Stability and convergence of difference schemes for the multi-term time-fractional diffusion equation with generalized memory kernels

Abstract


In this paper, a priori estimate for the corresponding differential problem is obtained by using the method of the energy inequalities. We construct a difference analog of the multi-term Caputo fractional derivative with generalized memory kernels (analog of L1 formula). The basic properties of this difference operator are investigated and on its basis some difference schemes generating approximations of the second and fourth order in space and the $ (2{-}\\alpha_0) $-th order in time for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation with variable coefficients are considered. Stability of the suggested schemes and also their convergence in the grid $ L_2 $-norm with the rate equal to the order of the approximation error are proved. The obtained results are supported by numerical calculations carried out for some test problems.

Full Text

Введение. Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка являются математическим аппаратом для более точного описания фи- зических и химических процессов, для которых необходимо учитывать предысторию (память) процесса [1-4]. Характеристиками, учитывающими память в таких уравнениях, являются функции памяти, которые представляют собой ядра интегралов, определяющих операторы дробного интегро-дифференци- рования. Для операторов дробного интегро-дифференцирования таковой яв- ляется степенная функция. Показатель степенной функции памяти опреде- ляет порядок производной и связан с фрактальной размерностью среды, в ко- торой протекает исследуемый процесс. Для более точного описания процесса в неоднородных пористых средах используются дифференциальные уравне- ния с дробными производными распределенных порядков [5,6]. Для описания более сложных процессов могут привлекаться функции памяти более слож- ной структуры, чем степенная функция. T = {0 6 x 6 1, 0 6 t 6 T } рассмотрим первую кра- В прямоугольнике Q евую задачу для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти и переменными коэффициентами: () P () ( 0t ) u = L u + f (x, t), u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < x < 1, 0 6 t 6 T, 0 < t 6 T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 6 x 6 1, (1) (2) где ( u ) k(x, t) q(x, t)u, x x m () , (t) P () ( 0t ) u = 0t r r u(x, t), L u = r=0 1 ,(t) 0t u(x, t) = (1 ) 0 t (t ) u (x, )d (t ) - дробная производная Капуто порядка (0 < < 1) с весовой функцией (t) C 1 [0, T ]; 0 < m < m1 < . . . < 0 < 1; r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех T . t [0, T ] и r = 0, 1, . . . , m; 0 < c 1 6 k(x, t) 6 c 2 , q(x, t) > 0 для всех (x, t) Q () Заметим, что, в частности, при r (t) r = const > 0 оператор P () ( 0t ) представляет собой известный оператор дробного дифференцирования дис- кретно-распределенного порядка [7, 8]. Уравнение диффузии и уравнение Фоккера-Планка-Смолуховского с обобщенной функцией памяти были изучены в [9]. В этой работе показа- но, что представление функции памяти в обобщенном уравнении диффузии имеет различные формы, которые могут описать широкий спектр экспери- ментальных явлений. В работах [8, 10, 11, 13-15] методом энергетических неравенств были по- лучены априорные оценки для решения первой и третьей краевых задач для уравнения диффузии дробного, переменного и распределенного порядков как для дифференциальных, так и для разностных задач. С помощью принципа максимума в работе [16] получены априорные оценки для разностных задач, аппроксимирующих уравнение диффузии дробного по времени порядка. В данной работе для построения разностных схем с порядком точности O( 2 0 ) по времени мы должны требовать наличия достаточно гладкого решения исходной задачи. Это приводит к значительному сужению класса входных данных задачи, для которой применим предложенный метод. Как 583 известно (см. например [17, 18]), в случае гладких входных данных для урав- нения диффузии дробного порядка по времени решения могут быть негладки- ми в замкнутой области, так как производные функции u(x, t) по переменной t могут иметь особенность при t = 0. В этом случае, если это возможно, необ- ходимо представить решение в виде суммы двух функций, одна из которых известная, но не гладкая, а другая гладкая, но не известная, как это показано в работе [19]. В статье [20] рассмотрена первая краевая задача для уравнения реакции диффузии с производной Капуто порядка (0, 1). Показано, что решение такой задачи в целом имеет слабую особенность при t = 0. Представлен но- вый анализ стандартного метода конечных разностей для задачи с учетом наличия слабой особенности. Анализ схемы L1 для уравнения субдиффузии с негладкими данными был рассмотрен в [21]. Оценка погрешности аппроксимации для уравнения диффузии распределенного порядка по времени с негладкими данными ис- следовалась в [22]. 1. Априорная оценка для решения разностной задачи. Далее бу- 2,1 дем предполагать существование решения u(x, t) C x,t ( Q T ) задачи (1), (2), m,n где C x,t ( Q T ) - класс непрерывных функций вместе с их частными произ- T . водными порядка m по отношению к x и порядка n по отношению к t в Q Лемма 1. Для любой абсолютно непрерывной на [0, T ] функции v(t) спра- ведливо неравенство 1 () () v(t)P () v > P () v 2 . (3) 2 где 0 < < 1, r (t) C 1 [0, T ], r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех t [0, T ], r = 1, 2, . . . , m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для всех фиксированных r и r (t) таких, что 0 < r < 1, r (t) > 0, r (t) 6 0 при всех r {0, 1, . . . , m} и t [0, T ], c учетом леммы 2.1 из [12] приходим к следующему неравенству: 1 , (t) v > 0t r r v 2 . 2 , r (t) v(t) 0t r Просуммировав последнее неравенство по r от 0 до m, получим неравен- ство (3). Будем пользоваться следующими обозначениями: 1 2 u 2 (x, t)dx, u(·, t) 0 = 0 m () P () (D 0t ) u = r , r (t) D 0t u(x, t). r=0 ,(t) D 0t u(x, t) 1 = () t (t )(t ) 1 u(x, )d 0 - оператор дробного интегрирования в смысле Римана-Лиувилля порядка > 0 с обобщенными функциями памяти. 584 Лемма 2 [12]. Для любой абсолютно непрерывной на [0, T ] функции v(t) справедливо равенство t t () v(0) ,(t) 1,(t) 0 v()d = D 0t v(t) d, (1 ) 0 0 где (0, 1), (t) C 1 [0, T ]. 1,0 T ), q(x, t), f (x, t) C ( Q T ), k(x, t) > c 1 > Теорема 1. Если k(x, t) C x,t ( Q T , то для решения u(x, t) задачи (1), (2) справедлива 0, q(x, t) > 0 всюду в Q априорная оценка (1) P () (D 0t )u( · , t) 20 t u x ( · , ) 20 d 6 + c 1 0 1 6 2c 1 t f ( · , ) 20 d + 0 m r (0)t 1 r r=0 (2 r ) u 0 20 . (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение (1) на u(x, t) и проинтегриру- ем по x от 0 до 1: 1 1 1 () u(x, t)P () u(x, t)dx u(x, t)L u(x, t)dx = u(x, t)f (x, t)dx. (5) 0 0 0 Преобразуем слагаемые тождества (5): 0 1 u(x, t)L u(x, t)dx = 1 2 = k(x, t)u x (x, t)dx + 0 1 q(x, t)u 2 (x, t)dx > c 1 u x ( · , t) 20 , 0 1 u(x, t)f (x, t)dx 6 u( · , t) 20 + 0 1 f ( · , t) 20 , 4 > 0. Используя неравенство (3), получаем 0 1 () u(x, t)P () u(x, t)dx > 1 2 0 1 1 () () P () u 2 (x, t)dx = P () u( · , t) 20 . 2 С учетом приведенных выше преобразований из тождества (5) следует нера- венство 1 () 1 P u( · , t) 20 + c 1 u x ( · , t) 20 6 u( · , t) 20 + f ( · , t) 20 . 2 () 4 (6) Из неравенства (6) и неравенства u(·, t) 20 6 2 1 u x (·, t) 20 при = c 1 имеем () P () u( · , t) 20 + c 1 u x ( · , t) 20 6 1 f ( · , t) 20 . 2c 1 (7) 585 Заменив переменную t на в неравенстве (7) и интегрируя его по от 0 до t, получим априорную оценку (4). Из априорной оценки (4) следует единственность и непрерывная зависи- мость решения задачи (1), (2) от входных данных. 2. Устойчивость и сходимость семейства разностных схем. В этом разделе приводятся результаты, полученные в работе [13], для семейства раз- ностных схем общего вида, заданных на неравномерной временной сетке. В прямоугольнике Q T = {(x, t) : 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T } рассмотрим сетку h = h , где h = {x i = ih, i = 0, 1, . . . , N ; hN = l}, = {t j : 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t M 1 < t M = T }. В основном семейство разностных схем, аппроксимирующих задачу (1), (2) на сетке h , имеет вид ( j+1 ) g 0t j+1 y i + j+1 , i = y i y(0, t) = 0, i = 1, 2, . . . , N 1, y(l, t) = 0, где g 0t j+1 y i = j ( t , j = 0, 1, . . . , M 1, y(x, 0) = u 0 (x), ) y i s+1 y i s g s j+1 , x h , (8) (9) g s j+1 > 0 s=0 - разностный аналог обобщенной дробной производной Капуто; - разност- ный оператор, аппроксимирующий непрерывный оператор L так, что опера- тор сохраняет свойства положительной определенности: (y, y) > y 20 , (y, v) = N 1 y i v i h, y 20 = (y, y), > 0; i=1 y ( j+1 ) = j+1 y j+1 + (1 j+1 )y j , 0 6 j+1 6 1 для j = 0, 1, . . . , M 1. j+1 j+1 > g j1 > · · · > g 0 j+1 > 0, j = 0, 1, . . . , M 1, то для любой функции v(t), заданной на сетке , справедливы неравенства Лемма 3 [13]. Если g j ) 2 1 1 ( 2 g 0t j+1 (v ) + g 0t j+1 v , j+1 2 2g j ( ) 2 1 1 v j g 0t j+1 v > g 0t j+1 (v 2 ) g 0t j+1 v , j+1 j+1 2 2(g j g j1 ) v j+1 g 0t j+1 v > 1 = 0. где g 1 Следствие 1 [13]. Если g j j+1 586 > j+1 g j1 > ··· > g 0 j+1 > 0, g j j+1 j+1 2g j j+1 g j1 6 j+1 6 1, 1 = 0, то для любой функции v(t), заданной на где j = 0, 1, . . . , M 1, g 1 сетке , справедливо неравенство ( ) 1 j+1 v j+1 + (1 j+1 )v j g 0t j+1 v > g 0t j+1 (v 2 ). 2 Теорема 2 [13]. Если g j j+1 > j+1 g j1 > ··· > g 0 j+1 > c 2 > 0, g j j+1 j+1 2g j j+1 g j1 6 j+1 6 1, 1 где j = 0, 1, . . . , M 1, g 1 = 0, то разностная схема (8), (9) безусловно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка y j+1 20 6 y 0 20 + 1 max j 20 . 2c 2 06j6M (10) Из априорной оценки (10) следует устойчивость разностной схемы (8), (9). Теорема 3 [13]. Если выполняются условия Теоремы 2 и разностная схе- ма (8), (9) имеет порядок аппроксимации O(N r 1 +M r 2 ), где r 1 и r 2 - неко- торые известные положительные числа, то решение разностной схемы (8), (9) сходится к решению дифференциальной задачи (1), (2) в сеточной L 2 -нор- ме со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации O(N r 1 +M r 2 ). 3. Разностный аналог производной Капуто дискретно-распреде- ленного порядка с обобщенными функциями памяти. Предположим, 4,2 что существует решение u(x, t) C x,t задачи (1), (2), а коэффициенты урав- нения (1) и функции f (x, t), u 0 (x) удовлетворяют условиям, требуемым для построения разностных схем с порядком аппроксимации O(h 2 + 2 0 ). Кроме того, будем предполагать, что r (t) C (2) [0, T ], r = 0, 1, . . . , m. Рассмотрим равномерную сетку = {t j = j, j = 0, 1, . . . , M, M = T }. Дробную производную дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти будем аппроксимировать следующим дискретным анало- гом: m () , (t) P () ( 0t j+1 ) v = 0t r j+1 r v, r=0 где , (t) 0t r j+1 r v = j ) (r) ( c js v(t s+1 ) v(t s ) ; (11) s=0 (r) c l r ( l+1/2 (r) (r) ) , = r a l + ( lr l+1 r )b l (2 r ) l > 0, (r) (r) b l a l = (l + 1) 1 r l 1 r , lr = r (t l ), ) 1 ( ) 1 ( = (l + 1) 2 r l 2 r (l + 1) 1 r + l 1 r , 2 r 2 l > 1. 587 Разностный аналог обобщенной дробной производной Капуто (11) был предложен в работе [12]. Лемма 4 [12]. Для любого (0, 1) и функции v(t) C 2 [0, t j+1 ] справед- ливо равенство ,(t) ,(t) 0t j+1 v = 0t j+1 v + O( 2 ), где (t) > 0, (t) 6 0 и (t) C 2 [0, t j+1 ], r = 1, 2, . . . , m. Следствие 2. Для любой функции v(t) C 2 [0, t j+1 ] справедливо равен- ство () () P () ( 0t j+1 )v = P () ( 0t j+1 )v + O( 2 0 ), (12) где r (t) > 0, r (t) 6 0 и r (t) C 2 [0, t j+1 ], r = 1, 2, . . . , m. Лемма 5 [23]. Для любого l = 0, 1, . . . и r (0, 1) имеют место следую- щие неравенства: (r) (r) (r) a 0 > a 1 > . . . > a l > 1 r , (l + 1) r (r) (r) (r) b 0 > b 1 > . . . > b l > 0. Следствие 3. Для любого l = 0, 1, . . . , r (0, 1) и r (t) C 2 [0, T ], где r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех t [0, T ], справедливы неравенства (r) (r) (r) c 0 > c 1 > . . . > c l > r (t l+1/2 ) . r (1 r )t l+1 Из леммы 3 и следствия 3 следует Лемма 6. Для любой функции v(t), определенной на сетке , имеет место неравенство 1 () () v j+1 P () ( 0t j+1 )v > P () ( 0t j+1 )v 2 . 2 4. Разностная схема для уравнения диффузии дискретно-распре- деленного порядка с обобщенными функциями памяти. Рассмотрим следующую разностную схему: () P () ( 0t j+1 )y i = y i j+1 + j+1 , i y(0, t) = 0, y(l, t) = 0, i = 1, 2, . . . , N 1, j = 0, 1, . . . , M 1; (13) t , y(x, 0) = u 0 (x), x h , (14) где ( ) a i+1 y i+1 (a i+1 + a i )y i + a i y i1 y i = (ay x ) x dy i = d i y i , i=1, . . . , N 1, h 2 y i y i1 y i+1 y i y x ,i = , y x,i = , h h a j+1 = k(x i1/2 , t j+1 ), d j+1 = q(x i , t j+1 ), j+1 = f (x i , t j+1 ). i i i 588 4,2 Если решение задачи (1), (2) u(x, t) C x,t , то порядок аппроксимации 2 2 0 разностной схемы (13), (14) равен O(h + ). Это следует из [24, р. 462] и формулы (12). Теорема 4. Разностная схема (13), (14) безусловно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка: 1 y j+1 20 6 y 0 20 + 4c 1 max j 20 . r (T ) 06j6M r=0 (1 r )T r m (15) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для разностного оператора , используя первую разностную формулу Грина и теорему вложения [24] для функции, обраща- ющихся в нуль при x = 0 и x = 1, получаем (y, y) > 2c 1 y 20 . Это значит, что для этого оператора можно выбрать = 4c 1 . Поскольку разностная схема (13), (14) имеет вид (8), (9) где g s j+1 = m (r) c js , r=0 то из следствия 3 следуют следующие неравенства: g 0 j+1 = m r=0 (r) c j > m r=0 m r (t j+1/2 ) r (T ) > , r (1 r )t j+1 (1 r )T r j+1 g j j+1 > g j1 > . . . > g 0 j+1 , r=0 = 1. Из теоремы 2 и приведенных выше неравенств следует справедливость тео- ремы 4. 4,2 Если решение задачи (1), (2) u(x, t) C x,t , то из априорной оценки (15) следует сходимость разностной схемы (13), (14) к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности ап- проксимации O(h 2 + 2 0 ). Численные результаты. Численные расчеты 1 проведены для тестового примера, когда функция u(x, t) = sin(x)(1 + 2t 2 + t 3 ) является точным решением задачи (1), (2) при m = 2, где 0 = 0.8, 1 = 0.5, 2 = 0.2, 1 1 0 (t) = e t , 1 (t) = , 2 (t) = , 1+ t 1 + t 2 с коэффициентами k(x, t) = 2 cos(xt), q(x, t) = 1 sin(xt), T = 1. В табл. 1 и 2 представлены погрешности (z = y u) и порядок сходимости (CO) в нормах · 0 и · C ( h ) , где z C ( h ) = max |z|. (x i ,t j ) h 1 Все расчеты проведены с помощью языка программирования Julia, версия v1.0.1. 589 Таблица 1 Погрешность в сеточных нормах L 2 и C при 2 = h 2 [The convergence order (CO) in the grid L 2 - and C-norm when 2 = h 2 ] h 0 = 0.8 1 = 0.5 2 = 0.2 1/10 1/20 1/40 1/80 max z n 0 CO in · 0 z C( h ) CO in || · || C( h ) 1.8240E2 4.5277E3 1.1268E3 2.8073E4 2.0103 2.0066 2.0049 2.5601E2 6.3664E3 1.5877E3 3.9556E4 2.0077 2.0036 2.0050 06n6M Таблица 2 Погрешность в сеточных нормах L 2 и C при h = 1/10000 [The convergence order (CO) in the grid L 2 - and C-norm when h = 1/10000] 0 = 0.8 1 = 0.5 2 = 0.2 1/10 1/20 1/40 1/80 max z n 0 CO in · 0 z C( h ) CO in || · || C( h ) 1.6044E2 6.6949E3 2.8018E3 1.1782E3 1.2610 1.2567 1.2497 2.2832E2 9.5272E3 3.9871E3 1.6766E3 1.2610 1.2567 1.2497 06n6M Данные табл. 1 показывают, что по мере увеличения числа шагов сетки по правилу h 2 = 2 0 уменьшается максимальная погрешность со скоростью O( 2 0 + h 2 ) = O(h 2 ), равной порядку сходимости разностной схемы. Поря- 1 док сходимости вычисляется по следующей формуле: CO = log h 1 z z 2 (z i - h 2 это погрешность, соответствующая h i ). Из данных табл. 2 следует, что при достаточно малом h = 1/10000 с воз- растанием числа шагов по временной сетке уменьшается погрешность в соот- ветствующих нормах со скоростью O( 2 0 ). Порядок сходимости для дан- 1 ного случая вычисляется по формуле CO = log 1 z z 2 . 2 5. Компактная разностная схема для уравнения диффузии дис- кретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памя- ти. Дифференциальной задаче (1), (2) для случая, когда k = k(t) и q = q(t), поставим в соответствие следующую компактную разностную схему: () j+1 P () ( 0t j+1 )H h y i = a j+1 y x j+1 H h y i j+1 + H h j+1 , x,i d i i = 1, . . . , N 1, j = 0, 1, . . . , M 1; y(0, t) = 0, y(l, t) = 0, t , y(x, 0) = u 0 (x), где H h v i = v i + a j+1 = k(t j+1 ), h 2 v x x,i , 12 x h , (16) (17) i = 1, . . . , N 1, d j+1 = q(t j+1 ), j+1 = f (x i , t j+1 ). i Разностная схема (16), (17) имеет порядок аппроксимации O( 2 0 + h 4 ), 6,2 если u C x,t . Это следует из [25] и (12). 590 Теорема 5. Разностная схема (16), (17) безусловно устойчива и для ее решения справедлива следующая априорная оценка: H h y j+1 20 6 H h y 0 20 + 1 8c 1 max H h j 20 . r (T ) 06j6M r=0 (1 r )T r m (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение (16) скалярно на H h y j+1 = = (H h y) j+1 и получим () () (H h y j+1 , P () ( 0t j+1 )H h y) a j+1 (H h y j+1 , y x x )+ + d j+1 (H h y j+1 , H h y j+1 ) = (H h y j+1 , H h j+1 ). (19) Преобразуем слагаемые тождества (19): 1 () () (H h y j+1 , P () ( 0t j+1 )H h y) > P () ( 0t j+1 )H h y 20 , 2 h 2 j+1 2 y = 12 x x 0 N 1 1 j+1 j+1 2 2 = y x ]| 0 (y x ,i+1 y x j+1 ,i ) h > 12 j+1 j+1 (H h y j+1 , y x j+1 , y x x ) x ) = (y i=1 1 j+1 2 2 j+1 2 8 j+1 2 2 ]| 0 = y x ]| 0 > y 0 , > y x j+1 ]| 0 y x 3 3 3 где y]| 20 = N y i 2 h, i=1 1 H h j+1 20 = 4 j+1 ) N 1 ( j+1 2 y i1 + 10y i j+1 + y i+1 1 = h + H h j+1 20 6 12 4 (H h y j+1 , H h j+1 ) 6 H h y j+1 20 + i=1 6 y j+1 20 + 1 H h j+1 20 . 4 С учетом приведенных выше преобразований из тождества (19) при = 8c 1 /3 получим неравенство () P () ( 0t j+1 )H h y 20 6 1 H h j+1 20 . 8c 1 Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1 в [13], и по- этому его можно пропустить. 591 Норма H h y 0 эквивалентна норме y 0 , что следует из неравенства 5 y 20 6 H h y 20 6 y 20 . 12 (20) 6,2 Теорема 6. Пусть u(x, t) C x,t - решение задачи (1), (2) для случая k = = k(t), q = q(t), и {y i j | 0 6 i 6 N, 1 6 j 6 M } - решение разностной схемы (16), (17). Тогда справедлива оценка u( · , t j ) y j 0 6 C R ( 2 + h 4 ), 1 6 j 6 M, где C R - положительная постоянная, не зависящая от и h. Справедливость теоремы 6 непосредственно следует из априорной оценки (18) и эквивалентности норм (20). Заключение. В данной работе методом энергетических неравенств по- лучены априорные оценки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти. Построен разностный аналог производной Капуто дискретно-распре- деленного порядка с обобщенными функциями памяти (аналог формулы L1). Исследованы основные свойства этого разностного оператора и на его основе построены разностные схемы второго и четвертого порядков аппроксимации по пространственной переменной и порядка 2 0 по временной переменной для обобщенного уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с переменными коэффициентами. Доказана устойчивость предложенных раз- ностных схем, а также их сходимость в сеточной L 2 -норме со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Полученные теоретические ре- зультаты подтверждаются численными расчетами тестовых задач.

About the authors

Aslanbek Kh Khibiev

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: akkhibiev@gmail.com
89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation

References

  1. Oldham K. B., Spanier J., The fractional calculus; Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order, Mathematics in Science and Engineering, 111, Academic Press, New York, London, 1974, xiii+234 pp.
  2. Podlubny I., Fractional Differential Equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Mathematics in Science and Engineering, 198, Academic Press, San Diego, 1999, xxiv+340 pp.
  3. Applications of Fractional Calculus in Physics, ed. R. Hilfer, World Scientific, Singapore, 2000, viii+463 pp.
  4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Science B. V., Amsterdam, 2006, xvi+523 pp.
  5. Jiao Z., Chen Y., Podlubny I., Distributed-Order Dynamic Systems: Stability, Simulation, Applications and Perspectives, Springer Briefs in Control, Automation and Robotics, Springer-Verlag, London, 2012, xiii+90 pp.
  6. Luchko Y., "Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order", Fract. Calc. Appl. Anal., 12:4 (2009), 409-422
  7. Luchko Y., "Initial-boundary-value problems for the generalized multi-term time-fractional diffusion equation", J. Math. Anal. Appl., 374:2 (2011), 538-548
  8. Gao G. H., Alikhanov A. A., Sun Z. Z., "The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations", J. Sci. Comput., 73:1 (2017), 93-121
  9. Sandev T., Chechkin A., Kantz H., Metzler R., "Diffusion and Fokker-Planck-Smoluchowski equations with generalized memory kernel", Fract. Calc. Appl. Anal., 18:4 (2015), 1006-1038
  10. Алиханов А. А., "Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка", Дифференц. уравнения, 46:5 (2010), 658-664
  11. Alikhanov A. A., "Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings", Appl. Math. Comput., 219 (2012), 3938-3946
  12. Alikhanov A. A., "A time-fractional diffusion equation with generalized memory kernel in differential and difference settings with smooth solutions", Comput. Methods Appl. Math., 17:4 (2017), 647-660
  13. Alikhanov A. A., "A new difference scheme for the time fractional diffusion equation", J. Comput. Phys., 280 (2015), 424-438
  14. Alikhanov A. A., "Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation", Appl. Math. Comput., 268 (2015), 12-22
  15. Алиханов А. А., "Устойчивость и сходимость разностных схем для краевых задач уравнения диффузии дробного порядка", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:4 (2016), 572-586
  16. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М. Х., "Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:10 (2006), 1871-1881
  17. Sakamoto K., Yamamoto M., "Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems", J. Math. Anal. Appl., 382:1 (2011), 426-447
  18. Luchko Y., "Initial-boundary-value problems for the one-dimensional time-fractional diffusion equation", Fract. Calc. Appl. Anal., 15:1 (2012), 141-160
  19. Alikhanov A. A., "A difference method of solving the Steklov nonlocal boundary value problem of second kind for the time-fractional diffusion equation", Comput. Methods Appl. Math., 17:1 (2017), 1-16
  20. Stynes M., O'Riordan E., Gracia J. L., "Error analysis of a finite difference method on graded meshes for a time-fractional diffusion equation", SIAM J. Numer. Anal., 55:2, 1057-1079
  21. Jin B., Lazarov R., Zhou Z., "An analysis of the L1 scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data", IMA J. Numer. Anal., 36:1, 197-221
  22. Jin B., Lazarov R., Sheen D., Zhou Z., "Error estimates for approximations of distributed order time fractional diffusion with nonsmooth data", Fract. Calc. Appl. Anal., 19:1, 69-93
  23. Gao G. H., Sun Z. Z., Zhang H. W., "A new fractional numerical differentiation formula to approximate the Caputo fractional derivative and its applications", J. Comput. Phys., 259 (2014), 33-50
  24. Samarskii A. A., The Theory of Difference Schemes, Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, 240, Marcel Dekker Inc., New York, 2001, 786 pp.
  25. Gao G. H., Sun Z. Z., "A compact finite difference scheme for the fractional sub-diffusion equations", J. Comput. Phys., 230:3 (2011), 586-595

Statistics

Views

Abstract - 85

PDF (Russian) - 20

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies