Cauchy problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the forth order with nonmultiple characteristics

Abstract


We consider the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the forth order with nonmultiple characteristics. We generalize this problem from the similar Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the third order with nonmultiple characteristics which solution was constructed as an analogue of D'Alembert formula. We obtain the regular solution of the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the forth order with nonmultiple characteristics in an explicit form. This solution is also an analogue of D'Alembert formula. The existence and uniqueness theorem for the regular solution of the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the forth order with nonmultiple characteristics is formulated as the result of the research. In the paper we consider the Cauchy problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the forth order with nonmultiple characteristics.

Full Text

Введение. Известно, что в теории гиперболических уравнений основополагающую роль играет понятие характеристики. Краевые задачи для гиперболических уравнений и систем гиперболических уравнений третьего и более высокого порядка с некратными характеристиками в некоторых случаях удается решить без вспомогательных функций (функций Римана [1,2], Римана- Адамара). Теорема существования и единственности решения задачи Коши в действительном пространстве для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами была впервые доказана в 1901 г. Хольмгреном [3]. Для линейной системы с произвольно гладкими, но неаналитическими коэффициентами и для системы гиперболических уравнений высшего порядка теорема существования и единственности решения задачи Коши была доказана И. Г. Петровским [4]. В настоящей работе получено решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка в явном виде, аналогичном формуле Даламбера, а также приведена задача Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка. 1. Предварительные сведения. Ранее авторами [5] для гиперболического уравнения третьего порядка a0 uxxx + a1 uxxy + a2 uxyy + a3 uyyy = 0, (1) где a0 , a1 , a2 , a3 = 0 - некоторые действительные постоянные, с характеристиками y = λ1 x + C1 , y = λ2 x + C2 , y = λ3 x + C3 при λ1 + λ2 + λ3 = a1 /a0 , λ1 λ2 λ3 = a3 /a0 была рассмотрена задача Коши. Решением задачи Коши для уравнения (1) с условиями на нехарактеристической линии y = 0: u(x, y) y=0 x ∈ R, = α(x), ∂u = β(x), x ∈ R, ∂n y=0 ∂2u = γ(x), x ∈ R, ∂n2 y=0 где n = (0, 1) - нормаль к прямой l, является функция λ3 1 u(x, y) = 3 a1 λ1 - λ2 ( a0 - λ1 ) + 1 + λ3 1 3 - λ2 ( a1 - λ ) + λ1 1 1 a0 λ3 2 + 3 a1 λ2 - λ2 ( a0 - λ2 ) + 2 a3 a0 λ3 2 + 3 a1 λ2 - λ2 ( a0 - λ2 ) + 2 λ3 3 + 3 λ3 - λ2 ( a1 - λ3 ) + 3 a0 8 a3 a0 a3 a0 y a1 - λ 1 a0 α x- + λ1 a0 a3 a0 a3 a0 λ1 y x- λ 1 γ(t) x - 0 y a1 - λ 2 a0 α x- + λ2 a0 a3 a0 a3 a0 λ2 y x- λ 2 γ(t) x - 0 y a1 - λ 3 a0 α x- + λ3 a0 y x- λ 1 β(t)dt + 0 y - t dt + λ1 y x- λ 2 β(t)dt + 0 y - t dt + λ2 y x- λ 3 0 β(t)dt + Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа. . . λ3 3 + 3 a1 λ3 - λ2 ( a0 - λ3 ) + 3 a3 a0 a3 a0 λ 3 y x- λ 3 γ(t) x - 0 y - t dt . (2) λ3 Пусть y a1 - λa0 F (x, y, λ) = α x - + λ a0 y x- λ 0 a3 β(t)dt + a0 λ y x- λ γ(t) x - 0 y - t dt, λ тогда функция (2) из класса C 3 (R2 ) представима в виде 3 u(x, y) = k=1 λ3 k λ3 - λ2 ( a1 - λk ) + k k a0 a3 a0 F (x, y, λk ). (3) Полученную формулу (3) назвали аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка. В работе [5] приведено представление распространения начального отклонения, начальной скорости и начального ускорения некоторого колебательного процесса [6]. 2. Задача Коши для уравнения гиперболического типа четвертого порядка с некратными характеристиками. Рассмотрим дифференциальное уравнение гиперболического типа четвертого порядка в частных производных общего вида a0 uxxxx + a1 uxxxy + a2 uxxyy + a3 uxyyy + a4 uyyyy = 0, (4) где a0 , a1 , a2 , a3 , a4 - действительные ненулевые постоянные. Уравнение a0 λ4 - a1 λ3 + a2 λ - a3 λ + a4 = 0 является характеристическим для уравнения (4), а его интегралы - характеристиками. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет четыре различных действительных корня λ1 , λ2 , λ3 , λ4 = 0, тогда λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = - a1 , a0 λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ1 λ4 + λ2 λ3 + λ2 λ4 + λ3 λ4 = λ1 λ2 λ3 + λ1 λ2 λ4 + λ1 λ3 λ4 + λ2 λ3 λ4 = - a3 , a0 λ1 λ2 λ3 λ4 = a4 . a0 a2 , a0 Семейства линий y - λ1 x = C1 , y - λ2 x = C2 , y - λ3 x = C3 , y - λ4 x = C4 являются характеристиками уравнения (4), C1 , C2 , C3 , C4 ∈ R. Как известно [5, 7] общее решение уравнения (4) из класса четырежды непрерывно дифференцируемых функций C 4 (R2 ) представляется в виде u(x, y) = f1 (y - λ1 x) + f2 (y - λ2 x) + f3 (y - λ3 x) + f4 (y - λ4 x). Задача Коши. В плоскости R2 ≡ {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R} найти регулярное решение u(x, y) ∈ C 4 (R2 ) уравнения (4), удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии y = 0: u(x, y) y=0 = α(x), ∂u ∂n y=0 = β(x), ∂2u ∂n2 y=0 = γ(x), ∂3u ∂n3 y=0 = σ(x), (5) 9 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. где α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C 4 (R); n = (0, 1) - нормаль к нехарактеристической линии. Регулярным в плоскости R2 решением [8,9] задачи Коши (5) уравнения (4) будем называть функцию u(x, y) ∈ C 4 (R2 ), имеющую в плоскости все непрерывные частные производные, входящие в уравнение (4), и удовлетворяющую уравнению (4) и условиям задачи Коши (5) в обычном смысле. Ограничения на нехарактеристическую линию уравнения четвертого порядка такие же, как и для уравнения второго порядка: эта линия не может дважды пересекать любую характеристику из любого другого семейства [10, 11]. Определим функции f1 , f2 , f3 , f4 таким образом, чтобы удовлетворялись условия задачи Коши (5): f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = α(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = β(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = γ(x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = σ(x). Тогда получим - λ3 f1 (-λ1 x) - λ3 f2 (-λ2 x) - λ3 f3 (-λ3 x) - λ3 f4 (-λ4 x) = α (x), 1 2 3 4 λ2 f1 (-λ1 x) + λ2 f2 (-λ2 x) + λ2 f3 (-λ3 x) + λ2 f4 (-λ4 x) = β (x), 1 2 3 4 - λ1 f1 (-λ1 x) - λ2 f2 (-λ2 x) - λ3 f3 (-λ3 x) - λ4 f4 (-λ4 x) = γ (x), f1 (-λ1 x) + f2 (-λ2 x) + f3 (-λ3 x) + f4 (-λ4 x) = σ(x). После некоторых преобразований имеем fk (-λk x) = (-1)k a1 + λk a0 α (x) - β (x)- 4 a0 m=1, m=k (λk - λm ) a4 + λk a3 a4 - γ (x) + σ(x) , k = 1, 2, 3, 4. (6) a0 λk a0 λ2 k После интегрирования (6) получим λ2 y 2 y + k fk (0) x - + λk 2 λk y y α x- - α(0) - α (0) x - - λk λk fk (y - λk x) = fk (0) - λk fk (0) x - + (-1)k+1 λ3 k 4 m=1, m=k (λk - α (0) y x- 2 λk y x- λ k × 0 10 - λm ) (-1)k λ3 k 2 + 4 m=1, m=k (λk β(t)dt - β(0) x - a1 + a0 λk × a0 - λm ) y β (0) y - x- λk 2 λk 2 + Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа. . . + y x- λ (-1)k λ3 k a4 + a3 λk 4 a0 λ2 k m=1, m=k (λk - λm ) - γ(0) y x- 2 λk γ(t) x - 0 y - t dt- λ1 (-1)k+1 λ3 k 2 + 4 m=1, m=k (λk y x- λ a4 × - λm ) a0 λk σ(t) y -t x- 2 λ1 k × k 0 2 dt, k = 1, 2, 3, 4. (7) Подставляя в формулу общего решения найденные выражения (7) для функций fk , получим 4 u(x, y) = k=1 (-1)k+1 λ3 k 4 m=1, m=k (λk - λm ) F (x, y, λk ), (8) где y x- λ a1 + a0 λk y - F (x, y, λ) = α x - λ a0 a4 + a3 λ k - a0 λ 2 k k β(t)dt- 0 y x- λ k γ(t) x - 0 a4 + a0 λ k y - t dt+ λk y x- λ k 0 σ(t) y x- -t 2 λk 2 dt. Непосредственной подстановкой можно проверить, что формула (8) удовлетворяет уравнению (4) и условиям задачи Коши (5). Будем называть формулу (8) аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения четвертого порядка. Приведенные исследования позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема. Если α(x), β(x), γ(x), σ(x) ∈ C 4 (R), то существует единственное регулярное решение u(x, y) ∈ C 4 (R2 ) задачи Коши (5) уравнения (4), которое имеет вид (8). 3. Задача Коши для системы гиперболических уравнений четвертого порядка общего вида. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка общего вида с двумя независимыми переменными x, y ∈ R на плоскости, не содержащую производные порядка меньше четвертого, AUxxxx + BUxxxy + CUxxyy + DUxyyy + Uyyyy = 0, (9) где U (x, y) = (u1 (x, y), u2 (x, y)) - двумерная вектор-функция, A, B, C, D - постоянные квадратные матрицы второго порядка. Пусть матрицы A, B, C, D попарно коммутирующие [12, 13], тогда существует такая матрица T , что одновременно приводит матрицы A, B, C, D к диагональной форме: T -1 AT = ΛA , T -1 BT = ΛB , T -1 CT = ΛC , T -1 DT = ΛD . 11 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. Поскольку матрицы A, B, C, D коммутирующие, тоже можно сказать и о матрицах ΛA , ΛB , ΛC , ΛD , полученных преобразованием подобия [14]. Будем считать, что матрицы ΛA , ΛB , ΛC , ΛD имеют различные ненулевые действительные собственные значения. Задача Коши. Найти регулярное решение U (x, y) ∈ C 4 (R2 ) системы уравнений (9) в плоскости R2 , удовлетворяющее следующим условиям на нехарактеристической линии y = 0: U (x, 0) = S1 (x), ∂2U (x, 0) = S3 (x), ∂n2 ∂U (x, 0) = S2 (x), ∂n ∂3U (x, 0) = S4 (x), ∂n3 (10) где S1 (x), S2 (x), S3 (x), S4 (x) ∈ C 4 (R) - заданные вектор-функции, n = (0, 1) - нормаль к нехарактеристической линии. Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения выполнена замена U = T V, V (x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) при det T = 0 и совершен переход к системе вида ΛA Vxxxx + ΛB Vxxxy + ΛC Vxyyy + ΛD Vxyyy + Vyyyy = 0, или (11) 1 1 1 1 1 a1 vxxxx + b1 vxxxy + c1 vxxyy + d1 vxyyy + vyyyy = 0, 2 2 2 2 2 a2 vxxxx + b2 vxxxy + c2 vxxyy + d2 vxyyy + vyyyy = 0. Каждое характеристическое уравнение системы (11) имеет четыре различных ненулевых корня λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , µ1 , µ2 , µ3 , µ4 соответственно. Решение задачи Коши для каждого уравнения системы может быть получено в соответствии с приведенными выше исследованиями. Решение задачи Коши (10) для системы (9) может быть найдено в виде решения матричного уравнения U = T V .

About the authors

Aleksandr A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; andre01071948@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Julia O Yakovleva

Samara State University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; julia.yakovleva@mail.ru; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. Rieman B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Aus dem achten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860.) / Bernard Riemann’s Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass; eds. R. Dedekind, H. M. Weber. United States: BiblioLife, 2009. pp. 145-164 (In German). doi: 10.1017/cbo9781139568050.009.
  2. Ali Raeisian S. M. Effective Solution of Riemann Problem for Fifth Order Improperly Elliptic Equation on a Rectangle // AJCM, 2012. vol. 2, no. 4. pp. 282-286. doi: 10.4236/ajcm.2012.24038.
  3. Holmgren E. Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre deux variables indépendantes a caractéristiques réelles et distinetes // Arkiv f. Mat., Astr. och Fys., 1909.vol. 5, no. 1. 13 pp. (In Swedish)
  4. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. 500 с.
  5. Яковлева Ю. О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 1(26). С. 247-250. doi: 10.14498/vsgtu1028.
  6. Nikolov A., Popivanov N. Singular solutions to Protter’s problem for (3+1)-D degenerate wave equation (8-13 June 2012; Sozopol, Bulgaria) / AIP Conf. Proc., 1497, 2012. pp. 233-238. doi: 10.1063/1.4766790.
  7. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Ле Тхи Тху, Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик // Тр. Ин-та матем., 2010. Т. 18, № 2. С. 36-54.
  8. Яковлева Ю. О. Одна характеристическая задача для дифференциального гиперболического уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 3(28). С. 180-183. doi: 10.14498/vsgtu1108.
  9. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013. Т. 13, № 1(2). С. 3-6.
  10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  11. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.
  12. Bellman R. Introduction to matrix analysis: 2nd ed., Reprint of the 1970 Orig. / Classics in Applied Mathematics. vol. 19. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. xxviii+403 pp.
  13. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 31-36. doi: 10.14498/vsgtu1182.
  14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 8

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies