# Numerical study of the influence of surface defects on the stability of a cylindrical pipe containing fluid

## Abstract

This paper is concerned with the dynamic behavior of an elastic cylindrical pipe with surface defects interacting with the internal flow of a compressible fluid. A defect in the form of a ring of rectangular cross-section is located on the inner or outer surface of an elastic body and characterized by its own set of physico-mechanical parameters. The behavior of an ideal compressible fluid is described using the potential theory, and the behavior of the pipe is considered in the framework of the linear theory of elasticity. The hydrodynamic pressure exerted by the fluid on the inner surface of the pipe (defect) is determined with the use of the Bernoulli equation. A mathematical formulation of the problem of the elastic body dynamics is based on the variational principle of virtual displacements, and the system of equations for a liquid medium is developed using the Bubnov-Galerkin method. For the numerical implementation of the algorithm, a semi-analytic version of the finite element method is used. The stability of the system is estimated based on the results of computation and analysis of complex eigenvalues for a coupled system of equations. Verification of the model is carried out for the case of an ideal pipe by comparing the obtained results with the known experimental and numerical data. The effect of the geometric and physicomechanical parameters of the defect on the critical fluid velocity responsible for the loss of stability is studied for a cylindrical pipe clamped at both ends. It is shown that defects reduce the boundary of hydroelastic stability. It has been found that the defect located on the outer surface of the pipe exerts a greater impact on the system stability than it does when located on the wetted surface of the pipe.

## Full Text

Введение. В природе не существует идеальных объектов - реальные тела обладают несовершенствами, которые могут образовываться как в процессе их создания, так и под влиянием физических, физико-химических или электрохимических воздействий. Примерами таких несовершенств служат дефекты формы (углубления, выступы, неровности и т. п.), которые в том числе возникают в результате коррозии материала. Последние из них представляют больший интерес, потому что кроме геометрических размеров и формы обладают собственным набором физико-механических параметров [1-7]. Чаще всего попытки учета коррозийных дефектов сводятся к их моделированию в виде так называемых «коррозийных ям» [1-3]. Как и в случае с дефектом формы, здесь учитываются лишь геометрические характеристики, что выражается в исключении части упругого тела из расчета. Такой подход позволяет оценить максимальный эффект, оказываемый дефектом. В предельном случае этот метод сводится к анализу конструкций, содержащих вырезы различной формы, в том числе имеющих технологическое назначение [8-11]. Другой способ заключается в задании в области дефекта собственных физико-механических параметров (модуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность). Поскольку в настоящее время явление коррозии остается малоизученным [4], выбор конкретной модели и параметров, описывающих ее поведение, как правило, определяется личными предпочтениями исследователя. Наиболее часто область с коррозией описывается в рамках теории упругости, а выбор параметров модели не имеет под собой строгого обоснования. В [4] приводятся результаты исследования оксидов железа, выращенных в лабораторных условиях, характеристики которых достаточно близки к используемым в теоретических расчетах. Однако эти данные нельзя считать в полной мере достоверными в силу того, что изучаемый материал представлял собой порошок, а корректность полученных результатов зависела от степени его прессовки. Таким образом, оба подхода обладают как сильными сторонами, так и недостатками. В частности, первый из них более экономичен в плане вычислительных ресурсов, но он не предоставляет возможности для анализа каких-либо свойств дефекта, кроме геометрических. Существует также подход, основанный на использовании обучаемых нейронных сетей [2-3], способных к выявлению сложных зависимостей между входными и выходными данными и их обобщению. Недостатком здесь является необходимость наличия базы данных, сформированной на основании результатов натурных или численных экспериментов. Последние по-прежнему требуют построения численной модели, описывающей дефект каким-либо образом. 558 Численное исследование влияния дефектов. . . Вопросам моделирования и предсказания роста коррозии с целью определения периода безопасной эксплуатации различных конструкций посвящены работы [5-6]. В некоторых исследованиях [1, 3, 7] поднимается вопрос о взаимодействии дефектов, поскольку их колонии оказывают б´ольшее влияние на эксплуатационные характеристики конструкций, в отличие от изолированных дефектов. Однако, как правило, в данных работах анализ осуществляется с точки зрения «коррозийных ям». Очевидно, что изучение влияния дефектов различной природы на напряженно-деформированное состояние или устойчивость трубопроводов, предназначенных для транспортировки разнообразных жидкостей или газов, в свете их безопасной эксплуатации приобретает особый смысл. Исследования собственных колебаний или устойчивости труб, моделируемых в рамках различных теорий оболочек или в виде балки и взаимодействующих с неподвижной или текущей жидкостью, имеют достаточно длительную историю [12-14]. В контексте настоящей работы наибольший интерес представляют публикации, в которых деформируемое тело рассматривается с помощью линейной теории упругости [15-22]. Насколько известно авторам, воздействие на динамические характеристики конструкций оценивалось только для начальных неправильностей формы. Таким образом, целью настоящей работы является анализ влияния области с дефектом на границу гидроупругой устойчивости системы «упругое тело - жидкость» при граничных условиях в виде жесткой заделки. 1. Постановка задачи и основные соотношения. Рассматривается упругая цилиндрическая труба длиной
×

### Sergey A Bochkarev

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: bochkarev@icmm.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Senior Researcher; Dept. of Complex Problems of Mechanics of Deformable Bodies 1, Academician Korolev Street, Perm, 614013, Russian Federation

### Sergey V Lekomtsev

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: lekomtsev@icmm.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Researcher; Dept. of Complex Problems of Mechanics of Deformable Bodies 1, Academician Korolev Street, Perm, 614013, Russian Federation

### Aleksander N Senin

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: senin.a@icmm.ru
Postgraduate Student; Dept. of Complex Problems of Mechanics of Deformable Bodies 1, Academician Korolev Street, Perm, 614013, Russian Federation

## References

1. Li X., Bai Y., Su C., Li M. Effect of interaction between corrosion defects on failure pressure of thin wall steel pipeline // Int. J. Pres. Ves. Pip., 2016. vol. 138. pp. 8-18. doi: 10.1016/j.ijpvp.2016.01.002.
2. Silva R. C. C., Guerreiro J. N. C., Loula A. F. D. A study of pipe interacting corrosion defects using the FEM and neural networks // Adv. Eng. Softw., 2007. vol. 38, no. 11-12. pp. 868-875. doi: 10.1016/j.advengsoft.2006.08.047.
3. Khalajestani M. K., Bahaari M. R. Investigation of pressurized elbows containing interacting corrosion defects // Int. J. Pres. Ves. Pip., 2014. vol. 123. pp. 77-85. doi: 10.1016/j.ijpvp.2014.08.002.
4. Ouglova A., Berthaud Y., François M., Foct F. Mechanical properties of an iron oxide formed by corrosion in reinforced concrete structures // Corrosion Sci., 2006. vol. 48, no. 12. pp. 3988-4000. doi: 10.1016/j.corsci.2006.03.007.
5. Vanaei H. R., Eslami A., Egbewande A. A review on pipeline corrosion, in-line inspection (ILI), and corrosion growth rate models // Int. J. Pres. Ves. Pip., 2017. vol. pp. 43-54. doi: 10.1016/j.ijpvp.2016.11.007.
6. Xu L., Cheng Y. F. A finite element based model for prediction of corrosion defect growth on pipelines // Int. J. Pres. Ves. Pip., 2017. vol. 153. pp. 70-79. doi: 10.1016/j.ijpvp.2017.05.002.
7. Benjamin A. C., Freire J. L. F., Vieira R. D., Cunha D. J. S. Interaction of corrosion defects in pipelines - Part 1: Fundamentals // Int. J. Pres. Ves. Pip., 2016. vol. 144. pp. 56-62. doi: 10.1016/j.ijpvp.2016.05.007.
8. Shariati M., Rokhi M. M. Buckling of steel cylindrical shells with an elliptical cutout // Int. J. Steel Struct., 2010. vol. 10, no. 2. pp. 193-205. doi: 10.1007/BF03215830.
9. Сухинин С. Н., Шиврин М. В. Исследование устойчивости при осевом сжатии многослойных композитных цилиндрических оболочек с локальными дефектами // Конструкции из композиционных материалов, 2014. № 1. С. 3-7.
10. Lykhachova O. Numerical simulation of axially compressed cylindrical shells with circular cutouts // Mechanics Mechanical Eng., 2016. vol. 20, no. 3. pp. 309-321, Available at http: //kdm.p.lodz.pl/articles/2016/20_3_9L.pdf (July 24, 2018).
11. Jiao P., Chen Z., Xu F., Tang X., Su W. Effects of ringed stiffener on the buckling behavior of cylindrical shells with cutout under axial compression: Experimental and numerical investigation // Thin Wall. Struct., 2018. vol. 123. pp. 232-243. doi: 10.1016/j.tws.2017.11.013.
12. Wang L., Ni Q. Vibration of slender structures subjected to axial flow or axially towed in quiescent fluid // Adv. Acoust. Vib., 2009. vol. 2009, 432340. doi: 10.1155/2009/432340.
13. Païdoussis M. P. Slender Structures and Axial Flow. vol. 1 / Fluid-structure Interactions. London: Academic Press, 2014. 888 pp.; doi: 10.1016/s1874-5652(98)x8001-4.
14. Païdoussis M. P. Slender Structures and Axial Flow. vol. 2 / Fluid-structure Interactions. London: Academic Press, 2016. 942 pp.; doi: 10.1016/s1874-5652(04)x8001-7.
15. Zhang Y. L., Reese J. M., Gorman D. G. Finite element analysis of the vibratory characteristics of cylindrical shells conveying fluid // Comp. Methods Appl. Mech. Eng., 2002. vol. 191. pp. 5207-5231. doi: 10.1016/S0045-7825(02)00456-5.
16. Zhang Y. L., Reese J. M., Gorman D. G. Initially-tensioned orthotropic cylindrical shells conveying fluid: a vibration analysis // J. Fluid. Struct., 2002. vol. 16, no. 1. pp. 53-70. doi: 10.1006/jfls.2001.0409.
17. Zhang Y. L., Reese J. M., Gorman D. G. A comparative study of axisymmetric finite elements for the vibration of thin cylindrical shells conveying fluid // Int. J. Numer. Meth. Eng., 2002. vol. 54, no. 1. pp. 89-110. doi: 10.1002/nme.418.
18. Uğurlu B., Ergin A. A hydroelasticity method for vibrating structures containing and/or submerged in flowing fluid // J. Sound Vib., 2006. vol. 290, no. 3-5. pp. 572-596. doi: 10.1016/j.jsv.2005.04.028.
19. Uğurlu B., Ergin A. A hydroelastic investigation of circular cylindrical shells-containing flowing fluid with different end conditions // J. Sound Vib., 2008. vol. 318, no. 4-5. pp. 1291-1312. doi: 10.1016/j.jsv.2008.05.006.
20. Uğurlu B., Ergin A. The dynamics and stability of circular cylindrical shells containing and submerged in flowing fluid using a higher order boundary element method // P. I. Mech. Eng. M.-J. Eng., 2009. vol. 223, no. 4. pp. 489-502. doi: 10.1243/14750902JEME168.
21. Firouz-Abadi R. D., Noorian M. A., Haddadpour H. A fluid-structure interaction model for stability analysis of shells conveying fluid // J. Fluid. Struct., 2010. vol. 26, no. 5. pp. 747-763. doi: 10.1016/j.jfluidstructs.2010.04.003.
22. Бочкарев С. А., Лекомцев С. В. Численное моделирование упругой трубы с текущей жидкостью // Вестник ПНИПУ. Механика, 2011. № 3. С. 5-14.
23. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. xxiv+567 pp.
24. Ильгамов М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969. 182 с.
25. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Численное исследование влияния граничных условий на динамику поведения цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью // Изв. РАН. МТТ, 2008. Т. 43, № 3. С. 189-199.
26. Zienkiewicz O. C. The finite element method in engineering science. London: McGraw Hill, 1971. 521 pp.
27. Païdoussis M. P., Denise J.-P. Flutter of thin cylindrical shells conveying fluid // J. Sound Vib., 1972. vol. 20. pp. 9-26. doi: 10.1016/0022-460X(72)90758-4.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University