Numerical method of value boundary problem decision for 2d equation of heat conductivity with fractional derivatives

Abstract


In this work a solution is obtained for the boundary problem for two-dimensional thermal conductivity equation with derivatives of fractional order on time and space variables by grid method. Explicit and implicit difference schemes are developed. Stability criteria of these difference schemes are proven. It is shown that approximation order-by time equal but by space variables it equal two. A solution method is suggested using fractional steps. It is proved that the transition module, corresponding to two half-steps, approximates the transition module for given equation.

About the authors

Vetlugin D Beybalaev

Daghestan State University

Email: kaspij_03@mail.ru
(к.ф.-м.н.), ст. преподаватель, каф. прикладной математики; Дагестанский государственный университет; Daghestan State University

Mumina R Shabanova

Institute of Geothermy Problems, Dagestan Research Center of RAS

Email: meil-sha@yandex.ru
научный сотрудник, лаб. математического моделирования и мониторинга геотермальных объектов; Институт проблем геотермии Дагестанского НЦ РАН; Institute of Geothermy Problems, Dagestan Research Center of RAS

References

  1. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ, 1992. - Т. 90, №3. - С. 354-368; англ. пер.: Nigmatullin R. R. Fractional integral and its physical interpretation// Theoret. and Math. Phys., 1992. - Vol.90, No. 3. - P. 242-251.
  2. Головизнин В. M., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях// Изв. РАН. Энергетика, 2004. - №4. - С. 121-130.
  3. Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 498 с.
  4. Кольцова Э. М., Василенко В. А., Тарасов В. В. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах// Журн. физ. химии, 2000. - Т. 74, №5. - С. 954-956.
  5. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрко Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнения дробной диффузии: Препринт № IBRAE-2002-01. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 57 с.
  6. Головизнин В.М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии в одномерном случае: Препринт № IBRAE-2002-10. - М.: ИБРАЭ РАН, 2002. - 35 с.
  7. Головизнин В.М., Короткий И. А. Методы численных решений некоторых одномерных уравнений с дробными производными// Дифференц. уравнения, 2006. - Т. 42, №7. - С. 907-913; англ. пер.: Goloviznin V.M., Korotkin LA. Numerical methods for some one-dimensional equations with fractional derivatives// Differ. Equ., 2006. - Vol. 42, No. 7. - P. 967-973.
  8. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations// Appl. Numer. Math., 2006. - Vol.56, No. 1. - P. 80-90.
  9. Meerschaert M. M., Tadjeran С Finite difference approximations for fractional advection-dispersion flow equations// J. Comput. Appl. Math., 2004. - Vol. 172, No. 1. - P. 65-77.
  10. Tadjeran C, Meerschaert M. M., Scheffler H.-P. A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation// J. Comput. Phys., 2006. - Vol.213, No. 1. - P. 205-213.
  11. Lynch V.E., Carreras B.A., del-Castill-Negrete D., Ferreira-Mejias K.M., Hicks H. R. Numerical methods for the solution of partial differential equations of fractional order // J. Comput. Phys., 2003. - Vol. 192, No. 2. - P. 406-421.
  12. Liu Q., Liu F., Turner L, Anh V. Approximation of the Levy-Feller advection-dispersion process by random walk and finite difference method // J. Comput. Phys., 2007. - Vol. 222, No. 1. - P. 57-70.
  13. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев M. X. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 2006. - Т. 46, № 10. - С. 1871-1881; англ. пер.: Taukenova F. I., Shkhanukov-Lafishev М. Kh. Difference methods for solving boundary value problems for fractional-order differential equations// Comput. Math. Math. Phys., 2006. - Vol.46, No. 10. - P. 1785-1795.
  14. Лафишева M.M., Шхануков-Лафишев M.X. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2008. - Т. 48, № 10. - С. 1878-1887; англ. пер.: Lafisheva М.М., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. A locally one-dimensional difference scheme for a fractional-order diffusion equation// Comput. Math. Math. Phys., 2008. - Vol.48, No. 10. - P. 1875-1884.
  15. Алиханов А. А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. - №2(17). - С. 13-20.
  16. Бейбалаев В. Д. Математическая модель теплопереноса в средах с фрактальной структурой// Матем. моделирование, 2009. - Т. 21, №5. - С. 55-62.
  17. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения задачи переноса с двусторонней производной дробного порядка// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. - Т. 1(18). - С. 267-270.
  18. Назаралиев М.А., Бейбалаев В. Д. Численные методы решения краевой задачи для уравнения теплопереноса с производной дробного порядка// Вестн. ДГУ, 2008. - №6. - С. 46-53..
  19. Бейбалаев В. Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса
  20. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.
  21. Самарский А. А. Теория разностных схем: 2-е изд. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 1

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 1970 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies