On a class of nonlocal problems for hyperbolic equations with degeneration of type and order

Abstract


Nonlocal problems for the second order hyperbolic model equation were studied in the characteristic area. The type and order of equations degenerate on the same line $y = 0$. Nonlocal condition is given by means of fractional integro-differentiation of arbitrary order on the boundary. Nonlocal condition connects fractional derivatives and integrals of the desired solution. For different values of order operators of fractional integro-differentiation within the boundary condition the unique solvability of the considered problems was proved or non-uniqueness of the solution was estimated.

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение y 2m uxx + y uyy + αuy = 0, где m - натуральное число, α = const, (1 - 2m)/2 ограниченной характеристиками AC : x - 2m+1 2 (-y) 2 = 0, 2m + 1 BC : x + α < 1 в области Ω, 2m+1 2 (-y) 2 = 1 2m + 1 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 22-32. doi: 10.14498/vsgtu1348. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 22 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . уравнения (1) и отрезком I ≡ [0, 1] прямой y = 0, A(0, 0), B(1, 0). Задача. Найти регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω ∪ I), удовлетворяющее условиям u(x, 0) = τ (x) a A(x)D0x u[Θ0 (x)] + ∀x ∈ I, b B(x)Dx1 u[Θ1 (x)] (2) = C(x) ∀x ∈ I. (3) Здесь τ (x), A(x), B(x), C(x) - заданные функции, причём A2 (x) + B 2 (x) = 0; Θ0 (x), Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих α1 из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, BC соответственно; D0x f, α1 Dx1 f - операторы дробного интегрирования порядка (-α1 ) при α1 < 0 и обобщённые производные в смысле Лиувилля порядка α1 > 0 [2, с. 7, 8]; a и b действительные числа, на которые далее будут наложены необходимые условия. Уравнение (1) служит моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождается на одном и том же (n-1)-мерном континууме [3, с. 274]. Задача (1)-(3) является нелокальной (задачей со смещением по терминологии А. М. Нахушева [4]). Её исследование связано с прикладным характером задач, возникающих, например, при изучении вопросов тепло- и массообмена в капиллярно-пористых средах. В монографии [5] широко представлено значение теории дробного интегро-дифференцирования при исследовании нелокальных краевых задач и её проникновение в современную физику. О возникновении таких задач, их использовании в физике, биологии, математическом моделировании можно узнать, например, в работах [6-8]. Ранее в работе [9] нами была исследована задача с обобщёнными операторами дробного интегро-дифференцирования (в смысле М. Сайго) для вырождающегося гиперболического уравнения. Данная работа является продолжением и обобщением результатов работы [9] для уравнения (1). В случае α = 1/2 - m, a = b = 1 - β, β= 2m - 1 + 2α 2(2m + 1) существование и единственность решения задачи (1)-(3) доказаны А. В. Бицадзе [10]. 1. Условия однозначной разрешимости задачи. Теорема 1. Пусть b = 1 - β, a 1 - β, B(x) = 0, τ (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), A(x), B(x), C(x) ∈ C 1 (I). Тогда решение задачи (1)-(3) существует и единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. При (1 - 2m)/2 < α < 1 регулярное в области Ω решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям u(x,0) = τ (x), x ∈ I, lim (-y)α uy = ν(x), x ∈ I, y→-0 в предположении, что τ (x) и ν (x) удовлетворяют условию Гёльдера, единственно и имеет вид [3, с. 277] 23 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. 2m+1 2(1 - 2t) Γ(2β) 1 τ x+ (-y) 2 [t(1 - t)]β-1 dt- 2 (β) Γ 2m + 1 0 1 2m+1 2 Γ(1 - 2β) 2(1 - 2t) - ν x+ (-y)1-α (-y) 2 [t(1 - t)]-β dt. (5) 2 (1 - β) 2m + 1 Γ 2m + 1 0 u(x, y) = Используя формулу (5), находим -β β-1 u[Θ0 (x)] = k1 x1-2β D0x xβ-1 τ (x) + k2 D0x x-β ν(x), -β β-1 u[Θ1 (x)] = k1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x) + k2 Dx1 (1 - x)-β ν(x), (6) где k1 = Γ(2β) , Γ(β) k2 = - Γ(1 - 2β) 2m + 1 2Γ(1 - β) 4 -2β . Подставляя (6) в краевое условие (3), учитывая свойства операторов дробного интегро-дифференцирования [11, с. 50, 51] -l -l l l D0x D0x f (x) = Dx1 Dx1 f (x) = f (x), l+m l m D0x D0x f (x) = D0x f (x), l+m l m Dx1 Dx1 f (x) = Dx1 f (x), l > 0, m < 0 при выполнении условий теоремы 1, получим a+β-1 -β k2 B(x)(1 - x)-β ν(x) + k2 A(x)D0x x ν(x) = γ(x), (7) где -β a γ(x) = C(x) - k1 A(x)D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x)- -β 1-β - k1 B(x)Dx1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x). Или, что то же самое, при a < 1 - β x ν(x) + a1 (x) 0 t-β ν(t)dt = f1 (x), (x - t)a+β где a1 (x) = A(x) (1 - x)β , B(x) f1 (x) = γ(x) (1 - x)β . k2 B(x) Исследуем правую часть f1 (x) уравнения (8). Воспользуемся формулой композиции для операторов дробного интегродифференцирования, доказанной в [12], 1-β -β 1-2β I1 (x) = Dx1 (1 - x)1-2β Dx1 (1 - x)β-1 τ (x) = (1 - x)-β Dx1 τ (x). Рассмотрим два случая изменения параметра a: 1) a 0, 2) 0 < a 1 - β. 24 (10) Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . Исследуем -β a I2 (x) = D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x). (11) В результате ряда преобразований (11) примет вид I2 (x) = Γ(β - a)x-a Γ2 (β)Γ2 (-a) 1 0 (1 - z)β-1-a τ (xz) F (2β - 1, -a; β - a; 1 - z)dz. (12) z 1-β При a < 0 в силу (9), (10), (11), (12) и условий теоремы 1 (1 - x)β I1 (x) ∈ C[0,1), а при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - 2β; (1 - x)β I2 (x) ∈ C(I), а при x = 0 и x = 1 обращается в ноль. При a = 0 (1 - x)β 1 τ (xz)dz (1 - x)β I2 (x) = . 1-β Γ(β) 0 [z(1 - z)] Следовательно, (1 - x)β I2 (x) ∈ C(I). Рассмотрим случай, когда 0 < a 1 - β. Так как параметр a в I1 (x) ∗ отсутствует, исследуем только I2 (x) = (1 - x)β I2 (x): ∗ I2 (x) = (1 - x)β d Γ(β)Γ(1 - a) dx x 0 t1-β dt (x - t)a t 0 ξ β-1 τ (ξ)dξ . (t - ξ)1-β Поменяв порядок интегрирования, а затем продифференцировав, будем иметь ∗ I2 (x) = (1 - x)β Γ(1 - a + β) 1 0 (1 - a)x-a τ (xz) + x1-a zτ (xz) × z 1-β (1 - z)a-β × F (2β - 1, 1 - a; 1 - a + β; 1 - z)dz. Поскольку a 1 - β, справедливы неравенства a - β 1 - 2β, 0 < 1 - ∗ - 2β < 1. Следовательно, I2 (x) ∈ C(0, 1] и при x = 0 может обращаться в бесконечность порядка a. Таким образом, при выполнении условий теоремы 1 вопрос существования решения задачи (1)-(3) редуцирован к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре x ν(x) + 0 a1 (x)ν(t)dt = f1 (x), tβ (x - t)a+β где f1 (x) ∈ C 1 (I) и при x = 0 может обращаться в бесконечность порядка a, если 0 < a < 1 - β, а при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - 2β. Единственное решение уравнения (13) может быть построено методом последовательных приближений. Замечание. Если a = 1 - β, то из (7) сразу находим ν(x) = γ(x) k2 [(1 - x)-β B(x) + x-β A(x)] и решение u(x, y) записываем по формуле (5). 25 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. 2. Случаи неединственности решения задачи. Теорема 2. Пусть выполнены условия b = 1 - β, 1 - β < a 2 - β; ν(x) = xa+2β-2 ν1 (x), ν1 (0) = 0, ν1 (x) ∈ C 1 (I); τ (x) = xσ τ1 (x), σ a, 2 (I) ∩ C 4 (I); B(x) = (1 - x)β b (x); A(x), b (x) ∈ C(I) ∩ C 1 (I); τ1 (x) ∈ C 2 2 A(x) · b2 (x) = 0 ∀x ∈ I. Тогда задача (1)-(3) имеет более одного решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим случай, когда b = 1 - β, a = 2 - β. Из (7) при A(x) = 0 имеем ν (x) + B(x) x A(x) 1 - x β - xβ γ(x) β ν(x) = . x k2 A(x) Уравнение (14) является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и решение его, содержащее произвольную постоянную, можно выписать согласно общей теории. В силу этого решение задачи (1)-(3) не единственно. Теперь рассмотрим случай, когда b = 1 - β, 1 - β < a < 2 - β, A(x) = 0. С учетом условий теоремы 2 уравнение (7) принимает вид b2 (x)ν(x) + a2 (x) d dx x 0 t-β ν(t)dt 1 = γ(x), a+β-1 k2 (x - t) где a2 (x) = A(x) . Γ(2 - a - β) Исследуем гладкость γ(x) - правой части уравнения (15). Нетрудно показать, что 1-2β I1 (x) = (1 - x)-β Dx1 τ (x) = = (1 - x)-β 1 τ (1) - Γ(2β) Γ(2β)(1 - x)1-2β 1 x τ (t)dt ; (t - x)1-2β d2 a-2 1-2β -β β-1 D x D0x x τ (x) = dx2 0x τ (xz) F (2β-1, 2-a; 2-a+β; 1-z)dz. 1-β (1 - z)a-β+1 z -β a I2 (x) = D0x x1-2β D0x xβ-1 τ (x) = = d2 2-a 1 x Γ(2 - a + β) dx2 1 0 Дифференцируя дважды I2 (x), в результате несложных преобразований с учетом условий теоремы 2 можно заключить, что I1 (x) ∈ C[0,1) ∩ C 1 (I) и при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - β, I2 (x) ∈ C(I) ∩ C (1,µ) (I), 0 < µ 1. Итак, правая часть уравнения (15) γ(x) ∈ C[0,1)∩C 1 (I) и при x = 1 может обращаться в бесконечность порядка 1 - β. 26 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . Для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что однородное уравнение, соответствующее (15), b2 (x)ν(x) + a2 (x) x d dx 0 t-β ν(t)dt =0 (x - t)a+β-1 имеет нетривиальное решение. Аналогично [9] введем новую неизвестную функцию x ϕ(x) = 0 t-β ν(t)dt (x - t)a+β-1 и применим формулу обращения f (x) = x sin(πµ) d π dx 0 F (t)dt (x - t)1-µ интегрального уравнения Абеля [11, с. 38, 39] x 0 f (t)dt = F (x), (x - t)µ 0<µ<1 к уравнению (17). В результате получим ν(x) = xβ sin(π[a + β - 1]) d π dx x 0 ϕ(t)dt . (x - t)2-a-β Подставляя ν(x) в (16), после преобразований будем иметь a2 (x) xβ-1 b2 (x) sin(π[a + β - 1]) d ϕ(x) + × dx π x ϕ(z)dz × (a + β - 1) + (x - z)2-a-β 0 x 0 zϕ (z)dz = 0. (19) (x - z)2-a-β Из (17) с учетом условий теоремы 2 следует 1 z a+β-2 (1 - z)1-β-a ν1 (xz)dz ϕ(x) = 0 и ϕ(0) = B(a + β - 1, 2 - β - a)ν1 (0) = c0 = const = 0. Обозначив ψ(x) = d ϕ(x), dx будем иметь (20) x ϕ(x) = c0 + ψ(t)dt. (21) 0 27 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Подставляя (20) и (21) в (19), после некоторых преобразований получим x ψ(x) + a∗ (x) 0 ψ(t)dt = xa+2β-2 h(x), (x - t)2-a-β (22) где a∗ (x) = sin(π[a + β - 1])xβ b2 (x) , πa2 (x) h(x) = - c0 sin(π[a + β - 1])xa+2β-2 b2 (x) . πa2 (x) Уравнение (22) - уравнение Вольтерра второго рода. Методом последовательных приближений можно показать, что оно имеет решение в классе функций ψ(x) = xa+2β-2 ψ1 (x), где ψ1 (x) ∈ C(I) ∩ C 2 (I). Следовательно, существует нетривиальное решение уравнения (22) и делается заключении о неединственности решения задачи (1)-(3). Докажем существование решения задачи. Уравнение (15), с учетом замен (17) и (20), примет вид x ψ(x) + 0 k(x, a)ψ(t)dt = f2 (x), (x - t)2-a-β (23) где k(x, a) = a∗ (x), f2 (x) = h(x)xa+2β-2 + γ(x) . k2 a2 (x) Учитывая условия теоремы 2 и проведенные вычисления, заметим, что f2 (x) представимо в виде f2 (x) = xa+2β-2 (1 - x)β-1 f2 (x), где f2 (x) ∈ C(I). Уравнение (23) - уравнение Вольтерра второго рода. Оно имеет нетривиальное решение в классе функций, к которому принадлежит правая часть f2 (x). По найденному ψ(x) определяется ϕ(x) из (21) и ν(x) из (18), а следовательно, и решение задачи (1))-(3) по формуле (5). Далее регулярным решением уравнения (1) в области Ω назовем функцию u(x, y) ∈ C(I) ∩ C 2 (Ω), удовлетворяющую уравнению (1) и такую, что uy (x, 0) = xa+2β-2 ν1 (x), а ν1 (x) - достаточное число раз дифференцируемая функция в некоторой окрестности (0, δ) точки x = 0 и ν1 (0) = 0. Теорема 3. Пусть b = 1 - β, 1 - β + k < a < 2 - β + k, k = 1, 2, . . . ; τ (x) = xσ τ1 (x), σ a, τ1 (x) ∈ C k+1 (I); B(x) = x(1 - x)1-β b3 (x), A(x), b3 (x) ∈ C(I), A(x)b3 (x) = 0 ∀x ∈ I. Тогда задача (1)-(3) имеет бесчисленное множество линейно независимых регулярных решений. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что теорема 3 справедлива при k = 1. В этом случае уравнение (7) примет вид x(1 - x)1-2β b3 (x) + a3 (x) 28 d2 dx2 x 0 t-β ν(t)dt = γ(x), (x - t)a+β-2 Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения . . . где a3 (x) = Γ(3 - a - β)A(x). Для доказательства теоремы 3 достаточно показать, что соответствующее (24) однородное уравнение имеет нетривиальное решение. Как и ранее, обозначая x ϕ(x) = 0 t-β ν(t)dt (x - t)a+β-2 и применяя формулу обращения интегрального уравнения Абеля, получим a3 (x) sin(π[a + β - 2]) d2 ϕ(x) + xβ (1 - x)1-2β b3 (x)× dx2 π x x ϕ(t)dt tϕ (t)dt × (a + β - 2) + = 0. (26) 3-a-β 3-a-β 0 (x - t) 0 (x - t) Из (25) легко видеть, что ϕ(0) = 0, ϕ (0) = B(a + β - 1, 3 - a - β)ν1 (0) = c1 = 0. Пологая d2 ϕ(x) = ψ(x) dx2 и интегрируя дважды, будем иметь x (x - ξ)ψ(ξ)dξ + c1 x, ϕ(x) = c1 = const. (27) 0 Пусть a3 (x) = 0. Учитывая (27), уравнению (26) можно придать вид x ψ(x) + ψ(ξ)K1 (x, ξ)dξ = γ1 (x), 0 где K1 (x, ξ) = γ1 (x) = - sin(π[a + β - 2]) b3 (x) 1+β x (1 - x)1-2β , π(a + β - 2) a3 (x) sin(π[a + β - 2]) b3 (x) a+2β-1 x (1 - x)1-2β . π a3 (x) Так как 2 - β - a < 0, уравнение (28) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с ядром K1 (x, ξ) ∈ C(I × I) и непрерывной правой частью γ1 (x). Известно [13], что уравнение (28) имеет на I единственное непрерывное решение, которое определяется по формуле x ψ(x) = γ1 (x) + R(x, t)γ1 (t)dt, 0 где R(x, t) - резольвента ядра K1 (x, t). 29 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. Следовательно, при k = 1 решение задачи (1)-(3) не единственно. Для доказательства существования решения задачи вернемся к уравнению (24) и, проделывая те же вычисления, получим уравнение Вольтерра второго рода x γ(x) ψ(x) + ψ(ξ)K1 (x, ξ)dξ = γ1 (x) + a3 (x) 0 с непрерывным ядром и непрерывной правой частью, которое имеет единственное непрерывное решение в классе непрерывных функций. Применяя метод математической индукции, аналогично [9], можно доказать теорему 3, если k - 1 < a + β - 1 < k. Принадлежность ν(x) классу C 1 (I) обеспечивается гладкостью известных функций. Нетрудно доказать справедливость следующего утверждения. Теорема 4. Если a = n+1-β, b = 1-β, n = 1, 2, . . . ; B(x) = (1 - x)1-β b(x), n + 1 - β, A(x), b(x), γ(x) ∈ C(I), A(x) = 0 ∀x ∈ I; τ (x) = xσ τ1 (x), σ τ1 (x) ∈ C n+1 (I), где n - целая часть a, то при ν1 (0) = 0 задача (1)-(3) имеет более одного регулярного решения. Таким образом, установлены промежутки изменения порядков операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, входящих в краевое условие и связанных с параметрами рассматриваемого уравнения, при которых исследуемые задачи либо однозначно разрешимы, либо доказана неединственность их решений.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation (Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

Svetlana K Kumykova

Kabardino-Balkarian State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru
173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.; bsk@rect.kbsu.ru), Associate Professor, Dept. of Function Theory

References

  1. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одном классе нелокальных задач для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 299.
  2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  4. Нахушев А. М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Диффер. уравн., 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
  5. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  6. Mainardi F. Fractional Calculus / Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics / International Centre for Mechanical Sciences, 378; eds. A. Carpinteri, F. Mainardi. Wien: Springer, 1997. pp. 291-348. doi: 10.1007/978-3-7091-2664-6_7.
  7. Nigmatulin R. R. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Physica Status Solidi (B), 1986. vol. 133, no. 1. pp. 425-430. doi: 10.1002/pssb.2221330150.
  8. Saichev A. I., Zaslavsky G. M. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos, 1997. vol. 7, no. 4. pp. 753-764. doi: 10.1063/1.166272.
  9. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования произвольного порядка // Изв. вузов. Матем., 2012. № 12. С. 59-71.
  10. Бицадзе А. В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа / Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа: cб. тр., посвящ. 80-летию Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1972. С. 48-52.
  11. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  12. Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1974. Т. 10, № 1. С. 78-88.
  13. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Иностр. литер., 1960. 299 с.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies