On the lowest by $x$-variable terms influence on the spectral properties of dirichlet problem for the hyperbolic systems

Full Text

О влиянии младших членов по переменной x на спектральные свойства . . . Работа посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для гиперболической системы без «младших членов» вида ∂ 2 u1 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂t2 ∂ 2 u2 = λu1 + f 1 , ∂x2 ∂ 2 u1 = λu2 + f 2 , ∂x2 (1) и для гиперболической системы с «младшими членами» - ∂ 2 u1 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂x2 ∂ 2 u1 + ∂x2 ∂u2 = λu1 + f 1 , ∂x ∂u1 = λu2 + f 2 , ∂x (2) рассматриваемых в замыкании Vt,x ограниченной области Ωt,x = (0; π)2 евклидова пространства R2 . Присоединив к системам уравнений (1) и (2) услоt,x вие Дирихле u ∂Ωt,x = 0, (3) получим две граничные задачи: задачу (1), (3) и задачу (2), (3). Для гиперболических систем [1] и более общих, так называемых симметричных [2] и несимметричных систем, имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [3]. Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений первого порядка по выделенной переменной t при числе переменных более двух посвящена работа [4]. Исследованию свойств разрешимости задачи Коши для простейшей гиперболической системы первого порядка в «линзообразной области» посвящена работа [3]. Однако спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного типа при числе переменных больше двух почти не изучены. Элементы спектральной теории замкнутых операторов подробно изложены в [5-7]. Спектральные свойства задачи Дирихле для гиперболических систем первого порядка и систем дифференциальнооператорных уравнений изучались в [8-10]. Как и в работах [9, 10], системы дифференциальных уравнений (2) и (3) для удобства будем называть гиперболическими системами первого типа. Гиперболической системой второго типа с младшими членами в данном случае будет система вида ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂u2 - - = λu1 + f 1 , ∂t2 ∂x2 ∂x ∂ 2 u2 ∂ 2 u1 ∂u1 = λu2 + f 2 . + + ∂t2 ∂x2 ∂x - (4) Отметим, что система (4) равносильна системе (2) (для λ = 0) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (2) на -1 и формальной замены -f 1 на f 1 (в силу произвольности правой части) получаем 17 О. В. А л е к с е е в а, В. В. К о р н и е н к о, Д. В. К о р н и е н к о систему (4). Эти рассуждения наводят на мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако исследования в случае гиперболических систем первого порядка показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе [11], а также при изучении 1 2 эллиптических систем в [8]. Обозначим символами ei = δi δi , i = 1, 2, ор2 вектор-столбцов, а через тонормированный базис евклидова пространства E2 2 U2 - унитарное пространство элементов u = u1 e1 + u2 e2 ; uk ∈ C; k = 1, 2, со скалярным произведением 2 u, v; U2 = u1 v 1 + u2 v 2 . 2 Пусть Ht,x = L2 (Vt,x ) - гильбертово пространство комплекснозначных век2 тор-функций u : Vt,x → C2 , норма в котором задаётся формулой 2 u; Ht,x 2 2 2 u(τ, ξ); U2 dτ dξ. = Vt,x Пусть также D - линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций u = u(t, x), принадлежащих классу C Ωt,x ∩ C(2) (Ω) и удовлетворяющих условиям (3). Опишем вначале спектральные свойства гиперболической системы первого типа без младших членов. Гиперболическая система без младших членов. Обозначая символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1), получаем эллиптический дифференциаль2 ный оператор; этот оператор незамкнут. Применяя в Ht,x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом 2 2 случае говорят, что замкнутый оператор L : Ht,x → Ht,x порождён задачей (1), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографиях [5, с. 25], [7, с. 620]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим символами ρL, σL, P σL, CσL и RσL соответственно. Аналогично в работе [11] доказывается следующая теорема. Теорема 1. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (1), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL = σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой λm,k,s = -k 2 + i(-1)m s2 ; m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N. (5) Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (5), представима в виде √ 2 um,k,s (t, x) = + ie1 + (-1)m+1 e2 sin(kt) sin(sx). π 18 О влиянии младших членов по переменной x на спектральные свойства . . . Последовательность {um,k,s (t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N} собственных вектор-функций оператора L образует ортогональный базис 2 в пространстве Ht,x . Гиперболическая система с младшими членами. Так же, как и в случае гиперболической системы без младших членов, обозначим символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (2). Получаем эллиптический дифференциаль2 ный оператор; этот оператор незамкнут. Применяя в Ht,x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом 2 2 случае говорят, что замкнутый оператор L : Ht,x → Ht,x порождён задачей (2), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Теорема 2. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (2), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL = σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой λm,k,s = -k 2 + i(-1)m 1 + s2 ; 4 m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N. (6) Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (6), представима в виде x um,k,s (t, x) = 2 sin(kt)e 2 sin(sx) (iem + e3-m ) . Последовательность {um,k,s (t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N} собственных вектор-функций оператора L образует базис Рисса в простран2 стве Ht,x . Достаточно заметить, что последовательность {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ N} вектор-функций um,k,s (t) = 2 sin(kt) iem + e3-m 2 является полной и ортогональной в гильбертовом пространстве Ht = Ht ⊕ 2 Ht , Ht = L2 [0, π], и воспользоваться доказанным в [9] представлением Ht,x 2 в виде тензорного произведения гильбертовых пространств Ht и Hx , то есть 2 = H2 ⊗ H , где H = L [0, π]. формулой Ht,x x x 2 t 19 О. В. А л е к с е е в а, В. В. К о р н и е н к о, Д. В. К о р н и е н к о

About the authors

Olesya V Alexeeva

I. A. Bunin Elets State University

Email: o.v.alexeeva@gmail.com
Dept. of Computational Mathematics and Informatics 28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation

Vasiliy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: v_v_kornienko@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Computational Mathematics and Informatics. 28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation

Dmitriy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: dmkornienko@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Computational Mathematics and Informatics 28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation

References

Supplementary files