The Stress-strain State of the Rubber-metall Seismic Bearing

Full Text

Анализ конструктивных особенностей сейсмоизоляции зданий, сооружений, инфраструктурных объектов показывает, что наиболее перспективным считается применение вибросейсмоизоляторов на основе резинометаллических конструкций. Это позволяет защитить машины и сооружения при сейсмических колебаниях не только от воздействия в горизонтальной и вертикальной плоскостях, но и от кручения. Кроме того, применение резинометаллических слоистых виброизоляторов позволяет защитить здания и находящихся в них людей от вибрационных воздействий метрополитена, автомобильного и железнодорожного транспорта [1]. Вибросейсмоизоляции зданий, сооружений посвящен ряд работ. В работе А. А. Чылбак [2] предложена методика оценки сейсмопрочности сооружений, расположенных на системе сейсмоизоляции. Усовершенствованию инженерного метода расчёта многослойных силовых виброизоляторов для массового строительства виброизолированных зданий посвящена работа В. В. Моторина [3]. В работе О. А. Ковальчука [4] рассмотрена эффективность работы резинометаллических виброизоляторов в каркасных зданиях. Подходы к решению задач о напряжённо-деформированном состоянии резинометаллических виброизоляторов рассмотрены в работе Ю. Г. Козуба [5]. Задача определения осадки резиновых элементов, работающих на сжатие, решалась в работах Э. Э. Лавендела [6], С. И. Дымникова [7], В. Л. Бидермана, Н. А. Суховой [8], В. И. Дырды [9]. В работе В. М. Малькова [10] даётся изложение теории и методов расчёта эластомерного слоя и многослойных конструкций. Растущая сложность резинометаллических виброизоляторов предусматривает учёт специфических свойств материала: слабой сжимаемости, реологических свойств, а также наличия пористости, что обусловлено широким внедрением пористых резин в различные отрасли науки и техники. Исходя из особенностей деформирования актуальным является решение задачи о нахождении напряжённо-деформированного состояния вибросейсмоизолятора с позиций теории вязкоупругости. Изучению вязкоупругих свойств материалов посвящены работы В. В. Киричевского [11], В. Л. Нарусберга [12]. В работах [13, 14] предлагаются различные подходы к описанию поведения упругих пористых сред. Вязкоупругое поведение пористых сред исследовалось в работах [15, 16, 17]. Постановка задачи. Решается статическая задача вязкоупругости в трёхмерной постановке для двухслойной цилиндрической резинометаллической сейсмоопоры. Такой вибросейсмоопорой, предназначенной для сейсмозащиты многоэтажных жилых домов, является двухслойная сейсмоопора, разработанная Институтом геотехнической механики им. Н. С. Полякова НАН Украины и Государственным научно-исследовательским институтом строительных конструкций (рис. 1). Первоначально резинометаллическая сейсмоопора выполнялась из сплошной резины. Улучшить жесткостные характеристики данной сейсмоопоры можно путём введения промежуточного слоя из композиционного материала. Однако такое конструктивное решение будет иметь недостаток - повышенную жёсткость на сдвиг, что не всегда удовлетворяет критериям виброизоляции зданий и сооружений. Другим возможным развитием сейсмоопо65 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о ры является введение слоев из пористой резины, что позволяет варьировать жесткостными характеристиками и снизить материалоёмкость конструкции. На рис. 2 приведена расчётная схема комбинированного резинового слоя: 1, 3 - пористая резина, 2 - сплошная резина; R - радиус сейсмоопоры, h - высота резинового слоя, h1 = h2 = 0.25h, P - распределённая поверхностная нагрузка, Q - сдвиговая нагрузка. резинометаллическая сейсмоопора снизу опирается на абсолютно жёсткую основу. Боковая поверхность свободна от защемлений и нагрузок. Граничные условия задачи записываются в следующем виде: u|x1 =0 = 0, σ11 |x1 =h = -P, σ12 |x1 =h = -Q, ¯ где u - вектор перемещений, σ11 и σ12 - нормальное и касательное напряже¯ ния соответственно. Рис. 1. Двухслойная сейсмоопора [Figure 1. The bilayer seismic bearing] Рис. 2. Cхема резинового слоя [Figure 2. The scheme for the rubber layer. Designations: 1, 3 - a porous rubber; 2 - a solid rubber; R - a radius of the seismic bearing; h - a rubber layer height; h1 = h2 = 0.25h; P - distributed surface load; Q - shear load] Построение конечно-элементной модели вязкоупругого деформирования резинометаллической сейсмоопоры на основе уточненной моментной схемы конечного элемента. При решении задач механики деформируемого твёрдого тела для слабосжимаемых материалов возникают проблемы математического характера, когда коэффициент Пуассона ν → 0.5. Тогда в процессе формирования матрицы жёсткости возникает необходимость в вычислении коэффициента E/(1 - 2ν), где E - модуль упругости материала. При ν → 0.5 данная величина стремится к бесконечности, и расчёт конструкций приводит к неопределенностям. Одним из путей разрешения указанных трудностей является применение моментной схемы конечного элемента (МСКЭ) [18, 19], которая, кроме того, позволяет получать матрицу жёсткости конечного элемента, учитывающую эффект «ложного» сдвига и абсолютные смещения конечного элемента как жёсткого целого. Рассмотрим шестигранный конечный элемент. Введём две системы координат - базисную Oz 1 z 2 z 3 и местную криволинейную O1 x1 x2 x3 , связанную с конечных элементом (рис. 3). 66 Исследование напряженно-деформированного состояния . . . Рис. 3. Криволинейный конечный элемент [Figure 3. The curvilinear finite element] Для построения конечно-элементной модели воспользуемся вариационным принципом. Рассмотрим вариацию полной потенциальной энергии системы: δΠ = δ W - δA. Здесь δ W - вариация внутренней энергии вязкоупругого деформирования: σ ij (t)δεij dV ; δW = (1) V δA - вариация работы распределенных объемных P i и поверхностных F i сил: P i δui dV + δA = V F i δui dS. S Тензор вязкоупругих напряжений на основе наследственной теории Больцмана-Вольтерра запишется в виде ijkl σ ij (t) = C0 εkl (t) - t 0 ijkl ijkl (C0 - C∞ )e-(t-τ ) εkl (τ )dτ, (2) ijkl ijkl где C0 и C∞ - компоненты тензора мгновенных и длительных упругих постоянных, которые определяются соотношением 2 C ijkl = Bg ij g kl + G g ik g jl + g il g jk - g ij g kl , 3 (3) где g ij - компоненты метрического тензора, B и G - мгновенные или длительные модули объёмного сжатия и сдвига соответственно. Выражение (2) с учётом симметричности тензора напряжений и с учётом выражения (3) можно представить в виде 1 σ ij (t) = B0 g ij θ(t) + 2G0 g ik g jl εkl (t) - g ij θ(t) - 3 t (B0 - B∞ )g ij θ(τ )+ - 0 67 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о 1 + 2(G0 - G∞ ) g ik g jl εkl (τ ) - g ij θ(τ ) 3 e-(t-τ ) dτ, (4) где θ(t) = ε11 (t) + ε22 (t) + ε33 (t) - функция изменения объёма. Для определения упругих постоянных пористой резины в выражении (4) воспользуемся методом самосогласования для пор сферической формы, в рамках которого зависимость модуля объёмного сжатия Bp и модуля сдвига Gp пористой резины от их относительной плотности ρ = 1 - p запишется в виде [13] Gp Bp 1-ρ 1-ρ =1- , =1- , B 1 - αρ G 1 - βρ где α= 1+ν , 3(1 - ν) β= 2 4 - 5ν , 15 1 - ν ν - коэффициент Пуассона матрицы, p - пористость. Для построения конечно-элементной модели представим интегральные соотношения (4) в конечно-разностной форме. Допуская релаксацию только модуля сдвига Gp пористой резины, получим B0 = B∞ . Полагая, что перемещения u(t) и деформации ε(t) изменяются линейно внутри каждого интервала времени, выражение для компонентов тензора напряжений (4) запишем в виде 1 σ ij (t) = Bp g ij θ(tn ) + 2Gp g ik g jl εkl (tn ) - g ij θ(tn ) - 3 n-1 - m=0 1 Rm g ik g jl εkl (tm ) - g ij θ(tm ) , (5) 3 где Rm = 2(Gp0 - Gp∞ )(etm+1 -tm ); Gp0 , Gp∞ - мгновенный и длительный модули сдвига пористой резины. Подставим компоненты тензора напряжений (5) в вариацию энергии деформирования (1). В этом случае вариация полной потенциальной энергии (1) запишется в виде δΠ = δW + δW ∗ - δA, (6) где δW = V 1 Bp0 g ij δθ(tn ) + 2Gp0 g ik g jl δεkl (tn ) - g ij δθ(tn ) 3 n-1 δW ∗ = - V m=0 1 Rm g ik g jl δεkl (tm ) - g ij δθ(tm ) 3 dV, dV. Для традиционного конечно-элементного представления (6) через вектор перемещений аппроксимацию перемещений для линейного параллелепипедного конечного элемента (согласно МСКЭ) представим в виде 68 Исследование напряженно-деформированного состояния . . . lmn pqr 000 100 010 001 ωk ψ pqr = ωk + ωk ψ 100 + ωk ψ 010 + ωk ψ 001 + uk = pqr 110 101 011 111 + ωk ψ 110 + ωk ψ 101 + ωk ψ 011 + ωk ψ 111 , (7) pqr где ωk - коэффициенты разложения перемещений; ψ pqr - степенные координатные функции: (x1 )p (x2 )q (x3 )r ψ pqr = . p! q! r! Непосредственное применение МСКЭ для получения матрицы жёсткости по заданным интерполяционным полиномам для аппроксимации перемещений конечного элемента в ряде случаев приводит к отбрасыванию значительного числа членов разложения деформаций, особенно для конечных элементов с высокой степенью аппроксимирующих полиномов. Решить эту проблему можно с помощью уточненной моментной схемы конечного элемента (УМСКЭ) [20, 21], которая, по сути, является модификацией МСКЭ. Этот подход предполагает получение выражений для деформаций на базе дополнения исходных аппроксимирующих полиномов конечного элемента до полных с последующим исключением «лишних» коэффициентов при дополнительных слагаемых. Для уточнения решений приведём (7) к полному кубическому полиному: uk = uk + ∆uk , (8) где ∆uk = 1 200 200 020 002 210 201 ω ψ + ωk ψ 020 + ωk ψ 002 + ωk ψ 210 + ωk ψ 201 + 2 k 120 102 021 012 + ωk ψ 120 + ωk ψ 102 + ωk ψ 021 + ωk ψ 012 + 1 300 030 003 + ωk ψ 300 + ωk ψ 030 + ωk ψ 003 . 6 Разложим компоненты тензора деформаций в ряд Тейлора в окрестности начала координат: ij estg ψ stg ij εij = (9) stg либо в матричной форме: {εij } = {eij } {ψij }, (10) k [Fij (11) {eij } = ]{ωk }. s Построим матрицу [Fij ]. Для этого вычислим коэффициенты разложения входящие в (9), (10), согласно МСКЭ по формулам [20]: epqr , ij pqr epqr 11 µ+1 ωk = ν η k bp+1-µ q-ν r-η , µνη 69 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о pqr epqr 22 µ ωk ν+1 η k bp-µ q+1-ν r-η , µ ωk = ν η+1 k bp-µ q-ν r+1-η ; µνη pqr epqr = 33 µνη epqr = 12 epqr = 13 epqr = 23 1 2 1 2 1 2 pqr µ (ωk ν+1 η k bp+1-µ q-ν r-η µ+1 + ωk ν η k bp-µ q+1-ν r-η ), µ (ωk ν η+1 k bp+1-µ q-ν r-η µ+1 + ωk ν η k bp-µ q-ν r+1-η ), µ (ωk ν η+1 k bp-µ q+1-ν r-η µ + ωk µνη pqr (12) µνη pqr ν+1 η k bp-µ q-ν r+1-η ), µνη где bk = µνη ∂ (µ+ν+η) z k (∂x1 )µ (∂x2 )ν (∂x3 )η x1 =x2 =x3 =0 . Проанализировав все компоненты epqr , легко заметить, что некоторые коij pqr эффициенты ωk из (12) не входят в разложение для аппроксимации перемещений (8) с учётом дополнительных коэффициентов. Поэтому коэффициенты разложения деформаций epqr , содержащие хотя бы один из невходящих ij членов, необходимо опустить в разложении (9). Таким образом, в развёрнутом виде все компоненты деформаций εij , получаемые на основе (8), представляются в виде полных квадратичных полиномов: 1 εij = e000 + e100 ψ 100 + e010 ψ 010 + e001 ψ 001 + e200 ψ 200 + e110 ψ 110 + ij ij ij ij ij 2 ij 1 1 + e020 ψ 020 + e101 ψ 101 + e011 ψ 011 + e002 ψ 002 , (13) ij ij ij 2 2 ij где все моменты деформаций epqr удовлетворяют условиям МСКЭ. ij С другой стороны, применяя соотношения Коши для выражения (8) и сравнивая с (13), определим те компоненты, которые содержат дополнительные коэффициенты, входящие в разложение для ∆uk : 200 e100 = ω1 , 11 210 e110 = ω1 , 11 201 e101 = ω1 , 11 120 e020 = ω1 , 11 102 e002 = ω1 , 11 300 e200 = ω1 , 11 020 e010 = ω2 , 22 210 e200 = ω2 , 22 120 e110 = ω2 , 22 021 e011 = ω2 , 22 012 e002 = ω2 , 22 030 e020 = ω2 , 22 002 e001 = ω3 , 33 201 e200 = ω3 , 33 102 e101 = ω3 , 33 021 e020 = ω3 , 33 1 110 200 e100 = (ω1 + ω2 ), 12 2 1 111 021 e011 = (ω2 + ω1 ), 12 2 70 e010 12 e002 12 012 003 e011 = ω3 , e002 = ω3 , 33 33 1 110 1 111 020 201 = (ω2 + ω1 ), e101 = (ω1 + ω2 ), 12 2 2 1 012 1 210 102 300 = (ω1 + ω2 ), e200 = (ω1 + ω2 ), 12 2 2 Исследование напряженно-деформированного состояния . . . 1 120 210 e110 = (ω1 + ω2 ), 12 2 1 101 002 e001 = (ω3 + ω1 ), 13 2 1 021 120 e020 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 003 102 e002 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 111 120 e110 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 012 021 e011 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 030 120 e020 = (ω1 + ω2 ), 12 2 1 111 210 e110 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 201 300 e200 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 011 020 e010 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 111 102 e101 = (ω3 + ω2 ), 23 2 1 021 030 e020 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 101 200 e100 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 012 111 e011 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 102 201 e101 = (ω1 + ω3 ), 13 2 1 002 011 e001 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 201 210 e200 = (ω2 + ω3 ), 23 2 1 003 012 e002 = (ω2 + ω3 ). 23 2 Уточнение МСКЭ сводится к минимизации тех коэффициентов разложения деформаций, которые, согласно МСКЭ, должны отбрасываться. На основе метода наименьших квадратов из моментов деформаций, которые представлены через коэффициенты разложения перемещений и имеют «лишние» коэффициенты, составляется сумма квадратов. Путём её минимизации получаем систему уравнений, решая которую, определим дополнительные коэффициенты: 030 300 102 120 201 210 200 ω1 = ω1 = ω1 = ω1 = ω1 = ω1 = ω1 = 0, 003 020 021 012 030 210 120 ω1 = ω2 = ω2 = ω2 = ω2 = ω2 = ω2 = 0, 300 003 003 021 002 ω2 = ω2 = ω3 = ω3 = ω3 = 0, 012 102 201 030 300 ω3 = ω3 = ω3 = ω3 = ω3 = 0, 021 120 111 ω1 = ω3 = -ω2 /3, 020 110 ω1 = -ω2 , 200 101 ω3 = -ω1 , 111 102 012 ω1 = ω2 = -ω3 /3, 101 002 ω1 = -ω3 , 110 200 ω2 = -ω1 , 201 210 111 ω2 = ω3 = -ω1 /3, 002 011 ω2 = -ω3 , (14) 020 011 ω3 = -ω2 . На основе формул (8) и (14) получаем вспомогательный закон распределения перемещений трёхмерного конечного элемента: 1 1 1 u1 = p=0 q=0 r=0 1 1 1 u2 = p=0 q=0 r=0 1 1 1 u3 = p=0 q=0 r=0 1 111 1 110 pqr 101 111 ω1 ψ pqr - (ω2 ψ 020 + ω3 ψ 002 ) - (ω2 ψ 021 + ω3 ψ 012 ), 2 6 1 110 1 111 pqr 011 111 ω2 ψ pqr - (ω1 ψ 200 + ω3 ψ 002 ) - (ω1 ψ 201 + ω3 ψ 102 ), 2 6 1 101 1 111 pqr 011 111 ω3 ψ pqr - (ω1 ψ 200 + ω2 ψ 020 ) - (ω1 ψ 210 + ω2 ψ 120 ) 2 6 или в матричной форме {uk } = {ωk } {ψ}. (15) 71 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о k Матрицы [Fij ] получаются на основе выражений (11) и известного теперь числа и вида коэффициентов epqr по формуле (13) с учётом (14). ij Функция изменения объёма, ответственная за слабую сжимаемость эластомера, представляется разложением m-1 n-1 l-1 ξ αβγ ψ αβγ , θ= (16) α=0 β=0 γ=0 где ξ αβγ - коэффициенты разложения, определяемые соотношением ∂ (α+β+γ) εij g ij (∂x1 )α (∂x2 )β (∂x3 )γ ξ αβγ = x1 =x2 =x3 =0 , (17) или в векторной форме: {θ} = {ξ} {ψθ }, (18) k [Fθ (19) {ξ} = ]{ωk }. Воспользовавшись формулами (14), (16) и (17), проанализируем выражения для компонент ξ αβγ , опуская при этом те слагаемые, которые содержат наряду с коэффициентами разложения для θ коэффициенты разложения для деформаций, т. е. те, для которых не выполняется условие ξ αβγ = eαβγ g 11 + eαβγ g 22 + eαβγ g 33 . 11 22 33 Легко заметить, что необходимо учитывать только коэффициент ξ 000 . Таким образом, получим приближенное значение функции изменения объёма: θ = ξ 000 = e000 g 11 + e000 g 22 + e000 g 33 . 11 22 33 С учётом (10) и (18) δW в выражении (6) примет вид {δeij } {ψij }g ik g jl {ekl } {ψkl } dV + δW = 2Gp0 V 2 + Bp0 - Gp0 3 {ξ} {ψθ }δ{ξ}{ψθ } dV = V = {δeij } [H ijkl ]{ekl } + δ{ξ} [H θ ]{ξ}, (20) где 1 1 1 [H ijkl ] = 2Gp0 g ik g jl {ψij }{ψkl } -1 -1 √ g dx1 dx2 dx3 ; -1 1 1 1 -1 -1 -1 [H θ ] = √ 2 Bp0 - Gp0 {ψθ }{ψθ } g dx1 dx2 dx3 . 3 На основе (11) и (19) выражение (20) можно записать в следующем виде: s t s t δW = δ{ωs } [Fij ] [H ijkl ][Fkl ]{ωt } + δ{ωs } [Fθ ] [H θ ][Fθ ]{ωt }. 72 (21) Исследование напряженно-деформированного состояния . . . Принимая во внимание (15) и представление перемещений точек конечного элемента через функцию Лагранжа {N } и узловые значения перемещений {uk } = {ui } {N }, запишем связь между степенными и аппроксимирующими функциями Лагранжа: {ωk } = [A]{uk }, с учётом которой, выражение (21) можем представить в таком виде: s t δW = δ{us } [A] [Fij ] [H ijkl ][Fkl ][A]{ut }+ s t + δ{us } [A] [Fθ ] [H θ ][Fθ ][A]{ut } = = δ{us }[Gs t ]{ut } + δ{us } [Gs t ]{ut }, θ где s t [Gs t ] = [A] [Fij ] [H ijkl ][Fkl ][A], s t [Gs t ] = [A] [Fθ ] [H θ ][Fθ ][A]. θ Матрица жёсткости конечного элемента окончательно вычисляется по формуле s t s t [K s t ] = [A] [Fij ] [H ijkl ][Fkl ][A] + [A] [Fθ ] [H θ ][Fθ ][A]. В выражении (6) δW является вариацией энергии упругого деформирования, которая зависит от истории нагружения, но не зависит от закона изменения деформации во времени и служит основой формирования матрицы жёсткости конечных элементов [K s t ] для фиксированного момента времени t. Можно записать: V 2 2Gp0 g ik g jl δεkl (tn ) + Bp0 - Gp0 g ij δθ(tn ) 3 dV = = K s t (tn )us (tn )δut . (22) Величина δW ∗ в выражении (6) является наследственной составляющей матрицы жёсткости; её подынтегральное выражение представим в виде n-1 - m=0 1 Rm g ik g jl δεkl (tm ) - g ij δθ(tm ) 3 dV = n-1 Rm M s t (tm )us (tm ) δut . (23) =- m=0 Предполагая, что на тело действует только распределённая поверхностная нагрузка, которую можно свести к сосредоточенным силам в каждом 73 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о узле, и используя соотношения (22) и (23), вариацию потенциальной энергии можно записать в виде n-1 K st Rm M s t (tm )us (tm ) - F t (tn ) δut = 0. (tn )us (tn ) - m=0 Поскольку δut = 0, нулю должно равняться выражение в скобках, которое представляет собой линеаризованную систему разрешающих уравнений наследственной вязкоупругости: n-1 (n) K(n) u ¯ ¯ ¯ Pm + Q(n) , = (24) m=0 ¯ где u(n) = us (tn ) - вектор перемещений; Pm = Rm M s t (tm )us (tm ) - вектор ¯ дополнительной нагрузки, моделирующий вязкоупругое поведение пористой ¯ резины; Q(n) = F t (tn ) - вектор распределённых поверхностных нагрузок, действующих на момент времени tn . Решение системы (24) строится на основе модифицированного метода Ньютона-Канторовича для решения задачи вязкоупругости [18]. В общем виде теоретическое доказательство сходимости МСКЭ для степенного закона аппроксимации перемещений, в том числе и для предложенного выше, изложены в [20]. Построение матрицы жёсткости, рассмотренной выше, и итерационного алгоритма (24) реализовано в программном комплексе МIРЕЛА+ [22]. Исследование численной сходимости конечно-элементных схем и результаты расчётов. Исследуем сходимость решений, полученных численно при использовании УМСКЭ, путём сравнения их с аналитическим решением задачи Ляме в условиях вязкоупругого деформирования [23]. Рассмотрим напряжённо-деформированное состояние полого цилиндра из пористого материала в условиях вязкоупругого деформирования под внутренним давлением Q при жёстком защемлении по внешнему контуру. Пусть a - внутренний радиус, b - внешний радиус, r - полярный радиус, t - время. Аналитическая зависимость радиальных перемещений в условиях вязкоупругого поведения от упругих модулей пористого материала имеет следующий вид [18]: b2 u(t, r) = f (1 + λK ∗ (t)) r - , r где f =- Q , 2Bp0 + 2Gp0 (1/3 + b2 /a2 ) t K ∗ (t) = K(t - τ )dτ = 0 λ= Gp0 - Gp∞ 2Gp0 - Gp∞ Gp0 1/3 + b2 /a2 , Bp0 + Gp0 (1/3 + b2 /a2 ) 1 - exp - 2Gp0 - Gp∞ t Gp0 K(t - τ ) - разностное ядро ползучести для пористого материала. 74 ; Исследование напряженно-деформированного состояния . . . Сравним перемещения внутренней точки полого цилиндра, получаемые численно с использованием традиционного МКЭ и УМСКЭ, с аналитическим решением (см. таблицу) для следующих исходных данных: внутренний радиус a = 0.025 м, внешний радиус b = 0.1 м, модуль упругости Bp0 = = 64.567 × 106 Па, мгновенный модуль сдвига резины Gp0 = 1.3 × 106 Па, длительный модуль сдвига резины Gp∞ = 0.93 × 106 Па, коэффициент Пуассона ν = 0.49, внутреннее давление Q = 1.3 × 106 Па, пористость p = 0.4. Cходимость численных решений [The convergence of the numerical solutions] Размеры сетки [The mesh sizes] МКЭ [FEM] u, m УМСКЭ [RMFES] ε, % u, m ε, % 0.01882 0.01922 0.01939 0.01947 0.01951 3.9 1.9 0.98 0.6 0.4 Упругий случай [The elasticity] 3×3×3 5×5×3 7×7×3 9×9×3 11 × 11 × 3 Аналитическое решение [The analytical solution] 0.01631 0.01821 0.01887 0.01916 0.01930 16.7 7.1 3.6 2.2 1.5 0.019581 Вязкоупругость [The viscoelasticity], t = 1 sec 3×3×3 5×5×3 7×7×3 9×9×3 11 × 11 × 3 Аналитическое решение [The analytical solution] RMFES is the refined 0.01712 0.01942 0.02024 0.02059 0.02078 22.6 12.1 8.5 6.9 6.0 0.01998 0.02073 0.02092 0.02102 0.02107 9.6 6.2 5.3 4.9 4.7 0.022105 moment finite element scheme. Как видно из таблицы, УМСКЭ имеет устойчивую сходимость при сгущении сетки дискретизации и даёт предпочтительные результаты по сравнению с традиционным МКЭ, приближая их к аналитическим. Таким образом, предложенная конечно-элементная модель на основе УМСКЭ с тройной аппроксимацией компонент вектора перемещений, компонент тензора деформаций и функции изменения объема позволяет получать приемлемые результаты при расчёте конструкций из пористой резины в условиях вязкоупругого деформирования. Выполним расчёт для резинового слоя сейсмоопоры при следующих исходных данных: радиус R = 0.2 м, высота h = 0.12 м, h1 = h2 = 0.03 м, нагрузка P = 100 кН; модули упругости резины марки 51-1562 - G0 = 0.78 МПа, G∞ = 0.51 МПа; модули упругости резины марки 51-1714 - G0 = 2 МПа, G∞ = 1.1 МПа. Распределение перемещений u1 при различных значениях коэффициента Пуассона ν и распределение нормальных напряжений при коэффициенте Пуассона ν = 0.49 по высоте сплошного резинового слоя сейсмоопоры при Q = 0 представлены на рис. 4 и 5 соответственно. Зависимость перемещений u1 (t) и нормальных напряжений σ 11 (t) от вре75 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о Рис. 4. Распределение перемещений u1 по высоте резинового слоя сейсмоопоры для резины марки 51-1562 (1) и резины марки 51-1714 (2) при ν = 0.49 (штриховые линии), ν = 0.499 (штрих-пунктирные линии), ν = 0.49999 (сплошные линии); здесь Q = 0 [Figure 4. The distribution of displacements u1 along the height of the rubber layer of seismic bearing for 51-1562 rubber (1) and 51-1714 rubber (2) when ν = 0.49 (dashed lines), ν = 0.499 (dot-dashed lines), and ν = 0.49999 (solid lines); there is Q = 0] Рис. 5. Распределение нормальных напряжений σ ii по высоте резинового слоя сейсмоопоры: 1 - σ 11 , 2 - σ 22 , 3 - σ 33 ; здесь Q = 0 [Figure 5. The distribution of normal stresses σ ii along the height of the rubber layer of seismic bearing: 1 - σ 11 , 2 - σ 22 , 3 - σ 33 ; there is Q = 0] 76 Исследование напряженно-деформированного состояния . . . Рис. 6. Зависимость перемещений u1 от времени: 1 - сплошная резина марки 51-1562, 2 - сплошная резина марки 51-1714, 3 - пористая резина с пористостью p = 0.5, 4 - пористая резина с пористостью p = 0.55; здесь Q = 0.5P [Figure 6. The dependence of displacements u1 on time t: 1 - 51-1562 solid rubber, 2 - 51-1714 solid rubber, 3 - porous rubber with a porosity p = 0.5, 4 - porous rubber with a porosity p = 0.55; there is Q = 0.5P ] Рис. 7. Зависимость нормальных напряжений σ 11 от времени: 1 - сплошная резина марки 51-1562, 3 - пористая резина с пористостью p = 0.5, 4 - пористая резина с пористостью p = 0.55; здесь Q = 0.5P [Figure 7. The dependence of normal stresses σ ii on time t: 1 - 51-1562 solid rubber, 3 - porous rubber with a porosity p = 0.5, 4 - porous rubber with a porosity p = 0.55; there is Q = 0.5P ] 77 С. И. Г о м е н ю к, С. Н. Г р е б е н ю к, А. А. Б о в а, В. З. Ю р е ч к о мени при Q = 0.5P представлены на рис. 6 и 7 соответственно. Здесь 1 - сплошная резина марки 51-1562; 2 - сплошная резина марки 51-1714, 3 - пористая резина с пористостью p = 0.5, 4 - пористая резина с пористостью p = 0.55. Следует отметить, что осадка сплошной резинометаллической сейсмоопоры из резины марки 51-1562 практически совпадает с осадкой сейсмоопоры из резины марки 51-1714 с пористыми слоями (p = 0.50 ÷ 0.55). Таким образом, варьируя пористыми слоями и марками резины, можно получить ряд резинометаллических сейсмоопор с практически одинаковыми жесткостными свойствами. Выводы. В статье представлен численный подход к решению статической задачи упругости в трехмерной постановке для вибросейсмоопоры, выполненной из сплошной и комбинированной резины, на основе уточненной моментной схемы конечного элемента. С помощью предложенного метода получены основные параметры напряжённо-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры. При расчёте резинометаллической сейсмоопоры из сплошной резины продольная деформация снижается с увеличением коэффициента Пуассона (см. рис. 4). Сжимающие напряжения увеличиваются в середине конструкции и значительно ослабевают в месте приложения нагрузки (см. рис. 5). При расчёте резинометаллической сейсмоопоры из комбинированной резины в условиях вязкоупругого деформирования осадка верхней поверхности увеличивается на 10-11 % (см. рис. 6). Сжимающие напряжения в пористой резине слабо проявляют реологические свойства и увеличиваются на 7-10 % при увеличении пористости материала (см. рис. 7). Полученные результаты позволяют точнее судить о характере напряжённо-деформированного состояния резинометаллической сейсмоопоры.

About the authors

Sergej I Gomenjuk

Zaporizhzhya National University

Email: serega@znu.edu.ua
(Dr. Techn. Sci.), Professor, Dept. of Mathematic Modeling 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

Sergej N Grebenjuk

Zaporizhzhya National University

Email: gsm1212@ukr.net
(Cand. Techn. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

Anna A Bova

Zaporizhzhya National University

Email: bova-anna@mail.ru (A.A.Bova
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

Vasilij Z Jurechko

Zaporizhzhya National University

Email: iuriechko@i.ua
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

References

Supplementary files