Simulation of metal creep in nonstationary complex stress state

Full Text

Введение. Подавляющая часть экспериментальных и теоретических исследований ползучести металлов — исследования поведения металлов при одноосном растяжении. Однако на практике реальные конструкции при высоких температурах находятся в условиях сложного напряженного состояния. Проведение испытаний на высокотемпературную ползучесть связано с большими трудностями, поэтому такие испытания, тем более при переменных напряжениях, представляют большой интерес. Результаты испытаний тонкостенных трубчатых образцов при нестационарном сложном напряженном состоянии приведены, в частности, в [1–4]. Моделирование длительной прочности в этих условиях проведено А. М. Локощенко в [5, 6], при этом было использовано развитие кинетической теории Ю. Н. Работнова [7] при учете векторного параметра поврежденности. В данной статье рассматриваются экспериментальные данные, полученные группой японских исследователей [8]. Эти данные получены на трубчатых образцах из нержавеющей стали 304, испытанных на ползучесть при температуре 650 в условиях кусочно-постоянных зависимостей касательного и нормального напряжений от времени. Анализ этих экспериментальных данных и описание результатов с помощью различных моделей представляют большой интерес. 1. Результаты испытаний. В работе [8] приведены результаты испытаний трубчатых образцов из нержавеющей стали 304 с наружным диаметром 21 ± 0.5 мм, толщиной стенки 1 ± 0.05 мм и рабочей длиной 98 мм. Перед механической обработкой материал подвергался термической обработке при 1100 , после которой были получены следующие механические характеристики при комнатной температуре: предел текучести 274.6 МПа, предел прочности 637.4 МПа и твердость по Бринеллю 174. В процессе испытаний температура испытаний измерялась тремя платино-платинородиевыми термопарами, приваренными точечной сваркой в трех точках вдоль рабочей длины образца. Отклонение температуры испытаний от 650 составляло менее 0.5 по времени и 1.5 по длине образцов. Перед испытаниями образцы выдерживались при температуре испытаний 650 около 22 часов. В данных испытаниях сложное напряженное состояние создавалось кусочно-постоянными зависимостями нормального и касательного напряжений от времени в течение 80 часов, скачкообразное изменение величин и осуществлялось при = 0 , где = 0, 1, . . . , 10, 0 = 8 часов, при этом испытания представляют собой последовательные 5 циклов по 20 = = 16 часов (рис. 1–4). В процессе всех испытаний интенсивность напряжений 2 = + 3 2 сохраняла постоянное значение: = 0 = 137.3 МПа, этот уровень напряжений почти равен пределу текучести при 650 . В работе [8] представлены результаты зависимостей осевой () и сдвиговой () деформаций ползучести от времени , при этом интенсивность деформаций ползучести вычисляется по формуле () = ( ())2 + (())2 , () () = . 3 На рис. 1–4 приведены экспериментальные зависимости величин () и () при четырех различных программах нагружения. В состоянии разгрузки осевая и сдвиговая деформации ползучести практически сохраняют свои значения. В четвертой программе нагружения образцы находятся только при знакопеременном кручении (осевое напряжение отсутствует), при этом кривые сдвиговой деформации на всех циклах нагружения практически совпадают. Отсюда следует, что поврежденность материала, обычно накапливающуюся при испытаниях такого типа, в данном случае можно не учитывать. 2. Моделирование полученных результатов в [8–10]. В работе [8], кроме экспериментальных кривых ползучести, приведены теоретические кривые, соответствующие различным теориям (модели 1–4). Стандартная теория старения (модель № 1), называемая в статье [8] теорией деформационного упрочнения, рассматривается в виде обобщения уравнения Бейли—Нортона на случай сложного напряженного состояния. В модифицированной теории старения (модель № 2) дополнительно учитывается изменение знака касательного напряжения. В теории кинематического упрочнения (модель № 3) используется подход Н. Н. Малинина и Г. М. Хажинского [9] с введением дополнительных гипотез. В теории смешанного упрочнения (модель № 4) используются основные понятия физики твердого тела (теория дислокаций и др.). При этом в первой и второй указанных моделях использованы по 3 материальные константы, в третьей модели — 5 материальных констант и 1 материальная функция, в четвертой модели — 6 констант и 1 материальная функция. В работе [10] приведены результаты моделирования экспериментальных данных [8] с помощью варианта уравнений нестационарной ползучести (модель № 5), предложенного Ю. Г. Коротких и развитого в работах его учеников. В этой модели принимается, что компоненты тензора деформаций являются суммами трех составляющих: упругих деформаций, пластических деформаций и деформаций ползучести. В модели учитываются уровень температуры , зависимости модуля сдвига, объемного модуля упругости и коэффициента температурного расширения от , упругое изменение объема тела, поврежденность материала и другие параметры. В модели № 5 использованы 9 материальных констант и одна материальная функция. В [11] дополнительно рассмотрены два частных варианта рассматриваемой модели. 3. Моделирование результатов испытаний [8] с помощью теории упрочнения (модель № 6). В данном пункте приведены результаты моделирования экспериментальных данных [8] с помощью теории упрочнения при четырех программах нагружения. Рис. 1. (онлайн в цвете) Первая программа нагружения, экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям [Figure 1. (color online) The first loading program, experimental data, and calculation results for various models] Рис. 2. (онлайн в цвете) Вторая программа нагружения, экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям [Figure 2. (color online) The second loading program, experimental data, and calculation results for various models] Рис. 3. (онлайн в цвете) Третья программа нагружения, экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям [Figure 3. (color online) The third loading program, experimental data, and calculation results for various models] Рис. 4. (онлайн в цвете) Четвертая программа нагружения, экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям [Figure 4. (color online) The fourth loading program, experimental data, and calculation results for various models] В первой программе нагружения в каждый момент времени образцы находились либо при одностороннем кручении, либо при одноосном растяжении (см. рис. 1). Во второй и третьей программах касательное напряжение отлично от нуля при любом значении времени , в то время как зависимость нормального напряжения от времени принимает попеременно нулевое и положительное значения (см. рис. 2 и 3 соответственно). В четвертой программе нагружения в каждый момент времени образцы находились только при прямом и обратном кручении (см. рис. 4). В работе [8] указано, что скорость нагружения и разгрузки составила 49 МПа/мин, это означает, что длительность нагружения и разгрузки составляла 2.8 мин, отношение этого времени к продолжительности каждого этапа ползучести (8 часов) составляло всего 0.58 %. Поэтому при моделировании экспериментальных данных принимается, что процессы нагружения и разгрузки происходили мгновенно. Сдвиговые и продольные деформации ползучести при = 0 по определению равны нулю: (0) = 0, (0) = 0. В 1948 г. Ю. Н. Работнов [12] предложил простое уравнение неустановившейся ползучести при осевом растяжении: = (), 0 < < 1, которое естественным образом обобщается на сложное напряженное состояние; точкой здесь и далее обозначается дифференцирование по времени. Примем гипотезу, согласно которой компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформаций ползучести несжимаемого материала пропорциональны [13]: = 3 ( ) 3 (0 ) 3 1 3 1 = = = ( , 2 2 0 2 0 2 2 + 2 )/2 0 (1) где = 0 = 137.3 МПа; 1 = (0 ) = 0 (, — параметры). Из уравнений (1) следует, что как при кручении, так и при растяжении при полной разгрузке соответствующие деформации ползучести сохраняют постоянное значение, накопленное в конце предыдущего этапа перед разгрузкой. В рассматриваемых испытаниях деформация ползучести не только после полной разгрузки, но и после частичной разгрузки составляет всего несколько процентов по отношению к накопленному перед разгрузкой уровню деформации ползучести, поэтому в этом случае уравнение (1) можно заменить на следующее: = 0. (2) В принципе, можно рассмотреть более точное моделирование процесса ползучести после разгрузки с учетом явления последействия с помощью кинетической теории Ю. Н. Работнова, которое в случае одноосного растяжения описывается следующей системой уравнений: { = ( ) , (0) = 0, = , (0) = 0, где () — кинетический параметр. В [13] показано, что при полной разгрузке в момент времени 1 деформация ползучести при > 1 постепенно уменьшается до некоторого предельного значения. Однако, так как в рассматриваемых испытаниях деформация ползучести в процессе разгрузки уменьшается очень незначительно, в данном случае такое уточнение предполагается излишним. 3.1. Первая программа нагружения. При анализе процесса ползучести выделим 10 временных отрезков (этапов нагружения): 0 < < 0 , 0 < < 20 , 20 < < 30 , . . . , 90 < < 100 и присвоим им номера = 1, 2, 3, . . . , 10. Согласно рис. 1, компоненты тензоров напряжений на нечетном и четном интервалах действия напряжений имеют следующие значения: 0 () = , () = 0; (3) 3 = 2, 4, 6, 8, 10: () = 0, () = 0 . При положительных значениях () = 0 / 3 и () = 0 , согласно (1), имеем ( 1 ) 1 3 1 3 3 1 0 = = · = = · , /2 2 2 2 2 2 2 ( + ) 0 3 3 = 1, 3, 5, 7, 9: ( 1 2 ) 1 3 · 0 . = 2 (2 + 2 )/2 0 3 Здесь и далее введена цилиндрическая система координат (, , ), ось которой направлена вдоль продольной оси симметрии цилиндрического трубчатого образца, — координата вдоль радиуса, — угол радиус-вектора в рассматриваемой точке. При этом — нормальная компонента тензора деформаций ползучести, a — касательная компонента тензора деформаций ползучести. Из последних соотношений c учетом (2), (3) получаем =0 = 0, =0 = 0, 0 1 при = , = 2 = 0 при = 0; /2 2 ( + ) 3 1 = 2 при = 0 , = 0 при = 0. ( + 2 )/2 (4) (5) С помощью (4), (5) вычислим значения компонент тензора деформаций ползучести при значениях времен, соответствующих окончаниям последовательных этапов нагружения. Значения сдвиговой деформации () в конце того отрезка обозначим через , а значения осевой деформации () в конце -того отрезка времени — . Тогда 0 1) если = 1, то 0 < < 0 ; () = 0, () = 0, (0 ) = 1 = 0; () = , 3 1 (+1) (+1) 1 1 = = , (0) = 0, 1 = (0 ); = = 1 ( + 1) 0 ( + 1) 0 1 [ ] = 1 0 , 1 = ( + 1)1 0 (+1) ; 2) если = 2, то 0 < < 20 ; () = 0, () = 1 , = 0, (20 ) = 2 = 1 ; 1 , (0 ) = 1 = 0, (20 ) = 2 ; () = 0 , = 2 ( + 21 )/2 3) если = 3, 5, 7, 9, то ( 1)0 < < 0 ; () = 0, (0 ) = = 1 , ( ) 0 1 () = , ( 1)0 = 1 , = , (0 ) = ; 2 ( + 2 )/2 3 4) если = 4, 6, 8, 10, то ( 1)0 < < 0 ; ( ) () = 0, ( 1)0 = 1 , = 0, = 1 ; ( ) 1 () = 0 , ( 1)0 = 1 , = 2 , (0 ) = . ( + 2 )/2 Теоретические кривые, соответствующие модели № 6, для первой программы нагружения приведены на рис. 5. 3.2. Вторая программа нагружения. Согласно рис. 2, компоненты тензоров напряжений при нечетном и четном интервалах времени имеют следующие значения: 0 () = , () = 0; 3 0 0 = 2, 4, 6, 8, 10: () = , () = . 2 2 = 1, 3, 5, 7, 9: (6) Рис. 5. (онлайн в цвете) Экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям для первой программы нагружения [Figure 5. (color online) Experimental data, and calculation results for various models for the first loading program] Из (1), (2) аналогично (4), (5) c учетом (6) получаем 1 0 3 1 0 = 2 при = , = при = ; (7) 2 /2 /2 2 2 2 ( + ) 2 ( + ) 3 1 0 = при () = , = 0 при () = 0. (8) /2 2 2 2 2( + ) Далее с помощью (7), (8) при учете (6) проведено вычисление компонент тензоров деформаций ползучести в концах различных этапов нагружения: 0 1) если = 1, то 0 < < 0 ; () = , () = 0, () = 0, (0 ) = 3 1 1 1 = = 1 = 0; = = , (0) = 0, ( ) = ; 0 1 (2 + 2 )/2 0 (+1) [ ] 1 (+1) 1 = 1 0 , (0 ) = 1 = ( + 1)1 0 (+1) ; = 1 ( + 1) 0 ( + 1) 0 0 2) если = 2, то 0 < < 20 ; () = , () = ; 2 2 3 1 = , (0 ) = 1 , (20 ) = 2 , 2 (2 + 2 )/2 1 1 = , (0 ) = 0, (20 ) = 2 ; 2 2 ( + 2 )/2 = 0 3) если = 3, 5, 7, 9, то ( 1)0 < < 0 ; () = , () = 0, = 1 ; 3 1 = , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = ; (2 + 2 )/2 0 0 , () = ; 4) если = 4, 6, 8, 10, то ( 1)0 < < 0 ; () = 2 2 3 1 = , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = , 2 2 ( + 2 )/2 1 = 1 , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = . 2 (2 + 2 )/2 Теоретические кривые, соответствующие модели № 6, для второй программы нагружения приведены на рис. 6. 3.3. Третья программа нагружения. Зависимости касательного и нормального напряжений от времени в третьей программе приведены на рис. 3: 0 () = , () = 0, 3 0 0 = 2, 4, 6, 8, 10: () = , () = . 2 2 = 1, 3, 5, 7, 9: (9) Из (1), (2) при учете (9) получаем следующие дифференциальные уравнения относительно характеристик тензора деформаций ползучести () и (): 1 0 3 1 0 = 2 при () = , = при = ; (10) /2 2 2 2 2 ( + 2 )/2 ( + ) 3 1 0 = , = 0 при = 0. (11) при = /2 2 2 2 2( + ) В данной программе нагружения с помощью (10), (11) получаем следующие значения и : 0 1) если = 1, то 0 < < 0 ; () = , () = 0, () = 0, 1 = 0; 3 1 1 1 = , = 1 0 , 1 = (0 ) = [( + 1)1 0 ] +1 ; 0 Рис. 6. (онлайн в цвете) Экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям для второй программы нагружения [Figure 6. (color online) Experimental data, and calculation results for various models for the second loading program] 2) если = 2, то 0 < < 20 ; () = 0 0 , () = ; 2 2 3 1 = , (0 ) = 1 , (20 ) = 2 , 2 (2 + 2 )/2 1 1 = , (0 ) = 1 = 0, (20 ) = 2 ; 2 (2 + 2 )/2 0 3) если = 3, 5, 7, 9, то (1)0 < < 0 ; () = , () = 0, = =1 ; 2 1 = , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = ; (2 + 2 )/2 80 Моделирование ползучести металлов при нестационарном сложном напряженном состоянии 4) если = 4, 6, 8, 10, то ( 1)0 < < 0 ; () = 0 0 , () = ; 2 2 3 1 , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = , = 2 2 ( + 2 )/2 1 1 = , (( 1)0 ) = 1 , (0 ) = . 2 2 ( + 2 )/2 Теоретические кривые, соответствующие модели № 6, для третьей программы нагружения приведены на рис. 7. Рис. 7. (онлайн в цвете) Экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям для третьей программы нагружения [Figure 7. (color online) Experimental data, and calculation results for various models for the third loading program] 3.4. Четвертая программа нагружения. В этой программе нагружения осуществлялось знакопеременное кручение, при этом нормальное напряжение отсутствовало (см. рис. 4): 0 () = ± , 3 () = 0, (12) отсюда () = 0, т. е. 1 = 2 = · · · = 10 = 0. Использование (2), (3) с учетом (12) приводит к следующим результатам: 1 0 1) если = 1, то 0 < < 0 ; () = ; = , (0) = 0, (0 ) = 1 , 3 1 +1 1 = 1 = 1 0 , 1 = [( + 1)1 0 ] +1 ; +1 0 2 0 2) если = 2, то 0 < < 20 ; () = ; ( = 20 ) = 2 ; = 3 1 1 +1 +1 1 = [( + 1)1 0 ( + 1)1 0 ] +1 = 0; = 2 = 1 0 ; +1 2 +1 (20 ) = 2 = 0; 3) проведя аналогичные вычисления при = 3, 4, . . . , 10, получим 1 1 = 3 = 5 = 7 = 9 = [( + 1)1 0 ] +1 , 4 = 6 = 8 = 10 = 0. Теоретические кривые, соответствующие модели № 6, для четвертой программы нагружения приведены на рис. 8. Рис. 8. (онлайн в цвете) Экспериментальные данные и результаты расчета по различным моделям для четвертой программы нагружения [Figure 8. (color online) Experimental data, and calculation results for various models for the fourth loading program] 4. Теория течения (модель № 7). Рассмотрим теорию течения в следующем виде: = 0 1 = 2 1 , 2 = 0 , 1 < < 2. По-прежнему будем использовать зависимости касательного () и нормального () напряжений от времени (программы нагружения), представленные на рис. 1–4. 4.1. Первая программа нагружения. В этой программе нагружения компоненты тензора напряжений принимают значения (3). На основе уравнений (1), (2) получаем дифференциальные уравнения относительно осевых и касательных деформаций ползучести как функций времени: 0 = 2 1 при () = , т. е. = 2 ( ); = 0 при () = 0; 3 = 2 1 при () = 0 , т. е. = 2 ( ); = 0 при () = 0. Далее имеем следующие результаты: 1) если = 1, то 0 < < 0 ; = 0 ( ), (0 ) = 1 = 2 0 ; 1 = = (0 ) = 0; [ 2) если = 2, то 0 < < 20 ; (20 ) = 2 = 1 ; 2 = (20 ) = 2 (20 ) ] 0 + 1 ; [ 3) если = 3, 5, 7, 9, то (1)0 < < 0 ; = (0 ) = 1 +2 (0 ) ] (( 1)0 ) ; = 1 ; 4) если [ = 4, 6, 8, 10, то ( ] 1)0 < < 0 ; = 1 ; = 1 + + 2 (0 ) (( 1)0 ) . Теоретические кривые, соответствующие модели № 7, для первой программы нагружения приведены на рис. 5. 4.2. Вторая программа нагружения. Эта программа нагружения характеризуется компонентами тензора напряжений (6). Уравнения (1), (2) при использовании (6) после преобразований приводят к следующим результатам: 3 0 0 = 2 ( ) при = ; = 2 ( ) при = , 2 2 3 1 0 = 2 ( ) при = , = 0 при = 0. 2 2 Далее имеем следующее: 1) если = 1, то 0 < < 0 ; (0 ) = 1 = 2 0 ; 1= (0 ) = 0; ] 3 [ 2) если = 2, то 0 < < 20 ; (20 ) = 2 = 1 + 2 (20 ) 0 ; 2[ ] 3) если = 3, 5, 7, 9, то (0 ) = = 1 + 2 (0 ) (( 1)0 ) ; (0 ) = = 1 ; ] 3 [ 4) если = 4, 6, 8, 10, то (0 ) = = 1 + 2 (0 ) (( 1)0 ) ; 2 ] 1 [ (0 ) = = 1 + 2 (0 ) (( 1)0 ) . 2 Теоретические кривые, соответствующие модели № 7, для второй программы нагружения приведены на рис. 6. 4.3. Третья программа нагружения. Для третьей программы нагружения получаем, что 0 0 3 = 2 ( ) при = , = 2 ( ) при = ; 2 2 3 1 0 = 2 · ( ) при = , = 0 при = 0. 2 2 Для каждой ступени нагружения получаем следующее: 1) если = 1, то 0 < < 0 ; (0 ) = 1 = 2 0 ; 1= (0 ) = 0; ] 3 [ 2 (20 ) 0 ; 2) если = 2, то 0 < < 20 ; (20 ) = 2 = 1 2 [ 3) если = 3, 5, 7, 9, то (1)0 < < 0 ; (0 ) = = 1 +2 (0 ) ] (( 1)0 ) ; = 1 ; 3 [ 2 (0 ) 4) если = 4, 6, 8, 10, то ( 1)0 < < 0 ; = 1 2 ] ] 1 [ (( 1)0 ) ; = 1 + 2 (0 ) (( 1)0 ) . 2 Теоретические кривые, соответствующие модели № 7, для третьей программы нагружения приведены на рис. 7. 4.4. Четвертая программа нагружения. Для четвертой программы имеем 0 0 = 2 ( ) при = , = 2 ( ) при = , 3 3 = 0 при = 0; следовательно, 1 = 2 = = 0 и аналогично получаем: 1) если = 1, то 0 < < 0 ; (0 ) = 1 = 2 0 ; [ ] 2) если = 2, то 0 < < 20 ; (20 ) = 2 = 1 2 (20 ) 0 ; [ 3) если = 3, 5, 7, 9, то ( 1)0 < < 0 ; = 1 + 2 (0 ) ] (( 1)0 ) ; [ 4) если = 4, 6, 8, 10, то ( 1)0 < < 0 ; = 1 2 (0 ) ] (( 1)0 ) . Теоретические кривые, соответствующие модели № 7, для четвертой программы нагружения приведены на рис. 8. 5. Интегральный метод оценки погрешности при описании экспериментальных данных [8] различными моделями. В данном пункте предлагается интегральный способ оценки относительного расхождения экспериментальных величин деформаций ползучести (обозначены символом «звездочка») во всех четырех программах нагружения с теоретическими величинами, соответствующими различным моделям: ( 100 ) ( 100 )1 * * = | () ()| · | ()| при = 1, 2, 3, 4; 0 Five constants and one function by Y. Ohashi et al. [8] by Y. Ohashi et al. [8] by N. Malinin, G. Khadjinsky [9] by Y. Ohashi et al. [8] by I. Volkov et al. [10] in the current article in the current article Two constants Two constants Nine constants and one function Six constants and one function Three constants Number of material constants and model functions by Y. Ohashi et al. [8] Model description 1 Model number 1.290 0.650 0.806 0.370 1.452 0.536 1.235 0.620 1.032 0.804 1.260 1.510 1.574 1.834 1.940 1.174 2.258 1.796 2.745 2.194 2.866 Loading programs 1–4 1.174 0.474 0.634 0.722 0.630 1.198 0.880 0.650 0.370 0.806 0.536 1.235 0.620 1.032 1.824 0.844 1.440 1.258 1.865 1.818 1.912 Loading programs 1–3 Величины суммарных интегральных погрешностей , и , вызываемые применением различных теоретических моделей в рассмотренных программах нагружения [The values of the total integral errors ( , , and ) caused by the use of various theoretical models in the considered loading programs Моделирование ползучести металлов при нестационарном сложном напряженном состоянии ( = |* () ) ( ()| · 0 100 |* ()| )1 при = 1, 2, 3, 0 4 = 0; = 4 , =1 = 4 , = + . =1 Значения , и для всех рассмотренных моделей приведены в таблице. При определении величин , и были использованы следующие значения материальных констант: = 0.46, 1 = 8.0 · 105 , = 0.786, 2 = 0.00036. Здесь необходимо отметить, что 1 и 2 являются постоянными для данной задачи, поскольку величина интенсивности напряжений = 0 = const является постоянной величиной на всех программах нагружения. Эти величины определены в результате оценки минимальных значений соответственно для моделей № 6, 7. На рис. 5–8 приведены экспериментальные кривые ползучести и теоретические кривые, соответствующие моделям № 6, 7. 6. Обсуждение результатов и выводы. Из приведенных в таблице данных следует, что при описании одних и тех же экспериментальных зависимостей применение теории упрочнения всего с двумя материальными константами (модель № 6) приводит к значительно меньшей погрешности, чем применение моделей 1–5 со значительно большим количеством констант (до девяти материальных констант и одной материальной функции). Погрешности при применении теории течения (модель № 7) имеют тот же порядок, что и погрешности моделей 1–5, хотя в ней использованы только две материальные константы. Таким образом, авторами данной статьи показано преимущество рассмотренных теории упрочнения и теории течения всего с двумя материальными константами в каждой по сравнению с другими использованными теориями.

About the authors

Alexander Mikhaylovich Lokoshchenko

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: loko@imec.msu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Leonid Viktorovich Fomin

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: lef1975@rambler.ru
without scientific degree, no status

Yuriy Genrikhovich Basalov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: basalov@yandex.ru

Vardan Samvelovich Agababyan

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

References

Supplementary files