A longitudinal stability of a ribbed cover in a multimodulus elastic medium

Abstract


The stability of a longitudinal compressed hinge-supported cylindrical cover stiffened by stringers and located on the border of two Winkler’s ambiences is considered. The derivation of the equations was carried out under the assumptions: using a simplified theory of Donnell-Vlasov, axisymmetric deformation of a cover, only normal load acts on the shell. The problem is solved using a combined exhaustive search algorithm. This method includes full and local search of variants to search a form deflection and a critical force. Full search of variants is required to construct a form deflection of a shell. Local search of variants is necessary to clarify a critical force. As a result of numerical experiments we found out that increasing the number of stringers reinforces the shell. These results are consistent with the results obtained in the other works.

Full Text

Введение. В работе [1] описана так называемая деформационная теория ребристых оболочек, главная особенность которой заключается в том, что в ней впервые наряду с реактивной силой учтён реактивный момент от ребра жёсткости. Названная теория подробно изложена в монографии [2]. В частности, уравнения статики конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки, получаемые путём «размазывания» регулярной системы стрингеров, ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а, “Продольная устойчивость ребристой оболочки в разномодульной упругой среде” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 89-95. 89 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а имеют вид  ∂ 2 u1 -Ct 2   ∂ξ   4w 4w 3u  1  Kν ∂ Kt ∂ Kt ∂ 2  2  c0 Lu = -R q +  2 + 2 2 2 - 2 2 . l  R ∂ξ 4 R ∂ξ ∂ϕ R ∂ξ ∂ϕ    Kn ∂ 4 u2 R2 ∂ξ 4  (1) Здесь первая строка уравнения представляет собой матричную запись уравнений статики цилиндрической оболочки в смещениях; Kν , Kn - жёсткости стрингера при изгибе соответственно в нормальной плоскости и из этой плоскости; Kt - жёсткость при кручении; Ct - жёсткость стрингера при растяжении (сжатии); q1 , q2 , qn - нагрузка; l - расстояние между соседними стрингерами по дуге поперечного сечения; ξ = x/R; ϕ = y/R; R - радиус оболочки. Будем рассматривать оболочку, расположенную на границе двух винклеровских сред различной жёсткости. Примем следующие допущения: i) для расчёта оболочек без рёбер допустимо использовать упрощённую теорию Доннела-Власова [3, табл. 13.2, форм. (13.18с)]; ii) конструктивно ортотропная оболочка испытывает осесимметричную деформацию, т. е. ∂f /∂ϕ = 0 для любой функции f ; iii) стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, т. е. Kn ∂ 4 u2 ∂ 2 u1 = 0; Ct 2 = 2 ∂ξ R ∂ξ 4 iv) на оболочку действует лишь нормальная нагрузка, т. е. q1 = q2 = 0. Тогда уравнению (1) можно придать вид     u1 2 R 0 Eh 0 , c0 = A u2  = , (2) c0 q 1 - ν2 w n где     A=    d2 () dξ 2 0 -ν 0 1 - ν d2 () 2 dξ 2 d() dξ 0  d() -ν dξ    , 0    a33 a33 = (1 - ν 2 )J 1 h2 + 12 R2 lhR2 d4 () + I, dξ 4 I - тождественный оператор, J - момент инерции поперечного сечения стержня, h - толщина неподкреплённой оболочки, E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона материала ребристой оболочки. Для получения из системы (2) соответствующего уравнения относительно функции прогиба воспользуемся операторным методом [4]. «Детерминант» матрицы A имеет вид det A = 90 1 - ν h2 (1 - ν 2 )J d8 () 1 - ν d4 () + + (1 - ν 2 ) 4 . 2 12R2 lhR2 dξ 8 2 dξ Продольная устойчивость ребристой оболочки . . . Заменяя в матрице A последний столбец правой частью уравнения (2) и вычисляя «детерминант» так составленной матрицы, получим det Aw = 1 - ν R2 d4 qn . 2 c0 dξ 4 Применяя формально правило Крамера, можно записать w = det Aw /det A или (det A)w = det Aw . Последнее равенство после элементарных преобразований представляет искомое уравнение в виде 1+ EJ d4 w R4 + 4b4 w = qn , ld0 dξ 4 d0 (3) где 4b4 = 12(1 - ν 2 ) R2 , h2 d0 = Eh3 . 12(1 - ν 2 ) Представим нормальную нагрузку в виде суммы qn = qn + qn . (4) В условиях наличия внутри и вне оболочки винклеровых сред различной жёсткости c1 , c2 соответственно, следуя [5], можно записать qn = -c1 w+ - - c2 w- . Кроме этого, при рассмотрении продольной устойчивости цилиндрической оболочки от действия сжимающих усилий T0 следует положить [3] qn = - T0 d2 w . R2 dξ 2 Выполним замену ˜ πR ξ = πR x = πx ∈ [0, π], ξ= L L R L где L - длина оболочки, и подставим соотношения (4) в уравнение (3), сохра˜ нив за новой переменной ξ прежнее обозначение ξ, окончательно получим (1 + α) d4 w d2 w + 4β 4 w + λ 2 + k1 w+ + k2 w- = 0. dξ 4 dξ (5) Здесь α= EJ T0 L2 12(1 - ν 2 )L4 Eh3 ci L4 , λ = 2 , 4β 4 = , d0 = , ki = 4 , ld0 π d0 π 4 R 2 h2 12(1 - ν 2 ) π d0 (6) где T0 - сжимающие усилия. Обратим внимание, что параметр λ зависит от сжимающих усилий T0 . 1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5): (1 + α)wIV + 4β 4 w + k1 w+ + k2 w- = -λw (7) 91 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а и найдём минимальное значение λ, соответствующее минимальной нагрузке, при котором краевая задача с граничными условиями шарнирного опирания w(0) = w(π) = 0; w (0) = w (π) = 0 имеет нетривиальное решение. Проинтегрируем по частям функционал, образованный уравнением (7), умноженный на w(ξ). Имеем π w- 2 dξ = w+ 2 dξ + k2 w2 dξ + k1 0 0 0 0 π π π 2 w dξ + 4β 4 (1 + α) π 2 w dξ. (8) =λ 0 Заменим формулу (8) приближённой с использованием дискретного представления функции w, задаваемой её значениями на равномерной сетке, т. е. wi = w(xi ), i = 0, 1, . . . , n. Аппроксимируем производные конечно-разностными схемами wi = wi+1 - wi-1 ; 2h wi = wi+1 - 2wi + wi-1 . h2 Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле трапеций: π f (ξ)dξ = 0 π n f (ξ0 ) f (ξn ) + f (ξ1 ) + f (ξ2 ) + ... + f (ξn-1 ) + 2 2 . Значения срезок функции в узлах сетки представляем формулами w+ (ξi ) = bi wi , w- (ξi ) = (1 - bi )wi , bi = 1, wi > 0, 0, wi 0. Граничные условия шарнирного опирания аппроксимируем формулами w-1 = wn+1 = 0, w0 = w1 /2, wn = wn-1 /2. После преобразования уравнение (7) примет вид Aw + C w = λQw. ˜ ˜ ˜ Таким образом, необходимое условие минимума функционала имеет вид Aw + C w - λQw = 0, ˜ ˜ ˜ где матрицы A, Q - пятидиагональные:  3.25 -3.5 1  -3.5 6 -4 1   1 -4 6 -4 1 1+α . . . . . A=  h3  1 -4 6 -4 1   1 -4 6 -3.5 1 -3.5 3.25 92      ;    Продольная устойчивость ребристой оболочки . . .  2.75 -0.5 -1  -0.5 2 0 -1   -1 0 2 0 -1 1  . . . . . Q=  4h  -1 0 2 0 -1   -1 0 2 -0.5 -1 -0.5 2.75      ;    C = diag k1 bi + k2 (1 - bi ) + 4β 4 h. 2. Комбинированный алгоритм. Для решения задачи будем использовать комбинированный алгоритм, который включает в себя применение на первой стадии алгоритма полного перебора вариантов (ППВ), а на последующих - локального перебора вариантов (ЛПВ) [6]. Для построения части собственного спектра уравнения применяется алгоритм ППВ форм изгиба, который заключается в следующем: i) перебираются все 2m-1 возможных представления вектора формы b = [b1 , b2 , . . . , bm-1 ] ; ii) для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения; iii) запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы. В процессе применения алгоритма ППВ получаем качественно адекватную форму, то есть собственную форму, имеющую устойчивый с ростом m вид графика. После этого будем применять алгоритм ЛПВ, используя в качестве приближения полученную качественно адекватную форму: j) последовательно удваиваем число узлов сетки путём деления интервалов пополам; jj) осуществляем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме; jjj) процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой точностью. Проблема нахождения собственных пар для каждого вектора формы решалась с использованием QR-алгоритма, описанного в [8]. Исходная задача Aw + C w - λQw = 0 ˜ ˜ ˜ приводится к виду Q-1 (A + C)w = λw. ˜ ˜ ˜ ˜ Введём следующее обозначение A = Q-1 (A + C). Здесь A - симметричная положительно определённая матрица, значит, она имеет вещественные собственные числа. В соответствии с теоремами 3.2.20 и 3.2.46 из [7] реализуется следующий итерационный процесс: ˜ ˜ 1) A0 = A; ˜ ˜ 2) Q(k) R(k) = A(k-1) A(k) = R(k) Q(k) . 93 А. Ю. К о р а б л е в, Е. И. М и х а й л о в с к и й, Е. В. Т у л у б е н с к а я, Н. А. Б е л я е в а Все полученные матрицы Q(i) перемножаются. В результате столбцы полученной матрицы будут представлять собой собственные векторы, а на диаго˜ нали последней матрицы A(k) будут находиться собственные числа. Таким образом с использованием QR-алгоритма на каждом шаге комбинированного алгоритма возможно эффективное отыскание собственных пар. 3. Численное решение. Применим комбинированный «ППВ+ЛПВ»-алгоритм (ППВ при n = 6, ЛПВ при n = 24) при k1 = 16 и k2 = 18. Значения параметра α будем изменять в пределах от 0 до 90. Зафиксируем значение параметра 4β 4 = 43.68 и согласно формуле (6) получим следующие значения. α λ 0 17.5 10 61.7 30 91.9 50 112.1 70 132.3 90 152.5 Из полученных значений видно, что при увеличении параметра α (α = 0 - оболочка, не подкреплённая стрингерами) прочность оболочки повышается, т. к. увеличивается значение λ, а значит, и значение первой критической силы. Фиксируя значения L и ν, получаем зависимость λ от h/R и α. На рисунке приведены графики зависимости λ от h/R при α = 10, 50 и 90 (L = 200 см, ν = 0.3). Заключение. В результате проведённого численного эксперимента видно, что при увеличении параметра α и при уменьшении h/R значение λ увеличивается, в результате чего повышается прочность оболочки. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в статье [6].

About the authors

Anatoly Yu Korablev

Syktyvkar State University

Email: astroori@mail.ru
55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics

Eugeny I Mikhailovsky

Syktyvkar State University

55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation
(12.07.1937-11.07.2013) (Dr. Phys. & Math. Sci.)

Elena V Tulubenskaya

Syktyvkar State University

Email: vetamile@rambler.ru
55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics

Nadezhda A Belyaeva

Syktyvkar State University

Email: belyayevana@mail.ru
55, Oktyabr'skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics

References

  1. Е. И. Михайловский, Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2007. 516 с.
  2. В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский, Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
  3. А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1969. 984 с.
  4. А. П. Филин, Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1989. 384 с.
  5. Е. И. Михайловский, Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2011. 201 с.
  6. Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, “Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче” // ПММ, 2010. Т. 74, № 2. С. 299-310.
  7. Ye. I. Mikhailovskii, Yu. V. Tulubenskaya, “An algorithm for the local exhaustive search for alternatives in an essentially non-linear eigenvalue problem” // J. Appl. Math. Mech., 2010. vol. 74, no. 2. pp. 214-222. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2010.05.012.
  8. D. S. Watkins, Fundamentals of matrix computations, New York, John Wiley & Sons, 2002, xiii+620 pp. doi: 10.1002/0471249718.
  9. M. Panju, “Iterative Methods for Computing Eigenvalues and Eigenvector” // The Waterloo Mathematics Review, 2011. vol. 1. pp. 9-19. arXiv: 1105.1185 [math.NA].

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies