On the lowest by $x$-variable terms influence on the spectral properties of dirichlet problem for the hyperbolic systems

Abstract


We made the comparison study and characterize the spectral properties of differential operators induced by the Dirichlet problem for the hyperbolic system without the lowest terms of the form $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ and for the hyperbolic system with the lowest terms of the form $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^2}}{\partial{x}} =\lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^1}}{\partial{x}} = \lambda{u^2}+ f^2, $$, which are considered in the closure $V_{t,x}$ of the bounded domain $\Omega_{t,x}=(0;\pi)^2$ in Euclidean space $\mathbb{R}^2_{t,x}.$ The spectral properties of the boundary value problems for the systems of linear differential equations of the hyperbolic type are investigated in the Hilbert space $\mathcal{H}_{t,x}$ in the terms of spectral closed operators $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x}$. We study the spectra of the closed differential operators $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x},$ induced by the Dirichlet problem for the second order hyperbolic systems: $C\sigma{L}=R\sigma{L}$ - empty set; point spectrum $P\sigma{L}$ is in the real straight line of the complex plane $\mathbb{C}$. The operator $L$ eigen vector functions generate the orthogonal basis for the hyperbolic system without the lowest terms. For the hyperbolic system with the lowest terms the operator $L$ eigen vector functions generate the Riesz basis, nonorthogonal in the Hilbert space $\mathcal{H}_{t,x}.$ The theorems on the structure of the induced by the Dirichlet problem operator $L$ spectrum $\sigma L$ are formulated.

Full Text

О влиянии младших членов по переменной x на спектральные свойства . . . Работа посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для гиперболической системы без «младших членов» вида ∂ 2 u1 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂t2 ∂ 2 u2 = λu1 + f 1 , ∂x2 ∂ 2 u1 = λu2 + f 2 , ∂x2 (1) и для гиперболической системы с «младшими членами» - ∂ 2 u1 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂t2 ∂ 2 u2 + ∂x2 ∂ 2 u1 + ∂x2 ∂u2 = λu1 + f 1 , ∂x ∂u1 = λu2 + f 2 , ∂x (2) рассматриваемых в замыкании Vt,x ограниченной области Ωt,x = (0; π)2 евклидова пространства R2 . Присоединив к системам уравнений (1) и (2) услоt,x вие Дирихле u ∂Ωt,x = 0, (3) получим две граничные задачи: задачу (1), (3) и задачу (2), (3). Для гиперболических систем [1] и более общих, так называемых симметричных [2] и несимметричных систем, имеется ряд глубоких результатов, относящихся к описанию правильных граничных условий [3]. Описанию регулярных граничных задач для более общих систем уравнений первого порядка по выделенной переменной t при числе переменных более двух посвящена работа [4]. Исследованию свойств разрешимости задачи Коши для простейшей гиперболической системы первого порядка в «линзообразной области» посвящена работа [3]. Однако спектральные свойства этих граничных задач и граничных задач иного типа при числе переменных больше двух почти не изучены. Элементы спектральной теории замкнутых операторов подробно изложены в [5-7]. Спектральные свойства задачи Дирихле для гиперболических систем первого порядка и систем дифференциальнооператорных уравнений изучались в [8-10]. Как и в работах [9, 10], системы дифференциальных уравнений (2) и (3) для удобства будем называть гиперболическими системами первого типа. Гиперболической системой второго типа с младшими членами в данном случае будет система вида ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂u2 - - = λu1 + f 1 , ∂t2 ∂x2 ∂x ∂ 2 u2 ∂ 2 u1 ∂u1 = λu2 + f 2 . + + ∂t2 ∂x2 ∂x - (4) Отметим, что система (4) равносильна системе (2) (для λ = 0) в следующем смысле: после умножения первого уравнения системы (2) на -1 и формальной замены -f 1 на f 1 (в силу произвольности правой части) получаем 17 О. В. А л е к с е е в а, В. В. К о р н и е н к о, Д. В. К о р н и е н к о систему (4). Эти рассуждения наводят на мысль о совпадении свойств разрешимости граничных задач для данных систем безотносительно к условиям, определяющим граничную задачу. Однако исследования в случае гиперболических систем первого порядка показывают, что спектральные свойства рассматриваемых дифференциальных операторов различны; они в некотором смысле аналогичны тем отличиям, которые проявились при сопоставлении слабой иррегулярности сильной в работе [11], а также при изучении 1 2 эллиптических систем в [8]. Обозначим символами ei = δi δi , i = 1, 2, ор2 вектор-столбцов, а через тонормированный базис евклидова пространства E2 2 U2 - унитарное пространство элементов u = u1 e1 + u2 e2 ; uk ∈ C; k = 1, 2, со скалярным произведением 2 u, v; U2 = u1 v 1 + u2 v 2 . 2 Пусть Ht,x = L2 (Vt,x ) - гильбертово пространство комплекснозначных век2 тор-функций u : Vt,x → C2 , норма в котором задаётся формулой 2 u; Ht,x 2 2 2 u(τ, ξ); U2 dτ dξ. = Vt,x Пусть также D - линейное многообразие гладких комплекснозначных вектор-функций u = u(t, x), принадлежащих классу C Ωt,x ∩ C(2) (Ω) и удовлетворяющих условиям (3). Опишем вначале спектральные свойства гиперболической системы первого типа без младших членов. Гиперболическая система без младших членов. Обозначая символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (1), получаем эллиптический дифференциаль2 ный оператор; этот оператор незамкнут. Применяя в Ht,x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом 2 2 случае говорят, что замкнутый оператор L : Ht,x → Ht,x порождён задачей (1), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Говоря о спектре замкнутого оператора, мы следуем терминологии, принятой в монографиях [5, с. 25], [7, с. 620]. Резольвентное множество, спектр, точечный спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр оператора L обозначим символами ρL, σL, P σL, CσL и RσL соответственно. Аналогично в работе [11] доказывается следующая теорема. Теорема 1. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (1), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL = σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой λm,k,s = -k 2 + i(-1)m s2 ; m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N. (5) Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (5), представима в виде √ 2 um,k,s (t, x) = + ie1 + (-1)m+1 e2 sin(kt) sin(sx). π 18 О влиянии младших членов по переменной x на спектральные свойства . . . Последовательность {um,k,s (t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N} собственных вектор-функций оператора L образует ортогональный базис 2 в пространстве Ht,x . Гиперболическая система с младшими членами. Так же, как и в случае гиперболической системы без младших членов, обозначим символом L оператор, областью определения которого является D, а множество значений определяется правой частью (2). Получаем эллиптический дифференциаль2 ный оператор; этот оператор незамкнут. Применяя в Ht,x стандартную процедуру замыкания, получаем замкнутое расширение L оператора L. В этом 2 2 случае говорят, что замкнутый оператор L : Ht,x → Ht,x порождён задачей (2), (3). Изучим его спектр и спектральные свойства его собственных вектор-функций. Теорема 2. Спектр σL оператора L, порождённого задачей (2), (3), состоит из замыкания P σL на комплексной плоскости его точечного спектра P σL. Множество CσL = σL\P σL образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L даётся формулой λm,k,s = -k 2 + i(-1)m 1 + s2 ; 4 m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N. (6) Собственная вектор-функция оператора L, принадлежащая его собственному значению (6), представима в виде x um,k,s (t, x) = 2 sin(kt)e 2 sin(sx) (iem + e3-m ) . Последовательность {um,k,s (t, x) : m = 1, 2; k ∈ N; s ∈ N} собственных вектор-функций оператора L образует базис Рисса в простран2 стве Ht,x . Достаточно заметить, что последовательность {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ N} вектор-функций um,k,s (t) = 2 sin(kt) iem + e3-m 2 является полной и ортогональной в гильбертовом пространстве Ht = Ht ⊕ 2 Ht , Ht = L2 [0, π], и воспользоваться доказанным в [9] представлением Ht,x 2 в виде тензорного произведения гильбертовых пространств Ht и Hx , то есть 2 = H2 ⊗ H , где H = L [0, π]. формулой Ht,x x x 2 t 19 О. В. А л е к с е е в а, В. В. К о р н и е н к о, Д. В. К о р н и е н к о

About the authors

Olesya V Alexeeva

I. A. Bunin Elets State University

Email: o.v.alexeeva@gmail.com
28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation Dept. of Computational Mathematics and Informatics

Vasiliy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: v_v_kornienko@mail.ru
28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation (Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Computational Mathematics and Informatics.

Dmitriy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: dmkornienko@mail.ru
28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Computational Mathematics and Informatics

References

  1. А. А. Дезин, “Смешанные задачи для некоторых симметрических гиперболических систем” // Докл. АН СССР, 1956. Т. 107, № 1. С. 13-16.
  2. А. А. Дезин, “Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка” // Матем. сб., 1959. Т. 49(91), № 4. С. 459-484.
  3. А. А. Дезин, “Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах” // УМН, 1959. Т. 14, № 3(87). С. 21-73.
  4. В. К. Романко, “Смешанные краевые задачи для одной системы уравнений” // Докл. АН СССР, 1986. Т. 286, № 1. С. 47-50.
  5. V. K. Romanko, “Mixed boundary value problems for a system of equations” // Sov. Math., Dokl., 1986. vol. 33, no. 1. pp. 38-41.
  6. А. А. Дезин, Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.
  7. С. Качмаж, Г. Штейнгауз, Теория ортогональных рядов. М.: Физ.-мат. лит., 1958. 507 с.
  8. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы. Т. 1: Общая теория. М.: Иностр. лит-ра, 1962. 895 с.
  9. N. Dunford, J. T. Schwartz, Linear Operators, V. 1, General Theory, New York - London, John Wiley & Sons, 1988, xiv+858 pp.
  10. Корниенко Д. В., “О спектральных задачах для линейных систем дифференциальнооператорных уравнений” // Вестник Елецк. госуд. ун-та им. И. А. Бунина. Сер.: Математика, физика, 2004. № 5. 71-78 с.
  11. Д. В. Корниенко, “Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений” // Диффер. уравн., 2006. Т. 42, № 1. С. 91-100.
  12. D. V. Kornienko, “On a spectral problem for two hyperbolic systems” // Differ. Equ., 2006. vol. 42, no. 1. pp. 101-111. doi: 10.1134/S0012266106010083.
  13. Д. В. Корниенко, “О спектре задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений” // Диффер. уравн., 2006. Т. 42, № 8. С. 1063-1071.
  14. D. V. Kornienko, “On the spectrum of the Dirichlet problem for systems of operator-differential equations” // Differ. Equ., 2006. vol. 42, no. 8. pp. 1124-1133 doi: 10.1134/S0012266106080076.
  15. А. А. Дезин, “О слабой и сильной иррегулярности” // Диффер. уравн., 1981. Т. 17, № 10. С. 1851-1858.
  16. О. В. Алексеева, “О спектре задачи Дирихле для двух эллиптических систем” // Научные ведомости Белгородcкого государственного университета. Сер.: Математика. Физика, 2010. Т. 17(88), № 20. С. 5-9.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies