Solution of the contact problem on indentation of rectangular punch in an elastic roughnesses half-space in the presence of coulomb friction

Full Text

Введение. При контактировании упругих шероховатых тел возникает трение, вызывающее сдвиг поверхностных микронеровностей, образующих шероховатость. Естественно ожидать, что этот сдвиг может оказать определенное влияние на качественные характеристики контактного взаимодействия © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования А л е к с а н д р о в А. А., Г р а б к о Е. В. Решение контактной задачи о вдавливании прямоугольного штампа в упругое шероховатое полупространство при наличии кулонова трения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 42-52. doi: 10.14498/vsgtu1367. 42 Решение контактной задачи о вдавливании прямоугольного штампа . . . тел, на размеры и форму зон сцепления, на распределение касательных контактных напряжений. Однако в большинстве работ, посвященных решению задач о контакте шероховатых упругих тел при наличии трения Кулона [1-9], сдвиг микронеровностей либо не учитывался совсем [1, 3, 4, 7-9] либо учитывался в упрощенной линейной форме [2, 5, 6]. Кроме этого, условия решаемых задач часто упрощаются за счет игнорирования влияния нормальных контактных напряжений на относительные касательные упругие смещения тел [3, 5-8], либо за счет рассмотрения контакта тел лишь при их полном проскальзывании [4]. Использование нелинейных интегральных уравнений для моделирования контактного взаимодействия упругих тел [3-6, 10, 11] позволяет рассматривать различные типы граничных условий контактных задач и разрабатывать эффективные алгоритмы для получения приближенных решений таких задач. За счет незначительной модификации уравнений [11], описывающих контактное взаимодействие упругих тел при наличии кулонова трения, можно обеспечить учет шероховатости поверхностей этих тел и разработать эффективный алгоритм для решения дискретного аналога модифицированных уравнений. Целью данной статьи является разработка такого алгоритма и выявление эффектов, вызванных учетом сдвига поверхностных микронеровностей, в задаче о контакте штампа с упругим шероховатым полупространством, постановка которой характеризуется отсутствием отмеченных выше упрощений. 1. Постановка контактной задачи. Рассмотрим трехмерную статическую задачу о контакте упругих тел, имеющих шероховатые поверхности. В этой задаче не исключается случай, когда одно из контактирующих тел является абсолютно жестким (в таком случае абсолютно жесткое тело условно считается упругим, имеющим бесконечное значение модуля Юнга). Будем полагать, что взаимодействие тел сопровождается кулоновым трением, и считать поверхность контакта, а также зоны проскальзывания и сцепления на этой поверхности заранее неизвестными. При определенных допущениях такая задача сводится к отысканию неизвестных функций p1 (s), p2 (s), p3 (s), непре¯ рывных на замыкании Ω ограниченной плоской области Ω (охватывающей неизвестную заранее площадку контакта тел) и удовлетворяющих в каждой ¯ точке s множества Ω следующим соотношениям [12]: v1 (s) 0, p1 (s) 0, p2 (s) + p2 (s) 2 3 v1 (s)p1 (s) = 0; µp1 (s); 2 2 v2 (s) + v3 (s)p2 (s) + µp1 (s)v2 (s) = 0; (1) 2 2 v2 (s) + v3 (s)p3 (s) + µp1 (s)v3 (s) = 0. В этих соотношениях через v1 (s), v2 (s), v3 (s) обозначены нормальная и касательные составляющие относительных смещений противолежащих поверхностных точек взаимодействующих тел, функции p1 (s), p2 (s), p3 (s) представляют собой нормальную и касательные составляющие удельной контактной нагрузки; µ - коэффициент трения. Функции v1 (s), v2 (s), v3 (s) имеют следующий вид [13]: 43 А л е к с а н д р о в А. А., Г р а б к о Е. В. 3 A1j (pj ) (s) - ∆1 (s), v1 (s) = f1 p1 (s) + j=1 3 A2j (pj ) (s) - ∆2 (s), v2 (s) = f2 p2 (s), p3 (s), p1 (s) + (2) j=1 3 A3j (pj ) (s) - ∆3 (s). v3 (s) = f2 p3 (s), p2 (s), p1 (s) + j=1 В правых частях равенств (1) слагаемые f1 p1 (s) , f2 p2 (s), p3 (s), p1 (s) , f2 p3 (s), p2 (s), p1 (s) задают сжатие и сдвиг поверхностных микронеровностей полупространства, образующих шероховатость; функции ∆1 (s), ∆2 (s), ¯ ∆3 (s) ∈ C Ω [13] задают конфигурацию взаимодействующих тел и условия ¯ их нагружения; линейные интегральные операторы влияния Aij : C Ω → ¯ C Ω определены соотношениями Aij (pj ) (s) = Kij (s, t)pj (t)dt, i, j = 1, 2, 3. Ω В этих соотношениях ядра Kij (s, t) заданы в соответствии с формулами Буссинеска-Черутти [14], что означает принятие гипотезы о возможности аппроксимации взаимодействующих тел упругими полупространствами. Первое из условий (1) означает отсутствие взаимного проникания тел, второе выражает знакопостоянство контактного давления, и третье означает, что за пределами площадки контакта давление отсутствует. Последние три соотношения системы (1) выражают закон трения Кулона [12]. При формулировании этого закона трения принята гипотеза [15], позволяющая заменить в последних двух соотношениях системы (1) скорости относительного проскальзывания тел их относительными проскальзываниями. ¯ Для неизвестных функций p1 (s), p2 (s), p3 (s) ∈ C Ω система соотношений (1), (1) эквивалентна следующей системе уравнений [12]: p1 (s) = h p1 (s) - Ev1 (s) ; p2 (s) = q p2 (s) - Ev2 (s), p3 (s) - Ev3 (s), µh (p1 (s)) ; p3 (s) = q p3 (s) - Ev3 (s), p2 (s) - Ev2 (s), µh (p1 (s)) , (3) ¯ где s ∈ Ω; E - произвольное положительное число; выражения v1 (s), v2 (s), v3 (s) имеют вид (1), а функции h(x), q(x, y, z) заданы следующим образом: 1 h(x) = (x + |x|); 2 q(x, y, z) =      x, xz x2 + y 2 if , if x2 + y 2 z; x2 + y 2 > z. 2. Учет шероховатости поверхности упругого полупространства. Используя сферическую модель микровыступов [16], образующих шероховатость, и 44 Решение контактной задачи о вдавливании прямоугольного штампа . . . пренебрегая влиянием касательной нагрузки, приложенной к этим выступам, на их сжатие, можно получить для f1 , f2 следующие соотношения [17-19]: 2/3 f1 (u) = α h(u) ,   0,   f2 (x, y, z)= 1 - 1 - ( x2 + y 2 /˜) ˜ ˜ z βx ˜    (˜2 + y 2 )1/6 x ˜ ( x2 + y 2 /˜)2/3 ˜ ˜ z if x2 + y 2 = 0; ˜ ˜ (4) 2/3 , if x2 ˜ + y2 ˜ > 0; где x = q x, y, µh(z) , y = q y, x, µh(z) , z = µh(z). В этих соотношениях па˜ ˜ ˜ раметры α и β имеют одинаковую размерность и определяются следующими выражениями: α = 0.8255ρ β = 0.4127ρ 3 3 ˜ kπ 2 µ 2 1-ν1 E1 + 2 1-ν2 E2 2 2 1 - ν1 1 - ν2 ˜ kπ 2 + E1 E2 2 ; (5) (1 + ν1 )(2 - ν1 ) (1 + ν2 )(2 - ν2 ) + . E1 E2 В равенствах (1) параметры ν1 , ν2 , E1 , E2 представляют собой коэффициенты Пуассона и модули Юнга взаимодействующих тел, параметр ρ есть радиус ˜ сферического выступа, параметр k принимает значения 2 или 1 (в зависимости от того, оба ли взаимодействующих тела имеют шероховатые поверхности или лишь одно из них). Если одно из взаимодействующих тел является абсолютно жестким, то в равенствах (1) нужно положить равными нулю все дроби, в знаменателях которых содержится модуль Юнга абсолютно жесткого тела. 3. Алгоритм численного решения контактной задачи. Для получения численного решения системы интегральных уравнений (1) зададим область Ω в виде открытого прямоугольника, ограниченного отрезками прямых, параллельных координатным осям x и y декартовой системы координат, введенной на общей для взаимодействующих тел касательной плоскости. Разобьем Ω на k непересекающихся одинаковых прямоугольных областей ω1 , ω2 , . . . , ωk , ориентированных подобно прямоугольнику Ω (размеры области Ω выберем так, чтобы эта область включала в себя прямоугольную подошву штампа). Полагая, что искомые функции p1 (s), p2 (s), p3 (s) принимают на каждом граничном элементе ωi постоянные значения x3i-2 , x3i-1 , x3i (i = 1, 2, . . . , k), можно для определения этих значений получить из (1) следующую систему 3k скалярных уравнений [19]: 3k ; j=1 a3i-2j xj - b3i-2 x3i-1 = q x3i-1 - E f2 (x3i-1 , x3i , x3i-2 ) + 3k a3i-1 j xj - b3i-1 j=1 3k x3i - E f2 (x3i , x3i-1 , x3i-2 ) + j=1 a3i j xj - b3i , µx3i-2 ; x3i = q x3i - E f2 (x3i , x3i-1 , x3i-2 ) + 3k a3i j xj - b3i , j=1 x3i-2 = h x3i-2 - E f1 (x3i-2 ) + x3i-1 - E f2 (x3i-1 , x3i , x3i-2 ) + i = 1, 2, . . . , k. 3k j=1 a3i-1 j xj , (6) - b3i-1 , µx3i-2 , 45 А л е к с а н д р о в А. А., Г р а б к о Е. В. Входящие в эту систему числовые параметры aij и bj задаются соотношениями [19]: k d ωi 3j-l = b3i-l = a3i-r ∀l = 0, 1, 2; i = 1, 2, . . . k; ∆3-l (s)ds (7) k d K3-r 3-l (s, t)dt ds ∀r, l = 0, 1, 2; i, j = 1, 2, . . . k, ωi ωj где d есть площадь прямоугольника Ω. Для получения приближенного решения системы уравнений (1) можно использовать итерационный процесс (0) xi = 0 ∀i = 1, 2, . . . , 3k; (m+1) (m) , (m+1) (m) , βi (m) , αi x3i-2 = h γi x3i-1 = q αi (m+1) x3i = q βi (m) где величины αi (8) (m) , µh x3i-2 , (m) , µ · h x3i-2 , (m) , βi (m) (m) (m) , γi i = 1, 2, . . . , k; m = 0, 1, 2, . . . , , i = 1, 2, . . . , k, определяются равенствами 3k (m) γi = (m) x3i-2 -E (m) f1 x3i-2 (m) + - b3i-2 , a3i-2 j xj j=1 3k (m) αi = (m) x3i-1 -E (m) (m) (m) f2 x3i-1 , x3i , x3i-2 (m) + a3i-1 j xj - b3i-1 , (9) j=1 3k (m) βi (m) (m) (m) (m) (m) = x3i - E f2 x3i , x3i-1 , x3i-2 + a3i j xj - b3i . j=1 Будем полагать, что входящая в равенства (1) константа E удовлетворяет неравенству 3k Полученные результаты численного решения рассматриваемой пространственной контактной задачи представлены на рис. 1 и 2. Здесь приведены распределения нормальных σz и касательных τzx напряжений на поверхности полупространства вдоль поперечной оси симметрии контактной площадки, а также граничные контуры зон сцепления на этой площадке при μ = 0.2 и μ = 0.3. На рис. 1, а и 2, а изображено распределение нормальных контактных напряжений, на рис. 1, б и 2, б - распределение касательных контактных напряжений и на рис. 1, в и 2, в - граничные контуры зон сцепления (зоны сцепления представляют собой внутренность этих контуров). Здесь сплошной линией изображены распределения напряжений и граница зоны сцепления при отсутствии шероховатости, квадратиками - при наличии незначительной шероховатости и кольцами - при наличии существенной шероховатости. Приведенные на рис. 1 и 2 результаты свидетельствуют, что значение напряжений σz и τzx при отсутствии шероховатости несущественно отличаются от их значений при наличии шероховатости почти на всей площадке контакта (кроме участков, расположенных близ границ площадки контакта и близ границы между зоной сцепления и зоной проскальзывания). Следует отметить, что расхождение сравниваемых величин напряжений возрастает с ростом значения коэффициента трения μ. Из рис. 1, в и 2, в следует, что размеры зон сцепления, полученные при отсутствии шероховатости, могут очень сильно отличаться от этих размеров для случая наличия существенной шероховатости. Это означает, что качественные показатели контактного взаимодействия штампа и полупространства могут существенно зависеть от того, учитывается ли шероховатость поверхности полупространства или нет. Выводы. Полученные результаты свидетельствуют о том, что предложенный алгоритм решения статических задач о контакте упругих шероховатых тел при наличии кулонова трения между ними позволяет находить распределение контактных напряжений, а также конфигурацию зон проскальзывания и сцепления в задачах такого класса. Анализ полученных результатов решения конкретной контактной задачи свидетельствует о том, что учет шероховатости поверхности полупространства может приводить к существенному росту размеров зоны сцепления и к заметным изменениям в распределениях нормальных и касательных контактных напряжений по сравнению со случаем отсутствия шероховатости.

About the authors

Alexandr I Alexandrov

Zaporizhzhya National University

Email: heepper@gmail.com
(Cand. Tech. Sci.; heepper@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis. 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

Elena V Grabko

Zaporizhzhya National University

Email: elenagrabko@rambler.ru
(elenagrabko@rambler.ru; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis 66, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

References

Supplementary files