# Dirichlet problem for the mixed type equation with two degeneration lines in a half-strip

## Abstract

In this article, the first boundary problem for the mixed type equation with two degeneration lines at a half-strip in the class of the regular and limited in infinity decisions is discussed. The criterion of uniqueness for the stated problem was formulated by the methods of a spectral analysis.The solution of a problem is constructed in the form of a series on eigenfunctions of the corresponding one-dimensional eigenvalues problem. At justification of the uniform convergence of the constructed series there was a problem of small denominators. The estimation for the separation from zero of a small denominator with the corresponding asymptotics was provided in connestion with mentioned problem in the present paper.This assessment at some sufficient conditions on boundary function allowed to prove convergence of the constructed series in a class of the regular solutions of this equation. In difference from other works of similar subject is the criterion of uniqueness and existence of the solution of the stated problem to be proved at all positive values of the parameters entering the equation, not necessarily equal. Such fact is an important consequence of the received result that the constructed solution everywhere in the considered area is the solution of the equation. Therefore the line of change-type of the equation as a special one is eliminated.

## Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение смешанного типа (, ) () + 2 () = 0 (1) в бесконечной прямоугольной области = {(, ) | 0 < < 1, > }, где () = (sgn )|| ; > 0, > 0, 0, > 0 — заданные действительные числа. Задача Дирихле. Найти в области ограниченную функцию (, ), удовлетворяющую условиям (, ) 1 () 2 (+ ); (, ) 0, (, ) + ; (0, ) = (1, ) = 0, +; (, ) = (), 0 1, (2) (3) (4) (5) где () — заданная достаточно гладкая функция, причем (0) = (1) = 0, + = { > 0}, = { < 0}. Ранее задача Трикоми для уравнения (1) при = 0 изучалась в работах [1, 2] в классической области, в которой гиперболическая часть представляет характеристический треугольник, где методом экстремума доказана единственность решения, а существование — методом интегральных уравнений при всех = > 0. Обзор работ, посвященных данному направлению, приведен в монографии [3]. Отметим, что задача Дирихле изучалась в работах [4–6]. В работе [7] исследована задача (2)–(5) для уравнения (1) при = 0 в прямоугольной области и полуполосе, методами спектрального анализа установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье. В данной статье на основании работ [6, 7] установлен критерий единственности и построено решение задачи (2)–(5) при всех , > 0, не обязательно равных. 1. Построение частных решений уравнения (1). Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области , будем искать в виде произведения (, ) = () (), удовлетворяющего однородным граничным условиям (4). Подставляя данное произведение в уравнение (4), получим '' () + () = 0, 0 < < 1, (0) = 0, (1) = 0, '' () (2 + ) sgn · || () = 0, где — постоянная разделения. 8 < < +, (6) (7) = 0, (8) Решение спектральной задачи (6) и (7) определяется по формуле ( ) () = 1 ( ) = 1 , (9) 2 2 где = ( )2 , 1 () — функция Бесселя первого рода, 2 = +2, — -тый 2 корень уравнения 1 () = 0, = 1, 2, . . . . Отметим, что система собственных 2 функций (9) задачи (6) и (7) ортогональна в пространстве 2 [0, 1] с весом , так как 1 1 () ' () = +1 1 ( ) 1 (' ) = 2 2 0 0 1 = 1 ( ) 1 (' ) = 0 0 2 2 ' . при = Доказательство полноты этой системы в пространстве 2 [0, 1] с весом проводится аналогично [8, §23, п. 7]. При этом для собственных значений задачи (6) и (7) справедлива асимптотическая формула при больших : ( 1 ) = = + (1 + 3) + . (10) 4 Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций ортонормируем: 1 (), () = (0,1) 2 где 2 2 (0,1) = 1 2 (). 0 На основании результатов [9] общее решение дифференциального уравнения (8) имеет вид { 1 ( ) + 1 ( ), > 0, 2 2 (11) () = 1 ( () ) + 1 ( () ), < 0, 2 2 где 1 () — функция Бесселя второго рода, 1 () и 1 () — модифициро2 2 2 ванные функции Бесселя первого и третьего рода соответственно; , , и — произвольные постоянные; 2 = + 2, 2 = (2 + )/ 2 . Теперь в (11) на основании (2) подберем постоянные , , , так, чтобы выполнялись условия сопряжения (0 + 0) = (0 0), ' (0 + 0) = ' (0 0). (12) На основании асимптотических формул для функций Бесселя при 0 [10, § 7.13.3] имеем ( ) ( ) 1 1 () , () , (1 + ) 2 (1 + ) 2 (||) ( )|| () , = 0. 2 2 Первое из равенств (12) выполнено, если = /2 при любых и , а второе равенство имеет место при = ( /2) ctg(/(4)) и = = /2. С учетом последних равенств функции из (11) примут вид 1 ( ) + 1 ( ), 0, 2 2 () = (13) 1 ( () ) + 1 ( () ), 0, 2 где 1 2 ( () ) = 2 ] [ 1 ( () ) + 1 ( () ) . 2 2 sin(/(2)) 2 По условию решение (, ) уравнения (1) ограничено на бесконечности, поэтому построенные функции () при + должны быть ограниченными. Это возможно при = 0 для всех , так как решение 1 ( ) 2 при + стремится к бесконечности. Тогда, полагая в (13) = 0, получаем 1 ( ), 0, 2 (14) () = 1 ( () ), 0. 2 Таким образом, ограниченные в области частные решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2)–(4), определяются по следующей формуле: 1 ( ) (), 0, 2 (15) (, ) = 1 ( () ) (), 0, 2 где () задаются по формуле (9). Отметим, что для функций (15) выполнено равенство 2 (, ) 2 (, ) = 0. 2 2 =0+0 =00 2. Единственность решения задачи Дирихле. Пусть (, ) — решение задачи (2)–(5). Рассмотрим функции 1 () = (, ) (), = 1, 2, . . . , (16) 0 где () определяются по формуле (9). На основании (16) введем функции 1 , () = (, ) (), = 1, 2, . . . , (17) где > 0 — достаточно малое число. Поскольку собственные функции () удовлетворяют уравнению (6), отсюда выразим 1 () = '' () (18) и подставим в (17): , () = 1 1 (, )'' (). (19) Интегрируя по частям интеграл (19) два раза и используя уравнение (1) при = 0, получим [ '', () (2 + )(), () () (1 , )' (1 ) (, )' () ] (1 , ) (1 ) + (, ) () = 0. (20) Переходя в (20) к пределу при 0 с учетом условий (4) и (7), получим, что () удовлетворяет дифференциальному уравнению '' () (2 + )() () = 0, (, 0) (0, +). (21) Уравнение (21) совпадает с (8) при = . Тогда () () на промежутке (, 0) (0, +), т.е. функции () определяются по формуле (14) и имеют вид 1 ( ), > 0, 2 (22) () = 1 ( () ), < 0. 2 Для нахождения постоянных воспользуемся граничным условием (5) и формулой (16): 1 1 () = (, ) () = () () = . (23) 0 0 Тогда из (22) и (23) при условии () = имеем = 1 2 ( ) = 0 . () Подставляя (25) в (22), найдем окончательный вид функций: 1 ( ) 2 > 0, () , () = 1 ( () ) 2 , < 0. () (24) (25) (26) Пусть теперь () 0 и выполнено условие (24). Тогда из равенств (23) и (26) следует, что () 0 при всех N и из (16) получим 1 (, ) () = 0, = 1, 2, . . . . Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве 2 [0, 1] следует, что (, ) = 0 почти для всех [0, 1] и при любом [, +). Поскольку (, ) (), имеем (, ) 0 в . Пусть при некоторых и = N нарушено условие (24), т.е. () = 0. Тогда однородная задача (2)–(5), где () 0, имеет нетривиальное решение 1 ( ) (), > 0, 2 (, ) = (27) 1 ( () ) (), < 0, 2 где () находятся по формуле (9). Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности. Теорема 1. Если существует решение (, ) задачи (2)–(5), то оно единственно тогда и только тогда, когда () = 0 при всех N. 3. Существование решения задачи Дирихле. Рассмотрим выражение 2 1 ( ) = 1 ( ) + 1 ( ). () = sin 2 2 2 2 На основании асимптотической формулы для функции ( ( 1 ) 2 ) cos + 3/2 , , () = 2 4 при достаточно больших > 1 имеем ( ( ) 2 ) cos cos + 3/2 . () = 2 4 4 (28) (29) При этом натуральное число 1 выбирается настолько большим, что при всех > 1 выполняется равенство (29) и при любых фиксированных 0 и > 0 имеет место неравенство ( )2 < 1. Тогда = 2 + = ( 2 )1/2 1 + = ] 1 ( )2 1 ( )4 [ = 1 + + . . . = + , 2 8 где для справедлива оценка 0 2 < . 2 (30) Отсюда на основании формулы (10) = + 12 ( 1 ) 1 + 3 + + . 4 Пусть = = /. Тогда из соотношения (29) с учетом (31) получим () = [ ( 1 + 3 ) ( 1 ) ] ( 1 ) = cos + + + + = 4 4 = 1 + 2 , (32) где 2 2 cos 4 = ( ( 1 ) . 1 + 3 ) + + + 2 4 Отметим, что величина ограничена и отделена от нуля: 0 < < < = . Пусть теперь = / — рациональное число, , N, gcd(, ) = 1. Разделим на с остатком: = + , , N0 = N {0}, 0 1. Тогда выражение 1 из (32) при больших > 2 N оценим следующим образом: [ ( 1 + 3 ) ( 1 ) ] + + + |1 | = cos 4 4 [ 1 + 3 ] 1 + cos = 2 4 4 0, так как в силу оценки (30) существует конечный предел 1 . lim |1 | = 1 была больше нуля, а это возможТеперь потребуем, чтобы постоянная но только тогда, когда ( 1 + 3 1 ) + = + , = 0, 1, 2, . . . , 4 4 2 или = (33) 3 3 + 4 при всех N0 и N0 [0, 1]. Отметим, что правая часть неравенства (33) всегда является рациональным числом. Поэтому, если принимает иррациональные значения, то неравенство (33) всегда выполнено при всех N0 и N0 [0, 1]. Таким образом, при выполнении условия (33) при всех max{1 , 2 } |1 | 1 > 0. Тем самым показана отделимость от нуля выражения ших , поэтому приходим к следующему утверждению. () при боль Лемма 1. Если = /, , N, gcd(, ) = 1 и выполнено условие (33), то существуют положительные постоянные 0 и 0 , 0 N, зависящие, вообще говоря, от , , , и такие, что при всех > 0 справедлива оценка | ()| 0 > 0. (34) Если () = 0 при = 1, 0 для указанных из леммы 1 и выполнена оценка (34), то решение задачи (2)–(5) на основании частных решений (9) и (14) можно представить в виде суммы ряда Фурье (, ) = + () (). (35) =0 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функции () ряд (35) сходится равномерно на замкнутой области и там его можно почленно дифференцировать по и дважды. Рассмотрим следующие отношения: 1 ( ) 2 , 0; () = () () = 1 2 ( () ) , () 0. Лемма 2. При условии (34) для достаточно больших справедливы следующие оценки: | ()| 1 1/2 , |' ()| 1 1/2+ , |'' ()| 1 5/2 , | ()| 2 1/2 , |' ()| 2 1/2+ , |'' ()| 2 5/2 , | ()| 3 1/2 | |, |' ()| 3 1/2+ | |, |'' ()| 3 5/2 | |, где — здесь и далее положительные постоянные, = 1/(2). Доказательство леммы 2 проводится аналогично работе [9]. Лемма 3. Для достаточно больших и при любом [0, 1] справедливы следующие оценки: | ()| 4 , |' ()| 6 , |'' ()| 5 2 , [0, 1], (36) (37) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, в силу асимптотической формулы (28) на основании (9) и (10) получаем первую оценку из (36). Собственные функции () удовлетворяют уравнению (18). Из этого равенства, используя оценку для (), получим второе неравенство из (36). Поскольку ' () = 2 1/2 1 1 ( ), 2 отсюда следует справедливость неравенства (37) при любом [0, 1]. Формально из ряда (35) почленным дифференцированием составим ряды (, ) = + ' () (), (, ) = =0 (, ) = + '' () (), + ()' (), =0 + (, ) = =0 ()'' (). (38) (39) =0 Ряды (35) и (38) при любом (, ) мажорируются рядом 7 + 3/2+1/(2)+ | |, =0 а ряды (39) при любом (, ) = { 8 + } — рядом 5/2+ | |. =0 Лемма 4. Если функция () 3 [0, 1] и (0) = (1) = '' (1) = 0, то справедлива оценка | | | | = где 1 = 9 , 7/2 (40) ''' () (), 0 () = 0 1 ( ). (41) 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. В интеграле (23), интегрируя по частям два раза и используя равенство (18) и условия леммы, имеем = 0 1 1 1 () () = ()'' () = 0 1 1 (2) 1 1 = ' ()' () = '' () () = . (42) 0 0 При условии '' (1) = 0 последний интеграл из (42) проинтегрируем по частям еще раз: 1 1 (2) '' = () () = ''' () (). 0 0 В интеграле (41) сделаем замену = , 1 = и тогда получим ( 1 )3/(2) 1 1 () = 3/(2)1 1 (). (43) 2 0 Для оценки интеграла из (43) при больших воспользуемся асимптотической формулой [11, п. 10.4.3 (10.87)] 1 ( ) ( + ) 2+2 sin ( ) + 2 2 2 [ ( ) 21/2 ( 1 )] 1/2 + () cos ++ + min{+1,+3/2} . 2 2 ()1 (1 2 )1 = 0 Из этой формулы в итоге получаем | ()| 10 3/2 . С учетом (43) из (42) следует справедливость оценки (40). В силу леммы 4 ряды (38) и (39) оцениваются соответственно числовыми рядами + + 11 2+1/(2)+ , 12 1+ . (44) =1 =1 На основании сходимости рядов (44) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (35), (38) и (39) соответственно на замкнутой области и . Поэтому функция (, ), определенная рядом (35), удовлетворяет условию (2). Если для указанных в лемме 1 значений при некоторых = = 1 , 2 , . . ., , где 1 1 < 2 < . . . < 0 , и — заданные натуральные числа, () = 0, то для разрешимости системы (23) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ортогональности 1 () () = 0. (45) 0 В этом случае решение задачи (2)–(5) определяется в виде суммы ряда (, ) = ( 1 1 =1 + 2 1 =1 +1 +··· + + ) () () + (, ). = +1 (46) Здесь в последней сумме принимает значения 1 , 2 , . . ., , — произвольные постоянные, (, ) — определяется по формуле (27), конечные суммы в (46) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего. Таким образом, доказана Теорема 2. Пусть функция () удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнена оценка (34) при > 0 . Тогда справедливы следующие утверждения: – если () = 0 при всех = 1, 0 , то существует единственное решение задачи (2)–(5) и это решение определяется рядом (35); – если () = 0 при некоторых = 1 , 2 , . . . , 0 , то задача (2)–(5) разрешима только тогда, когда выполняются условия ортогональности (45) и решение в этом случае определяется рядом (46). Следствие. Построенное решение (, ) задачи (2)–(5) принадлежит классу 2 () и функция (, ) всюду в является решением уравнения (1). Линия изменения типа = 0 уравнения (1) как особая устраняется.
×

### Viner Zufarovich Vagapov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

## References

1. Сабитов К. Б., Шарафутдинова Г. Г., "Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения", Дифференц. уравнения, 39:6 (2003), 788-800
2. Сабитов К. Б., Карамова А. А., "Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения", Дифференц. уравнения, 38:1 (2002), 111-116
3. Сабитов К. Б., Биккулова Г. Г., Гималтдинова А. А., К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа, Гилем, Уфа, 2006, 149 с.
4. Нахушев А. М., "Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области", Дифференц. уравнения, 6:1 (1970), 190-191
5. Хачев М. М., Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа, Эльбрус, Нальчик, 1998, 168 с.
6. Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 413:1 (2007), 23-26
7. Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в полуполосе", Дифференц. уравнения, 43:10 (2007), 1417-1422
8. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Наука, М., 1988, 512 с.
9. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г., "Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа", Дифференц. уравнения, 46:1 (2010), 105-113
10. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Higher transcendental functions, v. II., Bateman Manuscript Project, McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London, 1953, xvii+396 pp.
11. Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1, Зинатне, Рига, 1974, 392 с.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University