The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories

Abstract


Linear model of micropolar elastic continuum (known also as the Cosserat continuum) is considered. Kinematics and strain measures are discussed. The symmetric small strains tensor, relative microrotation vector and spatial gradient of the total microrotation vector (the wryness tensor) are then employed for a covariant formulation of the micropolar theory. By means of the principle of virtual displacements much simplified by the lack of internal forces and couples contributions to the virtual work and the Lagrange multipliers method the micropolar theory of elasticity is developed. Hemitropic micropolar continuum model is investigated in further details. The paper is to be considered as a universal covariant script of equations of the linear micropolar theory of elasticity derived from the virtual displacements principle.

Full Text

Предварительные сведения и вводные замечания. Термины «работа» и «энергия» (фиксируя представление о том, что силы могут совершать «работу», механическая система может обладать «энергией») относятся к числу важнейших как в аналитической механике, так и в механике сплошных деформируемых сред [1-4]. Исторически понятие работы в исследованиях по механике систематически используется начиная с нового естествознания, т. е. более трех столетий, хотя в несколько завуалированной форме встречается уже в античную эпоху. Согласно принципу возможных (виртуальных) перемещений (И. Бернулли, 1717 г.), малое и допускаемое связями перемещение системы из состояния равновесия может быть произведено без «затраты» работы. Значение принципа виртуальных перемещений заключается прежде всего в том, что при поиске уравнений равновесия механической системы, подчиненной геометрическим связям, нет никакой необходимости обладать какими-либо знаниями о том, как наложенные связи фактически реализуются, т.е. нет необходимости в определении сил реакций связей. Достаточно знать только все возможные виды перемещений, которые наложенные связи допускают, для системы, подчиненной связям. С прикладной точки зрения принцип виртуальных перемещений обладает одним неоспоримым преимуществом: он в одном вариационном уравнении соединяет совокупность всех условий механического равновесия. В основу микрополярных теорий механики континуума может быть положен всего один принцип - принцип виртуальных перемещений. Вообще, принцип виртуальных перемещений занимает уникальное место в теории и механике сплошных деформируемых сред. В механике континуума принцип виртуальных перемещений обычно удобнее формулировать, используя только запас вариаций перемещений (а в случае микрополярной теории - еще и вариаций микроповоротов), соответствующих жестким перемещениям тела (и его жестким поворотам). Этим обеспечивается удивительная компактность и изящность математического представления этого принципа. Естественно, что правило множителей Лагранжа позволяет затем избавиться от такого рода ограничений на вариации перемещений и микровращений. В настоящей работе принцип виртуальных перемещений в сочетании с правилом множителей Лагранжа применяется для вывода основных уравнений линейной теории микрополярной упругости.1 При этом в качестве мер деформации выбираются симметричный тензор деформации, вектор относительного вращения и пространственный градиент вектора полного вращения. Правило множителей является универсальным методом всего вариационного исчисления и широко используется даже за пределами границ его доказанной обоснованности. В случае микрополярной теории основная проблема - доказательство существования малых вариаций, не нарушающих наложенных дифференциальных ограничений, - сразу же получает свое решение: искомые вариации суть малые жесткие перемещения и повороты. Работа может рассматриваться также и как скрипт основных уравнений линейной микрополярной упругости, которые последовательно выводятся из принципа виртуальных перемещений с помощью правила множите1 Механике микрополярного континуума посвящено огромное количество работ. Мы укажем здесь только на одну из них - известную монографию В. Новацкого [5]. 505 Р а д а е в Ю. Н. лей Лагранжа. В большей степени это утверждение относится к модели гемитропного микрополярного тела, которое рассматривается в работе с необходимой полнотой. Определяющий гемитропное тело потенциал инвариантен по отношению ко всем собственно ортогональным преобразованиям, т.е. поворотам пространства, но его инвариантность нарушается по отношению к зеркальным отражениям и инверсиям пространства. Гемитропное (noncentrosymmetric, acentric, hemitropic or chiral) микрополярное упругое тело характеризуется сравнительно небольшим (в отличие от общей анизотропии) числом определяющих постоянных. Гемитропные материалы широко распространены в биологии, химии, оптике и многих других областях физики и в настоящее время интенсивно изучаются. Изложение ведется исключительно в координатной форме и система координат в пространстве (оно считается трехмерным со стандартной евклидовой метрикой) предполагается криволинейной. Такой подход был выбран сознательно, поскольку в современной научной литературе невозможно найти представления уравнений микрополярной теории упругости в произвольных криволинейных координатах. Ясно, что как исходные, так и «окончательные» уравнения теории должны иметь объективную природу, хотя они и записываются с помощью частной пространственной координатной системы. Поэтому все уравнения необходимо будут иметь тензорную форму, т.е. ковариантную форму, пригодную для всех мыслимых координатных систем. Последнее обстоятельство вовсе не означает, что выбор системы координат в пространстве всегда безразличен. В прикладных вопросах благодаря удачному выбору координатной системы оказывается возможным учесть «симметрию» и существенно упростить выкладки, а также получить весьма простые и легко обозримые формы уравнений. Другой аспект затронутой проблемы - распознавание инвариантов, значения которых объективны и на самом деле не зависят от координатной системы (по поводу теории рациональных алгебраических инвариантов см. монографию [6]). 1. Относительный микроповорот. Тензор чистой деформации. Тензор изгиба-кручения. Классические модели континуума основываются на представлении о том, что континуум состоит из «обычных» материальных точек, положение которых в пространстве определяется их местом и которые совершают лишь поступательные движения вдоль (вообще говоря, криволинейных) траекторий. В этом смысле говорят о трех независимых трансляционных степенях свободы, которыми обладает каждая индивидуальная точка континуума. Широко известно обобщение данного представления, выполненное в 1909 г. Коссера [7]: каждая индивидуальная точка континуума наделяется тремя дополнительными вращательными степенями свободы и, следовательно, мыслится уже как элементарное свободное твердое тело, обладающее шестью степенями свободы. Это обобщение выглядит наиболее естественным среди очень большого разнообразия моделей современной механики континуума. Работа Коссера привлекла огромный интерес исследователей, правда, лишь полвека спустя. Зафиксируем в пространстве некоторую координатную систему (вообще говоря, криволинейную). Обозначим через

About the authors

Yuri N Radayev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru; y.radayev@gmail.com
101-1, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci., PhD, MSc, Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

References

  1. Планк М. Ведение в теоретическую физику. Часть первая. Общая механика. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1932. 200 с.
  2. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
  3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
  4. Седов Л. И. Введение в механику сплошных сред. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.
  5. Nowacki W. Teoria spr¸eżystości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe: Warszawa, 1970. 769 pp. (In Polish); Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
  6. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 408 с.
  7. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris: A. Hermann et Fils, 1909, http://resolver.library.cornell.edu/math/1878913.
  8. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.
  9. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964. 664 с.
  10. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376 с.
  11. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1941. 308 с.
  12. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.
  13. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 156 с.

Statistics

Views

Abstract - 13

PDF (Russian) - 15

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies