Dirichlet problem for the mixed type equation with two degeneration lines in a half-strip

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение смешанного типа (, ) () + 2 () = 0 (1) в бесконечной прямоугольной области = {(, ) | 0 < < 1, > }, где () = (sgn )|| ; > 0, > 0, 0, > 0 — заданные действительные числа. Задача Дирихле. Найти в области ограниченную функцию (, ), удовлетворяющую условиям (, ) 1 () 2 (+ ); (, ) 0, (, ) + ; (0, ) = (1, ) = 0, +; (, ) = (), 0 1, (2) (3) (4) (5) где () — заданная достаточно гладкая функция, причем (0) = (1) = 0, + = { > 0}, = { < 0}. Ранее задача Трикоми для уравнения (1) при = 0 изучалась в работах [1, 2] в классической области, в которой гиперболическая часть представляет характеристический треугольник, где методом экстремума доказана единственность решения, а существование — методом интегральных уравнений при всех = > 0. Обзор работ, посвященных данному направлению, приведен в монографии [3]. Отметим, что задача Дирихле изучалась в работах [4–6]. В работе [7] исследована задача (2)–(5) для уравнения (1) при = 0 в прямоугольной области и полуполосе, методами спектрального анализа установлен критерий единственности и решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье. В данной статье на основании работ [6, 7] установлен критерий единственности и построено решение задачи (2)–(5) при всех , > 0, не обязательно равных. 1. Построение частных решений уравнения (1). Частные решения уравнения (1), не равные нулю в области , будем искать в виде произведения (, ) = () (), удовлетворяющего однородным граничным условиям (4). Подставляя данное произведение в уравнение (4), получим '' () + () = 0, 0 < < 1, (0) = 0, (1) = 0, '' () (2 + ) sgn · || () = 0, где — постоянная разделения. 8 < < +, (6) (7) = 0, (8) Решение спектральной задачи (6) и (7) определяется по формуле ( ) () = 1 ( ) = 1 , (9) 2 2 где = ( )2 , 1 () — функция Бесселя первого рода, 2 = +2, — -тый 2 корень уравнения 1 () = 0, = 1, 2, . . . . Отметим, что система собственных 2 функций (9) задачи (6) и (7) ортогональна в пространстве 2 [0, 1] с весом , так как 1 1 () ' () = +1 1 ( ) 1 (' ) = 2 2 0 0 1 = 1 ( ) 1 (' ) = 0 0 2 2 ' . при = Доказательство полноты этой системы в пространстве 2 [0, 1] с весом проводится аналогично [8, §23, п. 7]. При этом для собственных значений задачи (6) и (7) справедлива асимптотическая формула при больших : ( 1 ) = = + (1 + 3) + . (10) 4 Для удобства дальнейших вычислений данную систему функций ортонормируем: 1 (), () = (0,1) 2 где 2 2 (0,1) = 1 2 (). 0 На основании результатов [9] общее решение дифференциального уравнения (8) имеет вид { 1 ( ) + 1 ( ), > 0, 2 2 (11) () = 1 ( () ) + 1 ( () ), < 0, 2 2 где 1 () — функция Бесселя второго рода, 1 () и 1 () — модифициро2 2 2 ванные функции Бесселя первого и третьего рода соответственно; , , и — произвольные постоянные; 2 = + 2, 2 = (2 + )/ 2 . Теперь в (11) на основании (2) подберем постоянные , , , так, чтобы выполнялись условия сопряжения (0 + 0) = (0 0), ' (0 + 0) = ' (0 0). (12) На основании асимптотических формул для функций Бесселя при 0 [10, § 7.13.3] имеем ( ) ( ) 1 1 () , () , (1 + ) 2 (1 + ) 2 (||) ( )|| () , = 0. 2 2 Первое из равенств (12) выполнено, если = /2 при любых и , а второе равенство имеет место при = ( /2) ctg(/(4)) и = = /2. С учетом последних равенств функции из (11) примут вид 1 ( ) + 1 ( ), 0, 2 2 () = (13) 1 ( () ) + 1 ( () ), 0, 2 где 1 2 ( () ) = 2 ] [ 1 ( () ) + 1 ( () ) . 2 2 sin(/(2)) 2 По условию решение (, ) уравнения (1) ограничено на бесконечности, поэтому построенные функции () при + должны быть ограниченными. Это возможно при = 0 для всех , так как решение 1 ( ) 2 при + стремится к бесконечности. Тогда, полагая в (13) = 0, получаем 1 ( ), 0, 2 (14) () = 1 ( () ), 0. 2 Таким образом, ограниченные в области частные решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2)–(4), определяются по следующей формуле: 1 ( ) (), 0, 2 (15) (, ) = 1 ( () ) (), 0, 2 где () задаются по формуле (9). Отметим, что для функций (15) выполнено равенство 2 (, ) 2 (, ) = 0. 2 2 =0+0 =00 2. Единственность решения задачи Дирихле. Пусть (, ) — решение задачи (2)–(5). Рассмотрим функции 1 () = (, ) (), = 1, 2, . . . , (16) 0 где () определяются по формуле (9). На основании (16) введем функции 1 , () = (, ) (), = 1, 2, . . . , (17) где > 0 — достаточно малое число. Поскольку собственные функции () удовлетворяют уравнению (6), отсюда выразим 1 () = '' () (18) и подставим в (17): , () = 1 1 (, )'' (). (19) Интегрируя по частям интеграл (19) два раза и используя уравнение (1) при = 0, получим [ '', () (2 + )(), () () (1 , )' (1 ) (, )' () ] (1 , ) (1 ) + (, ) () = 0. (20) Переходя в (20) к пределу при 0 с учетом условий (4) и (7), получим, что () удовлетворяет дифференциальному уравнению '' () (2 + )() () = 0, (, 0) (0, +). (21) Уравнение (21) совпадает с (8) при = . Тогда () () на промежутке (, 0) (0, +), т.е. функции () определяются по формуле (14) и имеют вид 1 ( ), > 0, 2 (22) () = 1 ( () ), < 0. 2 Для нахождения постоянных воспользуемся граничным условием (5) и формулой (16): 1 1 () = (, ) () = () () = . (23) 0 0 Тогда из (22) и (23) при условии () = имеем = 1 2 ( ) = 0 . () Подставляя (25) в (22), найдем окончательный вид функций: 1 ( ) 2 > 0, () , () = 1 ( () ) 2 , < 0. () (24) (25) (26) Пусть теперь () 0 и выполнено условие (24). Тогда из равенств (23) и (26) следует, что () 0 при всех N и из (16) получим 1 (, ) () = 0, = 1, 2, . . . . Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве 2 [0, 1] следует, что (, ) = 0 почти для всех [0, 1] и при любом [, +). Поскольку (, ) (), имеем (, ) 0 в . Пусть при некоторых и = N нарушено условие (24), т.е. () = 0. Тогда однородная задача (2)–(5), где () 0, имеет нетривиальное решение 1 ( ) (), > 0, 2 (, ) = (27) 1 ( () ) (), < 0, 2 где () находятся по формуле (9). Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности. Теорема 1. Если существует решение (, ) задачи (2)–(5), то оно единственно тогда и только тогда, когда () = 0 при всех N. 3. Существование решения задачи Дирихле. Рассмотрим выражение 2 1 ( ) = 1 ( ) + 1 ( ). () = sin 2 2 2 2 На основании асимптотической формулы для функции ( ( 1 ) 2 ) cos + 3/2 , , () = 2 4 при достаточно больших > 1 имеем ( ( ) 2 ) cos cos + 3/2 . () = 2 4 4 (28) (29) При этом натуральное число 1 выбирается настолько большим, что при всех > 1 выполняется равенство (29) и при любых фиксированных 0 и > 0 имеет место неравенство ( )2 < 1. Тогда = 2 + = ( 2 )1/2 1 + = ] 1 ( )2 1 ( )4 [ = 1 + + . . . = + , 2 8 где для справедлива оценка 0 2 < . 2 (30) Отсюда на основании формулы (10) = + 12 ( 1 ) 1 + 3 + + . 4 Пусть = = /. Тогда из соотношения (29) с учетом (31) получим () = [ ( 1 + 3 ) ( 1 ) ] ( 1 ) = cos + + + + = 4 4 = 1 + 2 , (32) где 2 2 cos 4 = ( ( 1 ) . 1 + 3 ) + + + 2 4 Отметим, что величина ограничена и отделена от нуля: 0 < < < = . Пусть теперь = / — рациональное число, , N, gcd(, ) = 1. Разделим на с остатком: = + , , N0 = N {0}, 0 1. Тогда выражение 1 из (32) при больших > 2 N оценим следующим образом: [ ( 1 + 3 ) ( 1 ) ] + + + |1 | = cos 4 4 [ 1 + 3 ] 1 + cos = 2 4 4 0, так как в силу оценки (30) существует конечный предел 1 . lim |1 | = 1 была больше нуля, а это возможТеперь потребуем, чтобы постоянная но только тогда, когда ( 1 + 3 1 ) + = + , = 0, 1, 2, . . . , 4 4 2 или = (33) 3 3 + 4 при всех N0 и N0 [0, 1]. Отметим, что правая часть неравенства (33) всегда является рациональным числом. Поэтому, если принимает иррациональные значения, то неравенство (33) всегда выполнено при всех N0 и N0 [0, 1]. Таким образом, при выполнении условия (33) при всех max{1 , 2 } |1 | 1 > 0. Тем самым показана отделимость от нуля выражения ших , поэтому приходим к следующему утверждению. () при боль Лемма 1. Если = /, , N, gcd(, ) = 1 и выполнено условие (33), то существуют положительные постоянные 0 и 0 , 0 N, зависящие, вообще говоря, от , , , и такие, что при всех > 0 справедлива оценка | ()| 0 > 0. (34) Если () = 0 при = 1, 0 для указанных из леммы 1 и выполнена оценка (34), то решение задачи (2)–(5) на основании частных решений (9) и (14) можно представить в виде суммы ряда Фурье (, ) = + () (). (35) =0 Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функции () ряд (35) сходится равномерно на замкнутой области и там его можно почленно дифференцировать по и дважды. Рассмотрим следующие отношения: 1 ( ) 2 , 0; () = () () = 1 2 ( () ) , () 0. Лемма 2. При условии (34) для достаточно больших справедливы следующие оценки: | ()| 1 1/2 , |' ()| 1 1/2+ , |'' ()| 1 5/2 , | ()| 2 1/2 , |' ()| 2 1/2+ , |'' ()| 2 5/2 , | ()| 3 1/2 | |, |' ()| 3 1/2+ | |, |'' ()| 3 5/2 | |, где — здесь и далее положительные постоянные, = 1/(2). Доказательство леммы 2 проводится аналогично работе [9]. Лемма 3. Для достаточно больших и при любом [0, 1] справедливы следующие оценки: | ()| 4 , |' ()| 6 , |'' ()| 5 2 , [0, 1], (36) (37) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, в силу асимптотической формулы (28) на основании (9) и (10) получаем первую оценку из (36). Собственные функции () удовлетворяют уравнению (18). Из этого равенства, используя оценку для (), получим второе неравенство из (36). Поскольку ' () = 2 1/2 1 1 ( ), 2 отсюда следует справедливость неравенства (37) при любом [0, 1]. Формально из ряда (35) почленным дифференцированием составим ряды (, ) = + ' () (), (, ) = =0 (, ) = + '' () (), + ()' (), =0 + (, ) = =0 ()'' (). (38) (39) =0 Ряды (35) и (38) при любом (, ) мажорируются рядом 7 + 3/2+1/(2)+ | |, =0 а ряды (39) при любом (, ) = { 8 + } — рядом 5/2+ | |. =0 Лемма 4. Если функция () 3 [0, 1] и (0) = (1) = '' (1) = 0, то справедлива оценка | | | | = где 1 = 9 , 7/2 (40) ''' () (), 0 () = 0 1 ( ). (41) 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. В интеграле (23), интегрируя по частям два раза и используя равенство (18) и условия леммы, имеем = 0 1 1 1 () () = ()'' () = 0 1 1 (2) 1 1 = ' ()' () = '' () () = . (42) 0 0 При условии '' (1) = 0 последний интеграл из (42) проинтегрируем по частям еще раз: 1 1 (2) '' = () () = ''' () (). 0 0 В интеграле (41) сделаем замену = , 1 = и тогда получим ( 1 )3/(2) 1 1 () = 3/(2)1 1 (). (43) 2 0 Для оценки интеграла из (43) при больших воспользуемся асимптотической формулой [11, п. 10.4.3 (10.87)] 1 ( ) ( + ) 2+2 sin ( ) + 2 2 2 [ ( ) 21/2 ( 1 )] 1/2 + () cos ++ + min{+1,+3/2} . 2 2 ()1 (1 2 )1 = 0 Из этой формулы в итоге получаем | ()| 10 3/2 . С учетом (43) из (42) следует справедливость оценки (40). В силу леммы 4 ряды (38) и (39) оцениваются соответственно числовыми рядами + + 11 2+1/(2)+ , 12 1+ . (44) =1 =1 На основании сходимости рядов (44) в силу признака Вейерштрасса сходятся равномерно ряды (35), (38) и (39) соответственно на замкнутой области и . Поэтому функция (, ), определенная рядом (35), удовлетворяет условию (2). Если для указанных в лемме 1 значений при некоторых = = 1 , 2 , . . ., , где 1 1 < 2 < . . . < 0 , и — заданные натуральные числа, () = 0, то для разрешимости системы (23) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ортогональности 1 () () = 0. (45) 0 В этом случае решение задачи (2)–(5) определяется в виде суммы ряда (, ) = ( 1 1 =1 + 2 1 =1 +1 +··· + + ) () () + (, ). = +1 (46) Здесь в последней сумме принимает значения 1 , 2 , . . ., , — произвольные постоянные, (, ) — определяется по формуле (27), конечные суммы в (46) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего. Таким образом, доказана Теорема 2. Пусть функция () удовлетворяют условиям леммы 4 и выполнена оценка (34) при > 0 . Тогда справедливы следующие утверждения: – если () = 0 при всех = 1, 0 , то существует единственное решение задачи (2)–(5) и это решение определяется рядом (35); – если () = 0 при некоторых = 1 , 2 , . . . , 0 , то задача (2)–(5) разрешима только тогда, когда выполняются условия ортогональности (45) и решение в этом случае определяется рядом (46). Следствие. Построенное решение (, ) задачи (2)–(5) принадлежит классу 2 () и функция (, ) всюду в является решением уравнения (1). Линия изменения типа = 0 уравнения (1) как особая устраняется.

About the authors

Viner Zufarovich Vagapov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files