Boundary value problem with shift for one partial differential equation containing partial fractional derivative

Abstract


We investigate a nonlocal boundary value problem for the equation of special type. For $y > 0$ it is the equation of fractional diffusion, which contains partial fractional derivative of Riemann-Liouville. For $y < 0$ it is the hyperbolic type equation with two perpendicular lines of degeneracy. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the boundary value problem are formulated. The uniqueness of the solution of the problem is proved using the extremum principle and the use of generalized operator of fractional integro-differential in M. Saygo sense. The existence of a solution is reduced to the solvability of differential equations of fractional order, which solution is written out explicitly.

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0, (y > 0, 0 < α < 1), xuxx + yuyy + pux + quy = 0, (y < 0, q p, 1/2 < p, q < 1), (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка α от функции u(x, y) по второй переменной [1, c. 341]: α (D0+,y u)(x, y) = ∂ 1 ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t)dt (y - t)α (0 < α < 1, y > 0). Ранее [2, 3] для уравнения (1) были рассмотрены нелокальная краевая задача и аналог задачи Трикоми. Данная работа является продолжением исследования отмеченных задач и их обобщением. Уравнение (1) будем рассматривать в области Ω, которая представляет собой объединение квадрата Ω+ = {(x, y) : 0 x, y 1} , ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1318 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: О. А. Р е п и н, “Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 22-32.. 22 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной области Ω- , лежащей в нижней полуплоскости (y < 0) и ограниченной ха√ √ рактеристиками AC : x + y = 0, BC : x + -y = 1 уравнения (1) и отрезком [0, 1] прямой y = 0, A(0, 0), B(1, 0). α,β,η Введём обозначения: (I0+ f )(x) - оператор обобщённого дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z) в ядре, введенный в [4] (см. также [1, с. 326-327]) и имеющий при действительных α, β, η и x > 0 вид  -α-β x t  x  (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t) dt (α > 0), α,β,η Γ(α) 0 x (I0+ f )(x) = n  d  (I α+n,β-n,η-n f )(x) (α 0, n = [-α] + 1). dxn 0+ В частности, -α,α,η α,-α,η 0,0,η α α f )(x) = (D0+ f )(x), f )(x) = (I0+ f )(x), (I0+ (I0+ f )(x) = f (x), (I0+ α α где I0+ и D0+ - операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля порядка α > 0 [1, с. 42, 44]. Задача. Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ0 (y), a, q-p+1 , p-q -a q-1 2 2 A I0+ + Cx q-p-1 2 t u(1, y) = ϕ1 (y), 0 < y < 1, a+q- 1 ,0, p-q -a 2 2 u[Θ0 (t)] (x) + B I0+ a-q+ 3 ,q-p,-a- 1 2 2 I0+ t p+q-3 2 (4) u(t, 0) (x)+ lim [(-y)q uy (t, y)] (x) = g(x), 0 < x < 1, (5) y→0-0 а также условиям сопряжения lim y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), lim [y y→0+0 y→0+0 1-α 1-α (y u(x, y))y ] = 0 x y→0-0 p-1 x lim (-y)q uy (x, y), y→0-0 1, 0 < x < 1. (6) (7) Здесь A, B, C - действительные константы, на которые ниже будут наложены некоторые условия, a - отрицательный параметр, причём 1 - 2q < a < 0; 4 Θ0 (x) - точка пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точек (x, 0) (0 < x < 1), с характеристикой AC; ϕ0 (y), ϕ1 (y), g(x) - заданные функции, такие, что y 1-α ϕ0 (y), y 1-α ϕ1 (y) ∈ C([0, 1]), ϕ0 (0) = ϕ1 (0) = 0, g(x) ∈ C 2 ([0, 1]). Будем искать решение поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых в области Ω функций u(x, y), таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω+ ), u(x, y) ∈ C(Ω- ), 23 О. А. Р е п и н y 1-α (y 1-α uy )y ∈ C(Ω+ ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ), uyy ∈ C(Ω- ). 1. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введём обозначения lim y→0+0 lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+0 y 1-α (y 1-α u(x, y))y = ν1 (x), lim u(x, y) = τ2 (x), y→0-0 lim (-y)q uy (x, y) = ν2 (x). y→0-0 Известно [5, с. 108], что решение уравнения (1) в области Ω+ , удовлетворяющее условию (4) и lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), y→0+0 0 x 1, записывается в виде y y ϕ0 (η)Gξ (x, y; 0; η)dη - u(x, y) = 0 ϕ1 (η)Gξ (x, y; 1; η)dη+ 0 1 τ1 (ξ)Gξ (x, y; ξ; 0)dξ, + Γ(α) 0 где G(x, y; ξ, η) = (y - η)β-1 2 ∞ e1,β - 1,β n=-∞ |x - ξ + 2n| - (y - η)β - e1,β - 1,β ∞ eµ,δ (z) = α,β n=0 zn , Γ(αn + µ)Γ(δ - βn) |x + ξ + 2n| (y - η)β , β= α , 2 α > β, α > 0 - функция типа Райта [5, с. 23]. Также известно [2, 6], что функциональное соотношение между τ1 (x) и ν1 (x), принесённое из параболической области Ω+ на линию y = 0, имеет вид ν1 (x) = 1 τ (x). Γ(1 + α) 1 (10) Найдём функциональное соотношение между τ2 (x) и ν2 (x), принесённое на линию y = 0 из гиперболической части Ω- области Ω. Используя решение задачи Коши [7] u(x, 0) = τ2 (x), 0 x 1, lim (-y)q uy (x, y) = ν2 (x), 0 < x < 1, y→0-0 24 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной для уравнения (1), в работе [2] найдено u[Θ0 (x)]. В символах обобщённого оператора дробного интегрирования (3) оно имеет вид q- 1 , p-q-1 , p-q 2 2 u[Θ0 (x)] = k1 x1-q I0+ 2 t p+q-3 2 τ2 (t) (x)+ 3 -q, q-p-1 , q-p 2 2 2 + k2 x1-p I0+ t p-q-1 2 ν2 (t) (x), где k1 = 2p-q Γ(2q - 1) , 1 Γ(q - 2 ) k2 = - 2p+3q-3 Γ(2 - 2q) . Γ( 3 - q) 2 Подставляя функцию u[Θ0 (x)] в краевое условие (5) и используя формулы композиций α,β,η γ,δ,α+η α+γ,β+δ,η I0+ (I0+ ϕ)(t) (x) = (I0+ ϕ)(x), γ > 0, α, β, η, δ ∈ R, (11) α,β,a+b+c+β e a,b,c s ϕ(s) (t) x = I0+ tβ+b I0+ a+α,b+β,c+β e+c t ϕ(t) (x), = xβ I0+ a < 0, α > 0, b, c, β, l ∈ R, (12) полученные соответственно в работах [4, 8], приходим к равенству 1 a+q- 2 ,0, p-q -a 2 (Ak1 + B) I0+ t p+q-3 2 τ2 (t) (x)+ + (Ak2 + C)x q-p-1 2 3 a-q+ 2 ,q-p,-a- 1 2 I0+ Умножив обе части равенства (13) на x полученного соотношения оператор и (12) будем иметь 1 2a+q- 1 , 1+p-q ,-2a- 2 p-1 2 2 (Ak1 + B) I0+ t 1+p-q 2 ν2 (t) (x) = g(x). (13) и применив к обеим частям a, 1+p-q ,-2a- 1 2 , I0+ 2 на основании формул (11) τ2 (t) (x)+ 2a-q+ 3 , 1-p+q ,-2a- 1 2 2 2 + (Ak2 + C) I0+ ν2 (t) (x) = g1 (x), (14) где 1 a, 1+p-q ,-2a- 2 2 g1 (x) = I0+ g(t) (x). Преобразуем функцию g1 (x). Опираясь на формулу (3), с учётом известного соотношения [9, с. 44] xc-1 F (a, b; c; x)dx = xc F (a, b; c + 1; x), c интегрируя по частям, а затем дифференцируя, получим a+1, p-q-1 ,-2a- 1 2 2 g1 (x) = I0+ g (t) (x). 25 О. А. Р е п и н Теперь на обе части (14) подействуем обратным оператором 2a+q- 1 , 1+p-q ,-2a- 1 -1 2 2 2 I0+ 1 -2a-q, q-p-1 ,q-1 2 2 = I0+ . На основании формулы композиции (11) будем иметь 2-2q,q-p,q-1 (Ak1 + B)xp-1 τ2 (x) + (Ak2 + C) I0+ ν2 (t) (x) = g2 (x), (15) где 3 -a-q,-1,q-1 2 g2 (x) = I0+ g (t) (x). 2q-2,p-q,1-q , найдем явный вид Применив к обеим частям (15) оператор I0+ функции ν2 (x): 2q-2,p-q,1-q p-1 (Ak2 + C)ν2 (x) = -(Ak1 + B) I0+ t τ2 (t) (x)+ q-a- 1 ,p-q-1,1-q 2 + I0+ g (t) (x). (16) Имеют место следующие утверждения. Лемма 1. Если функция τ1 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), то ν1 (x0 ) 0 (ν1 (x0 ) 0). Справедливость леммы 1 непосредственно следует из соотношения (10). Далее будем считать, что выполняются следующие условия: Ak2 + C > 0, Ak1 + B < 0, либо Ak2 + C < 0, Ak1 + B > 0. (17) Лемма 2. Если функция τ2 (x) достигает положительного максимума (отрицательного минимума) на отрезке [0, 1] в точке x = x0 (0 < x0 < 1), g(x) ≡ 0 и выполняются условия (17), то ν2 (x0 ) > 0 (ν2 (x0 ) < 0). Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что справедливость леммы 2 без условия (17) в виде кратких утверждений установлена в работах [2, 10]. Здесь даётся полное и достаточно подробное её доказательство. На основании (3) имеем d 2q-1,p-q-1,-q p-1 I t τ2 (t) (x) = dx 0+ x 1 d x - t p+q-2 = tp-1 (x - t)q-p × Γ(2q - 1) dx 0 x x-t × F p + q - 2, q; 2q - 1; τ2 (t) dt. x 2q-2,p-q,1-q p-1 I1 (x) = I0+ t τ2 (t) (x) = Пусть I1δ (x) = 26 1 d Γ(2q - 1) dx x tp-1 (x - t)q-p 0 x-t x p+q-2 × Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной × F p + q - 2, q; 2q - 1; x-t τ2 (t) dt. x Воспользовавшись формулой [11, c. 110] d a [z F (a, b; c; z)] = az a-1 F (a + 1, b; c; z) dz и тождеством [12, c. 1058] cF (a, b; c; z) = (c - a)F (a, b + 1; c + 1; z) + a(1 - z)F (1 + a, 1 + b; 1 + c; z), получим I1δ (x) = δ 1 (x - δ)p-1 (δ)q-p Γ(2q - 1) x p+q-2 × F p + q - 2, q; 2q - 1; + 2q - 2 Γ(2q - 1) × δ τ2 (x - δ)+ x x-δ tp-1 (x - t)2q-3 x2-p-q × 0 × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x-t τ2 (t) dt = I11 δ (x) + I12 δ (x). x Запишем I12 δ (x) следующим образом: I12 δ (x) = x-δ τ2 (x) - τ2 (t) p-1 t × (x - t)3-2q 0 x-t dt+ × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x x-δ 2q - 2 + τ2 (x)x2-p-q (x - t)2q-3 tp-1 × Γ(2q - 1) 0 2 - 2q 2-p-q x Γ(2q - 1) × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; x-t dt. x Используя формулу автотрансформации [11, c. 76] F (a, b; c; z) = (1 - z)c-a-b F (c - a, c - b; c; z), можно записать x-δ x2-p-q x-t dt = x x-δ x-t (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; dt. (18) x 0 (x - t)2q-3 tp-1 F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; 0 = x1-q Применяя формулу [11, c. 111] d c-1 [z F (a, b; c; z)] = (c - 1)z c-2 F (a, b; c - 1; z), dz 27 О. А. Р е п и н получим соотношение (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; =- d 1 x2q-2 2q - 2 dt x-t = x t x - t 2q-2 F q - p, q - 1; 2q - 1; 1 - x x . Таким образом, (18) принимает вид x-δ x1-q (x - t)2q-3 F q - p, q - 1; 2q - 2; 0 x-t x dt = x-δ d x - t 2q-2 x-t 1 xq-1 F q - p, q - 1; 2q - 1; dt = 2q - 2 dt x x 0 xq-1 δ 2q-2 δ =- - F (q - p, q - 1; 2q - 1; 1) = F q - p, q - 1; 2q - 1; 2q - 2 x x δ xq-1 Γ(2q - 1)Γ(p) xq-1 δ 2q-2 F q - p, q - 1; 2q - 1; + . =- 2q - 2 x x 2q - 2 Γ(p + q - 1)Γ(q) =- Здесь использована формула [11, c. 112] F (a, b; c; 1) = Γ(c)Γ(c - a - b) , Γ(c - a)Γ(c - b) c = 0, -1, -2, . . . , Re(c) > Re(a + b). Итак, с учётом выполненных преобразований I1 δ (x) можно представить следующим образом: I1 δ (x) = I11 δ (x) - - δ 2q-2 δ 1 xq-1 τ2 (x)F q - p, q - 1; 2q - 1; + Γ(2q - 1) x x xq-1 Γ(p) + τ2 (x)- Γ(p + q - 1)Γ(q) 2q - 2 2-p-q x Γ(2q - 1) x-δ 0 τ2 (x) - τ2 (t) p-1 t × (x - t)3-2q × F p + q - 2, q - 1; 2q - 2; С учётом формул [11, c. 76, 118] z , z-1 z -a a 1 a 1 z F , + ;b + ; F (a, b; 2b; z) = 1 - 2 2 2 2 2 2-z F (a, b; c; z) = (1 - z)-b F c - a, b; c; переходя к пределу при δ → 0, имеем I1 (x) = xq-1 28 Γ(p)τ2 (x) + Γ(p + q - 1)Γ(q) 2 , x-t dt. x Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной + x (2 - 2q)2q-p 1-p x Γ(2q - 1) τ2 (x) - τ2 (t) (t + x)p-q × (x - t)3-2q 0 q-p q-p+1 1 t-x ×F , ;q - ; 2 2 2 t+x 2 dt. Используя формулу автотрансформации F (a, b; c; z) = (1 - z)c-a-b F (c - a, c - b; c; z), окончательно получим I1 (x) = Γ(p) xq-1 τ2 (x)+ Γ(p + q - 1)Γ(q) (2 - 2q)2p+q-2 x τ2 (x) - τ2 (t) + (t + x)2-p-q tp-1 × Γ(2q - 1) (x - t)3-2q 0 p+q-1 p+q-2 1 t-x ×F , ;q - ; 2 2 2 t+x 2 dt. (19) В работе [2] доказано, что I1 (x0 ) > 0, если x = x0 - точка положительного максимума, и I1 (x0 ) < 0, если x = x0 - точка отрицательного минимума. Учитывая условия (17), соотношения (16) и (19), заключаем, что лемма 2 справедлива. Теорема 1. Пусть выполняются условия (17), 1 < p, 2 q < 1, q p, 1 - 2q < a < 0. 4 Тогда, если существует решение исследуемой задачи для уравнения (1), то оно единственно. Доказательство теоремы 1 следует из лемм 1 и 2, принципа экстремума для нелокального параболического уравнения [13, c. 47] и условия сопряжения (7). 2. Существование решения задачи. Существование решения исходной задачи проведем для случая p = q. Из равенства (15) имеем 2-2p,0,p-1 τ2 (x) = m1 x1-p I0+ ν2 (t) (x) + m2 g2 (x), (20) где Ak2 + C 1 , m2 = . Ak1 + B Ak1 + B В силу легко проверяемых равенств m1 = - α,β,η α,-α-η,-α-β xα+β+η I0+ ϕ(t) (x) = I0+ ϕ(t) (x), α,β,η I0+ ϕ(t) (x) = α,γ,δ I0+ tγ-δ ϕ(t) (x), α > 0, β, η ∈ R, α > 0, γ, δ ∈ R, получим 29 О. А. Р е п и н 2-2p,0,p-1 2-2p,p-1,2p-2 x1-p I0+ ν2 (t) (x) = I0+ ν2 (t) (x) = 2-2p,2p-2,p-1 p-1 2-2p = I0+ t ν2 (t) (x) = I0+ tp-1 ν2 (t) (x). Следовательно, (20) принимает вид 2-2p τ2 (x) = m1 I0+ tp-1 ν2 (t) (x) + m2 g2 (x). (21) Дифференцируя дважды обе части (21) по x, учитывая (3) и равенство d2 2-2p 2p I ϕ(t) (x) = D0+ ϕ(t) (x), dx2 0+ имеем 2p τ2 (x) = m1 D0+ tp-1 ν2 (t) (x) + m2 g2 (x). Согласно (6), τ1 (x) = τ2 (x) при 0 x 1, ν1 (x) = xp-1 ν2 (x) при 0 < x < 1. Обозначив τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x) и ν1 (x) = xp-1 ν2 (x) = ν(x) и учитывая соотношение (10), придём к дифференциальному уравнению дробного порядка 2p, 1 < 2p < 2: 2p D0+ ν(t) (x) - λν(x) = g2 (x) , Ak2 + C λ= Γ(1 + α) . m1 (22) На основании результатов монографий [1, с. 302; 14, с. 226-227] общее решение уравнения (22) имеет вид ν(x) = c1 x2p-1 E2p,2p (λx2p ) + c2 x2p-2 E2p,2p-1 (λx2p )+ x g2 (t) (x - t)2p-1 E2p,2p λ(x - t)2p dt, + Ak2 + C 0 где c1 и c2 - произвольные постоянные, ∞ zm Γ(αm + β) Eα,β (z) = m=0 (α > 0, β ∈ R) - функция Миттаг-Леффлера [1, с. 33; 15, с. 117]. Используя результаты работы [2], запишем явное решение поставленной задачи: y u(x, y) = 0 ∂G ∂ξ y ξ=0 ϕ1 (η)dη - 0 ∂G ∂ξ ξ=1 ϕ2 (η)dη+ 1 G(x, y; t, 0)E2p,2 (λt2p )dt- + c1 m1 0 1 - 1 0 1 (x - s)E2p,2 λ(t - s)2p g2 (s)ds dt + G(x, y; t, 0) 0 G(x, y; t, 0)g2 (t)dt, 0 где c1 = - 1 m1 E2p,2 (λ) 1 (1 - t)E2p,2 λ(1 - t)2p g2 (t)dt . g2 (1) + 0 Это завершает доказательство существования решения исследуемой задачи. 30 Задача со смещением для одного уравнения с частной дробной производной

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics and Econometri

References

  1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. А. А. Килбас, О. А. Репин, “О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля” // Дифференц. Уравнения, 2010. Т. 46, № 10. С. 1453-1460.
  3. A. A. Kilbas, O. A. Repin, “Solvability of a boundary value problem for a mixed-type equation with a partial Riemann-Liouville fractional derivative” // Differ. Equ., 2010. vol. 46, no. 10. pp. 1457-1464. doi: 10.1134/S0012266110100095.
  4. А. А. Килбас, О. А. Репин, “Аналог задачи Трикоми для дифференциального уравнения с частными производными, содержащего уравнение диффузии дробного порядка” // Докл. АМАН, 2010. Т. 12, № 1. С. 31-39.
  5. M. Saigo, “A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions” // Math. Rep. College General Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
  6. А. В. Псху, Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  7. С. Х. Геккиева, “Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной” // Изв. Кабар.-Балкар. научн. центра РАН, 2001. № 2(7). С. 78-80.
  8. А. М. Гордеев, “Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу” // Волжск. мат. сб., 1968. № 6. С. 56-61.
  9. Т. В. Шувалова, “Некоторые композиционные свойства обобщенных операторов дробного дифференцирования” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. № 42. С. 45-48. doi: 10.14498/vsgtu409.
  10. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды. Т. 3: Специальные функции. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с.
  11. О. А. Репин, Т. В. Шувалова, “О единственности решения нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения” / Современные методы физико-математ. наук, Труды междун. конф. Т. 1. Орёл, 2006. 106-110 с.
  12. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
  13. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project), New York, McGraw-Hill, 1953.
  14. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
  15. I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products. 6th ed, San Diego, CA, Academic Press, 2000, xlvii+1163 pp.
  16. В. А. Нахушева, Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Nauka, 2006. 173 с.
  17. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Mathematics Studies, vol. 204, Amsterdam, Elsevier Science B. V., 2006, xvi+523 pp. doi: 10.1016/S0304-0208(06)80001-0.
  18. М. М. Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Statistics

Views

Abstract - 22

PDF (Russian) - 14

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies