On one generalization of Bessel function

Abstract


In this paper the generalized Bessel function $J_{\mu ,\omega } ( x )$ is introduced. The function $J_{\mu ,\omega } ( x )$ is given as one solution of the following differential equation: $$ x^2{y}''+x{y}'+\left( {x-\mu ^2} \right)\left( {x+\omega ^2} \right)y=0, \quad \mu , \omega \notin \mathbb Z. $$ The representation of the $J_{\mu ,\omega } ( x )$ by the power series is given. The theorem on integral representations of the function $J_{\mu ,\omega } ( x )$ is established. The main properties of the function $J_{\mu ,\omega } ( x )$ are studied. The integral transforms of Bessel type with the function $J_{\mu ,\omega } ( x )$ is constructed. Formula of inversion of this transform is received.

Full Text

Введение. Среди многообразия специальных функций особо выделяются функции Бесселя в силу своих многочисленных замечательных приложений в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в физике, механике и др. (см., например библиографию в [1-9]). Функции Бесселя впервые возникли при рассмотрении задач о распостранении тепла в твердом круглом цилиндре, при исследовании колебаний растянутой круговой мембраны (работы Л. Эйлера), встречаются в работе Ж. Лагранжа по эллиптическим движениям. Систематическое изучение функций Бесселя начато Ф. Бесселем (1824 г.) в его научных работах. Теперь функции Бесселя используются при решении широкого класса краевых задач математической физики, механики сплошных сред, в теории интегральных преобразований, так как они часто возникают при решении задач как прикладной, так и теоретической математики, в теории специальных функций и других отраслях прикладного естествознания [9-14]. 1. Обобщенная функция Бесселя. Введем обобщенную функцию Бесселя Jµ,ω (x) как одно из решений следующего дифференциального уравнения: x2 y + xy + (x - µ2 )(x + ω 2 )y = 0, (1) © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования В и р ч е н к о Н. А., Ч е т в е р т а к М. А. Об одном обобщении функции Бесселя // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 16-21. doi: 10.14498/vsgtu1361. 16 Об одном обобщении функции Бесселя где µ, ω ∈ Z. / Заметим, что при µ2 = ω 2 = υ уравнение (1) является известным уравнением Бесселя [1]: x2 y + xy + (x2 - υ 2 )y = 0. Решение дифференциального уравнения (1) будем искать в виде ∞ Ck z k+ρ , y= C0 = 0, (2) k=0 где ρ - корень характеристического уравнения, Ck - некоторые аналитические функции при всех x. Подставив (2) в (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, получим следующую рекуррентную систему для определения Ck : (ρ + k)2 Ck + Ck-2 + (µ2 - ω 2 )Ck-1 = 0, C2m = - (ω 2 µ2 )C C2m-2 + - 2m-1 , 2 - µ2 ω 2 (ρ + 2m) k = 2, 3, . . . , m = 1, 2, . . . . (3) (4) После преобразования (2) с учетом Ck , найденных из (3), (4), получим y = Jµ,ω (x) = µ2 x 2 1 Γ µ2 +µω+2 · 1 F2 1; 2 µ2 - µω + 2 µ2 + µω + 2 x2 , ;- , (5) 2 2 4 где Γ(x) - гамма-функция [2], 1 F2 (a; c, d; x) - гипергеометрическая функция [15], определяемая следующим образом: ∞ 1 F2 (a; c, d; x) = n=0 (a)n xn , (c)n (d)n n! где (a)n - символ Похгаммера, определенный для x ∈ C и n ∈ N0 = N ∪ {0}: (a)0 = 1, (a)n = a(a + 1) . . . (a + n - 1), n ∈ N. Легко убедиться, что при µ2 = ω 2 = υ функция, определяемая формулой (5), совпадает с функцией Бесселя Jυ (x) [1]: Jυ (x) = x 2 υ x2 1 · 0 F1 υ + 1; - . Γ(υ + 1) 4 2. Интегральные представления функции Jµ,ω (x). Теорема (об интегральных представлениях функции Jµ,ω (x)). При условиях существования функции Jµ,ω (x) справедливы следующие интегральные представления: Jµ,ω (x) = µ2 + µω 2 1 1 exp -tτ 0 0 µ2 -µω µ2 +µω x2 (1 - t) 2 -1 (1 - τ ) 2 τ -1 dt dτ, (6) 4 17 В и р ч е н к о Н. А., Ч е т в е р т а к М. А. π π exp - sin2 φ sin θ Jµ,ω (x) = 2(µ2 + µω) 0 0 x2 2 (cos φ)µ +µω-1 × 4 2 +µω+1 × (cos θ)µ 1 1 exp -(1 - k 2 )(1 - l2 ) Jµ,ω (x) = 4 0 0 sin φ sin-1 θ dφ dθ, (7) x2 × 4 × kµ 2 +µω 2 -µω+1 lµ (1 - l2 )-1 dk dl. (8) Д о к а з а т е л ь с т в о формул (6)-(8) осуществляется при помощи соответствующих подстановок. Учитывая для гипергеометрической функции 1 F2 формулы 1 F2 (1; k+m+1, r; x) = (k+m)Γ(r)x √ 1-r Ir-1 (2 xt)t 2 (1 - t)k+m-1 dt, (9) 1 1-r 2 0 Γ(k + m + 1) 1 F2 (1; k + m + 1, r; x) = k!Γ(m) 1 m-1 (1 1 F2 (1; m, r; xt)t - t)k dt,(10) 0 где Ir-1 (x) - модифицированная функция Бесселя при x ∈ C, можно получить еще ряд представлений для Jµ,ω (x). Заметим, что формулы (9), (10) доказываются непосредственной проверкой. Используя представление функции Jµ,ω (x) в виде ряда Jµ,ω (x) = Γ µ2 - µω +1 × 2 ∞ (-1)n × n! Γ 1 µ2 -µω n=0 2 +n+1 Γ µ2 +µω 2 +n+1 x 2 2n+µ2 , получаем формулу для дифференцирования: d Jµ,ω (x) = A dx ∞ n=0 (-1)n (2n + µ2 ) x n! 2Γ(υ1 + n + 1)Γ(υ2 + n + 1) 2 2n+µ2 -1 , где υ1 = µ2 - µω , 2 υ2 = µ2 + µω , 2 µ2 = υ1 + υ2 , µ2 - µω +1 . 2 A=Γ 3. Обобщенное интегральное преобразование. Введем обобщенное интегральное преобразование типа Бесселя: ∞ Jµ,ω a; c, d; - Iµ,ω f (x) = 0 x2 t f (t) dt. 4 (11) Для простоты рассмотрим (11) в следующей форме: ∞ Jµ,ω (a; c, d; -xt)f (t)dt, Iµ,ω f (x) = 0 18 a, c, d ∈ C, Re a > 0. (12) Об одном обобщении функции Бесселя Легко заметить, что (12) - интегральное G-преобразование [17]: ∞ Gm,n p,q Gf (x) = 0 (ai )1,p (βj )1,q xt f (t)dt, где Gm,n - функция Мейера [16]: p,q Gm,n p,q (ai )1,p (βj )1,q z = 1 = 2πi m j=1 Γ (βj L p i=n+1 Γ (ai + s) + s) n i=1 Γ (1 - ai q j=m+1 Γ (1 - - s) βj - s) z -s ds. С помощью интегрального преобразования Меллина получаем формулу обращения для (12). Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть 0 < 1-υ < Re a, α0 = max[1-Re c, 1-Re d]. Если υ > α0 , Re λ > υ - 1, (1 - υ) + Re(a - c - d) = 0, f ∈ Lυ,2 , то имеет место следующая формула обращения: f (x) = x-λ d λ+1 x dx ∞ 0 G2,1 2,4 -λ, 1 - a c - 1, d - 1, 0, -λ - 1 xt 1 F2 f (t)dt.

About the authors

Nina A Virchenko

National Technical University of Ukraine “Kiev Polytechnic Institute”

Email: nvirchenko@hotmail.com
37, Peremogi st., Kiev, 03056, Ukraine
(Dr. Phys. & Math. Sci.; nvirchenko@hotmail.com), Professor, Dept. of Mathematical Analysis and Probability Theory

Maria O Chetvertak

National Technical University of Ukraine “Kiev Polytechnic Institute”

Email: chetvertakmaria.math@gmail.com
37, Peremogi st., Kiev, 03056, Ukraine
(chetvertakmaria.math@gmail.com; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis and Probability Theory

References

  1. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: University Press, 1922. vi+804 pp.
  2. Вирченко Н. А., Царенко В. Н. Дробные интегральные преобразования гипергеометрического типа. Киев: Ин-т матем. НАН Украины, 1995. 216 с.
  3. Волкодавов В. Ф., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: МГТУ им. Баумана, 1968. 228 с.
  4. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1986. 284 с.
  5. Диткин В. А., Прудников А. П. К теории операционного исчисления, порожденного уравнением Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963. Т. 3, № 2. С. 223-238.
  6. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971. 288 с.
  7. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.
  8. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. 320 с.
  9. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  10. Bonilla B., Kilbas A. A., Rivero M., Rodriguez L., Trujillo J. J. Modified Bessel-type function and solution of differential and integral equations // Indian J. Pure and Appl. Math., 2000. vol. 31, no. 1. pp. 93-109.
  11. Kalla S. L., Virchenko N., Tsarenko V. On some fractional order integral transforms generated by orthogonal polynomials // Applied Mathematics and Computation, 1998. vol. 91, no. 2-3. pp. 209-219. doi: 10.1016/s0096-3003(97)10019-4.
  12. Khajan N. G. A modified finite Hankel transforms // Integral Transforms and Special Functions, 2003. vol. 14, no. 5. pp. 403-412. doi: 10.1080/10652460310001600654.
  13. Virchenko N., Kalla S. L., Zaikina S. On some generalized integral transforms // Hadronic J., 2009. vol. 32, no. 5. pp. 539-548.
  14. Virchenko N. On one effective method of solving of mixed boundary value problems / Abstracts of International Congress of Mathematicians. Zurich, 1994. pp. 224.
  15. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. 1 / Bateman Manuscript Project. New York: McGraw-Hill Book Co., 1953. xxvi+302 pp.
  16. Kilbas A. A., Saigo M. H-Transforms. Theory and Applications / Analytical Methods and Special Functions. Boca, Raton, etc.: CRC Press, 2004. doi: 10.1201/9780203487372.
  17. Вирченко Н. А. Об интегральном преобразовании с обобщенной функцией гипергеометрического типа / Труды Двенадцатой межвузовской конференции (29-31 мая 2002 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2002. С. 125.

Statistics

Views

Abstract - 25

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies