Comparison of various mathematical models on the example of solving the equations of the movement of large planets and the Moon

Full Text

Целью данной работы является сравнение различных математических моделей, описывающих движение небесных тел в Солнечной системе. К таким моделям относятся: дифференциальные уравнения движения в ньютоновой форме, релятивистские уравнения движения и уравнения, основанные на взаимодействии окружающего пространства с движущимися материальными телами. Дифференциальные уравнения движения в ньютоновой форме в задаче тел в прямоугольных координатах с началом в центре масс всей системы материальных точек имеют следующий вид [1, 2]: 2 ( ) 2 = , 2 3 ( ) 2 2 = , (1) 2 3 ( ) 2 2 = , 2 3 где 2 = ( )2 + ( )2 + ( )2 ; , , — барицентрические координаты возмущаемого тела, а , , , — массы и барицентрические координаты возмущающих тел. Дифференциальные уравнения движения в барицентрической системе координат с учетом релятивистских членов представляются в виде [3] ( )2 ( ) { 2 1 2( + ) + 1 + = 3 2 2 = = = } ( )2 2(1 + ) 1 3 [ ( ) ]2 + 2 ( ) + (1 + ) 2 + 2 2 2 [ ] 1 + 2 ( ) (2 + 2) (1 + 2) ( )+ 3 = ( ) 3 + 4 + + , (2) 3 2 2 = =1 где , , — координаты, скорости, ускорения в барицентрической системе координат -того тела; = 2 , 2 — гравитационная постоянная, — масса -того тела; = | |; релятивистские параметры и в заданной системе координат принимают следующие значения: = = 1, = | |; — скорость света. При вычислении координат Луны наряду с гравитационными и релятивистскими эффектами учитывается влияние несферичности фигур Земли и Луны в математической модели. Дифференциальные уравнения для учета ускорения Луны в геоцентрической системе координат () имеют вид [3] { 1 ( + 1) (sin ) ( ) = + 0 2 ' cos (sin ) =1 } (sin ) [ 2 ( ) ( + 1) cos + sin ] sec (sin ) [ sin + cos ] , (3) + cos ' (sin ) [ cos + sin ] =1 =1 где ось направлена из начала координат в центр Луны; ось перпендикулярна оси и направлена на восток; ось перпендикулярна плоскости и направлена на север; — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли; — расстояние между центрами масс двух тел; 1 и 2 — максимальные степени зональных и тессеральных гармоник несферичных тел соответственно; (sin ) — полином Лежандра степени ; (sin ) — присоединенный полином Лежандра степени и порядка ; — зональные гармоники от несферичности тела; , — коэффициенты тессеральных гармоник; — широта притягиваемого тела в фиксированной системе координат ; — восточная долгота притягиваемого тела. Дифференциальные уравнения движения, основанные на взаимодействии окружающего пространства с движущимися материальными телами в барицентрической системе координат, имеют следующий вид [4–7]: 2 2 ( ) 30 0 = , 2 2 + 3 3 3 + 3 (3 3 )2 0 0 2 ( ) 2 30 0 , = 2 2 + 3 3 3 + 3 (3 3 )2 0 0 2 ( ) 2 30 0 , = 3 2 2 3 3 3 )2 + 0 + 3 (3 0 (4) где — расстояние от начала координат до материального объекта; 0 — эффективный радиус -того тела; 0 — соответствующее ускорение для -того тела на расстоянии 0 от центра массы; , , — барицентрические координаты возмущаемого тела; , , — барицентрические координаты возмущающих тел. В настоящее время разработан ряд высокоточных численных теорий движения больших планет [8–17]. Наиболее известной из них является численная теория [3], созданная сотрудниками НАСА Ньюхалом (X. X. Newhall), Стендиншем (E. M. Standish), Вильямсом (J. G. Williams). Ими создан банк данных координат больших планет, Луны и Солнца — DE405 на интервале времени с 2305424.5 J.D. (1599 Dec 9) по 2525008.5 J.D. (2201 Feb 20). Координаты планет в банке данных хранятся в форме коэффициентов полиномов Чебышева, которые обеспечивают достаточно плотную форму записи на диске. Координаты и скорости внутренних планет, полученные с помощью банка данных DE405, согласованы с радиолокационными наблюдениями, а все планеты согласованы с оптическими наблюдениями. Под эффективностью математической модели в дальнейшем понимается быстродействие и точность результатов решения, полученных на основе использования данной модели. Проверка эффективности математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями (1)–(4), проводилась путем сравнения результатов вычисления, полученных на их основе, с банком данных DE405. С целью проверки эффективности математической модели, описывающей движение больших планет, Луны и Солнца системой дифференциальных уравнений (4), нами проведены исследования движения этих объектов на интервале времени с 1602 по 2193 гг. и результаты вычислений сопоставлены с банком данных DE405. Для исследования развития погрешностей математических моделей методом Эверхарта проведено численное интегрирование уравнений движения данных объектов на более длительный период времени, охватывающий интервал с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. [18]. Важно знать, насколько результаты вычислений координат и компонент скоростей планет, Луны и Солнца, полученные с помощью описанных здесь математических моделей, согласуются друг с другом. Наиболее сложным объектом для исследования движения являются Меркурий и Луна, поэтому из рассматриваемых математических моделей следует отдать предпочтение модели, с помощью которой лучше всего представлено движение этих объектов. В табл. 1 на интервале времени с 1602 по 2193 гг. представлены координаты и компоненты скоростей Меркурия. Данные координат и компонент скоростей приведены на 0 часов гринвичского времени соответствующей даты, при этом в первой строке — данные банка DE405, во второй строке таблицы — координаты и компоненты скоростей, полученные путем решения уравнений (4). В табл. 2 приведены элементы орбит Меркурия. Здесь — средняя аномалия (в градусах), — большая полуось (в а.е.), — эксцентриситет, — аргумент перигелия (в градусах), — долгота восходящего узла (в градусах), — наклонение (в градусах). В первой строке табл. 2 — элементы орбит Меркурия, найденные по данным банка DE405, во второй и третьей строках — полученные путем решения уравнений (4) и (1). Из сопоставления элементов орбит, найденных с помощью решения уравнений (4) и банка данных DE405, следует, что различие в элементах орбит находится в пределах ошибок наблюдений. В табл. 3 представлены элементы орбит Меркурия на интервале времени 4000 лет с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. В первой, второй и третьей строках — элементы орбит Меркурия, полученные путем решения уравнений (4), (2) и (1) соответственно. Сравнение координат и элементов орбит Меркурия, полученных с помощью решения уравнений (2) и (4) (см. табл. 1–3), указывает на удовлетво 2095 06 07 JD 2486400.5 1996 11 13 JD 2450400.5 1898 04 21 JD 2414400.5 1799 09 27 JD 2378400.5 1701 03 05 JD 2342400.5 1602 08 11 JD 2306400.5 Current date by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) Data sources (calculated by) 0.2222982 0.2222987 0.2786154 0.2786156 0.1550256 0.1550256 0.3878790 0.3878791 0.0472475 0.0472477 0.3366723 0.3366719 0.0198081 0.0198088 (in au) 0.2095351 0.2095352 0.2713622 0.2713622 0.3899433 0.3899433 0.0595675 0.0595675 0.2651303 0.2651301 0.1437933 0.1437940 0.4068445 0.4068449 (in au) 0.0892206 0.0892205 0.1732480 0.1732480 0.1932507 0.1932507 0.0087525 0.0087525 0.1373714 0.1373713 0.1127282 0.1127284 0.2148856 0.2148857 (in au) 0.0258345 0.0258345 0.0153830 0.0153830 0.0209929 0.0209929 0.0020408 0.0020408 0.0334593 0.0334593 0.0074835 0.0074835 0.0224551 0.0224551 (in au/day) 0.0173614 0.0173614 0.0183374 0.0183374 0.0059767 0.0059767 0.023652 0.023652 0.0033352 0.0033352 0.0235400 0.0235400 0.0007397 0.0007397 (in au/day) 0.0119439 0.0119439 0.0082076 0.0082076 0.0053699 0.0053699 0.0012419 0.0012419 0.0052703 0.0052703 0.0117803 0.0117803 0.0019606 0.0019606 (in au/day) Таблица 1 Координаты и компоненты скоростей Меркурия, вычисленные по DE405 и с помощью решения уравнений (4) [Coordintes and velocity components of the Mercury calculated by the DE405 and the Eqs. (4)] 2193 06 07 JD 2522400.5 156 (in degrees) 194.9607 194.9605 194.9745 278.9902 278.9901 279.0003 3.0384 3.0383 3.0448 87.0813 87.0812 87.0840 171.1156 171.1155 171.1145 255.1597 255.1598 255.1550 339.1927 339.1928 339.1842 Data sources (calculated by) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) by the DE405 by the Eqs. (4) by the Eqs. (1) Current date 1602 08 11 JD 2306400.5 1701 03 05 JD 2342400.5 1799 09 27 JD 2378400.5 1898 04 21 JD 2414400.5 1996 11 13 JD 2450400.5 2095 06 07 JD 2486400.5 2193 12 30 JD 2522400.5 0.3870977 0.3870979 0.3870979 0.3870976 0.3870977 0.3870977 0.3870975 0.3870975 0.3870975 0.3870991 0.3870992 0.3870992 0.3870987 0.3870988 0.3870988 0.3870983 0.3870984 0.3870984 0.3870977 0.3870977 0.3870977 (in au) 0.2056674 0.2056676 0.2056675 0.2056549 0.2056549 0.2056549 0.2056409 0.2056408 0.2056408 0.2056005 0.2056005 0.2056005 0.2055913 0.2055915 0.2055915 0.2055658 0.2055658 0.2055658 0.2055527 0.2055527 0.2055527 29.6797 29.6797 29.6529 29.3959 29.3959 29.3809 29.1179 29.1179 29.1147 28.8334 28.8334 28.8419 28.5565 28.5566 28.5768 28.2804 28.2804 28.3124 27.9945 27.9945 28.0382 (in degrees) 48.0869 48.0869 48.0870 48.2110 48.2110 48.2110 48.3353 48.3353 48.3353 48.4581 48.4581 48.4581 48.5818 48.5818 48.5818 48.7047 48.7047 48.7047 48.8278 48.8278 48.8279 (in degrees) Элементы орбит Меркурия, вычисленные по DE405 и формулам (4), (1) [The elements of the orbits of the Mercury calculated by the DE405, and by the Eqs. (4), (1)] 6.9934 6.9934 6.9934 6.9993 6.9993 6.9993 7.0051 7.0051 7.0051 7.0111 7.0111 7.0111 7.0169 7.0169 7.0169 7.0227 7.0227 7.0227 7.0287 7.0287 7.0287 (in degrees) Таблица 2 JD 2075100.5 31 03 07 JD 1709800.5 Current date by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) Data sources (calculated by) 347.3278 347.3276 347.2510 137.5432 137.5432 137.5050 78.0028 78.0032 78.0408 228.2249 228.2258 228.3007 (in degrees) 0.3870987 0.3870987 0.3870988 0.3871001 0.3871001 0.3871001 0.3870983 0.3870982 0.3870983 0.3870983 0.3870976 0.3870977 (in au) 0.2060198 0.2060196 0.2060202 0.2058252 0.2058253 0.2058252 0.2054204 0.2054204 0.2054204 0.2052108 0.2052109 0.2052109 34.7546 34.7549 34.5150 31.8915 31.8916 31.7719 26.2004 26.2002 26.3194 23.3831 23.3827 23.6205 (in degrees) 45.8246 45.8246 45.8261 47.1066 47.1066 47.1070 49.6146 49.6146 49.6149 50.8434 50.8434 50.8449 (in degrees) 6.8884 6.8884 6.8884 6.9473 6.9473 6.9473 7.0664 7.0664 7.0664 7.1258 7.1258 7.1258 (in degrees) Таблица 3 2969 08 24 JD 2805700.5 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) Элементы орбит Меркурия, полученные по формулам (4), (2) и (1) [The elements of the orbits of the Mercury calculated by the Eqs. (4), (2), and (1)] 3969 10 21 JD 3171000.5 рительное согласие координат и элементов орбит на всем рассматриваемом интервале интегрирования. Наибольшие расхождения в элементах орбит Меркурия имеет место 7 марта 31 г. до н.э. В средней аномалии оно составляет 0.0009 (градусов), что соответствует 3'' (секундам дуги); в большой полуоси — 0.0000007 а.е., что соответствует 104.7 км; в аргументе перигелия — 0.0004 , что соответствует 1'' ; остальные элементы орбит практически совпадают. Невязка векового смещения долготы перигелия Меркурия, найденная путем решения уравнений (4) и (1) составляет 42.92'' , а при решении уравнений (2) и (1) 42.99'' . Подобные расхождения в элементах орбит и в вековом смещении перигелия Меркурия, полученных при решении дифференциальных уравнений (4) и (2), не могут быть выявлены с помощью наблюдений, поэтому их можно считать вполне удовлетворительными. Точность решения релятивистских уравнений существенным образом зависит от выбора системы координат. Для релятивистских уравнений часто используется гармоническая система координат, которая является наиболее подходящей для согласования векового смещения долготы перигелия Меркурия [19–25]. Как показывают проведенные исследования, решение релятивистских уравнений (2) для Меркурия согласуется с решением уравнений (4) на всем исследуемом интервале времени с 31 г. до н.э. по 3969 г. н.э. (см. табл. 1–3). Подобного совпадения решений уравнений (2) и (4) следовало ожидать и для планет Венеры, Земли+Луны и Марса, поскольку их орбиты являются более удаленными от Солнца, чем орбита Меркурия. Однако этого не происходит по причине завышенных скоростей смещения долгот перигелиев этих планет, полученных на основании решения уравнений (2) по сравнению со скоростями, полученными на основании решения уравнений (4). В табл. 4–9 на интервале времени с 31 г до н.э. по 3969 г н.э. представлены элементы орбит и расхождения в элементах для Венеры, Земли+Луны и Марса, найденные с использованием уравнений (4), уравнений (2), путем совместного решения уравнений (2) и (3) и уравнений (1) на четыре момента времени. Как следует из проведенных вычислений (см. табл. 4–9), расхождения вековых смещений долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, полученных с помощью решения уравнений (4) и (1), составляют 2.14'' , 0.53'' , 0.07'' . Расхождения, найденные с помощью решения уравнений (2) и (1), составляют 8.58'' , 3.87'' , 1.33'' соответственно. В работе [23] отмечается, что ошибки релятивистских поправок в вековом движении перигелиев Венеры и Земли велики и составляют для Венеры ±5.28'' , для Земли ±1.79'' , для Марса ±0.025'' . Расхождения в смещении перигелиев этих планет, найденные с помощью решения уравнений (2) и (4), составляют 6.44'' , 3.34'' , 1.26'' соответственно. Как следует из результатов вычислений, вековые смещения долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, найденных путем решения уравнений (4) и (2), различаются на 6.44'' , 3.34'' , 1.26'' соответственно. Хотя эти различия незначительные и на ограниченных интервалах времени в пределах столетия их трудно обнаружить с помощью наблюдений, с течением времени в силу векового характера движения перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, имеют место заметные различия элементов орбит, найденных с помощью решений уравнений (4) и (2). Элементы орбит Венеры, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Venus obtained using various calculation methods] Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) (4) (2) (2), (3) (1) 93.6422 93.6434 93.6434 93.6398 297.1664 297.1648 297.1648 297.1679 39.5049 39.5016 39.5016 39.5072 (in degrees) 0.7233292 0.7233291 0.7233291 0.7233292 0.7233264 0.7233263 0.7233263 0.7233264 0.7233352 0.7233351 0.7233351 0.7233352 0.7233359 0.7233359 0.7233359 0.7233359 (in au) 0.0058937 0.0058935 0.0058935 0.0058935 0.0063359 0.0063359 0.0063359 0.0063358 0.0072777 0.0072777 0.0072777 0.0072777 0.0077807 0.0077805 0.0077805 0.0077805 59.7003 59.7376 59.7376 59.6907 57.6692 57.6867 57.6867 57.6634 52.0940 52.0770 52.0770 52.1007 48.7763 48.7421 48.7421 48.7905 71.1451 71.1452 71.1452 71.1451 73.9732 73.9732 73.9732 73.9732 79.5320 79.5320 79.5320 79.5320 82.2686 82.2686 82.2686 82.2685 3.3653 3.3653 3.3653 3.3653 3.3834 3.3834 3.3834 3.3834 3.4001 3.4001 3.4001 3.4001 3.3985 3.3985 3.3985 3.3985 Таблица 4 by the 31 03 07 by the JD 1709800.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) 352.6807 352.6810 352.6810 352.6745 (in degrees) (in degrees) (in degrees) by the 969 04 26 by the JD 2075100.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) Data sources (calculated by) by the 2969 08 24 by the JD 2805700.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Current date by the 3969 10 21 by the JD 3171000.5 by the by the 160 Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. by the 969 04 26 by the JD 2075100.5 by the by the by the 2969 08 24 by the JD 2805700.5 by the by the by the 3969 10 21 by the JD 3171000.5 by the by the (4) (2) (2), (3) (1) (4) (2) (2), (3) (1) (4) (2) (2), (3) (1) (4) (2) (2), (3) (1) Data sources (calculated by) by the 31 03 07 by the JD 1709800.5 by the by the Current date 252.9511 252.9481 252.9480 252.9502 213.3090 213.3076 213.3075 213.3085 133.7662 133.7672 133.7673 133.7666 93.8283 93.8300 93.8301 93.8293 (in degrees) 0.9999924 0.9999923 0.9999923 0.9999924 1.0000168 1.0000167 1.0000167 1.0000168 1.0000027 1.0000026 1.0000026 1.0000027 1.0000063 1.0000063 1.0000063 1.0000063 (in au) 0.0158194 0.0158194 0.0158194 0.0158193 0.0162732 0.0162732 0.0162732 0.0162732 0.0171054 0.0171055 0.0171055 0.0171054 0.0175522 0.0175523 0.0175523 0.0175522 119.2571 119.2759 119.2763 119.2539 113.4665 113.4756 113.4760 113.4650 102.2445 102.2350 102.2354 102.2461 96.7164 96.6981 96.6985 96.7195 350.1358 350.1362 350.1358 350.1360 352.5708 352.5712 352.5708 352.5709 357.3343 357.3347 357.3343 357.3341 359.7943 359.7948 359.7943 359.7941 0.2534 0.2534 0.2534 0.2534 0.1256 0.1256 0.1256 0.1256 0.1355 0.1355 0.1355 0.1355 0.2687 0.2687 0.2687 0.2687 (in degrees) (in degrees) (in degrees) Таблица 5 Элементы орбит Земли+Луны, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Earth & the Moon obtained using various calculation methods] Элементы орбит Марса, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Mars obtained using various calculation methods] Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) (4) (2) (2), (3) (1) 204.1224 204.1226 204.1227 204.1223 34.7303 34.7300 34.7300 34.7304 130.0035 130.0053 130.0050 130.0057 (in degrees) 1.5236700 1.5236700 1.5236700 1.5236700 1.5236338 1.5236337 1.5236337 1.5236338 1.5236170 1.5236170 1.5236170 1.5236170 1.5237190 1.5237190 1.5237190 1.5237190 (in au) 0.0951984 0.0952007 0.0951983 0.0951984 0.0942530 0.0942542 0.0942530 0.0942530 0.0933231 0.0933231 0.0933231 0.0933231 0.0914539 0.0914512 0.0914538 0.0914539 301.2539 301.2607 301.2609 301.2535 293.7593 293.7627 293.7628 293.7591 278.8837 278.8802 278.8801 278.8839 271.6744 271.6673 271.6673 271.6748 43.4829 43.4829 43.4829 43.4829 46.6349 46.6348 46.6349 46.6349 52.5377 52.5377 52.5377 52.5377 55.2973 55.2973 55.2973 55.2973 1.6802 1.6802 1.6802 1.6802 1.7685 1.7685 1.7685 1.7685 1.9314 1.9314 1.9314 1.9314 2.0061 2.0061 2.0061 2.0061 Таблица 6 by the 31 03 07 by the JD 1709800.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) 109.0052 109.0058 109.0058 109.0050 (in degrees) (in degrees) (in degrees) by the 969 04 26 by the JD 2075100.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (4) (2) (2), (3) (1) Data sources (calculated by) by the 2969 08 24 by the JD 2805700.5 by the by the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Current date by the 3969 10 21 by the JD 3171000.5 by the by the 162 0.0003 0.0003 0.0062 by the Eqs. (2) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) 0.0170 0.0170 0.0067 0.0373 0.0373 0.0096 0.0012 0.0012 0.0024 by the Eqs. (2) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 0 0 0 0.0342 0.0342 0.0142 0.0000001 0.0000002 0.0000001 0.0000002 0 0.0000002 0.0000001 0.0000001 0 0.0016 0.0016 0.0015 by the Eqs. (2) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) 0.0000002 0.0000002 0.0000002 0.0001 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (in degrees) (in degrees) (in degrees) 0.0175 0.0175 0.0058 0 0 0 0.0033 0.0033 0.0023 by the Eqs. (2) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) 0.0000001 0 0.0000001 0 0 0.0000001 (in au) Current date (in degrees) Data sources (calculated by) Таблица 7 Расхождения в элементах орбит Венеры при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4) [Discrepancies in the elements of the orbits of the Venus in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)] Таблица 8 Расхождения в элементах орбит Земли+Луны при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4) [Discrepancies in the elements of the orbits of the Earth & the Moon in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)] by the Eqs. (2) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) 0.0010 0.0011 0.0004 0.0017 0.0018 0.0010 (in degrees) 0.0000001 0.0000001 0 0.0000001 0.0000001 0 0 0 0 (in au) 0 0 0 0.0000001 0.0000001 0 0.0000001 0.0000001 0 0.0188 0.0192 0.0032 0.0091 0.0095 0.0015 0.0095 0.0091 0.0016 0.0183 0.0179 0.0031 0.0004 0 0.0002 0.0004 0 0.0001 0.0004 0 0.0002 0.0005 0 0.0002 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (in degrees) (in degrees) (in degrees) by the Eqs. (2) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) 0.0014 0.0015 0.0005 0.0000001 0 0.0000001 0 0 0.0000001 Data sources (calculated by) by the Eqs. (2) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 0.0030 0.0031 0.0009 Current date by the Eqs. (2) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) 164 0.0006 0.0006 0.0002 by the Eqs. (2) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) 0.0000023 0.0000001 0 0.0000012 0 0 0.0000001 0.0000001 0 0.0002 0.0003 0.0001 by the Eqs. (2) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.0003 0.0001 0.0000027 0.0000001 0 by the Eqs. (2) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) (in au) 0 0 0 (in degrees) 0.0018 0.0015 0.0022 Data sources (calculated by) by the Eqs. (2) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) Current date 0.0068 0.0070 0.0004 0.0034 0.0035 0.0002 0.0035 0.0036 0.0002 0.0071 0.0071 0.0004 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (in degrees) (in degrees) (in degrees) Таблица 9 Расхождения в элементах орбит Марса при численном интегрировании уравнений движения, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (4) [Discrepancies in the elements of the orbits of the Mars in the numerical integration of the equations of motion obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (4)] Наибольшие отклонения наблюдаются в средних аномалиях и аргументах перигелиев. Как показывают результаты вычислений (см. табл. 4–6 и 7– 9), расхождения в средней аномалии у Венеры, Земли+Луны и Марса составляют, соответственно, = 12'' , 6'' и 6'' , а в аргументах перигелиев — = 0.0342 , 0.0183 и 0.0071 в 31 г. до н.э. В 3969 г. расхождения в средней аномалии у Венеры, Земли+Луны и Марса достигнут = 0.0373 , 0.0188 и 0.0068 соответственно. С увеличением интервала интегрирования эти отклонения будут увеличиваться, что непосредственно отразится на расхождении элементов орбит планет, найденных с помощью решения уравнений (4) и (2). Проведенные исследования показывают, что решение релятивистских уравнений не обеспечивает одинаковой точности для всех объектов. По этой причине прогнозирование движений Венеры, Земли+Луны и Марса путем решения уравнений (2) не является таким же точными, как для Меркурия. Для обоснования данного предположения необходимо показать преимущество использования уравнений (4) по сравнению с уравнениями (2) при исследовании движения этих небесных тел. Для сравнения эффективности использования уравнений (4) и (2) наиболее подходящим объектом для исследования является Луна. Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, найденные путем решения уравнений (4) и с помощью банка данных DE405, приведены в табл. 10. Следует отметить, что для согласования геоцентрических координат Луны с наблюдениями при создании DE405 ее авторы наряду с уравнениями (2) решают совместно уравнения, учитывающие форму Луны и Земли, а также земные приливы. Подобный прием, учитывающий форму небесных тел и приливные взаимодействия, не является строго обоснованным, т.к. эти уравнения получены на основе ньютоновой теории. Кроме того, данные уравнения содержат много свободных параметров, значения которых определены с невысокой точностью. При согласовании численной теории движения больших планет и Луны DE405 с наблюдениями происходит существенное усложнение релятивистской модели движения небесных тел по сравнению с ньютоновой моделью. Из результатов вычислений, представленных в табл. 10, следует, что координаты и скорости Луны, полученные путем решения уравнений (4), в основе которых лежит принцип взаимодействия окружающего пространства с движущимся материальным телом, отличаются от данных DE405 несущественно на интервале времени ±100 лет от начального момента интегрирования. Например (см. табл. 10), 21 апреля 1898 г. и 13 ноября 1996 г. максимальное отклонение в координатах, найденных с помощью DE405 и полученных с помощью решения уравнений (4), составляет 0.0000003 а.е., что соответствует 45 км. Отклонение компонент скоростей также незначительное, не превышающее 0.0000001 а.е./сут. или 1.7 · 104 км/сек. Максимальное расхождение двух методов для геоцентрических координат Луны имеет место 11 августа 1602 г. При этом различия в вычислениях составляют следующие величины: = 0.0000003 а.е., = 0.0000006 а.е. = 0.0000021 а.е., что соответствует = 45 км, = 90 км и = 314 км. Максимальное расхождение компонент скоростей — 0.0000002 а.е./сут. Полученные отклонения 166 Data sources (calculated by) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) by the DE405 by the Eqs. (4) Current date 1602 08 11 JD 2306400.5 1701 03 05 JD 2342400.5 1799 09 27 JD 2378400.5 1898 04 21 JD 2414400.5 1996 11 13 JD 2450400.5 2095 06 07 JD 2486400.5 2193 06 07 JD 2522400.5 0.0008843 0.0008850 0.0022184 0.0022181 0.0001083 0.0001100 0.0004538 0.0004540 0.0024990 0.0024990 0.0009556 0.0009551 0.0017107 0.0017108 0.0017538 0.0017538 0.0007632 0.0007635 0.0022780 0.0022780 0.0006733 0.0006732 0.0007815 0.0007813 0.0012309 0.0012307 0.0022073 0.0022074 0.0006053 0.0006051 0.0008259 0.0008275 0.0022376 0.0022374 0.0012062 0.0012055 (in au) 0.0009088 0.0009067 (in au) 0.0018818 0.0018824 0.0014164 0.0014167 (in au) 0.0000779 0.0000781 0.0004465 0.0004465 0.0005201 0.0005200 0.0003460 0.0003460 0.0001430 0.0001430 0.0004566 0.0004567 0.0002965 0.0002965 0.0005917 0.0005917 0.0005126 0.0005125 0.0002337 0.0002339 0.0002315 0.0002314 0.0003020 0.0003021 0.0005116 0.0005116 0.0005148 0.0005148 (in au/day) (in au/day) 0.0002783 0.0002784 0.0001137 0.0001136 0.0000404 0.0000403 0.0001902 0.0001901 0.0002511 0.0002513 0.0000541 0.0000539 0.0000764 0.0000763 (in au/day) Таблица 10 Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, вычисленные по DE405 и с помощью решения уравнений (4) [Geocentric coordintes and velocity components of the Moon calculated by the DE405 and the Eqs. (4)] в геоцентрических координатах и компонентах скоростей Луны находятся в пределах ошибок как оптических, так и радиолокационных наблюдений, поэтому можно сказать, что при определении геоцентрических координат и компонент скоростей Луны с помощью банка данных DE405 и путем решения уравнений (4) результаты на всем интервале интегрирования получаются практически с одинаковой точностью. В табл. 11 приведены геоцентрические координаты и скорости Луны, вычисленные с учетом релятивистских эффектов и ньютоновых уравнений, но без учета фигуры Земли, т.е. получены путем решения дифференциальных уравнений движения (2) и уравнений (1). Сопоставление данных, приведенных в табл. 10 и 11, показывает, что на интервале времени ±100 лет от начального момента интегрирования расхождения координат, найденных путем решения уравнений (2) и с помощью банка данных DE405, значительно превышают расхождения координат, полученных с помощью решения уравнений (4) и банка данных DE405. Так, на момент 21 апреля 1898 г. максимальное отклонение в координатах, найденных с помощью DE405 и полученных с помощью решения уравнений (2), составляет 0.0000035 а.е., что соответствует 554 км. Отклонение компонент скоростей также значительное и равно 0.0000008 а.е./сут., или 6.9 · 104 км/сек. Из сравнения данных, приведенных в табл. 12 и 13, следует, что наибольшие расхождения координат, найденных путем решения уравнений (2) и с помощью банка данных DE405, имеют место 11 августа 1602 г. и составляют = 0.000019 а.е., = 0.0000128 а.е. и = 0.0000012 а.е., что соответствует = 2887 км, = 1915 км и = 180 км. Аналогичные расхождения координат, найденных с помощью решения уравнений (1) и DE405 (см. табл. 12 и 13), составляют = 0.0000267 а.е., = 0.0000174 а.е. и = 0.0000023 а.е., что соответствует = 3994 км, = 2603 км и = 344 км. Из проведенного сопоставления следует, что расхождения координат Луны, полученные на основе банка данных DE405 и путем решения дифференциальных уравнений движения (1) и (2), превышают более чем на порядок аналогичные расхождения координат Луны, полученные с помощью DE405 и на основании решения уравнений (4). Проведенные исследования указывают на ограниченную возможность ньютоновых и релятивистских уравнений без совместного решения дополнительных уравнений (3) для исследования движения Луны на интервале времени порядка нескольких столетий. В табл. 14 приведены геоцентрические координаты Луны, полученные с помощью решения дифференциальных уравнений (4) и путем совместного решения уравнений (2) и (3), а также уравнений (2) и (1). В первой строке табл. 14 находятся координаты Луны, найденные с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), во второй, третьей и четвертой — координаты, полученные с помощью решения уравнений (4), (2) и (1). В табл. 15 и 16 представлены расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью математических моделей (4), (2) и (1), от координат, найденных путем совместного решения уравнений (2) и (3). В первой строке табл. 15 и 16 находятся расхождения координат Луны, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), во второй строке — координат, полученных с помощью решения диффе168 Data sources (calculated by) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (2) Current date 1602 08 11 JD 2306400.5 1701 03 05 JD 2342400.5 1799 09 27 JD 2378400.5 1898 04 21 JD 2414400.5 1996 11 13 JD 2450400.5 2095 06 07 JD 2486400.5 2193 06 07 JD 2522400.5 0.0008756 0.0008719 0.0022229 0.0022246 0.0001165 0.0001191 0.0004660 0.0004709 0.0024966 0.0024958 0.0009570 0.0009576 0.0017164 0.0017182 0.0017472 0.0017449 0.0007633 0.0007633 0.0022775 0.0022773 0.0006749 0.0006756 0.0007828 0.0007834 0.0012344 0.0012358 0.0022047 0.0022038 0.0006006 0.0005988 0.0008256 0.0008249 0.0022295 0.0022269 0.0012215 0.0012273 (in au) 0.0009100 0.0009111 (in au) 0.0018946 0.0018992 0.0013974 0.0013894 (in au) 0.0000815 0.0000828 0.0004477 0.0004482 0.0005195 0.0005193 0.0003447 0.0003443 0.0001434 0.0001436 0.0004562 0.0004560 0.0002973 0.0002977 0.0005917 0.0005916 0.0005134 0.0005138 0.0002313 0.0002304 0.0002347 0.0002359 0.0002977 0.0002961 0.0005146 0.0005158 0.0005132 0.0005126 (in au/day) (in au/day) Таблица 11 0.0002783 0.0002783 0.0001129 0.0001126 0.0000405 0.0000405 0.0001898 0.0001897 0.0002519 0.0002522 0.0000551 0.0000555 0.0000742 0.0000734 (in au/day) Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, вычисленные по формулам (1) и (2) [Geocentric coordintes and velocity components of the Moon calculated by the Eq. (1), and (2)] 2095 06 07 JD 2486400.5 1996 11 13 JD 2450400.5 1898 04 21 JD 2414400.5 1799 09 27 JD 2378400.5 1701 03 05 JD 2342400.5 1602 08 11 JD 2306400.5 Current date by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) Data sources (calculated by) 0 0.0000024 0.0000032 0 0.0000066 0.0000089 0.0000001 0.0000016 0.0000024 0.0000001 0.0000026 0.0000035 0.0000003 0.0000045 0.0000062 0.0000005 0.0000153 0.0000211 0.0000003 0.000019 0.0000267 (in au) 0.0000002 0.0000122 0.0000171 0.0000001 0.0000057 0.0000075 0 0.0000005 0.0000007 0.0000002 0.0000037 0.0000049 0.0000007 0.0000087 0.0000124 0.0000002 0.0000081 0.0000107 0.0000006 0.0000128 0.0000174 (in au) 0.0000017 0.0000083 0.0000108 0.0000005 0.0000014 0.0000020 0.0000003 0.0000001 0.0000001 0.0000002 0.0000015 0.0000019 0.0000002 0.0000047 0.0000065 0.0000016 0.0000003 0.0000010 0.0000021 0.0000012 0.0000023 (in au) 0.0000002 0.0000036 0.0000047 0 0.0000012 0.0000017 0.0000001 0 0.0000001 0 0.0000008 0.0000012 0.0000002 0.0000024 0.0000033 0 0.0000016 0.0000022 0 0.0000038 0.0000042 (in au/day) 0.0000001 0.0000006 0.0000008 0 0.0000013 0.0000017 0 0.0000004 0.0000006 0.0000001 0.0000004 0.0000006 0.0000001 0.0000008 0.0000012 0.0000001 0.0000033 0.0000044 0.0000001 0.0000043 0.0000059 (in au/day) 0.0000001 0 0 0.0000001 0.0000008 0.0000011 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000001 0.0000004 0.0000005 0.0000002 0.0000008 0.0000011 0.0000002 0.0000010 0.0000014 0.0000001 0.0000022 0.0000030 (in au/day) Таблица 12 Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью DE405 [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of velocities of Moon obtained using various calculation methods from those found by the DE405] 2193 06 07 JD 2522400.5 170 1.7 · 104 10 · 104 14 · 104 3.4 · 104 62 · 104 81 · 104 254 1242 1616 45 1825 2558 0 359 479 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 2193 06 07 JD 2522400.5 0 23 · 104 29 · 104 0 21 · 104 29 · 104 75 209 299 15 853 1122 0 987 1331 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 2095 06 07 JD 2486400.5 1.7 · 104 0 0 1.7 · 104 14 · 104 19 · 104 1.7 · 104 1.7 · 104 1.7 · 104 0 6.9 · 104 10 · 104 1.7 · 104 0 1.7 · 104 0 75 105 45 15 15 15 239 359 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 1996 11 13 JD 2450400.5 1.7 · 104 6.9 · 104 9 · 104 1.7 · 104 6.9 · 104 10 · 104 0 14 · 104 21 · 104 30 224 284 30 554 733 15 389 524 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 1898 04 21 JD 2414400.5 3.4 · 104 14 · 104 19 · 104 1.7 · 104 14 · 104 21 · 104 3.4 · 104 42 · 104 57 · 104 30 703 972 3.4 · 104 17 · 104 24 · 104 105 1301 1855 45 673 928 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 1799 09 27 JD 2378400.5 1.7 · 104 38 · 104 52 · 104 1.7 · 104 74 · 104 102 · 104 1.7 · 104 57 · 104 76 · 104 0 66 · 104 73 · 104 314 180 344 (in km/s) (in km/s) 0 28 · 104 38 · 104 30 1211 1600 75 2289 3156 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 1701 03 05 JD 2342400.5 (in km/s) (in km) 239 45 150 90 1915 2603 45 2842 3994 by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) 1602 08 11 JD 2306400.5 (in km) (in km) Data sources (calculated by) Current date Таблица 13 Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью DE405 [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by the DE405] Таблица 14 Геоцентрические координаты и компоненты скоростей Луны, полученные с помощью различных методов вычисления [Geocentric coordintes and velocity components of Moon obtained using various calculation methods] 969 04 26 JD 2075100.5 31 03 07 JD 1709800.5 by by by by by by by by by by by by the the the the the the the the the the the the the the the the Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. Eqs. (2), (3) (4) (2) (1) (2), (3) (4) (2) (1) (2), (3) (4) (2) (1) (2), (3) (4) (2) (1) 0.0019659 0.0020106 0.0018832 0.0018170 0.0023278 0.0023195 0.0023550 0.0023709 0.0016082 0.0016153 0.0016878 0.0017232 0.0025162 0.0025079 0.0024611 0.0024349 (in au) 0.0016886 0.0016415 0.0017749 0.0018413 0.0010745 0.0010938 0.0010163 0.0009740 0.0020328 0.0020295 0.0019784 0.0019512 0.0004578 0.0005171 0.0006867 0.0007785 (in au) 0.0006167 0.0005903 0.0006306 0.0006506 0.0002601 0.0002653 0.0002272 0.0002068 0.0007352 0.0007272 0.0006977 0.0006823 0.0002045 0.0002114 0.0002674 0.0002978 (in au) 0.0003674 0.0003561 0.0003863 0.0004009 0.0002101 0.0002146 0.0001950 0.0001845 0.0004377 0.0004364 0.0004238 0.0004171 0.0000901 0.0001032 0.0001440 0.0001656 (in au/day) 0.0004171 0.0004263 0.0004009 0.0003863 0.0004922 0.0004907 0.0004989 0.0005034 0.0003023 0.0003044 0.0003190 0.0003267 0.0005577 0.0005550 0.0005469 0.0005404 (in au/day) 0.0001256 0.0001300 0.0001209 0.0001157 0.0002423 0.0002407 0.0002425 0.0002435 0.0001768 0.0001767 0.0001819 0.0001845 0.0001852 0.0001841 0.0001807 0.0001782 (in au/day) Data sources (calculated by) 2969 08 24 JD 2805700.5 by by by by Current date 3969 10 21 JD 3171000.5 172 (in au) 0.0000593 0.0002989 0.0003207 0.0000033 0.0000544 0.0000816 0.0000193 0.0000582 0.0001005 0.0000471 0.0000863 0.0001527 (in au) 0.0000083 0.0000551 0.0000813 0.0000071 0.0000796 0.0001150 0.0000083 0.0000272 0.0000431 0.0000447 0.0000827 0.0001489 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) Current date 31 03 07 JD 1709800.5 969 04 26 JD 2075100.5 2969 08 24 JD 2805700.5 3969 10 21 JD 3171000.5 0.0000264 0.0000139 0.0000339 0.0000052 0.0000329 0.0000533 0.0000080 0.0000375 0.0000529 0.0000069 0.0000629 0.0000933 (in au) 0.0000113 0.0000189 0.0000335 0.0000045 0.0000151 0.0000256 0.0000013 0.0000099 0.0000206 0.0000131 0.0000539 0.0000755 (in au/day) 0.0000092 0.0000162 0.0000308 0.0000015 0.0000067 0.0000112 0.0000021 0.0000167 0.0000244 0.0000027 0.0000081 0.0000173 (in au/day) 0.0000044 0.0000047 0.0000099 0.0000016 0.0000002 0.0000012 0.0000001 0.0000051 0.0000077 0.0000011 0.0000045 0.0000070 (in au/day) Таблица 15 Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (2) и (3) [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of the velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (2), and (3)] 2969 08 24 JD 2805700.5 969 04 26 JD 2075100.5 31 03 07 JD 1709800.5 Current date by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) by the Eqs. (2) by the Eqs. (1) Data sources (calculated by) 6687 12337 22275 1242 4069 6448 1062 11908 17204 1242 8243 12162 (in km) 7046 12910 22844 2887 8707 15035 494 8138 12207 8871 44715 47976 (in km) 3949 2079 5071 778 4922 7974 1197 5670 7914 1032 9410 13957 (in km) 0.02 0.032 0.058 0.008 0.026 0.044 0.002 0.017 0.036 0.023 0.09 0.13 (in km/s) 0.016 0.028 0.05 0.003 0.012 0.019 0.004 0.029 0.042 0.005 0.01 0.03 (in km/s) 0.008 0.008 0.017 0.003 0.0003 0.002 0.0002 0.009 0.013 0.002 0.008 0.012 (in km/s) Таблица 16 Расхождения геоцентрических координат и компонент скоростей Луны, полученных с помощью различных методов вычисления, от найденных с помощью решения уравнений (2) и (3) [Discrepancies in the geocentric coordinates and the components of the velocities of the Moon obtained using various calculation methods from those found by solving Eqs. (2), and (3)] 3969 10 21 JD 3171000.5 ренциальных уравнений (4), в третьей и четвертой — расхождения координат, полученных с помощью решения уравнений (2) и уравнений (1). На концах интервала интегрирования различия в координатах , и на дату 7 марта 31 г. до н.э., полученных с помощью решения дифференциальных уравнений (4) и найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3), составляют = 1242 км, = 8871 км и = 1032 км соответственно. Полученные различия в геоцентрических координатах Луны, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3) и путем решения уравнений (4), являются следствием различных вековых смещений перигелиев Земли+Луны, найденных с помощью решения этих уравнений. Расхождения геоцентрических координат Луны, найденных путем решения уравнений (2), от координат, найденных с помощью совместного решения уравнений (2) и (3) на дату 7 марта 31 г. до н.э., еще более значительны по сравнению с предыдущим случаем, т.к. по координатам , и отклонения составляют минус 8243 км, 44715 км и 9410 км соответственно. Поскольку точность геоцентрических координат Луны, найденных путем решения уравнений (4), значительно превышает точность координат Луны, найденных с помощью решения уравнений (2), это указывает на то, что решение уравнений (4) обеспечивает более высокую точность при исследовании движения больших планет и Луны по сравнению с решениями уравнений (2). Как видно из данных, представленных в табл. 4–9, скорости вековых смещений долгот перигелиев Венеры, Земли+Луны и Марса, полученные с помощью решения уравнений (2) и найденные путем совместного решения уравнений (2) и (3), практически совпадают. Принимая во внимание, что элементы орбит Венеры, Земли+Луны и Марса получены путем решения уравнений (4), точнее — решений уравнений (2), можно сделать следующие выводы: а) решение релятивистских уравнений (2) не приводит к повышению точности координат и элементов орбит Венеры, Земли+Луны и Марса по сравнению с решениями уравнений (1); б) на интервале времени порядка ±100 лет от начального момента интегрирования элементы орбит Венеры, Земли+Луны и Марса, найденные с помощью решения уравнений (1), (2) и (4), отличаются друг от друга в пределах погрешности оптических наблюдений; в) с увеличением интервала интегрирования различия в координатах Венеры, Земли+Луны, Марса и Луны, найденных с помощью решения уравнений (4) и путем совместного интегрирования уравнений (2) и (3), учитывающих релятивистские эффекты и отклонение фигуры Земли от сфероида, возрастают; это указывает на ограниченные возможности применения современных математических моделей, описываемых уравнениями (1), (2) и (3), для исследования эволюции орбит Венеры, Земли, Марса и Луны на больших интервалах времени порядка 1 000 и более лет; г) в результате численного интегрирования уравнений (2) и (4) различия в элементах орбит Меркурия на интервале времени с 31 г. до н.э. по 3969 г. н.э. находятся в пределах ошибок наблюдений. Элементы орбит Юпитера, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Jupiter obtained using various calculation methods] Таблица 17 272.1519 272.1516 272.1519 98.7440 98.7440 98.7440 97.2532 97.2532 97.2532 1.2881 1.2881 1.2881 1.3279 1.3279 1.3279 1.3562 1.3562 1.3562 (in degrees) (in degrees) (in degrees) 5.2074821 0.0453923 5.2074820 0.0453923 5.2074821 0.0453923 275.0554 275.0552 275.0554 102.2956 102.2956 102.2956 1.2777 1.2777 1.2777 312.8228 312.8231 312.8228 5.2081435 0.0479516 5.2081434 0.0479516 5.2081434 0.0479516 274.3641 274.3643 274.3641 104.2705 104.2705 104.2705 (in au) by the Eqs. (4) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) 61.5105 61.5107 61.5106 5.2075551 0.0498764 5.2075551 0.0498764 5.2075551 0.0498764 274.6955 274.6960 274.6955 (in degrees) by the Eqs. (4) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) 284.8327 284.8325 284.8327 5.2076037 0.0521614 5.2076036 0.0521614 5.2076037 0.0521614 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 35.6250 35.6247 35.6250 Current date by the Eqs. (4) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) 176 327.5055 327.5056 327.5055 285.8508 285.8507 285.8508 264.3956 264.3954 264.3956 by the Eqs. (4) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) (in degrees) 348.9145 348.9147 348.9145 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) Current date 9.5781705 0.0486358 9.5781703 0.0486358 9.5781707 0.0486358 9.5626834 0.0496486 9.5626835 0.0496486 9.5626833 0.0496486 9.5903937 0.0610962 9.5903937 0.0610962 9.5903936 0.0610962 9.5466433 0.0622756 9.5466433 0.0622756 9.5466433 0.0622756 (in au) Таблица 18 350.4100 350.4100 350.4099 343.0988 343.0988 343.0988 330.1549 330.1548 330.1549 322.9485 322.9484 322.9485 108.5257 108.5257 108.5257 111.0836 111.0836 111.0836 116.3185 116.3185 116.3185 118.8305 118.8305 118.8305 2.5197 2.5197 2.5197 2.5062 2.5062 2.5062 2.4549 2.4549 2.4549 2.4193 2.4193 2.4193 (in degrees) (in degrees) (in degrees) Элементы орбит Сатурна, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Saturn obtained using various calculation methods] Элементы орбит Урана, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Uranus obtained using various calculation methods] Таблица 19 103.0330 103.0329 103.0330 73.2938 73.2938 73.2938 72.6239 72.6239 72.6239 0.7578 0.7578 0.7578 0.7899 0.7899 0.7899 0.8089 0.8089 0.8089 (in degrees) (in degrees) (in degrees) 19.2364366 0.0443000 19.2364362 0.0443000 19.2364366 0.0443000 93.8913 93.8913 93.8914 74.6454 74.6454 74.6454 0.7407 0.7407 0.7407 78.0027 78.0027 78.0027 19.1365856 0.0438437 19.1365855 0.0438437 19.1365857 0.0438437 102.2850 102.2850 102.2850 75.6454 75.6454 75.6454 (in au) by the Eqs. (4) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) 50.3013 50.3013 50.3013 19.1286124 0.0463700 19.1286122 0.0463700 19.1286126 0.0463700 96.3033 96.3034 96.3033 (in degrees) by the Eqs. (4) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) 332.0219 332.0218 332.0219 19.2618769 0.0452229 19.2618770 0.0452229 19.2618766 0.0452229 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 302.5293 302.5292 302.5293 Current date by the Eqs. (4) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) 178 159.9568 159.9568 159.9567 248.3255 248.3256 248.3255 235.2572 235.2571 235.2573 by the Eqs. (4) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) by the Eqs. (4) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) (in degrees) 150.8615 150.8615 150.8616 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) Current date 30.0160418 0.0120156 30.0160416 0.0120156 30.0160422 0.0120156 30.2247150 0.0079769 30.2247150 0.0079769 30.2247148 0.0079769 29.9674104 0.0120014 29.9674102 0.0120015 29.9674106 0.0120014 29.9904839 0.0099743 29.9904839 0.0099743 29.9904835 0.0099743 (in au) Таблица 20 280.7905 280.7906 280.7905 242.7389 242.7389 242.7389 280.7737 280.7737 280.7737 264.2646 264.2646 264.2645 131.6531 131.6531 131.6531 131.7682 131.7682 131.7682 131.8879 131.8879 131.8879 131.9497 131.9497 131.9497 1.7736 1.7736 1.7736 1.7710 1.7710 1.7710 1.7677 1.7677 1.7677 1.7670 1.7670 1.7670 (in degrees) (in degrees) (in degrees) Элементы орбит Нептуна, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Neptune obtained using various calculation methods] Элементы орбит Плутона, полученные с помощью различных методов вычисления [The elements of the orbits of the Pluto obtained using various calculation methods] Таблица 21 114.5391 114.5391 114.5391 110.3002 110.3002 110.3002 110.5062 110.5062 110.5062 17.1474 17.1474 17.1474 17.1190 17.1190 17.1190 17.1696 17.1696 17.1696 (in degrees) (in degrees) (in degrees) 39.2452027 0.2467257 39.2452034 0.2467257 39.2452021 0.2467257 113.2307 113.2307 113.2307 110.3268 110.3268 110.3268 17.1527 17.1527 17.1527 300.4961 300.4961 300.4961 39.4957303 0.2469954 39.4957298 0.2469954 39.4957305 0.2469955 114.2570 114.2570 114.2570 110.0744 110.0744 110.0744 (in au) by the Eqs. (4) 31 03 07 by the Eqs. (2), (3) JD 1709800.5 by the Eqs. (1) 317.4043 317.4043 317.4043 39.5085346 0.2500633 39.5085338 0.2500633 39.5085349 0.2500633 113.9625 113.9625 113.9625 (in degrees) by the Eqs. (4) 969 04 26 by the Eqs. (2), (3) JD 2075100.5 by the Eqs. (1) 341.2172 341.2172 341.2172 30.3101881 0.2452006 30.3101892 0.2452006 30.3101870 0.2452005 Data sources (calculated by) by the Eqs. (4) 2969 08 24 by the Eqs. (2), (3) JD 2805700.5 by the Eqs. (1) 350.7798 350.7798 350.7798 Current date by the Eqs. (4) 3969 10 21 by the Eqs. (2), (3) JD 3171000.5 by the Eqs. (1) Несмотря на ограниченные возможности применения дифференциальных уравнений движения (1) и (2) к вышеуказанным объектам, данные уравнения применимы к исследованию эволюции орбит внешних планет Юпитер– Плутон на интервале времени 4 000 лет. В табл. 17–21 представлены элементы орбит Юпитера–Плутона на интервале времени с 7 марта 31 г. до н.э. по 21 октября 3969 г. н.э. Как показывают результаты вычислений (см. табл. 17–21), для исследования эволюции орбит данных объектов на интервале времени порядка 1 000 лет можно использовать наряду с уравнениями (4) уравнения (1) и (2). В отличие от ньютоновых и релятивистских уравнений, решение уравнений (4) позволяет получить координаты больших планет и Луны на интервале 600 лет (1600–2200 гг.), полностью согласованные с наблюдениями без привлечения дополнительных уравнений. В заключение следует отметить, что дифференциальные уравнения (4) свободны от недостатков, свойственных уравнениям (2), т.к. их использование для решения рассмотренных ранее задач приводит к сокращению рабочего времени программы численного интегрирования и повышению точности конечных результатов более чем на порядок. Кроме того, они могут быть эффективно использованы для исследования эволюции орбит больших планет и Луны на длительных интервалах времени порядка 1 000 и более лет.

About the authors

Anatoliy Fedorovich Zausaev

Samara State Technical University

Email: zausaev_af@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

Mariya Anatolievna Romanyuk

Samara State Technical University

Email: zausmasha@mail.ru

References

Supplementary files