On a spectral problem for a system of differential equations of mixed type

Full Text

Введение. Настоящая статья посвящена изучению спектральных характеристик дифференциального оператора L, порожденного в гильбертовом пространстве H периодической задачей для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа. Эта система имеет следующий вид: aDt u(t) + bBu(t) = f (t), при a = 1 0 , b= 0 1 0 - sign(t) , 1 0 (1) где B является M -оператором [1] в сепарабельном гильбертовом пространстве Hx ; Dt - оператор дифференцирования по переменной t; t ∈ Vt ≡ [T1 , T2 ], Научная статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования К о р н и е н к о Д. В. Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4. С. 611-632. doi: 10.14498/vsgtu1567. 611 К о р н и е н к о Д. В. -∞ < T1 < 0 < T2 < +∞. К системе уравнений (1), являющейся квазиэллиптической (квазигиперболической) системой первого типа [2] при t > 0 (t < 0), присоединены граничные условия вида u(T1 ) = u(T2 ). (2) Для оператора L, порожденного задачей (1), (2), выписаны точечный спектр и аналитическое представление его собственных вектор-функций: 1 um,k,s (t) = ek (t) √ p1m,s (t)e1 + (-1)m+1 p2m,s (t)e2 . 2 Далее последовательно в гильбертовых пространствах Ht , Ht2 , Htx изучаются базисные свойства систем, составленных соответственно из компонент ujk,m,s (t), uk,m,s (t), ujk,m,s (t)ϕs , j = 1, 2, собственных вектор-функций ϕs uk,m,s (t) оператора L. На основе проведенных исследований сформулирована теорема о базисных свойствах системы собственных вектор-функций периодической задачи для системы уравнений смешанного типа. 1. Постановка задачи. В гильбертовом пространстве H рассмотрим граничную задачу aDt u(t) + bBu(t) = λu(t) + f (t), µ1 u(T1 ) + µ2 u(T2 ) = 0 (3) (4) со спектральным параметром λ ∈ C. Здесь f (t) ∈ H; a, b, µ1 , µ2 - заданные матрицы (m × m); Dt - оператор дифференцирования по переменной t. Дифференциальный оператор B действует в Hx и удовлетворяет определенным требованиям, формулируемым в терминах спектральной теории операторов. Примеры интересующих нас дифференциальных операторов B и, следовательно, линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных приведены ниже. Операция L(Dt, B) = aDt + bB в этом случае определена, естественно, на достаточно гладких вектор-функциях u : R → Hxm , u = u(t), u(t) = = u1 (t), u2 (t), . . . , um (t) ∈ Hxm , uj (t) ∈ Hx , j = 1, 2, . . . , m, принадлежащих для каждого t ∈ Vt области определения D(B) оператора B. Элемент u(t) ∈ H будем называть решением задачи (3), (4), если найдется последовательность таких гладких и удовлетворяющих условиям (4) векторфункций un (t) ∈ D(B), что lim un (t) = u(t), n→∞ lim L(Dt , B)un (t) = f (t). n→∞ Другими словами, мы имеем дело с задачей (3), (4), понятие решения которой, как легко заметить, использует стандартную процедуру замыкания (расширения) операции L(Dt, B) = aDt + bB при условиях (4). Оператор L : H → H, определяемый как замыкание в H операции L(Dt , B), первоначально заданной на гладких вектор-функциях, удовлетворяющих условиям (4), называют сильным расширением операции L(Dt , B) при условиях (4). В этом случае решение u = u(t) называют сильным решением задачи (3), (4). 612 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа Уравнение (3) зачастую называют операторным или дифференциально-операторным уравнением первого порядка по t. Уравнение (3) находит широкое применение при исследовании в цилиндре граничных задач для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Принципиальная схема перехода от граничной задачи для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных к соответствующему дифференциально-операторному уравнению в гильбертовом пространстве H будет описана ниже. Здесь же отметим следующее. Интересующие нас вопросы спектральной теории граничных задач для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных будут изучены на основе свойств сопоставляемого задаче дифференциального оператора L : H → H. Свойства оператора L описываются в терминах спектральной теории линейных операторов. 2. Пространство H и его представления. Пусть Hx - сепарабельное гильбертово пространство с базисом Рисса {ϕs }, s ∈ S. Здесь и в дальнейшем S - некоторое счетное множество индексов s, которыми нумеруются элементы ϕs базиса пространства Hx . Не ограничивая общности результатов и учитывая ограничения, накладываемые на изучаемую граничную задачу, можно считать, что Hx = L2 (Vx ) - гильбертово пространство комплексных функций над замкнутой ограниченной областью Vx евклидова пространства Rm с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля. Пусть также система {ψ s }, s ∈ S, является базисом Hx , биортогональным базису {ϕs }, s ∈ S. В таком случае биортогональная система {ϕs , ψ s }, s ∈ S, состоит из базисов Рисса пространства Hx . Обозначим через e1 , e2 , . . . , em канонический ортонормированный базис евклидова пространства E m вектор-столбцов: def e1 = (1, 0, . . . , 0) , def em = (0, . . . , 0, 1) , ..., а через U - унитарное пространство элементов u = u1 e1 + . . . + um em , uk ∈ C, k = 1, 2 . . . , m, со скалярным произведением (u, v)U = u1 v 1 + u2 v 2 + . . . + um v m . Пусть также Hxm - гильбертово пространство элементов u = u1 e1 +. . .+um em , uk ∈ Hk ; k = 1, 2, . . . , m, с нормой m u Hxm uk = 2 . Hx k=1 Очевидно, что любой элемент U является элементом Hx = L2 (Vx ). При таком подходе U является собственным подпространством Hx . Отметим, что Hxm можно представить в виде ортогональной суммы m копий гильбертова пространства Hx , то есть в виде m Hxm ⊕Hx , = k=1 613 К о р н и е н к о Д. В. или кратко в виде m Hxm = ⊕ Hx . k=1 Пусть t ∈ Vt = [T1 , T2 ], -∞ < T1 0 T2 < +∞, T2 - T1 = 0. Положим Ht = L2 (Vt ) - гильбертово пространство комплексных функций над Vt с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля, Htx = Ht ⊗ Hx . В дальнейшем изучение свойств разрешимости граничной задачи для линейных систем уравнений в частных производных будем проводить в гильбертовом пространстве H = Ht ⊗Hxm , Ht = L2 (Vt ). Важную роль при исследовании свойств спектральной задачи для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных играет нижеследующая лемма 1 и вытекающая из нее лемма 2. Лемма 1. Справедливо следующее равенство: Htx = Hx ⊗ U. В силу теории биортогональных систем для любого элемента u ∈ Hxm имеет место представление в виде ряда u = s,k uks ϕsk по биортогональной системе {ϕsk , ψks }, ϕsk = ϕs ek , ψks = ψ s ek . Так как uks = (u, ψks )Hxm = (uk , ψ s )Hx , в силу безусловной базисности базиса {ϕsk } имеем также равносильное представление для элемента u: u = s ϕs us , где us = u1s e1 +u2s e2 +· · ·+um s em ∈ U . Теперь мы можем получить другие формы представления гильбертова пространства H. Лемма 2. Справедливы следующие равенства: m H = Htm ⊗ Hx = Ht ⊗ Hxm = ⊕ Htx . k=1 Достаточно заметить, что для вектор-функции u(t) ∈ H в силу леммы 1 справедливы два представления: uks (t)ϕsk = u(t) = ϕs us (t), s s,k и воспользоваться разложением вектор-функций us (t) (функций uks (t)) в ряд по полной ортонормированной системе в Htm (в Ht ). Отметим, что норма элемента u гильбертова пространства H вектор-функций u : V → Hxm , u = u(t) = u1 (t)e1 + u2 (t)e2 + · · · + um (t)em может быть вычислена по формуле u H = u(t) Hxm Ht . 3. Дифференциальный оператор B и его расширение. Пусть B : Hx → Hx - линейный замкнутый неограниченный оператор с плотной в Hx областью определения D(B), не зависящей от t ∈ Vt и Bϕs = B(s)ϕs для 614 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа любого s ∈ S, то есть все элементы базиса Рисса {ϕs }, s ∈ S, пространства Hx являются собственным элементами оператора B (собственному значению B(s) соответствует собственный элемент ϕs ). Оператор, для которого существует полная система собственных элементов, образующая базис Рисса в Hx , принято называть M -оператором [1] (от слова - модельный). Следует отметить, что существует M -оператор B, точечный спектр которого не имеет конечных предельных точек. В этом случае его резольвентное множество не пусто. Кроме этого, существует M -оператор B, резольвентное множество которого пусто [1]. Приведем примеры интересующих нас M -операторов. 1. B = B(x, Dx ), где B(, Dx ) является обыкновенным дифференциальным оператором на отрезке Vx = [a, b], -∞ < a < b < +∞, порождаемым сильно регулярными краевыми условиями. Предполагается, что оператор B(x, Dx ) не имеет присоединённых функций. 2. Пусть Vx = Vx1 × Vx2 × · · · × Vxm , Vxk = [0, ak ], 0 < ak < +∞, k = a = 1, 2, . . . , m. Пусть также B(DX ) = |a| r ba Dx - дифференциальная операция с постоянными комплексными коэффициентами ba = m ; |a| = a + a + · · · + a . Обозна= ba1,a2,...,am ; Dxa = Dxa11 Dxa22 . . . Dxam 1 2 m чим через B : L2 (Vx ) → L2 (Vx ) замыкание в гильбертовом пространстве L2 (Vx ) дифференциальной операции B(Dx ), первоначально заданной на гладких функциях, удовлетворяющих по каждой переменной xk нелокальным краевым условиям вида µk Dxlkk u xk =0 = Dxlkk u xk =bk , lk = 0, 1, . . . , rk - 1, где µk = 0 и rk - порядок B(Dx ) по переменной xk ; k = 1, 2, . . . , m. Известно (см. [3, 4]), что замкнутый дифференциальный оператор B является M -оператором. Если µk = · · · = µk = 1, то оператор B принято называть Π-оператором [1]. 3. Пусть Vx - замыкание ограниченной гладкой гиперповерхностью S = = ∂ Vx области Vx евклидова пространства Rm . Пусть также B(DX ) = = |a| 2r ba (x)Dxa - формально самосопряженная эллиптическая дифференциальная операция, причем (-1)r |a| 2r ba (x)ξ a > 0 для всех x ∈ Vx и всех ξ ∈ Rm , ξ = 0. Обозначим через B : L2 (Vx ) → L2 (Vx ) замыкание в гильбертовом пространстве L2 (Vx ) дифференциальной операции B(Dx ), первоначально заданной на гладких функциях, удовлетворяющих условиям Дирихле Dvk-1 u x∈S = 0, k = 1, 2, . . . , r, где v - единичная внешняя нормаль к поверхности S. Известно [5], что замкнутый дифференциальный оператор B обладает свойствами M оператора, причем B является правильным оператором, то есть 0 ∈ B. В дальнейшем этот M -оператор B будем называть M -эллиптическим дифференциальным оператором. Примечание 1. Следует отметить, что выбор M -оператора B определит при заданных матрицах a и b, во-первых, вид системы (3) дифференциальных уравнений в частных производных и, во-вторых, тип краевых условий по переменной x. Поэтому, говоря о краевой задаче для линейной системы 615 К о р н и е н к о Д. В. дифференциальных уравнений в частных производных, записанной в форме дифференциально-операторного уравнения (3), мы будем указывать только условия по переменной t, так как выбор условий по t определяет название задачи. Например, говоря о задаче Дирихле для системы (3), мы имеем в виду, что краевые условия (4) являются условиями Дирихле; условия по x вошли в определение оператора B и явно не оговариваются. Кроме этого, ради простоты обозначений переменная x (а иногда и переменная t) как аргумент вектор-функции u ∈ H явно не указывается. Положим B(S) = {B(s) : s ∈ S}. Будем считать выполненным следующее условие на структуру спектра M -оператора B. Условие 1. Точечный спектр оператора B : Hx → Hx представим в виде P σB = B(S). Известно, что спектр σB оператора B : Hxm → Hxm состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра P σB оператора B. Множество CσB = σB\P σB образует непрерывный спектр оператора B. Заметим, что уравнение (3) мы рассматриваем в гильбертовом пространстве H вектор-функций u(t) = u1 (t)e1 + u2 (t)e2 + · · · + um (t)em a оператор B определен на скалярах uk (t) ∈ Hx для любого t ∈ Vt и любого k = 1, 2, . . . , m. Следующие соглашения являются оправданием такой записи. Так как Hxm можно представить в виде ортогональной суммы m копий гильбертова пространства Hx , естественно определить расширение оператора B на H. Расширение оператора B : Hxm → Hxm на гильбертово пространство векторов Hxm , как и принято, будем обозначать тем же символом B. Будем говорить, что u = u1 e1 + u2 e2 + · · · + um em ∈ D(B) - области определения оператора B : Hxm → Hxm и Bu = (BU 1 )e1 + (BU 2 )e3 + · · · + (Bum )em , если uk ∈ D(B) - области определения оператора B : Hx → Hx для любого k = 1, 2, . . . , m. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Спектр σB оператора B : Hxm → Hxm совпадает с замыканием P σB его точечного спектра P σB. Точечный спектр P σB оператора B дается формулой P σB = B(S). Собственному значению B(s) оператора B соответствуют m собственных векторов ϕsk = ϕs ek , k = 1, 2, . . . , m. Система {ϕsk : k = 1, . . . , ms ∈ S} собственных векторов оператора B является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Hxm . Д о к а з а т е л ь с т в о. Если {ϕs , ψ s : s ∈ S} - биортогональная система в Hx , то система {ϕsk , ψks : k = 1, 2, . . . , m; s ∈ S} биортогональна в Hxm . Для k m k k s s любого u = m k=1 u ek ∈ Hx имеем u = s (u , ψ )Hx ϕ в Hx , следовательs s m но, и u = k,s (u, ψk )Hx ϕk , причем разложение единственно. Существуют такие константы 0 < C1 C2 < +∞, что для любого элемента uk ∈ Hx имеем 2 2 (uk , ψ s )Hx uk 2Hx C22 (uk , ψ s )Hx . (5) C12 s s Складывая неравенства (5) для значений k = 1, 2, . . . , m и учитывая, что (uk , ψ s )Hx = (uk , ψ s )Hxm , получаем неравенство C12 (uk , ψ s )Hxm k,s 616 2 uk 2 Hxm 2 C22 (uk , ψ s )Hxm , k,s Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа из которого следует, что B является M -оператором в Hxm . 4. Обобщенное решение. Пусть Dt - линейное многообразие гладких вектор-функций из Htm , удовлетворяющих условию (4), а точнее,   v ∈ C 2 (Vt± ) ∩ C(Vt ), ν ∈ Dt , если L (D )v ∈ Htm ,  Γ 2v =t 0, t где L2 (Dt ) = aDt + bB(s), Γt v = µ1 v(Tt ) + µ2 v(T2 ), Vt± = Vt \{T1 , 0, T2 }. Пусть также D - линейное многообразие, состоящее из вектор-функций u : R → Hxm вида vs (t)ϕs , u(t) = s где vs (t) из Dt и суммирование проводится для конечного набора индексов s ∈ S. Для любых u, f ∈ H будем говорить, что u ∈ D(L) - области определения оператора L : H → H и Lu = f , если найдется такая последовательность {un }∞ n=1 вектор-функций un ∈ D, что lim un - u n→∞ H = lim L(Dt , B)un - f n→∞ H = 0. Оператор L : H → H называют замыканием операции L(Dt , B) = aDt + + bB(Dx ) - левой части системы уравнений (3), на вектор-функциях из D. Определение 1. Элемент u ∈ D(L) будем называть обобщенным решением задачи (3), (4), если Lu = λu + f в H. Таким образом, изучение свойств разрешимости задачи (3), (4) свелось к исследованию спектральных характеристик сопоставляемого ей оператора L : H → H. Приведем некоторые подходы описания его спектра и свойств системы собственных вектор-функций. Пусть Ls : Hxm → Hxm - замыкание операции Ls (Dt ) = aDt + bB(s) на функциях из Dt . Удобно считать, что и в этом случае B является оператором: Bu = B(s)u, B : Hxm → Hxm , оператором умножения на константу B(s). Отметим ниже следующие очевидные свойства. 1. Для конечных линейных комбинаций un = nk=1 ϕsk usk (t) ∈ D и fn = n sk = k=1 ϕ usk (t) ∈ H вектор-функция un ∈ H является решением уравнения Lu = λu + f тогда и только тогда, когда для любого k = = 1, 2, . . . , n вектор-функция usk ∈ Hxm является решением уравнения Lsk v = λu + fsk . 2. Точечный спектр P σL оператора L : H → H дается формулой P σL = P σLs ; s∈S если u(t) - собственная вектор-функция оператора Ls : Hxm → Hxm , соответствующая собственному значению λ, то ϕs u(t) - собственная вектор-функция оператора L, соответствующая собственному значению λ. 617 К о р н и е н к о Д. В. Структура собственных вектор-функций оператора L позволяет, как это проделано для скалярных функций, доказать ряд аналогичных теорем о свойствах систем собственных вектор-функций оператора L. Докажем интересующие нас свойства. Теорема 2. Если для любого s ∈ S система (последовательность) {vk,s : k ∈ Ks } собственных вектор-функций оператора Ls , где Ks - некоторое (упорядоченное) множество значений индекса k, полна (образует базис) в пространстве Hxm , то система {ϕ2 vk,s : k ∈ Ks ; s ∈ S} (6) собственных вектор-функций оператора L полна (образует базис) в пространстве H. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем полноту в H системы {uk,s : k ∈ Ks ; s ∈ S} собственных вектор-функций uk,s = ϕs uk,s оператора L. Пусть f - произвольный элемент H. Для любого ε > 0 найдется такой конечный набор {ϕsi : i = 1, 2, . . . , N }, что N ϕsi fsi f- H i=1 ε < , 2 где fsi ∈ Hxm . Пусть C = max1 i N ϕsi Hx . Подберем для каждого i = = 1, 2, . . . , N такой конечный набор {vkn ,si : n = 1, 2, . . . , Ni }, чтобы Ni fsi - fkn ,si , vkn ,si i=1 < Htm ε , 2CN где fkn ,si ∈ C. Неравенство N Ni f- fkn ,si ϕsi vkn ,si H i=1 n=1 Ni N N f- fsi ϕsi i=1 fsi - +C H i=1 fkn ,si vkn ,si n=1 <ε Htm дает утверждаемую полноту. Исследуем теперь вопрос о базисности системы (6) в H. Из равенства H = Htm ⊗ Hx следует, что для любого элемента f ∈ H справедливо в H представление f = s∈S ϕs fs в котором коэффициенты fs ∈ Hxm определены однозначно. Так как последовательность {vk,s : k ∈ Ks } образует базис в пространстве Htm , для каждого элемента fs ∈ Hxm справедливо в Htm представление fs = fk,s vk,s , k∈Ks где коэффициенты fk,s ∈ C также определены однозначно. Следовательно, получаем единственное представление fk,s ϕs uk,s fs = s∈S k∈Ks 618 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа произвольного элемента f ∈ H в виде ряда по системе собственных векторфункций оператора L. Аналогично можно исследовать и другие свойства. А именно, является ли система собственных вектор-функций минимальной, бесселевой, гильбертовой, базисом Рисса и так далее. Соответствующие исследования проводились многими авторами. Например, при исследовании граничных задач для уравнений смешанного типа Е. И. Моисеев [6-8] широко использовал базисность систем синусов и косинусов для построения решения в виде биортогональных рядов по этим системам. В дальнейшем мы будем изучать граничные задачи в пространстве H = Htm ⊗ Hx при m = 2. Поэтому естественно возникает вопрос о базисности аналогичных систем в пространствах вектор-функций. Приведем пример ортонормированного базиса {ek : k ∈ K} в Ht2 составленного из синусов и косинусов, тем самым построим базис Рисса {ek ϕs : k ∈ K, s ∈ S} в пространстве H. Положим e1k (t) = 2 2 sin A(k)(t - T1 ) , e2k (t) = cos A(k)(t - T1 ) ; T2 - T1 T2 - T1 ek (t) = e1k (t)e1 + e2k (t)e2 , где A(k) = kπ/(T2 - T1 ). ek (t)ϕs : k ∈ N ∪ {0}; s ∈ S заведомо не является полной в гильбертовом пространстве H = Htm ⊗ Hx . Система {ek (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} является базисом Рисса в H. Лемма 3. Система Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение леммы 3. В силу рассмотренной теоремы 2 достаточно доказать, что система вектор-функций ek (t) : k ∈ N ∪ {0} (7) не является полной в Ht2 . Найдем представление вектор-функции f ∈ Ht2 , f (t) = f 1 (t)e1 + f 2 (t)e2 , ортогональной всем вектор-функциям системы (7). Из условия ортогональности для любого k = 1, 2, 3, . . . в Ht имеем равенство ∞ f (t) - A(k)F 1 (t) = ckm e2m (t), m=0 где t F 1 (t) = f 1 (τ )dτ , ckk = 0. T1 Откуда получаем представление для функции F 1 (t): ∞ A(1)F 1 (t) = 2 (ckm - ck+1 m )em (t). m=0 k+2 при любом k = 0, 1, 2, . . . , имеем cm-1 = Так как ckm - ck+1 = ck+1 m m - cm m m+1 = -cm для любого m = 1, 2, 3, . . . . Из равенства ckm = (f 2 - A(1)F 1 , e2m )Ht 619 К о р н и е н к о Д. В. последовательно получаем: m-1 = c0 - A(m - 1)(F 1 , e2 ) ; cm m m Ht m+1 cm = c0m - A(m + 1)(F 1 , e2m )Ht ; c0m = A(m)(F 1 , e2m )Ht . Отсюда находим (f 1 , e1m )Ht = -c0m . Следовательно, имеем разложения ∞ ∞ f 1 (t) = - c0m e1m (t), f 2 (t) = m=1 c0m e2m (t). m=1 Положив в этих разложениях, например, c0m = 2-m , получаем искомую вектор-функцию f ∈ Ht2 , то есть вектор-функцию, ортогональную всем векторфункциям системы (7). Докажем теперь вторую часть леммы, рассуждая, как и прежде, от противного. Пусть вектор-функция f (t) ∈ Ht2 отлична от нуля и ортогональна в Ht2 всем вектор-функциям системы {ek (t) : k ∈ Z}. В силу доказанного ранее при k = -1, -2, -3, . . . имеем 0 = (f, ek )Ht2 = 2c0|k| , то есть f = 0. Замечая, что система √ {ek (t)/ 2 : k ∈ Z} (8) является ортонормированной системой в Ht2 и учитывая ее полноту в Ht2 , получаем, что система (8) - ортонормированный базис в Ht2 , а система {ek (t)ϕ2 : k ∈ Z; s ∈ S} - базис Рисса в H = Htm ⊗ Hx . Выделенные свойства оператора L приводят к необходимости исследования свойств операторов Ls . Займемся этим. Рассмотрим в Htm цепочку следующих спектральных задач: Ls u(t) = λu(t) + f (t), s ∈ S. (9) Пусть λ ∈ C. Если λ ∈ / P σLs s, то структура резольвенты Rλ = Rλ (Ls ) оператора Ls легко просматривается из представления u(t) = Rλ f (t): T2 Gs (t, τ, λ)f (τ )dτ Rλ f (t) = T1 - решения операторного уравнения (9). Матрицу Грина Gs (t, τ, λ) в данном случае удобно выписать в виде  Φs (t, λ)Ms-1 (λ)µ1 Φs (T1 , λ)×   -1  ×Φ-1 τ t T2 ; s (τ, λ)a (τ ), T1 Gs (t, τ, λ) = (10) -1   2 Φs (T2 , λ)×  Φs (t, λ)Ms (λ)µ -1 ×Φ-1 t τ T2 , s (τ, λ)a (τ ), T1 где Ms (λ) = µ1 Φs (T1 , λ) + µ2 Φs (T2 , λ); Φs (t, λ) - фундаментальная матрица оператора (Ls - λE), E - тождественный оператор в Htm . 620 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа Представление (10) позволяет выписать функцию, нули которой являются собственными значениями оператора Ls и, следовательно, оператора L. Такой функцией, очевидно, является определитель ∆2 (λ) матрицы µ1 Φs (T1 , λ) + + µ2 Φs (T2 , λ). Положим Wt = Vt × Vt . Теорема 3. Пусть λ ∈ / P σL. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) λ ∈ L, если существуют такие а) число C > 0 и б) скалярные функции gs - gs (t, τ, λ), что для всех s ∈ S и всех (t, τ ) ∈ Wt матрица Грина Gs (t, τ, λ) оператора (Ls - λE) удовлетворяет неравенству Gs (t, τ, λ)u(τ ) и нормы gs L2 (W t ) gs (t, τ, λ)u(τ ) U U равномерно по s ограничены, то есть для любого s ∈ S имеет место неравенство m gs L2 (W t ) < C. 2) λ ∈ C L, если существуют такие вектор-функции f (t) ∈ Htm , s ∈ S ⊆ S, что fs = 0 и sup = s∈S Rλ,s fs Htm = +∞. fs Htm (11) Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Для любой вектор-функции f (t) ∈ H в силу теоремы 2 имеем представление n ϕsk fsk (t), fn (t) = fs (t) ∈ Htm . k=1 Аппроксимируем f (t) ∈ H частичной суммой fn (t) ∈ H ее разложения в ряд s }: по биортогональной системе {ϕsm , ψm n ϕsk fsk (t), fn (t) = fsk (t) ∈ Htm k=1 и определим входящую в определение обобщенного решения изучаемой задачи последовательность {un (t)} в виде n ϕsk usk (t), un (t) = usk (t) = Rλ,sk (t). k=1 Из свойств а) нормы, б) матрицы Грина, в) неравенства Коши-Буняковского и условий теоремы получаем необходимую нам оценку: usk Htm C fsk Htm . Действительно, 621 К о р н и е н к о Д. В. m usk (t) 2 U m = m n=1 m Vt n=1 i=1 Vt i=1 2 i Gn,i sk (t, τ, λ)fsk (τ )dτ 2 i Gn,i sk (t, τ, λ)fsk (τ ) dτ U dτ Vt |g(t, τ, λ)|2 dτ m Gsk (t, τ, λ)fsk (τ ) m fsk (τ ) Vt 2 U dτ = Vt |g(t, τ, λ)|2 dτ =m fsk (t) Vt Осталось воспользоваться равенством usk Htm = usk (t) Далее, в силу теоремы 1 имеем двойное неравенство n 2 U Ht . U Ht . n C12 usk 2 Htm un 2 H C22 k=1 usk 2 Htm . k=1 Учитывая доказанное, получаем неравенство un H c fn H, c=C C2 , C1 (12) из которого следует единственность решения уравнения Lun = λun +fn , фундаментальность последовательности {un } в H и существование решения уравнения Lun = λun + f . Если положить u = limn→∞ un , то, переходя к пределу при n → ∞ в неравенстве (12), получаем un H = (L - λ)-1 f H c f H, то есть λ ∈ L. 2. Воспользуемся обозначениями и результатами первой части теоремы 3. В частности, было доказано, что оператор (L - λ)-1 существует и задан на множестве, всюду плотном в H. Имеем (L - λ)-1 ϕs fs ϕs fs H H C1 (Ls - λ)-1 fs C2 fs Htm Htm , откуда в силу условия (11) теоремы 3 получаем (L - λ)-1 = +∞, то есть λ ∈ C L. Обозначим через Ls сужение оператора L на подпространство Htm ⊗ ϕs пространства H. Тогда Ls = Ls ⊗1. Учитывая важность оператора Ls , в дальнейшем будем называть его проекцией оператора L на пространство Htm относительно ϕs , или просто s-проекцией оператора L. 5. Спектральные характеристики дифференциального оператора одной линейной системы дифференциальных уравнений смешанного типа. Пусть t ∈ Vt ≡ [T1 , T2 ], -∞ < T1 < T2 < +∞; Ht = L2 (Vt ); Hx = L2 (Vx ); H = Ht ⊗ Hx2 . 622 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа Для f (t) ∈ H рассмотрим уравнение L(Dt , B)u ≡ aDt u(t) + aBu(t) = f (t) (13) (под уравнением мы понимаем систему) и граничные условия вида u(T1 ) = u(T2 ). (14) 1 0 0 -sign(t) ,b= . 0 1 1 0 Как и ранее, D - линейное многообразие, состоящее из гладких векторфункций u(t) ∈ C(Vt , Hx ) ∩ C 1 (Vt± , Hx ), удовлетворяющих условиям (14) и принадлежащих для любого t ∈ Vt± области определения D(B) оператора B. Здесь C(Vt , Hx ) = C(Vt )⊗Hx , C(Vt ) = C(Vt )⊗U ; C 1 (Vt± , Hx ) = C 1 (Vt± ) ⊗ Hx , C 1 (Vt± ) = C 1 (Vt± ) ⊗ U ; Vt± = Vt- ∪ Vt+ , Vt- = (T1 , 0), Vt+ = (0, T2 ). Вопросами изучения спектральной теории граничных задач для уравнений смешанного типа посвящены работы [9-11]; в меньшей степени изучены соответствующие вопросы для систем уравнений смешанного типа. Отметим работу [12], в которой изучаются задача Римана-Гильберта для однородной системы уравнений Лаврентьева-Бицадзе в смешанной области с характеристическим участком границы. Здесь a = Определение 2. Пусть f (t) ∈ H. Элемент u(t) ∈ H называем обобщенным решением граничной задачи (13), (14), если найдется последовательность таких гладких вектор-функций un (t) ∈ D, что lim un (t) - u(t) n→∞ H = lim L(Dt , B)un (t) - f (t) n→∞ H = 0. Приведем вначале некоторые общие подходы к изучению спектра и свойств системы собственных вектор-функций граничной задачи (13), (14), то есть ее спектральные свойства. Под спектральными свойствами граничной задачи мы понимаем спектральные свойства оператора L : H → H, сопоставляемого этой задаче в силу определения 2. Пусть Ls : Ht2 → Ht2 - замыкание операции Ls (Dt ) = aDt + bB(s) на функциях из Dt или s-проекция оператора L. Выделенные свойства оператора L приводят к необходимости исследования свойств операторов Ls . Займемся этими исследованиями. Лемма 4. Если 0 ∈ P σB, то есть B(s) = 0, то спектр σLs оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σLs . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λk = 2πki , T2 - T1 k ∈ Z. Собственному значению λk соответствуют две собственные вектор-функции uk,m,s (t) ≡ uk,m (t) = ekm (t) = ek (t) e1 + (-1)m+1 e2 √ , 2 (15) 623 К о р н и е н к о Д. В. ek (t) = exp λk (t - T1 ) √ , T2 - T1 m = 1, 2 оператора Ls . Система собственных вектор-функций оператора Ls образует ортонормированный базис в пространстве Ht2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства m (uk,m , uk ,m )Ht2 = δkk δm , где δkk - функция Кронекера, следует ортонормированность в Ht2 системы {uk,m (t) : k ∈ Z; m = 1, 2} (16) собственных вектор-функций оператора Ls . Предположим, что множество (16) неполно в Ht2 . Тогда существует вектор-функция f ∈ Ht2 , f = f 1 (t)e1 + + f 2 (t)e2 , f = 0 в Ht2 , ортогональная всем вектор-функциям (16). Так как {ek (t) : k ∈ Z} - полная ортонормированная в Ht система, из равенства √ (f, ekm )Ht2 = (f 1 + (-1)m+1 f 2 , ek )Ht / 2, где m = 1, 2; k ∈ Z, следует противоречие: f = 0 в Ht2 и, следовательно, полнота в Ht2 системы (16). Следует отметить, что доказательство структуры спектра оператора Ls в лемме 4 вытекает из представления резольвенты Rλ (Ls ) = (Ls - λE)-1 оператора Ls в виде ряда Фурье по системе собственных вектор-функций оператора. Оператор Ls , вообще говоря, базиса Рисса в Ht2 не образует, поэтому структуру его спектра будем исследовать, опираясь на аналитическое представление матрицы Грина резольвенты Rλ (Ls ). Имеет место следующая лемма. Лемма 5. Если 0 ∈ / P σB, то спектр σLs оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σLs . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λk,m,s ≡ λk + λm,s = λm,s = ln ωm,s , T2 - T1 2πki + ln ωm,s , T2 - T1 (17) m = 1, 2, k ∈ Z, ωm,s = ch B(s)T1 cos B(s)T2 + (-1)m+1 ch2 B(s)T1 cos2 B(s)T2 - 1. Собственному значению λk,m,s соответствует собственная вектор-функция 1 uk,m,s (t) = ek (t) √ p1m,s (t)e1 + (-1)m+1 p2m,s (t)e2 , (18) 2 где p1m,s (t) = exp λm,s (t - T1 ) 624 am,s sin B(s)t + bm,s cos B(s)t , -am,s sh B(s)t + bm,s ch B(s)t , если t > 0, если t < 0; Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа p2m,s (t) = exp λm,s (t - T1 ) (-1)m+1 am,s cos B(s)t - bm,s sin B(s)t , am,s ch B(s)t - bm,s sh B(s)t , если t > 0, если t < 0; am,s = ch B(s)T1 - ωm,s cos B(s)T2 , bm,s = sh B(s)T1 - ωm,s sin B(s)T2 , оператора Ls . Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формулы (17), описывающей распределение собственных значений оператора Ls на комплексной плоскости C, и представлений (18) соответствующих им собственных вектор-функций достаточно просто проверяется. Если λ ∈ / P σLs , то решение us = us (t) уравнения Ls u = λu + f для f = f (t) ∈ C(Vt ) дается формулой us = Rλ,s f (t) = Gs (t, τ, λ)f (τ )dτ, (19) Vt где матрица Грина Gs (t, τ, λ) принадлежит классу L2 (Wt ), Wt = Vt × Vt . Используя для (19) неравенство Коши-Буняковского, получаем оценку us Ht2 Cs fs Ht2 , из которой в силу плотности C(Vt ) в Ht следует включение λ ∈ P σLs . Следующие утверждения позволяют выяснить свойства систем элементов, составленных из собственных вектор-функций оператора Ls в случае λ∈ / P σB. Изучение начнем со свойств в пространстве Ht систем, составленных из их координат. Лемма 6. При любых фиксированных l = 1, 2; m = 1, 2; s ∈ S, система {ulk,m,s (t) : k ∈ Z} (20) элементов ulk,m,s (t) = ek plm,s (t) полна в Ht . Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводим от противного: предполагаем существование элемента f ∈ Ht , f = 0 в Ht , ортогонального всем элементам системы (20), то есть такого элемента, что для любого m = 1, 2 и для любого k ∈ Z имеем (f, ulk,m,s )Ht = 0. (21) n k k Пусть h ∈ Ht , h = 0 и h = limn→∞ hn , где hn = k=-n ak e , e = = ek (t). Очевидно, что произведение hn f принадлежит пространству Ht , то есть hn f ∈ Ht , и удовлетворяет условию нетривиальной ортогональности (21). Так как f¯ulk,m,s ∈ Ht , в силу непрерывности скалярного произведения и ранее отмеченного условия ортогональности получаем цепочку равенств (h, f¯ulk,m,s )Ht = h = lim (hn , f¯ulk,m,s )Ht = lim (hn f, ulk,m,s )Ht = 0. n→∞ (22) n→∞ Из (22) в силу произвольности h следует равенство (hn f, ulk,m,s ) эквивалентное равенству f = 0. Получено противоречие. Ht = 0, 625 К о р н и е н к о Д. В. Теперь, опираясь на лемму 6, докажем критерий полноты системы собственных вектор-функций оператора Ls в Ht2 . Имеет место следующая лемма. Лемма 7. Система {uk,m,s (t) : k ∈ Z; m = 1, 2} (23) собственных вектор-функций оператора Ls полна в Ht2 тогда и только тогда, когда a1,s b2,s - a2,s b1,s = 0. (24) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть вектор-функция f ∈ Ht2 , f = 0, f = f 1 e1 + + f 2 e2 , ортогональна всем вектор-функциям системы (23). Если f 1 = 0 или f 2 = 0 в Ht , то в силу леммы 6 получаем противоречие: f = 0. Если f 1 = 0 и f 2 = 0 в Ht , то для hn = nk=-n ak ek , ek = ek (t), имеем (hn f, uk,m,s )Ht2 = 0, откуда, в силу непрерывности скалярного произведения, рассматривая цепочку (22), получаем равенство (f 1 u1k,m,s + f 2 u2k,m,s )Ht = 0, где h = limn→∞ hn . Следовательно, имеем (в силу произвольности h) равенство f 1 u1k,m,s + f 2 u2k,m,s Ht = 0 или, что то же самое, равенство p21,s (t)p12,s (t) + p22,s (t)p11,s (t) = 0, справедливое для почти всех t ∈ Vt . Вспоминая представление plm,s (t), получаем в случае выполнения условия (24) противоречие f = 0. Если условие (24) не выполнено, то вектор-функция f (t) = p21,s (t)e1 - p11,s (t)e2 ортогональна всем вектор-функциям системы (23). Лемма 8. Система (23) собственных вектор-функций оператора Ls обладает следующими свойствами: а) минимальна в Ht2 ; б ) является гильбертовой системой в Ht2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (24). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Lτs - замыкание в Ht2 операции Lτs (Dt ) = = -aτ Dt + bτ B(s), первоначально заданной на линейном многообразии Dt . Оператор Lτs : Ht2 → Ht2 обычно называют формально сопряженным операто¯k - λ ¯ m,s , ру Ls . Точечный спектр оператора Lτs дается формулой µ ¯k,m,s = -λ m = 1, 2, k ∈ Z. Собственному значению µ ¯k,m,s соответствует собственная вектор-функция ν¯k,m,s (t) оператора Ls , причем 1 1 2 ν¯k,m,s (t) = ek (t) √ qm,s (t)e1 + (-1)m+1 qm,s (t)e2 , 2 626 Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа где ek (t) = exp λk (t - T1 ) / 1 qm,s (t) = exp λm,s (t - T1 ) 2 (t) qm,s = exp λm,s (t - T1 ) (-1)m+1 T2 - T1 , bm,s sin B(s)t - am,s cos B(s)t , если t > 0, bm,s sh B(s)t - am,s ch B(s)t , если t < 0; bm,s cos B(s)t + am,s sin B(s)t , если t > 0, bm,s ch B(s)t - am,s sh B(s)t , если t < 0. Система {νk,m,s (t) : k ∈ Z; m = 1, 2} (25) собственных вектор-функций оператора Lτs полна в Ht2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (24). Заметим теперь, что точечный спектр P σLs оператора Ls дается формулой ln ωs λk,m,s ≡ λk + (-1)m+1 λs , λs = , m = 1, 2, k ∈ Z, T2 - T1 а точечный спектр P σLτs оператора Lτs дается также формулой ¯ k + (-1)m+1 λ ¯s, µk,m,s ≡ λ λs = ln ωs , T2 - T1 m = 1, 2, k ∈ Z, где ωs = ch B(s)T1 cos B(s)T2 + ch2 B(s)T1 cos2 B(s)T2 - 1. Так как Lτs ⊆ L∗s , где L∗s - оператор, сопряженный оператору Ls в смысле теории операторов, собственные вектор-функции операторов Ls и Lτs , соответствующие собственным значениям λk,m,s и µk ,m ,s , ортогональны, если λk,m,s - µ ¯k ,m ,s = 0. В силу критерия минимальности [13] получаем минимальность в Ht2 системы собственных вектор-функций оператора Ls . Следовательно, системы (23) и (25) являются B-системами тогда и только тогда, когда выполнено условие (24). Осталось заметить, что вектор-функции системы (23) отличаются от вектор-функции системы (15) умножением на непрерывные функции. Обозначим через Γlm,s кривую, задаваемую в комплексной плоскости параметрическим представлением plm,s (t), t ∈ Vt , то есть Γlm,s = {plm,s (t) : t ∈ Vt }. Лемма 9. Система (18) собственных вектор-функций оператора Ls образует в пространстве Ht2 базис Рисса тогда и только тогда, когда 0∈ / ∪2m,l=1 Γlm,s . 627 К о р н и е н к о Д. В. Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим в Ht2 линейный оператор Bs следующим образом. Пусть ck,m - коэффициенты Фурье разложения вектор-функции f в ряд по системе (15). Положим 2 f (t) = fm (t), m=1 где fm (t) = ck,m ekm (t). По построению 2 f (t) = fm (t), m=1 2 ⊕ H 2 пространства то есть построено ортогональное разложение Ht2 = Ht,1 t,2 2 Ht . Обозначим через Bs,m , m = 1, 2, сужение оператора Bs на пространство 2 , m = 1, 2. Положим Ht,m 2 Bs f (t) = Bs,m fm (t), m=1 l k где Bs,m fm (t) = k ck,m em (t). Так как функции pm,s (t) непрерывна на Vt , 2 2 то оператор Bs : Ht → Ht ограничен. Если 0 ∈ / ∪2m,l=1 Γlm,s , то 0 < cs < < inf m,l,t |plm,s (t)|, то есть операторы Bs,m : Ht2 → Ht2 непрерывно обратимы и преобразуют систему (15) в систему (18). Докажем, что оператор Bs,m : Ht2 → Ht2 также непрерывно обратим. Система {uk,m,s (t)} - минимальна в Ht2 . Следовательно, (Bs,1 )∪ (Bs,2 ) = . Но в таком случае оператор Bs -1 , имеет обратный, который ограничен в силу ограниченности операторов Bs,1 m = 1, 2. Это означает, что система (18) является одновременно гильбертовой и бесселевой, то есть базисом Рисса в Ht2 . Если 0 ∈ ∪2m,l=1 Γlm,s , то достаточно воспользоваться результатами работ [2, 14]. Рассмотрим теперь спектральные свойства оператора L. Для удобства обозначим H m = Htm ⊗ Hx . Лемма 10. При любых фиксированных значениях l = 1, 2; m = 1, 2, система {ulk,m,s (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} элементов ulk,m,s (t)ϕs = ek (t)plm,s (t)ϕs полна в Htx . Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что Htx = H m при m = 1, и воспользоваться результатами леммы 6. Теперь докажем критерий полноты системы собственных вектор-функций оператора L в H. Лемма 11. Система {ϕs uk,m,s (t) : k ∈ Z; m = 1, 2; s ∈ S} 628 (26) Об одной спектральной задаче для системы дифференциальных уравнений смешанного типа собственных вектор-функций оператора L полна в H тогда и только тогда, когда для любого индекса s ∈ S имеет место неравенство a1,s b2,s - a2,s b1,s = 0. (27) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если для любого индекса s ∈ S имеет место неравенство (27), то достаточно заметить, что H = H m при m = 2, и воспользоваться результатом леммы 7. Если условие (27) не выполнено при некотором s ∈ S, то вектор-функция f¯(t) = ψ s (p21,s (t)e1 - p11,s (t)e2 ) ортогональна всем вектор-функциям системы (26). Теперь мы можем обсудить вопрос о базисе в пространстве H из системы собственных вектор-функций задачи (13), (14). Лемма 12. Система {ϕs uk,m,s (t) : k ∈ Z; m = 1, 2; s ∈ S} (28) собственных вектор-функций оператора L, где вектор-функция uk,m,s имеет вид (15), если B(s) = 0; (29) uk,m,s (t) = (18), если B(s) = 0, образуют в пространстве H базис тогда и только тогда, когда для любого индекса s ∈ S имеем 0 ∈ / ∪2m,l=1 Γlm,s . Д о к а з а т е л ь с т в о. Если для любого индекса s ∈ S не выполнено включение: 0 ∈ ∪2m,l=1 Γlm,s , то в силу леммы 4 и леммы 9 система (29) собственных вектор-функций оператора Ls образует базис в пространстве Ht2 для любого индекса s ∈ S. В этом случае система (28) образует базис в пространстве H 2 ≡ H. Если 0 ∈ ∪2m,l=1 Γlm,s при некотором s ∈ S, то вектор-функция f˜(t) = = ψ s (p21,s (t)e1 -p11,s (t)e2 ) ортогональна всем вектор-функциям системы (28). Теперь мы можем сформулировать основной результат о базисных свойствах системы собственных вектор-функций периодической задачи для системы уравнений смешанного типа. Обозначим через G множество индексов s ∈ S, для которых выполнено равенство a1,s b2,s - a2,s b1,s = 0: G= s : a1,s b2,s - a2,s b1,s = 0; s ∈ S . s∈S Теорема 4. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : H → H от параметров задачи (13), (14) следующая: 1) система собственных вектор-функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве H; 2) система собственных вектор-функций оператора L полна в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда множество G пусто; 629 К о р н и е н к о Д. В. 3) система собственных вектор-функций оператора L образует базис в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда 2 0∈ / s m,l=1 Γlm,s . Пример. Положив в (13) B = Dx при условиях периодичности по x, получим оператор L : H → H, порожденный системой уравнений смешанного типа в замкнутой области V = Vt × Vx , Vt = [-π, π], Vx = [0, 2π], при условиях периодичности по t и по x, система собственных вектор-функций которого образует базис в H = L2 (V ). Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Dmitriy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: dmkornienko@mail.ru
http://orcid.org/0000-0002-3115-194X Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation

References

Supplementary files