ω- , ω+ ), ω- < 0, ω+ > 0 (возможны случаи, когда ω- = -∞, ω+ = +∞) и две константы: «модуль упругости» E > 0 и коэффициент вязкости η > 0. Если ω+ и ω- конечны, то они могут быть интерпретированы как пределы прочности при растяжении и сжатии (как материальные параметры ОС). Процесс σ(t), t 0, в (1) предполагается кусочно-непрерывным и кусочно-гладким (при t < 0 считаем, что σ ≡ 0). Параметры E и η выделены из МФ F и V для удобства сопоставления с линейной моделью Максвелла (получающейся при V (x) = F (x) = x) и учета влияния температуры в форме E = E(T ), η = η(T ). Выявление общих ограничений на качественный характер зависимости от температуры материальных параметров E и η в результате анализа зависимостей кривых релаксации, ползучести и деформирования, порожденных ОС (1) с произвольными МФ от E и η (а значит, от T ), и является основной целью данной статьи. Общая тензорная формулировка нелинейных ОС максвелловского типа для (больших деформаций) вязкоупругих сред, родственных ОС (1), описа161 Х о х л о в А. В. ние кинематики, термодинамические аспекты и способы конкретизации ОС изучались в работах [5-13]. В [6, 7, 9-13] внимание было сосредоточено на описании поведения жидкостей, авторы этих работ обсуждали эксперименты и эффекты, присущие жидкостям (расплавам и растворам полимеров и т. п.), не рассматривали кривые ползучести, релаксации и деформирования, порождаемые ОС, не задавали многих вопросов, специфичных для механики деформируемого твердого тела, не анализировали соответствующие феноменологические ограничения на материальные функции и параметры ОС (1) и способы их идентификации. Частный случай ОС (1) с F (x) = x формально совпадает с вырожденным вариантом модели VBO («viscoplasticity based on overstress») [14], когда задано нулевое равновесное напряжение g(ε). Задав в ОС (1) F (x) = x и V (x) = x|x|n-1 , n > 1, получим трехпараметрическую модель ε˙ = E -1 σ˙ + η -1 σ|σ|n-1 (2) с линейной упругостью и степенной вязкостью. Она во многом близка ОС σ(t) = K ε(t) ˙ m ε(t)N , N 0, традиционно используемому для описания ползучести с деформационным упрочнением и сверхпластического течения [15-21], но теоретические кривые модели (2) лучше и полнее описывают данные испытаний материалов в (пред)сверхпластичном состоянии, и сфера ее применимости гораздо шире, чем сверхпластичность и ползучесть [1-4]. Модель (2) применялась в ряде работ для описания экспериментальных кривых ползучести и решения конкретных задач [15, 16, 22, 23]. В монографии [19] она примерялась к моделированию сверхпластичности. В статьях [24-28] исследовались кривые ползучести, обратной ползучести и деформирования параллельного соединения двух таких моделей с различными показателями n, а также модели с F (x) = x|x|m-1 . Более подробные обзоры литературы и родственных моделей (в теории ползучести, сверхпластичности и реологии полимеров) приведены в работах [1, 3, 4]. 1. Первичные ограничения на материальные функции нелинейной модели Максвелла. ОС (1) можно записать как в интегральной, так и в дифференциальной формах: t ε(t) = E -1 F (σ(t)) + η -1 V (σ(τ ))dτ , или ε = Πσ, (3) 0 ε˙ = E -1 F (σ)σ˙ + η -1 V (σ), t > 0. (4) Материальная функция F (x) в ОС (1) определяет закон упругого деформирования εe = F (σ)/E. Поэтому минимальные первичные ограничения на F (x) (естественные с точки зрения феноменологии и минимальные математические [1, 2]) таковы: F (x), x ∈ (ω- , ω+ ), - непрерывная (строго) возрастающая функция с кусочно-непрерывной производной, такая, что F (0) = 0 (тогда xF (x) > 0, т. е. sgn F (x) = sgn x). Последние два условия обеспечивают совпадение знаков σ и εe (σ) и выполнение условия εe (0) = 0. Из строгого возрастания F (x) следует возрастание εe (σ) и энергии упругой деформации 162 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . с ростом |σ|, а также существование обратной функции f = F -1 на промежутке (y, y¯), где y¯ := sup F (x) = F (ω+ - 0), y := inf F (x) = F (ω- + 0). В [1] доказано, что МФ f полностью определяет форму диаграммы мгновенного деформирования σ(ε) (предельной кривой, к которой сходятся семейства диаграмм деформирования с постоянной скоростью нагружения или деформирования σ = σ(ε, a) и σ(ε, b), когда скорость a или b стремится к бесконечности). Дифференцируемость F (x) требуется для определения скорости упругой и полной деформации в (4) и касательного модуля диаграмм деформирования, порождаемых ОС (1) (см. ниже). Функция вязкости V (x)/η в ОС (1) регулирует наследственные свойства, скорость диссипации, релаксации, ползучести и накопления пластической деформации, чувствительность напряжения к скорости деформации, длительную прочность [1-4]. Чем больше значение |V (σ)|/η, тем меньше вязкое сопротивление (больше |ε˙v | и |ε| ˙ при том же σ) и тем ближе поведение моделируемого материала к поведению жидкости. Минимальные первичные ограничения на V (x): V (x) - непрерывная (нестрого) возрастающая функция на интервале (ω- , ω+ ), такая, что V (0) = 0 (тогда V (x)x 0). Исследование кривых релаксации, ползучести и деформирования, порождаемых ОС (1) [1-4], показывает, что следует различать два основных случая, в которых ОС (1) (моделируемый материал) ведет себя по-разному: 1) |V (x)| > 0 при x = 0, 2) V (x) ≡ 0 на некотором отрезке [σ- , σ+ ] ⊂ (ω- , ω+ ), σ- 0, σ+ 0, σ+ = σ- . Во втором случае при σ ∈ [σ- , σ+ ] ОС (1) моделирует (нелинейно) упругое поведение материала (диссипации и гистерезиса нет, релаксация и ползучесть отсутствуют, диаграмма деформирования не зависит от скорости), σ- , σ+ - пределы упругости материала при сжатии и растяжении, а при σ > σ+ (или σ < σ- ) начинают проявляться диссипативные и вязкопластические свойства. В настоящей статье (для краткости) будет рассматриваться только случай |V (x)| > 0 при x = 0. Для материалов с одинаковым поведением при растяжении и сжатии (у которых совпадают как диаграммы деформирования при растяжении и сжатии, так и кривые ползучести и релаксации) МФ должны быть нечетными и ω- = -ω+ . МФ можно задавать лишь при x ∈ (0, ω+ ) и продолжать на (-ω+ , 0) по формуле y(x) = y(|x|) sgn(x) (тогда обеспечивается непрерывность производных и потому - единый касательный модуль в нуле, так как F (0 + 0) = F (0 - 0)). Если материалы при растяжении и сжатии ведут себя не одинаково, то нужно «склеивать» МФ (одну или обе) из двух ветвей на (0, ω+ ) и (ω- , 0). К ОС (3) применена техника качественного анализа определяющих соотношений для вязкоупругопластических материалов, разработанная ранее в цикле работ [1-4, 29-31] и двух десятков других (см. библиографию в работах [3, 4, 31]), посвященных пяти разным ОС. Выведены в общем виде (в виде неявных функций, интегралов и рядов, зависящих от параметров и МФ) уравнения семейств всех основных квазистатических кривых (кривых деформирования, релаксации, ползучести при ступенчатых нагружениях, длительной 163 Х о х л о в А. В. прочности и др.), порождаемых ОС (3), аналитически изучены их качественные свойства при произвольных МФ F и V [1-4]. На основе их сопоставления с набором типичных качественных свойств базовых экспериментальных квазистатических кривых широкого класса вязкоупругопластичных материалов (с целевым списком моделируемых термомеханических эффектов) выведены минимальные необходимые феноменологические ограничения на обе МФ, обеспечивающие адекватное описание экспериментальных кривых, выявлены эффекты, которые ОС (3) принципиально не может описать ни при каких МФ. В данной статье на основе сравнения зависимости свойств теоретических кривых ОС (3) от параметров E и η с типичными проявлениями влияния температуры на экспериментальные кривые будут выведены общие качественные ограничения на характер зависимостей E(T ) и η(T ). Наложенные на МФ ОС (3) в этом пункте первичные ограничения обеспечивают, в частности, термодинамическую согласованность модели, т. е. положительность работы напряжений в произвольном процессе деформирования и неотрицательность диссипации (соблюдение диссипативного неравенства). Действительно, работа напряжений σ(τ ) в процессе деформирования ε(τ ), связанном с σ(τ ) соотношением (4), выражается формулой t A= t σ(τ )ε(τ ˙ )dτ = 0 0 σ U := E -1 xF (x)dx, 0 t E -1 σF (σ)σdτ ˙ + η -1 V (σ)σdτ = U + W, (5) σ(τ )V (σ(τ ))dτ . (6) 0 t W = η -1 0 Здесь U = U (σ) - энергия упругой деформации, W = W [t; σ(τ )] - диссипация. Из F (x) > 0 следует, что U (σ) = E -1 σF (σ) > 0 при σ > 0 и U > 0, ˙ (t) = η -1 σ(t)V (σ(t)) > 0 при а из xV (x) > 0 при x = 0 следует, что W σ(t) = 0 и W (t) > 0 при t > 0. Равенство W (t0 ) = 0 возможно лишь в случае σ(t) ≡ 0 при t < t0 или в случае, когда V (x) ≡ 0 на некотором отрезке [σ- , σ+ ] ⊂ (ω- , ω+ ), и σ(τ ) ∈ [σ- , σ+ ] для всех τ < t0 (т. е. |σ| не превышает пределов упругости). 2. Кривые ползучести и релаксации, порождаемые определяющим соотношением (3). При σ(t) = const, t > 0, ОС (3) порождает семейство кривых ползучести (КП): ε(t, σ) = E -1 F (σ) + η -1 V (σ)t. (7) Если V (σ) = 0, то все КП линейны по времени при t > 0, т. е. при любых МФ ОС (3) моделирует только ползучесть с постоянной скоростью ε(t) ˙ = η -1 V (σ) (как и линейная модель Максвелла), ОС (3) не способно описывать стадии замедленной и ускоренной ползучести, а также ограниченную ползучесть (свойственную, например, многим полимерам). Так как V (x) > 0 при x > 0 и V (x) возрастает, то КП (7) возрастает по t (при σ > 0) и по σ, что совпадает с типичными качественными свойствами экспериментальных КП структурно стабильных однородных материалов. Выраженная стадия установившейся ползучести характерна для многих пластичных металлов (в частности, в состоянии сверхпластичности) и полимеров в вязкотекучем состоянии. 164 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . Поскольку в испытаниях стабильных материалов зависимость скорости установившейся ползучести ε˙ = r(σ) от напряжения всегда является возрастающей и выпуклой вниз [18, 32] при σ > 0, на V (x) необходимо наложить дополнительное ограничение: V (x) должна быть (нестрого) выпукла вниз при x > 0 и выпукла вверх при x < 0 (т. е. V (x)x 0, если V (x) существует). В силу (7) МФ F не влияет на скорость ползучести, МФ V не влияет на мгновенную деформацию ε(0) = F (σ)/E и величины скачков ε(t), соответствующие скачкам σ(t). Это позволяет определить МФ V (x)/η и F (x)/E по отдельности (полностью идентифицировать ОС) по нескольким экспериментальным КП с разными уровнями напряжения (если они качественно сходны с теоретическими КП (7)). Кривые релаксации ОС (1) - интегральные кривые σ(t; ε¯, t0 ) дифференциального уравнения (4) с заданной деформацией ε(t) = ε¯ = const при t t0 : E -1 F (σ)σ˙ + η -1 V (σ) = 0, или σ˙ = -τr-1 g(σ), (8) где t0 0 - продолжительность начальной стадии нагружения («rise time»), т. е. стадии выхода деформации ε(t) на постоянный уровень ε¯ = 0; τr = η/E > 0 - время релаксации линейной модели Максвелла; g(x) := V (x)/F (x), x ∈ (ω- , ω+ ). Для индивидуализации конкретной кривой релаксации (КР) σ(t, ε¯; t0 , σ0 ) необходимо помимо значений ε¯ = 0 и t0 0 задать начальное значение напряжения σ0 = σ(t0 ) = 0 (так, чтобы σ0 ε¯ > 0). Если t0 = 0, т. е. деформация считается мгновенной: ε(t) = ε¯h(t), то σ0 = σ(0+) совпадает с упругим напряжением: E ε¯ = F (σ0 ), или σ0 = f (E ε¯), f = F -1 . Если t0 > 0, то σ0 зависит от истории ε(t) при t ∈ [0; t0 ] и его вычисление требует использования ОС (3), (4). Если |V (σ)| > 0, то переменные в (8) разделяются, и можно выписать решение задачи Коши с произвольным начальным условием σ(t0 ) = σ0 > 0: σ t - t0 = -τr σ0 F (x) dx, V (x) F (σ0 ) t t0 или t = t0 + τr F (σ) dy , V (f (y)) (9) где f = F -1 . Уравнение (9) задает семейство КР σ = R(t; ε¯, t0 ), t t0 , в неявном виде t = r(σ; ε¯, t0 ) (с безразмерным временем t/τr ). Параметр ε¯ входит в уравнение КР через начальное значение σ(t0 ) = σ0 . Если t0 = 0, то E ε¯ = F (σ0 ), σ0 = f (E ε¯), и КР (9) имеют вид σ t = -τr f (E ε¯) F (x) dx или t = τr V (x) E ε¯ F (σ) dy . V (f (y)) (10) 165 Х о х л о в А. В. Анализ неявного представления (9) (и (10)) показывает, что все КР σ = σ(t, ε¯) с ε¯ > 0 убывают по t и стремятся к нулю при t → ∞, а с ростом деформации ε¯ смещаются вверх. В испытаниях стабильных материалов на релаксацию КР с ε¯ > 0 всегда выпуклы вниз, поэтому теоретические КР с ε¯ > 0 (или σ0 > 0) должны быть выпуклы вниз, т. е. функция σ(t) ˙ должна возрастать (¨ σ (t) > 0). В силу (8) это равносильно возрастанию функции g(x) := V (x)/F (x): из (8) σ ¨ (t) = -τr-1 g (σ)σ˙ = τr-2 g (σ)g(σ), но g(σ) > 0 при σ > 0, и потому σ ¨ (t) > 0 равносильно g (σ) > 0. Так как g (x) = [V (x)F (x) - V (x)F (x)](F (x))-2 (если существуют V (x) и F (x)), неравенство g (x) > 0 равносильно неравенству V (x)F (x) - V (x)F (x) > 0. Таким образом, требование выпуклости вниз всех кривых релаксации с ε¯ > 0 налагает дополнительное ограничение на МФ определяющего соотношения (1) (помимо F (x)x 0): V (x)/V (x) > F (x)/F (x), x ∈ (0, ω+ ), т. е. [ln V (x)] > [ln F (x)] . (11) Время релаксации нелинейной модели (3) находится из (9) и условия σ(τ + t0 )/σ0 = e-1 : σ0 τ = τr σ0 /e F (x) dx = τr V (x) F (σ0 ) F (σ0 /e) dy . V (f (y)) (12) Очевидно, τ возрастает с ростом τr и с убыванием σ0 : τ (σ0 ) = τr [g(σ0 )-1 - g(σ0 /e)-1 ] < 0, если выполнен критерий выпуклости КР (11), т. е. g(x) возрастает. Поведение КР (9) при σ(t) → 0 (и при t → +∞) зависит от асимптотики подынтегральной функции F (x)/V (x) при x → 0 (у нее, вообще говоря, есть особенность в точке x = 0 из-за условия V (0) = 0, в частности, особенность есть в случае F (0 + 0) = 0). Если интеграл 0 I(σ0 ) = - σ0 F (x) dx = V (x) σ0 0 F (x) dx V (x) (13) расходится, то все КР (9) с произвольными ε¯, t0 , σ0 (как при мгновенном нагружении, так и с начальной стадией деформирования) определены на всем луче [t0 ; ∞) и при t → +∞ обладают горизонтальной асимптотой σ = 0. Если же интеграл (13) сходится, то КР с произвольными ε¯, t0 , σ0 достигает уровня σ = 0 в некоторый момент t∗ = t0 + τr I(σ0 ) < ∞, и ОС (3) моделирует материал с полной релаксацией напряжения за конечное время t∗ - t0 . 166 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . 3. Кривые деформирования при постоянных скоростях нагружения или деформирования. Для программы нагружения σ(t) = bt с постоянной скоростью b > 0 ОС (3) дает t ε(t) = E -1 F (bt) + η -1 V (bτ )dτ . 0 После замены x = bτ , σ = bt получим уравнение семейства диаграмм деформирования (ДД): σ ε(σ, b) = E -1 F (σ) + (bη)-1 V (x)dx, bσ > 0. (14) 0 ДД (14) возрастают по σ (т. к. F (x) возрастает и V (x) > 0 при x > 0) и выпуклы вниз при b > 0 (т. к. ∂ 2 ε/∂ 2 σ = E -1 F (σ)+η -1 b-1 V (σ), F (x) > 0 и V (x) > 0); семейство (14) убывает по b (так как V (x) > 0 при x > 0). Поэтому ДД в обратной форме σ(ε, b) возрастают по ε, выпуклы вверх на полуоси ε > 0 при всех b > 0, а с ростом b ДД σ(ε, b) смещается вверх (т. е. ОС (3) моделирует положительную скоростную чувствительность материалов). Для программы деформирования ε(t) = at с постоянной скоростью a > 0 ОС (4) дает дифференциальное уравнение для отклика σ(t, a): σ˙ = E(a - η -1 V (σ))/F (σ). (15) Это уравнение имеет точку равновесия σ = σ ¯ , где V (¯ σ ) = aη, σ ¯ := v(aη), v := V -1 , и особое решение σ(t) = σ ¯ , не зависящее от времени (¯ σ > 0 для a > 0, если V (x) > 0 при x > 0). Прямая σ = σ ¯ разбивает квадрант t 0, σ 0 на две области; интегральные кривые уравнения (15), лежащие ниже этой прямой (в частности, интересующее нас решение с начальным условием σ(0) = 0), обладают свойством σ˙ > 0 при t > 0, т. е. возрастают, а интегральные кривые, лежащие выше этой прямой, обладают свойством σ˙ < 0 при t > 0 (убывают). Все они не могут пересечь прямую σ = σ ¯ по теореме единственности решения задачи Коши. В силу (15) по мере приближения к особому решению σ = σ ¯ по любой траектории выполняется σ(t) ˙ → 0. При σ = σ ¯ можно разделить переменные в (15) и проинтегрировать: F (σ)dσ = Eη -1 dt, aη - V (σ) σ σ0 F (x)dx = Eη -1 t, aη - V (x) σ0 := σ(0). Подставив t = ε/a в решение с начальным значением σ0 = 0, получим уравнение семейства ДД при постоянной скорости деформирования a в виде ε = ε(σ, a): σ F (x)dx ε(σ, a) = E -1 aη , aη - V (x) 0 или F (σ) dy ε(σ, a) = E -1 , aσ > 0, (16) -1 V (f (y)) 1 - (aη) 0 где f = F -1 . Производная F (x), вообще говоря, может иметь (интегрируемую) особенность при x = 0 (например, в случае степенной МФ F (x) = xN с N ∈ (0, 1)). 167 Х о х л о в А. В. Анализ представления (16) показал [2], что при любых допустимых МФ (см. п. 1) и любых η, E > 0, a > 0 ДД (16) определена только при σ ∈ [0, σ ¯ ), где σ ¯ := v(aη), имеет асимптоту σ = σ ¯ (параллельную оси ε), монотонно возрастает и выпукла вниз, аналитична в (0, σ ¯ ), дважды дифференцируема на [0, σ ¯ ) и имеет при σ → 0 асимптотику: ε = F (σ)/E + O(F (σ)2 ). Отсюда следует, что обратная функция, т. е. любая ДД в форме σ = σ(ε, a), возрастает по ε и выпукла вверх при ε > 0 (и a > 0); с ростом a ДД смещается вверх ; каждая ДД σ(ε, a) имеет при ε → 0 асимптотику σ = f (Eε) + O(f (Eε)2 ), не зависящую от a, а при ε → ∞ обладает горизонтальной асимптотой σ = σ ¯ , где σ ¯ = v(aη). Последнее свойство означает, что ОС (3) моделирует длительное течение при постоянном напряжении σ ¯ =σ ¯ (a), характерное, в частности, для полимеров в вязкотекучем состоянии и материалов в режимах сверхпластичности. Таким образом, значение σ ¯ можно интерпретировать как оценку сверху для предела текучести и предела прочности моделируемого материала (в случае их зависимости от скорости деформации). Так как v(0) = 0, то σ ¯ (a) → 0 при a → 0, т. е. при малых скоростях материал ведет себя подобно жидкости: течет при малом напряжении (но время выхода ДД на асимптоту σ = σ ¯ и соответствующая деформация могут быть довольно большими). Асимптотика при σ → 0 ± 0 любой ДД (14) или (16) не зависит от скоростей деформирования или нагружения и совпадает с асимптотикой МФ F (σ)/E (скорости a, b и МФ V влияют лишь на ε (0, a) и ε (0, b), т. е. на член порядка O(σ 2 )). Соответственно, для любой ДД в форме σ = σ(ε, a) и σ(ε, b) касательный модуль в точке ε = 0 равен E/F (0 ± 0) и не зависит от скоростей a и b (зависит только от их знака, если F (0 + 0) = F (0 - 0), т. е. в случае моделирования разномодульного материала). При a → ∞ семейство ДД (16) сходится к кривой (мгновенного деформирования) σ = f (Eε) [1], равномерно на любом отрезке оси ε (обратная функция f (y) выпукла вверх при y > 0, так как F (x) возрастает и выпукла вверх). К этой же кривой сходятся (снизу) и семейство ДД (14) при b → ∞, и семейство изохронных кривых ползучести (7) при t → 0. Для всех ДД верна оценка |σ| f (Eε) (для любых a, b и ε); если V (x) > 0 в проколотой окрестности x = 0, то выполняется строгое неравенство |σ| < f (Eε) для всех ε = 0. 4. Кривые ползучести при ступенчатых нагружениях, дрейф мгновенно-упругой деформации вследствие ползучести и рэтчетинг. Рассмотрим программу нагружения из n ступеней: n-1 σi [h(t - ti-1 ) - h(t - ti )] + σn h(t - tn-1 ) σ(t) = i=1 с произвольными σi ∈ (ω- , ω+ ) и ti > 0 (t0 = 0, ti > ti-1 , i = 1, . . . , n - 1, и σ(t) = σn при t > tn-1 ). В силу (3) отклик ε(t) - кусочно-линейная функция 168 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . с разрывами в точках t = ti [3]: ε(t) = E -1 [V (σi )τr-1 (t - ti-1 ) + F (σi )] + pi-1 , t ∈ (ti-1 , ti ), i = 1, . . . , n, (17) i-1 pi-1 := η -1 V (σm )(tm - tm-1 ), i = 2, . . . , n. (18) m=1 Накопленная пластическая деформация (18) выражает влияние предыдущих (i-1) ступеней нагружения (p0 := 0). Она не зависит от порядка приложения ступеней нагрузки. Скорости ползучести и диссипации постоянны на каждом интервале (ti-1 , ti ): ε(t) ˙ = E -1 V (σi )τr-1 = η -1 V (σi ), ˙ (t) = η -1 σi V (σi ) > 0. W Скачки деформации в точках t = ti , порожденные скачками напряжения σi+1 - σi , равны [F (σi+1 ) - F (σi )]/E, скачки скорости ползучести ε(t) ˙ равны [V (σi+1 ) - V (σi )]/η. Эти скачки не зависят от момента времени ti и предыстории нагружения, а только от σi и скачка напряжения σi+1 - σi . Для любой МФ F скачок деформации (полной или упругой) при разгрузке (от σi+1 до σi ) всегда равен по модулю скачку при догрузке (от σi до σi+1 ). Поэтому нелинейное ОС (3) (как и линейное ОС вязкоупругости с произвольной функцией ползучести) не способно моделировать явление «дрейфа мгновенно-упругой деформации вследствие деформации ползучести» [26-28, 33, 34-36]. В работе [37] установлено, что нелинейное ОС наследственности, предложенное Ю. Н. Работновым [15, 38], описывает явление дрейфа (скачок деформации при разгрузке отличается по модулю от скачка при догрузке, так как зависит от предыстории нагружения). В работе [3] доказано, что ОС (3) воспроизводит эффект Кольрауша (он наблюдается у полимеров при трехступенчатых программах нагружения с σ1 > 0, σ2 < 0, σ3 = 0) тогда и только тогда, когда выполнена система неравенств 0 < V (σ2 )(t2 - t1 ) + V (σ1 )t1 < -τr F (σ2 ). (19) При периодическом ступенчатом нагружении с двумя ступенями равной длительности 0.5τ в цикле (ti+1 -ti = t1 = 0.5τ , σ2i+1 = σ1 , σ2i = σ2 , i = 1, . . . ) на интервалах t ∈ (ti-1 , ti ) справедливы формулы (17), (18), а приращение пластической деформации за j-тый цикл выражается формулой p2j - p2(j-1) = 0.5τ η -1 [V (σ2j-1 ) + V (σ2j-2 )] = 0.5τ η -1 [V (σ1 ) + V (σ2 )]. (20) Если V (x) = 0 при x = 0, то несимметричное циклическое нагружение (с σ2 = -σ1 ) всегда вызывает неограниченное нарастание модуля пластической деформации («ratcheting») с постоянной скоростью (20) за цикл. Исключение составляют специальные программы со свойством V (σ2 ) = -V (σ1 ). Если МФ V (x) нечетна, то любое количество симметричных циклов нагружения (σ2 = -σ1 ) дает нулевую пластическую деформацию, а КП (17) - периодическая функция с периодом τ . Если же диссипативные свойства материала и скорости ползучести при растяжении и сжатии не одинаковы (V (x) не нечетна), то рэтчетинг происходит и при σ2 = -σ1 . 169 Х о х л о в А. В. Таким образом, ОС (3) описывает рэтчетинг без стабилизации и приспособляемости, т. е. поведение циклически разупрочняющихся материалов. 5. Характер зависимости материальных параметров модели (3) от температуры и ее влияние на теоретические кривые релаксации, ползучести и деформирования. Материальные параметры ОС (3) зависят от температуры T : E = E(T ) и η = η(T ) (удобное описание зависимости от T - одна из причин выделения скалярных множителей E и η из МФ F (x) и V (x)). В квазистатических испытаниях большинства стабильных материалов (в которых не происходят химические, фазовые и структурные превращения) с ростом температуры наблюдается смещение вниз кривых релаксации и смещение вверх кривых ползучести, увеличение скоростей ползучести и релаксации, смещение вниз всех диаграмм деформирования (ДД) σ(ε, a) и σ(ε, b) с постоянными скоростями деформирования или нагружения, уменьшение мгновенного модуля и предела текучести (если есть площадка текучести на ДД). Выясним, какие ограничения надо наложить на зависимости E = E(T ) и η = η(T ), чтобы теоретические кривые (7), (9), (14), (16), (17) адекватно описывали влияние температуры, наблюдаемое в изотермических квазистатических испытаниях. В силу (7) скорость ползучести ε(t) ˙ = V (σ)/η убывает по η, потому критерием увеличения скорости ползучести с ростом температуры является убывание коэффициента вязкости η(T ). Оно обеспечивает смещение вверх всех ˙ (t) = σV (σ)/η, кривых ползучести (7), возрастание скорости диссипации W скачков скорости ползучести [V (σi+1 ) - V (σi )]/η, порожденных скачками напряжения (см. (17)), и накопленной пластической деформации (18), а также ускорение рэтчетинга при циклических нагружениях (в силу (20)). Кроме того, смещение вверх начального значения кривой ползучести (7) обеспечивается убыванием E(T ); тогда с ростом температуры возрастает и чувствительность кривых ползучести (17) к скачкам напряжения (скачки деформации [F (σi+1 ) - F (σi )]/E возрастают). Убывание функции E(T ) необходимо и достаточно для убывания касательного модуля σε (ε, a) ε=±0 = E/F (0 ± 0) любой ДД σ = σ(ε, a) в точке ε = 0 (при растяжении и сжатии) и для смещения вниз всей кривой мгновенного деформирования σ(ε, ∞) = f (Eε) с ростом температуры (в силу возрастания функции f := F -1 ). Нестрогое убывание E(T ) и убывание η(T ) влекут смещение вниз (на интервале ε > 0) любой ДД σ = σ(ε, a) и σ(ε, b) с постоянной скоростью деформирования или нагружения, заданной (в неявной форме) уравнениями (16) и (14). Это следует из (16) и (14), так как деформации ε = ε(σ, a) и ε = ε(σ, b) убывают с ростом E и η и, следовательно, увеличиваются как с убыванием E(T ), так и с убыванием η(T ) при любых фиксированных σ, a и b (их влияния на ДД (16) и (14) сонаправлены). Напряжение течения σ ¯ = v(aη) при постоянной скорости деформирования (каждая ДД σ(ε, a) имеет горизонтальную асимптоту σ = σ ¯) понижается с ростом температуры, так как МФ v = V -1 возрастает, а η(T ) убывает. Именно это и наблюдается при испытаниях подавляющего большинства стабильных вязкоупругопластичных материалов. Убывание E(T ) и η(T ) 170 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . приводит к возрастанию податливости (уменьшению жесткости), к уменьшению касательного модуля, а также к возрастанию энергии деформации (6) и скорости диссипации ˙ (t) = σ(t)V (σ(t))/η W при любой фиксированной программе нагружения σ(t). Из анализа свойств кривых релаксации (9) следует еще одно необходимое ограничение на зависимости E(T ) и η(T ). По (8) модуль скорости релаксации пропорционален параметру τr-1 = E/η. С ростом температуры кривые релаксации σ(t; ε¯) с фиксированным ε¯ (т. е. σ0 ) должны быстрее сближаться с осью σ = 0 (как и экспериментальные кривые), и потому функция τr (T ) = η/E должна убывать, т. е. η(T ) должна убывать быстрее, чем E(T ): E(T )η (T ) - E (T )η(T ) < 0, или E (T )/E(T ) > η (T )/η(T ). В испытаниях большинства материалов, например, у полимеров в стекловидном и высокоэластичном состояниях и у металлов и сплавов как раз наблюдается более сильная чувствительность вязкости (и предела текучести) к изменению температуры, чем модуля Юнга [39-44]. Убывание функции τr (T ) равносильно убыванию времени релаксации (12) модели (3) с ростом T . Из убывания τr (T ) следует также, что область (19) в пространстве параметров (t1 , t2 , σ1 , σ2 ) трехступенчатой программы нагружения (с n = 3 и σ3 = 0), обеспечивающая воспроизведение эффекта Кольрауша моделью (3), сужается с ростом T . Таким образом, доказано: чтобы теоретические кривые деформирования, релаксации и ползучести ОС (3) вели себя при изменении температуры так же, как и кривые изотермических испытаний большинства стабильных вязкоупругопластичных материалов, необходимо (и достаточно), чтобы E и η, а также τr = η/E, были убывающими функциями T (или гомологической температуры, или отношения к температуре стеклования для полимеров). Для обеспечения убывания E(T ), η(T ) и τr (T ) можно, например, задать их в виде E = E0 exp(u/T ), η = η0 exp(w/T ), w > u > 0. Тогда время релаксации и скорость ползучести выражаются формулами τr (T ) = η0 E0-1 exp((w - u)/T ), w - u > 0, ε(t) ˙ = V (¯ σ )/η = η0-1 V (¯ σ ) exp(-w/T ). (21) Скорость ползучести будет возрастать по T , а время релаксации будет убывать. Именно в экспоненциальной форме (21) (и с экспоненциальной V (¯ σ )) обычно принимают их зависимость от температуры в работах по ползучести и длительной прочности (по аналогии с законом Аррениуса для кинетических процессов) [15-21, 39-46]. Заключение. В статье продолжено аналитическое исследование нелинейного определяющего соотношения типа Максвелла (3) для вязкоупругопластичных разносопротивляющихся материалов. Одна материальная функция ОС (3) управляет (нелинейно) упругими свойствами, вторая - вязкопластическими: она регулирует наследственные свойства, вязкость, скорость диссипации, чувствительность напряжения (в частности, мгновенного модуля 171 Х о х л о в А. В. и предела текучести) к скорости деформации, зависимость скорости ползучести и релаксации от величины и знака напряжения и накопление пластической (необратимой) деформации. Для учета влияния температуры на механическое поведение материалов (при изотермических процессах) два материальных параметра модели (коэффициент вязкости и «модуль упругости») рассматриваются как функции температуры. В результате сопоставления обнаруженных свойств теоретических кривых ползучести, релаксации и деформирования (7), (9), (14), (16), (17), порождаемых ОС (3), с типичными свойствами кривых квазистатических испытаний вязкоупругопластичных материалов выявлены качественные ограничения на характер зависимости двух параметров ОС (3) от температуры, необходимые и достаточные для качественного описания типичных результатов изотермических испытаний широкого класса стабильных реономных материалов на релаксацию, деформирование или нагружение с постоянной скоростью, ползучесть при любых ступенчатых нагружениях и усталость. При минимальных первичных ограничениях на две материальные функции ОС (3) доказано, что для того, чтобы теоретические кривые релаксации (9), ползучести (7), (17) и деформирования (14), (16), порождаемые ОС (3), вели себя при изменении температуры так же, как и экспериментальные кривые большинства стабильных вязкоупругопластичных материалов, необходимо, чтобы параметры E, η и τr = η/E были убывающими функциями температуры (или гомологической температуры, или отношения к температуре стеклования для полимеров). Из убывания функций E(T ), η(T ) и τr (T ) следует, что рост температуры вызывает следующие основные изменения в поведении модели (3): ˙ (t) = σ(t)V (σ(t))/η и работа (5) 1) теоретическая скорость диссипации W напряжения σ(τ ) в процессе деформирования (как при ползучести, так и при любом нагружении σ(τ ), τ < t) возрастают; 2) кривые ползучести ОС (3) с σ > 0 смещаются вверх; 3) кривые релаксации и диаграммы деформирования σ = σ(ε, a) и σ(ε, b), ε > 0, при постоянных скоростях деформации ε˙ = a или нагружения σ˙ = b, смещаются вниз; 4) напряжение течения и мгновенный модуль упругости (при любой фиксированной скорости деформирования a) понижаются; 5) скорости релаксации и ползучести возрастают; 6) модули скачков деформации и ее скорости, порожденные скачками напряжения, увеличиваются (но не зависят от знака скачка напряжения); 7) накопленная пластическая (необратимая) деформация (18) возрастает; 8) рэтчетинг при циклических нагружениях ускоряется; 9) область (19) в пространстве параметров трехступенчатой программы нагружения, обеспечивающая воспроизведение эффекта Кольрауша, сужается. Таким образом, требование убывания функций E(T ), η(T ) и τr (T ) обеспечивает адекватное качественное описание полутора десятков наблюдаемых в испытаниях базовых термомеханических эффектов, свидетельствующих о возрастании податливости, скорости диссипации и скоростной чувствительности материалов с ростом температуры. Проведенный анализ показывает, что нелинейное ОС (3) может приме172 Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла. . . няться для описания комплекса основных реологических эффектов, типичных для вязкоупругопластичных материалов, обладающих наследственностью, высокой (положительной) чувствительностью к скорости деформирования и, возможно, разносопротивляемостью, для которых характерны стадия установившей ползучести, выраженная «площадка текучести» на диаграммах деформирования с постоянной скоростью, (возрастающая) зависимость предела текучести от скорости деформирования, «неограниченное» нарастание пластической деформации при циклическом нагружении за пределом упругости (рэтчетинг без стабилизации и приспособляемости, циклическое разупрочнение) и возрастание скоростей диссипации, релаксации и ползучести, податливости и скоростной чувствительности с увеличением температуры. Подобное поведение демонстрируют многие полимеры, их расплавы и растворы, композиты, твердые топлива, асфальтобетоны, титановые и алюминиевые сплавы, углеродные и керамические материалы при высоких температурах. В частности, ОС (3) и его модификации могут быть полезны и для моделирования материалов в режимах сверхпластического деформирования. Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

About the authors

Andrew V Khokhlov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: andrey-khokhlov@ya.ru
Cand. Techn. Sci.; Senior Researcher; Lab. of Elasticity and Plasticity 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192, Russian Federation

References

Supplementary files