Modeling of elastoplastic behavior of flexible spatially reinforced plates under refined theory of bending

Full Text

Введение. Конструкции из композиционных материалов (КМ) находят широкое применение в современной инженерной практике [1–8, 10]. При этом все более активно используются пространственно-армированные материалы [6–8, 10], так как такой тип армирования упраздняет серьезный недостаток плоско-армированных сред — расслоение в силу слабого сопротивления поперечным сдвигам и отрыву, а также позволяет локализовать трещины в пределах нескольких ячеек периодичности. Упругое деформирование волокнистых сред с пространственными структурами армирования моделировалось в [9, 11, 12]. Однако КМ-изделия часто испытывают высокоинтенсивное внешнее воздействие [1–3, 6, 13]. При этом КМ-конструкции могут деформироваться упругопластически. В связи с этим в [14] была построена структурная модель упругопластического деформирования пластин, перекрестно армированных в своей плоскости. Структурная же модель неупругого поведения КМ-среды с пространственной структурой армирования, использующая определяющие уравнения теории пластического течения, пока не построена. Так как при пространственном ортогональном армировании [6–10] тонкостенные элементы КМ-конструкций типа пластин также могут обладать ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам, актуальной является проблема не только математического моделирования упругопластического деформирования КМ-сред, но и адекватного описания механического поведения КМ-пластин с такими структурами армирования при изгибе с учетом их возможного ослабленного сопротивления поперечным сдвигам. Последнее обстоятельство традиционно учитывается в рамках теорий Рейсснера [13, 15–18] и Редди [14, 19–22]. В [19, 23] продемонстрировано, что при линейно-упругом изгибном деформировании КМ-пластин уточнение теории Редди, которая в первом приближении учитывает искривление поперечной нормали, не требуется. Однако, согласно [23], при упругопластическом изгибном деформировании пластин, перекрестно армированных в своей плоскости, теория Редди не гарантирует получения приемлемых результатов расчетов их динамического поведения. Для адекватного описания ослабленного сопротивления таких КМ-пластин поперечным сдвигам следует использовать кинематические гипотезы более высокого порядка [23, 24], чем это принято в теории Редди. Согласно всему вышеизложенному, данное исследование посвящено математическому моделированию упругопластического поведения пространственно-армированных гибких пластин при использовании более точных, чем в теории Редди, кинематических гипотез. Для численного интегрирования возникающих при этом начально-краевых задач предполагается использовать явную пошаговую схему типа «крест». 1. Моделирование упругопластического деформирования пространственно-армированной гибкой пластины с учетом ослабленного сопротивления поперечным сдвигам. Рассматриваем изгибное деформирование КМ-пластины толщиной 2 (рис. 1), с которой свяжем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы отсчетная плоскость 1 2 (3 = 0) совпадала со срединной плоскостью (|3 | ). Конструкция плоскоили пространственно усилена семействами волокон с относительным их объемным содержанием в репрезентативной ячейке , 1 (интенсивности армирования). На рис. 1, a изображено ортогональное плоское 2Dармирование при = 2; на рис. 1, b — ортогональное пространственное 3Dармирование при = 3 [7, 9, 10]; на рис. 1, c — неортогональное пространственное 4D-армирование при = 4 [6]. В поперечном направлении 3 структура армирования считается квазиоднородной. Относительное объемное содержание связующего материала в представительном элементе композиции определяется так [6, 10]: 0 = 1 . (1) =1 Для учета возможного (например в случаях ортогональных структур армирования, изображенных на рис. 1, a и b) ослабленного сопротивления КМпластины поперечным сдвигам используем кинематические соотношения более высокого порядка, чем принято в теории Редди. При этом предполагаем, что на лицевых поверхностях 3 = ± отсутствуют внешние касательные Рис. 1. Элементы КМ-пластин: a) с плоской ортогональной структурой 2D-армирования; b) с пространственной ортогональной структурой 3D-армирования; c) с пространственной неортогональной структурой 4D-армирования [Figure 1. Elements of composite plates: a) with a flat-orthogonal 2D reinforcement structure; b) with a spatial-orthogonal 3D reinforcement structure; c) with a spatial non-orthogonal 4D reinforcement structure] нагрузки. Тогда, согласно [23], средние деформации в композиции и перемещения точек КМ-пластины при учете геометрической нелинейности в приближении Кармана аппроксимируются так: 1 (, ) = ( + ) 3 + 2 ( 2 +1 23 )( () 1 () ) 3 + 3 + 3 + , 2 +1 +3 2 =0 3 (, ) = = {1 , 2 }, 2 (2) () 3 3 (, ), 2 =0 = {1 , 2 , 3 }, = 1, 2; ( 2 23 ) () +1 3 (, ), 2 + 1 + 3 3 =0 , |3 | , 0 , = 1, 2, (, ) = (, ) 3 + 2 3 (, ) = (, ), 23 (3) где — прогиб; — тангенциальные перемещения точек отсчетной плоскости (3 = 0) в направлениях ; 0 — начальный момент времени ; — оператор дифференцирования по ( = 1, 2); — целое число, задающее количество слагаемых, которые удерживаются в степенных разложениях по 3 ; — область, занимаемая КМ-пластиной в плане. Последнее равенство (3) соответствует традиционной для тонких пластин кинематической гипотезе, согласно которой изменяемостью поперечного смещения 3 (, ) по переменной 3 можно пренебречь [13–23]. При = 0 из равенств (2), (3) следуют кинематические допущения теории Редди [14, 19–22]. Таким образом, в соотношениях (2), (3) неизвестными являются функции () , и 3 ( = 1, 2, 0 ), которые зависят от двух пространственных переменных 1 , 2 и времени . В силу того что установить действительное распределение полей деформаций и напряжений в КМ, в котором связующее содержит многочисленные армирующие включения достаточно произвольной ориентации (см. рис. 1), весьма затруднительно [21] (особенно при упругопластическом деформировании компонентов композиции), для построения практически приемлемых в инженерных приложениях определяющих уравнений неупругого деформирования КМ-среды используем исходные предпосылки, аналогичные принятым в [14, 21]. 1. В пределах представительного элемента КМ можно рассматривать как макроскопически анизотропное квазиоднородное тело. (При равномерном и достаточно густом наполнении связующего тонкими армирующими элементами это допущение вполне приемлемо [21].) 2. Между волокнами и связующим реализуется идеальный механический контакт. 3. В пределах репрезентативной ячейки, выделенной из КМ-среды на миниуровне, напряжения и деформации во всех компонентах и в композиции в целом кусочно-постоянны. Эффекты более высоких порядков, характеризующие изменение напряжений и деформаций на микроуровне в окрестностях границ контакта волокон и связующего, не учитываем. 4. Поля деформаций и напряжений в КМ-среде осредняем по объему представительного элемента, т. е. согласно гипотезе 3 пропорционально , 0 (см. (1)). 5. Компоненты композиции однородны и изотропны, а их упругопластическое деформирование описывается соотношениями теории Прандтля— Рейсса—Хилла (теории течения с изотропным упрочнением) [25, 26]: = B (B = A P ), = 0, 1, 2, . . . , , (4) где { () () () () () () } { () () () () () () } = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , , , , 31 , 12 , { () () () () () () } { ()11 () 22 () 33 ()23 () () } = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 11 , 22 , 33 , 223 , 231 , 212 ; (5) () () , — компоненты тензоров напряжений и деформаций в -той фа() () () зе композиции; B = ( ), A = ( ), P = ( ) — симметричные 6*6-матрицы. Ненулевые компоненты матриц A , P в (4) вычисляются по формулам [26]: () () () () () () () = 2() + () , = = () , = () , = () ( = , , = 1, 3, = 4, 6, , = 1, 6); () () () () ), () = () = (1 2 , () 1 + () 2 () () () () = , () = , (1 + () )(1 2 () ) () 3 6 1 () 2 () 2 () 2 = ( ) + ( ) , 2 =1 =4 (6) { () () () () () 0 при < или = , 0, 2 2* 2 2* () = () () 1 при 2 = 2* , () > 0, 6 3 () () 1 () () () () () , = , () = , = 3 =1 =1 3 1 () () () = , 3 () () = , () () =1 () 2* = max{2p , 2m }, = 1, 3, = 4, 6; () , () — коэффициент Пуассона и модуль Юнга -того компонента композиции; () — касательный модуль на диаграмме чистого сдвига для того же материала; () — функция переключения, задающая активное упругопласти() ческое нагружение или разгрузку элемента -той фазы композиции; 2p — () значение второго инварианта тензора-девиатора напряжений 2 , при котором -той компонент композиции начинает впервые деформироваться пластически; 2m — наибольшее значение 2 , которое достигнуто за предыдущую историю нагружения элемента -той фазы композиции; точка — дифференцирование по времени. Равенства (5) задают соответствия между шестью () элементами ( = 1, 6) некоторого вектор-столбца и компонентами сим() метричного тензора второго ранга (, = 1, 3, 0 ). В соответствии () () с (6) и ( = 1, 6) — компоненты (возможно, удвоенные) девиаторов напряжений и деформаций в -той фазе композиции. С каждым -тым семейством волокон свяжем локальную ортогональную () () систему координат таким образом, чтобы 1 совпадала с траекторией () () армирования, а оси 2 , 3 были перпендикулярны этим траекториям. При этом направление волокна -того семейства можно задать углами сфериче() ской системы координат и (рис. 2). Направляющие косинусы между () и (, = 1, 3) в этом случае определяются так: () () () 11 = sin cos , 12 = sin sin , 13 = cos , () () () 21 = sin , 22 = cos , 23 = 0, () () () 31 = cos cos , 32 = cos sin , 33 = sin , (7) 1 . () При переходе от глобальной к локальной (, = 1, 3) системе координат для векторов-столбцов, аналогичных (5), выполняются преобразования = G = Q () ( ( () () = 6 = =1 6 =1 () () () () ) ) , (8) , = 1, 6, () где G = ( ) и Q = ( ) — 6*6-матрицы, элементы которых вычисляют- Рис. 2. Локальная система координат, связанная с арматурой -того семейства [Figure 2. Local coordinate system associated with -th family of armature] ся по формулам (см. (7)) () () () () () 11 = 11 = 11 11 , () 16 = () 216 = () () () 12 = 12 = 12 12 , () () 212 11 , ..., () 261 ..., = () 61 () () = 221 11 , (9) ..., () () () () () () 66 = 66 = 11 22 + 12 21 , 1 . Остальные элементы матриц G и Q , не выписанные в (9), приведены в [21, табл. 21.40 и 21.44]. Чертой сверху в (8) обозначены величины, заданные () в системе координат ( = 1, 3). Согласно условиям сопряжения полей напряжений и перемещений на границах контакта связующего с волокнами, при учете второго и третьего допущений имеем (см. (8)) 6 () () 1 =1 = 6 () (0) 1 , =1 6 () () = =1 6 () (0) , = 2, 6, 1 . (10) =1 Здесь первое соотношение характеризует равенство удлинений арматуры того семейства и связующего материала вдоль волокна; остальные равенства — условия контакта между арматурой и связующей матрицей в напряжениях на боковой поверхности волокна. Исходные предположения 1–5 аналогичны допущениям, которые ранее были приняты в [14], поэтому, повторяя рассуждения из [14] и учитывая соотношения (1), (4), (6) и (10), окончательно в матричном виде получим следующее определяющее уравнение упругопластического деформирования КМ-среды с пространственной структурой армирования: = B, (11) где ) ( B = 0 B0 + B E H, =1 ( )1 , H = 0 I + E (12) =1 E = D1 C , 1 ; — шестикомпонентные векторы-столбцы скоростей средних напряжений , и деформаций в КМ, по структуре подобные (5); I — единичная 6*6матрица; B, H, E , C , D — 6*6-матрицы; D1 — 6*6-матрица, обратная D . () () Элементы и матриц C и D с учетом (4), (6), (7), (9), (10) имеют следующие выражения: () () () 1 = 1 = 1 , () = 6 =1 96 () (0) , () = 6 =1 () () , = 2, 6, = 1, 6. При выводе соотношений (11) и (12), как и в [14], попутно получаются дополнительные матричные равенства 0 = H, = E 0 , 1 . (13) Первое соотношение (13) определяет скорости деформаций в связующей а второе матрице 0 через скорости осредненных деформаций композиции , равенство выражает скорости деформаций волокон -того семейства через скорости деформаций связующего материала 0 , т. е. в конечном итоге опять же через . В настоящем исследовании рассматривается механическое поведение КМпластины как гибкой тонкостенной системы, поэтому напряжение 33 (, ) с приемлемой для инженерных приложений точностью можно линейно аппроксимировать по толщине [18]: (+) (+) () () (, ) + 33 (, ) (, ) 33 (, ) 3 + 33 , 33 (, ) 3 (, ) = 33 2 2 (14) (±) где 33 (, ) 33 (, , ±) — нормальные напряжения на нижней () и верхней (+) лицевых поверхностях конструкции, известные из соответствующих граничных условий. Матричное соотношение (11) — система шести алгебраических уравнений. Из третьего равенства этой системы при учете условий соответствия, аналогичных (5), можем выразить скорость поперечной линейной деформации КМ-пластины: ( ) 6 1 3 33 3 = (1 3 )3 , (15) 33 =1 где 3 — компоненты матрицы B в (11); 3 ( = 1, 6) — символ Кронекера; 3 определяется путем дифференцирования (14) по времени. В правой части (15) скорости деформаций можно получить за счет дифференцирования по соотношений (2), т. е. можно выразить их через двумерные функции , () , , 3 ( = 1, 2, 0 ). Как и в [23], для понижения размерности уравнений движения гибкой КМ-пластины применим метод взвешенных невязок [27]. В качестве весовых функций используем полиномы 3 . Тогда с учетом (14) и последнего равенства (3) будем иметь [23] 2 = 2 ( (0) 3 =1 () = 2 + 2 (0) ) (+) () (0) + 33 33 + 3 , =1 ( () ) () (1) (1) + 33 3 3 (16) =1 [ (+) () ] () 33 (1) 33 + , = 1, 2, 0 + 1, , 0 , где 0 0 + () (, ) (1) 33 =1 () (, ) , (, )3 3 , (, )3 3 , () (, ) (, )3 3 , (17) 33 (, )1 (, ) 3 3 = )] [( (+) ( (+) () ) () )( = 33 + 33 (1 (1) ) + 33 33 1 + (1) , 2 +1 , = 1, 3, = 1, 2, 0 + 1; 0 , — объемные плотности материалов связующего и арматуры -того семейства; — объемные нагрузки, действующие на КМ и определяемые по правилу смеси аналогично . Из третьего равенства (17) следует, что (0) (1) , — тангенциальные силы и изгибающие и крутящие (0) моменты в пластине; 3 3 (, = 1, 2) — перерезывающие силы; остальные силовые факторы в (16) — моменты высших порядков [27]. Для однозначного интегрирования исследуемой задачи нужно задать граничные и начальные условия. Для понижения размерности этих условий вновь применим метод взвешенных невязок, используя те же весовые функции. Тогда на части кромки пластины (обозначим ее ), где заданы силовые граничные условия, получим следующие равенства в силовых факторах (17) [23]: ( () ) ( () ) () () () 1 1 13 + 2 2 23 = (, ), ) ( 2 2 (0) (0) (0) (18) 3 + = 3 (, ), =1 =1 = 1, 2, 0 + 1, , 0 , а на остальной части кромки (обозначим ее ), где заданы перемещения, получим граничные условия в кинематических переменных (см. (3) и (17)) [23]: (, ) = *3 (, ), = 1, 2, 0 () () (, ) = * (, ), + 1, , (19) 0 , где () (, ) (, )3 3 , ( = 1, 3, = 1, 2), () * (, ) 1 = cos , * (, )3 3 (20) 2 = sin ; ( = 1, 3) — приложенные к торцевой поверхности пластины внешние нагрузки; *3 — известный на прогиб; * — заданные на торцевой поверхности пластины тангенциальные перемещения; — угол, определяющий на() правление внешней нормали к кромке ; * ( = 1, 2) — известные на функции. В момент времени 0 нужно использовать начальные условия (см. (3), (17)) [23]: (0 , ) = 03 (), () () () ( 0 , ) = 03 (), (0 , ) = 0 (), , () (0 , ) = 0 (), = 1, 2, 0 (21) + 1, где () 0 () 0 ()3 3 , = 1, 2, 0 () 0 () 0 ()3 3 , (22) + 1; 0 , 0 ( = 1, 3) — заданные при 0 перемещения и скорости точек КМ() () пластины; 0 , 0 ( = 1, 2) — известные в области функции. (0) (0) Согласно выражениям (20), и 3 — известные на кромке усилия, (1) приложенные в направлениях и 3 , а ( = 1, 2) — известные механические моменты; остальные величины, стоящие в правых частях (18), — известные моменты высших порядков от внешних сил, заданных на торцевой поверхности. Таким образом, чтобы однозначно проинтегрировать исследуемую задачу, в каждой точке области при = 0 нужно задать начальные условия (21) с учетом выражений (22), а на кромках пластины — силовые (18) или кинематические (19) граничные условия с учетом обозначений (20). Допускается задание и смешанных из (18), (19) граничных условий. Проинтегрируем первые соотношения (3) по толщине пластины с весами 3 (0 + 1), тогда при учете четвертого соотношения (17) получим матричные равенства C = + , = 1, 2, (23) где { (0) (1) (2) ( ) ( +1) } , = , , , . . . , , { (0) (1) ( 1) ( ) } = , 3 , 3 , . . . , 3 , 3 ; (24) = { } — ( + 2)-компонентный вектор-столбец, C = ( ) — матрица размерности ( + 2)*( + 2), элементы которых определяются так: ) +2 ( 1 (1) , +2 ) +1 ( +1,1 = 1 + (1) , +1 ( )[ +1,+2 = 2++2 1 (1)+ +1 = 0 + 1, 0 1 1 ( + 1)( + + 2) ( + 3)( + + 4) (25) ] , . Из равенств (25) видно, что компоненты матрицы C и вектора-столбца рассчитываются один раз, поэтому уравнения (23) целесообразно преобразовать к виду = C1 + , = 1, 2, (26) где = C1 ; (27) C1 — матрица, обратная C. Если из каких-либо соображений в текущий момент времени известны () значения функций и (0 + 1), то из (26) с учетом (24), (27) () получаем значения функций и 3 (0 ), определяющие осредненные деформации композиции (2) и тангенциальные перемещения ( = 1, 2) точек КМ-пластины (см. (3)). 2. Численный метод расчета. Для построения численного решения исследуемой задачи используем алгоритм шагов по времени [14, 17, 23, 26, 28], т. е. будем определять значения неизвестных функций в дискретные моменты времени +1 = + ( = 0, 1, 2, . . . ), где = const > 0 — заданный шаг по времени. Предполагаем, что в два предшествующих момента времени уже известны значения следующих функций: () () () ( , ), () ( , ), () () () ( , ), (±) (±) (±) (±) 33 () 33 ( , ), 33 () 33 ( , ), () ( , ), () ( , ), = 1, 2, = 1, 3, = 1, , 0 0 , , (28) + 1, |3 | , поэтому, согласно (17), в момент времени известны и все силовые факторы () , которые входят в (18) и в правые части уравнений (16). Чтобы получить явную численную схему, аппроксимируем встречающиеся производные по времени их центральными конечными разностями на трехточечных шаблонах [14, 23]. Согласно этому, конечно-разностные аналоги уравнений движения (16) при учете обозначений (28) примут вид ( ) 2 2 (0) 2 (+1 1) () (0) (0) (+) 2 + = + + 33 33 + 3 , 3 2 =1 =1 2 ) ( () (+1() 1 ) () 2 () + () = 3 2 (29) =1 [ ] (1) (1) () (+) () 3 + 33 33 (1) 33 + , = 1, 2, 0 + 1, = 1, 2, 3, . . . Правые части в (29) при = известны, поэтому из этих уравнений, учи+1 +1() тывая соответствующие граничные условия (18) и (19), вычисляем и +1 в следующий момент времени +1 . На основании (26) по уже известным +1() и (0 +1 + 1) определяем +1 +1() 3 и ( = 1, 2, 0 1 ), а затем — деформации (см. (2)). При = 1 деформации предполагаются уже известными (см. (2) при учете (28)), поэтому, используя (15) и формулы численного дифференцирования по времени, можем вычислить и скорости средних деформаций . После чего по формулам (13) последо вательно определяем скорости деформаций в составляющих композиции , а из (4) — скорости напряжений в компонентах композиции (0 ). Дальнейшее решение рассматриваемой задачи строится совершенно так же, как это подробно описано в [14, 23]. Согласно структуре левых частей уравнений (29), для начала проведения расчетов по разработанной явной численной схеме необходимо использовать 0 0 () значения функций и , известные из начальных условий (21) при уче1 1 () те (22), и требуется предварительно определить значения функций и (см. (29) при = 1). Эти величины можно вычислить по формуле Тейлора, учитывая начальные условия (21) и уравнения движения (16) при = 0 [23]: 2 0 () + ( 3 ) 0, 2 0 () 2 0 () 1 () 0 () () = () + () + () + ( 3 ) 0, 2 , = 1, 2, 0 + 1. 1 0 0 () = () + () + Здесь приближенные равенства выполняются с точностью порядка 3 , причем нулевые значения получаются, когда в начальный момент времени пластина покоится в естественном состоянии (см. (21) и (22) при 0 0, 0 0), (±) а внешние нагрузки отсутствуют (см. (14), (16) и (17) при 33 (0 , ) 0, (0 , ) 0, = 1, 3). В случае прямоугольной области , заменяя в равенствах (18) и (29) производные (·) их конечно-разностными аналогами, в конечном итоге получим явную схему «крест» [14, 17, 23]. Если область неканоническая, то дискретизация соотношений (18), (29) по пространственным переменным ( = 1, 2) может быть осуществлена путем применения вариационно-разностного подхода [17]. Необходимые условия устойчивости явной схемы «крест» вытекают из условий Куранта—Фридрихса—Леви [17] и для КМ-пластины характеризуются неравенствами (60) из [14]. 3. Обсуждение результатов расчетов. В качестве примеров рассмотрим динамическое упругопластическое деформирование КМ-пластин толщиной 2 = 2 см, имеющих прямоугольную форму в плане ( : |1 | , |2 | , = 4). По всем кромкам пластины жестко закреплены (см. (19) и (20) при * 0), а в начальный момент времени 0 = 0 находятся в естественном состоянии покоя (см. (21) и (22) при 0 0 и 0 0). Объемными нагрузками пренебрегаем (см. (16), (17) и (29) при 0, = 1, 3). Конструкции нагружаются со стороны нижней лицевой поверхности давлением, соответствующим воздушной взрывной волне [28] (см. (14), (16), (17), (28) и (29)): (+) 33 () 0, () 33 () () = { max /max , 0 max , max exp[( max )], > max , 101 Я н к о в с к и й А. П. где = ln(0.01)/(min max ) > 0, min max , (30) max — момент времени, при котором нагрузка () > 0 достигает наибольшего значения max ; min — момент времени, при котором () становится пренебрежимо малым по сравнению с max (так, (30) соответствует предположению (min ) = 0.01max ). Согласно экспериментальным данным [28], в расчетах принято max = 0.1 мс и min = 2 мс. Следовательно, при > 2 мс колебания исследуемых ниже пластин можно рассматривать как свободные. Пластины изготовлены либо из эпоксидной смолы и армированы стекловолокнами марки S-994 [29, 30] (стеклопластики), либо из алюминиевого сплава АДМ и усилены стальной проволокой У8А [29] (металлокомпозиции). Упругопластическое поведение компонентов этих композиций на стадии их активного нагружения описывается идеализированной диаграммой с линейным упрочнением: { () () () , || e e / () , = ( ) () () () () sign()e + e sign()e , || > e , 0 , () где , — осевые напряжение и деформация при растяжении и сжатии; e , () e — условный предел текучести и модуль линейного упрочнения материала -той фазы композиции. Физико-механические характеристики компонентов указанных композиций приведены в таблице, где = / — скорость звука в соответствующем материале. Физико-механические характеристики компонентов композиций пластин [29, 30] [Physico-mechanical characteristics of the components of composite plates [29, 30]] Materials , kg/m3 e , MPa , HPa e , HPa , m/s Epoxy Fiberglass S-994 ADM (Aluminum alloy) U8A steel wire 1210 2520 2710 7800 0.33 0.25 0.30 0.31 20 4500 30 3968 2.8 86.8 71.0 210.0 1.114 6.230 0.143 6.973 1521.2 5868.9 5118.5 5188.7 Структуры армирования считаются однородными и прямолинейными: = const, = const и = const, 1 (см. (1) и (7)). Исследуется динамическое поведение КМ-пластин со следующими структурами: 1) ортогональное плоское 2D-армирование (рис. 1, a), когда два семейства волокон ( = 2) укладываются в направлениях 1 и 2 с интенсивностями армирования 1 = 0.266 и 2 = 0.324 соответственно; 2) ортогональное пространственное 3D-армирование (рис. 1, b), когда три семейства волокон ( = 3) укладываются по направлениям 1 , 2 и 3 с интенсивностями 1 = 0.235, 2 = 0.324 и 3 = 0.031 [9]; 3) неортогональное пространственное 4D-армирование (рис. 1, c), когда первое и второе семейства укладываются по направлениям 1 и 2 , а третье и четвертое семейства — по траекториям, задаваемым углами (см. рис. 2 и (7)): 3 = /4, 4 = 3/4, 3 = 4 = /2 (т. е. на рис. 1, c = /4). В последнем случае интенсивности армирования имеют значения: 1 = 0.126, 2 = 0.324 и 3 = 4 = 0.07. При всех структурах общий расход арматуры один и тот же. Для проведения численных расчетов по направлениям 1 и 2 введем равномерную сетку с шагом 1 = 2 = 2/100, а шаг по времени зададим равным 0.25 мкс. Далее рассматриваются пластины с наименьшим размером в плане 2 = 1 м и 2 = 20 см, для которых получаем 1 / = 40 км/с и 1 / = 8 км/с соответственно. Эти отношения значительно больше значений , приведенных в таблице для всех компонентов композиций. Следовательно, необходимые условия устойчивости схемы типа «крест» выполняются для каждого компонента композиции (см. неравенства (60) в [14]), а значит, и для самих композиций, причем с запасом [14]. На рис. 3 изображены поперечные колебания центральных точек металлокомпозитных пластин с разными структурами армирования (0 () (, 0, 0)), полученные при max = 16 МПа и = 50 см. Кривые 1 рассчитаны по уточненной теории при = 7 (см. (2), (3)) для конструкции с 3D-армированием, а кривые 2 — либо по теории Редди ( = 0) для пластин с той же структурой 3D-армирования (рис. 3, a), либо по уточненной теории ( = 7) для конструкции с плоской структурой 2D-армирования (рис. 3, b). Сравнение кривых 1 и 2 на рис. 3, a показывает, что для 3D-армированных пластин при > 60 мс прогиб, определенный по теории Редди, начинает отличаться от прогиба, рассчитанного по уточненной теории; с увеличением расчетного интервала времени это различие возрастает. В еще большей степени проявляется соответствующее различие при сравнении деформированных состояний Рис. 3. Осцилляции центральных точек тонких металлокомпозитных пластин с разными структурами: a) 3D-армирование; расчет по уточненной теории и по теории Редди; b) 2Dи 3D-армирование; расчет по уточненной теории [Figure 3. Oscillations of the central points of thin metal-composite flexible plates with different structures: a) spatial reinforcement; line 1—calculation by refined theory, line 2—calculation Reddy theory; b) line 1—spatial reinforcement, line 2—flat-cross 2D reinforcement; calculation by refined theory] в компонентах композиции, рассчитанных по этим теориям. Так, на рассматриваемом интервале времени 0 100 мс максимальное (достигаемое на первой осцилляции) значение интенсивности деформаций в связующем, определенное по теории Редди, на 15.1 % меньше аналогичной величины, рассчитанной по уточненной теории. Сопоставление кривых 1 и 2 на рис. 3, b свидетельствует о том, что замена 2D-структуры армирования на 3D-структуру с тем же расходом волокон в случае относительно тонких (/ = 1/50) металлокомпозитных пластин практически не приводит к уменьшению максимального значения прогиба, который достигается на первой осцилляции. Однако такая замена структуры армирования приводит к уменьшению наибольшего значения интенсивности деформаций в связующем на 7.4 %. Согласно таблице, АДМ–У8А-композиция имеет слабую анизотропию () ( / (0) 3, 1 ). Традиционно считается, что расчеты упругого изгибного поведения КМ-пластин со слабой анизотропией вполне достаточно проводить по классической теории [19, 21]. Поведение же кривых на рис. 3, a демонстрирует, что в случае динамического упругопластического изгибного деформирования 3D-армированных пластин со слабой анизотропией даже неклассическая теория Редди при расчетных временах порядка 0.1 с и более не гарантирует получения надежных результатов определения прогибов. А значит, необходимо использовать более точные теории изгиба. На рис. 4 приведены зависимости 0 () для стеклопластиковых пластин с разными структурами армирования, рассчитанные при max = 5 МПа и = 50 см. Кривые 1 определены по уточной теории ( = 7) для конструкции с 4D-армированием, а линии 2 — по теории Редди для пластины с той же структурой 4D-армирования (рис. 4, a) или по уточненной теории для пластины с плоской 2D-структурой (рис. 4, b). Анизотропия стеклопластиковой композиции является сильно выраженной ( () / (0) = 31, 1 ). Сравнение кривых 1 и 2 на рис. 4, a показывает, что и в случае 4D-армирования относительно тонкой пластины зависимость 0 (), рассчитанная по теории Редди (кривая 2), при > 110 мс существенно отличается от 0 (), определенной по уточненной теории (кривая 1). Сопоставление кривых на рис. 4, b свидетельствует о том, что замена плоской структуры 2D-армирования на пространственную 4D-структуру в случае относительно тонких стеклопластиковых пластин также практически не приводит к уменьшению максимального значения прогиба, который по-прежнему достигается на первой осцилляции. Кроме того, такая замена структуры армирования не позволяет заметно уменьшить и максимальное значение интенсивности деформаций в связующем материале. Выше исследовались относительно тонкие КМ-пластины (/ = 1/50). (0) (0) На рис. 5, 6 изображены зависимости 0 () и m () = max * (, ), , (0) * |3 | , где — интенсивность деформаций в связующем, рассчитанные при max = 6 МПа и = 10 см (относительно толстые пластины из стеклопластика: / = 1/10). Кривые с номерами 1 получены для конструкций с 4D-армированием, а кривые с номерами 2 — с плоским 2D-армированием. Сплошные кривые, номера которых помечены одним штрихом, определены Рис. 4. Осцилляции центральных точек тонких стеклопластиковых пластин с разными структурами: a) 4D-армирование; расчет по уточненной теории и по теории Редди; b) 2Dи 4D-армирование; расчет по уточненной теории [Figure 4. Oscillations of the central points of thin fiberglass flexible plates with different structures: a) spatial 4D reinforcement; line 1—calculation by refined theory, line 2—calculation Reddy theory; b) line 1—spatial 4D reinforcement, line 2—flat-cross 2D reinforcement; calculation by refined theory] по уточненной теории ( = 7), а штриховые кривые, номера которых помечены двумя штрихами, — по теории Редди ( = 0). Сравнение кривых 2' и 2'' на рис. 5, a показывает, что в случае плоского 2D-армирования относительно толстых стеклопластиковых пластин расчеты прогибов по уточненной теории и по теории Редди начинают заметно различаться уже в окрестности начального момента времени (при > 2 мс). Поведение же кривых 1' и 1'' на рис. 5, a свидетельствует о том, что в случае пространственного 4D-армирования это различие не столь заметно, но с увеличение расчетного интервала времени также начинает проявляться и к моменту времени = 100 мс это различие становится существенным (см. рис. 5, b). В еще большей степени это различие проявляется при сравнении зависи(0) мостей m (). Действительно, из сравнения кривых 2' и 2'' на рис. 6 видно, что в случае 2D-армирования теория Редди завышает расчетное значение (0) (0) max m = max m () (кривая 2'' ) по сравнению с аналогичной величиной, 0 определенной по уточненной теории (кривая 2' ), на 18.4 %. Наоборот, из сравнения кривых 1' и 1'' на рис. 6 следует, что в случае 4D-армирования теория (0) Редди занижает величину max m на 10.8 % по сравнению с уточненным расчетом. Сопоставление кривых 1' и 2' на рис. 5, a свидетельствует о том, что в случае относительно толстой стеклопластиковой пластины замена плос Рис. 5. Зависимости от времени поперечных колебаний центральных точек относительно толстых стеклопластиковых пластин с 2D- и 4D-структурами армирования, рассчитанные по разным теориям в окрестности начального момента времени (a) и = 100 мс (b) [Figure 5. Oscillations of the central points of thick fiberglass plates with different structures calculated by different theories: a) data for initial moment of time, b) data for moment of time = 100 ms; line 1' —calculation by refined theory for spatial 4D reinforcement, line 1'' —calculation by Reddy theory for spatial 4D reinforcement, line 2' —calculation by refined theory for flat-cross 2D reinforcement, line 2'' —calculation by Reddy theory for flat-cross 2D reinforcement] Рис. 6. Зависимости от времени наибольших значений интенсивности деформаций в связующем [Figure 6. Oscillations of the greatest strain intensity of the binding structure for thick fiberglass plates; line 1' —calculation by refined theory for spatial 4D reinforcement, line 1'' —calculation by Reddy theory for spatial 4D reinforcement, line 2' —calculation by refined theory for flat-cross 2D reinforcement, line 2'' —calculation by Reddy theory for flat-cross 2D reinforcement] кой структуры 2D-армирования на пространственную структуру 4D-армирования приводит к уменьшению максимального значения прогиба на 47.3 %, а сравнение кривых 1' и 2' на рис. 6 показывает, что такая замена структуры (0) армирования приводит к уменьшению величины max m в два раза. При упругопластическом деформировании КМ-пластины величину (0) max m можно рассматривать как меру поврежденности материала связую(0) щей матрицы, поэтому чем больше значение max m , тем больше повреждено связующее. Согласно поведению кривых на рис. 6, существенно меньшую поврежденность связующего имеет относительно толстая пластина с пространственной структурой 4D-армирования, причем она же имеет и наименьшую податливость в поперечном направлении (см. рис. 5, a). Заключение. Сравнительный анализ изгибного динамического упругопластического деформирования пластин с пространственными и плоскими структурами армирования продемонстрировал, что в случаях относительно толстых КМ-пластин с сильно выраженной анизотропией композиции (стеклопластики) замена плоской структуры 2D-армирования (рис. 1, a) на пространственную структуру 4D-армирования (рис. 1, c) с сохранением общего расхода волокон позволяет уменьшить максимальные значения прогиба такой конструкции почти в 1.5 раза, а максимальные значения интенсивности деформаций в связующем — в два раза. В случаях относительно тонких пластин замена плоской 2D-структуры армирования на пространственные структуры 3D- (рис. 1, b) и 4D-армирования практически не приводит к уменьшению их податливости в поперечном направлении как при использовании композиций со слабой анизотропией (металлокомпозиты), так и при использовании композиций с сильно выраженной анизотропией (стеклопластики). Однако такая замена структуры армирования все-таки может приводить к уменьшению максимальных значений интенсивности деформаций в связующем материале на десятки процентов. Проведенные расчеты показали, что при исследовании неупругого динамического поведения гибких КМ-пластин как с пространственными, так и плоскими структурами армирования традиционно используемая неклассическая теория Редди может приводить к результатам расчетов, которые существенно отличаются от полученных на основе уточненных теорий изгиба как для относительно тонких, так и для относительно толстых конструкций, причем как в случаях сильно-, так и в случаях слабовыраженной анизотропии композиции. С увеличением расчетных интервалов времени это различие значительно возрастает, поэтому для получения адекватных результатов расчетов неупругого динамического поведения гибких КМ-пластин целесообразно использовать более точные по сравнению с теорией Редди модели изгибного деформирования таких элементов конструкций.

About the authors

Andrei Petrovich Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: shulgin@itam.nsc.ru, nemirov@itam.nsc.ru, yankee65@list.ru, lab4nemir@rambler.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

References

Supplementary files