A construction algorithm for full parametric analytical solutions in the basic mixed problem of elastostatics for the simply connected body

Abstract

Using analytical solutions to analyze the state of the bodies at the research and engineering calculations provides computing resources. We propose a methodology for structuring full parametric solutions to the problems of mathematical physics, including the basic mixed problem of elastostatic. The tool is a relatively new energy method of boundary states based on computer algebra. The method is based on the concept of state of the medium, isomorphism of Hilbert spaces of internal and boundary states of the body. The method is self-sufficient in the sense that, in principle, does not require comparison of the solution of test problems with those constructed by other methods. For inclusion in the solution in an explicit form of the medium constants we recommend saving computing resources method of boundary states with perturbations in which the direct method is combined with approach to A. Poincare. To explicitly include in the decision parameters the boundary conditions we suggested the technology of the reference solutions. Its effectiveness is demonstrated on a concrete example the basic mixed problem of elastostatic. The object of research is a limited simply connected body whose boundary is divided into three sections. At each site held individual method of parameterization of the points of the border: polar, cylindrical, spherical coordinate systems. The calculations are made using the computer algebra of the system “Mathematica” and demonstrated the effectiveness of the developed methodology to achieve this goal. The sequence of steps leading to guaranteed achievement of goal is described. The decision of a concrete task is made. Its results are presented in explicit analytical form containing all the parameters of the boundary value problem of elasticity theory and illustrated graphically after calculation by the analytic solution for a concrete set of parameter values.

Full Text

Введение. Факт наличия аналитического решения краевых задач уравнений математической физики переоценить трудно. Простой расчет по готовым формулам позволяет проводить любой анализ решения и отвечать даже на самые замысловатые вопросы вплоть до решения задач параметрической оптимизации объекта с вполне конкретными целевыми назначениями при соблюдении любых ограничений на характеристики объекта. Конечно, широкое применение современных вычислительных технологий, основанных на «числе», позволяет во многих случаях справиться и с такой проблемой, но при этом приходится вести глобальный пересчет практически на всех этапах построения численного решения, а не просто расчет по формулам единожды построенного аналитического решения. Эта альтернатива делает актуальной тему работы - построение полнопараметрического решения (ППР). К настоящему моменту времени этапы в построении ППР (обезразмеривание, учет варьируемости физических параметров среды с последующим интерполированием [1], построение ППР первой и второй основных задач теории упругости (ТУ) при учете множественных символьных параметров в граничных условиях (ГУ) и в выражениях для объемных сил) уже пройдены. На очереди стоят задачи со смешанными ГУ опять же при наличии множественности варьируемых параметров в выражениях как для поверхностных усилий, так и для перемещений. Кроме этого, представляется более эффективной методология использования метода возмущений, «обвязывающего» метод граничных состояний (МГСВ), для вычислительного ресурсосбережения. Цель работы состоит в построении ППР основной смешанной задачи ТУ при конечном наборе варьируемых параметров ГУ и учет в аналитическом по форме решении физических параметров среды средствами МГСВ. Задачи, соответствующие поставленной цели: 1) формулировка и построение эталонных решений основной смешанной задачи ТУ по классификации Н. И. Мусхелишвили [2]. В эталонном решении участвует лишь состояние среды, соответствующее ровно одному варьируемому параметру ГУ. Линейная комбинация эталонных решений с коэффициентами - символами включает таковые в ППР; 2) каждое эталонное решение должно в явном виде содержать символ
×

Viktor B Penkov

Lipetsk State Technical University

Email: vbpenkov@mail.ru
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of General Mechanics 30, Moskovskaya st., 398055, Russian Federation

Olga S Novikova

Lipetsk State Technical University

Email: _o_l_g_a_@bk.ru
Postgraduate Student; Dept. of General Mechanics 30, Moskovskaya st., 398055, Russian Federation

Lyubov V Levina

Lipetsk State Technical University

Email: satalkina_lyubov@mail.ru
Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics 30, Moskovskaya st., 398055, Russian Federation

References

1. Новикова О. С. Методология построения полнопараметрических аналитических решений основных смешанных задач эластостатики для обеспечения этапов технологических процессов обработки давлением / Проблемы и перспективы развития машиностроения: Сб. науч. трудов междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 60-летию Липецкого государственного технического университета. Т. 2. Липецк, 2016. С. 203-208.
2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.
3. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
4. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
5. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972. 440 с.
6. Neuber H. Ein neuer Ansatz zur Lösung räumlicher Probleme der Elastizitätstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel // ZAMM, 1934. vol. 14, no. 4. pp. 203-212. doi: 10.1002/zamm.19340140404.
7. Penkov V. B., Satalkina L. V., Shulmin A. S. The use of the method of boundary states to analyse an elastic medium with cavities and inclusions // J. Appl. Math. Mech., 2014. vol. 78, no. 4. pp. 384-394. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2014.12.010.
8. Nayfeh A. H. Introduction to perturbation techniques. New York: A wiley-interscience publication. John Wiley & Sons, Inc., 1993. xiv+519 pp.
9. Минаева Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел. М.: Научная книга, 2002. 156 с.
10. Schwarz H. A. Über einige Abbildungsaufgaben // Journal für die reine und angewandte Mathematik. vol. 1869, no. 70. pp. 105-120. doi: 10.1515/crll.1869.70.105.
11. Стружанов В. В. Об одном итерационном методе расчета напряжений в неодносвязных телах // Вычислительные технологии, 2006. Т. 11, № 6. С. 118-124.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University