The characteristic problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the third order with nonmultiple characteristics

Abstract


We consider the well-posed characteristic problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the third order with nonmultiple characteristics. The solution of this problem is constructed in an explicit form. The example of the analogue of Goursat problem for a particular system of the hyperbolic differential equations of the third order is given.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 31-36 УДК 517.956.3 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ОБЩЕГО ВИДА С НЕКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mails: andre01071948@yandex.ru, julia.yakovleva@mail.ru Исследуется корректная по Адамару постановка характеристической задачи для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками. Решение указанной задачи по- строено в явном виде. Приведён пример аналога задачи Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка. Ключевые слова: система гиперболических дифференциальных уравнений общего вида, некратные характеристики, характеристическая задача, корректность по Адамару. Исследованию начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными порядка выше второго в случае кратных характеристик посвящены работы многих авторов. Изучены гранич- ные задачи относительно корректной постановки их по Ж. Адамару [1-4]. Но характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками исследованы недоста- точно. В монографии А. В. Бицадзе [5] приводятся примеры, показывающие, что для системы второго порядка с некратными характеристиками задача Гурса является некорректной по Адамару. В настоящей работе сформулирована и исследована характеристическая задача для системы гиперболических уравнений третьего порядка общего ви- да с некратными характеристиками. Установлены достаточные условия её корректности. 1. Предварительные сведения. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка общего вида с двумя независимыми переменными x, y R на плоскости, не содержащую произ- водных порядка меньше третьего A Uxxx + B Uxxy + C Uxyy + D Uyyy = 0, (1) где U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) искомая двумерная вектор-функция, A, B, C, D постоянные квадратные матрицы второго порядка. В предположении, что D невырожденная матрица, система (1) реду- цируется к следующему виду: AUxxx + BUxxy + CUxyy + Uyyy = 0. (2) Александр Анатольевич Андреев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и информатики. Юлия Олеговна Яковлева, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. 31 А. А. А н д р е е в, Ю. О. Я к о в л е в а Пусть матрицы A, B, C попарно коммутативны, тогда без ограничения общности они имеют следующий вид: A = a11 a12 a21 a22 , B = b22 + b12 a11-a22 a12 b12 b12 a21 a12 b22 , C = c11 c21 a12 a21 c21 c11 - c21 a11-a22 a21 , aij, bij, cij R, aij, bij, cij = 0, i, j = 1, 2. Матрицы преобразования T = t1 b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12-1 1 t2 b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12-1 2 t1 t2 , T-1 = a1212 b2 12dB(a2 - a1)t1t2 t2 -t2 b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12-1 2 -t1 t1 b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12-1 1 , где dB = b2 22 + b12b22 a11 - a22 a12 - b2 12 a21 a12 , 1 = b22 + b12 a12 (a1 - a22) b22 - dB, 2 = b22 + b12 a12 (a2 - a22) b22 - dB, t1, t2 R, t1, t2 = 0, одновременно приводят матрицы A, B, C к диагональной форме: T-1AT = = A = diag(a1, a2), T-1BT = B = diag(b1, b2), T-1CT = C = diag(c1, c2), при этом a1, a2, b1, b2, c1, c2 различные собственные значения матриц A, B, C соответственно. Система (2) эквивалентна следующей системе: AVxxx + BVxxy + CVxyy + Vyyy = 0, (3) или a1v1 xxx + b1v1 xxy + c1v1 xyy + v1 yyy = 0, a2v2 xxx + b2v2 xxy + c2v2 xyy + v2 yyy = 0. Каждое характеристическое уравнение этой системы (3) имеет три различ- ных корня: 1, 2, 3 и 1, 2, 3, соответственно. 2. Характеристическая задача. В работе [6] приводятся пример, иллюстри- рующий некорректность по Адамару классической постановки задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характери- стиками, и решение характеристической задачи, корректной по Адамару, для гиперболического уравнения третьего порядка общего вида avxxx + bvxxy + cvxyy + vyyy = 0 с некратными характеристиками y - 1x + C1, y - 2x + C2, y - 3x + C3. 32 Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений. . . Пусть x Ic [a, b], c = (a + b)/2. Отрезок Ic имеет центральную сим- метрию: x Ic, 2c - x Ic, тогда для любой функции f(x) справедливы выражения f(x) = fc н + fc ч, fc н = 1 2 (f(x) - f(2c - x)), fc ч = 1 2 (f(x) + f(2c - x)). Функции fc н, fc ч при c = 0 будем обозначать fн, fч соответственно. Для системы (2) рассмотрим следующую характеристическую задачу. Задача G. Найти решение U(x, y) C3(R R) системы уравнений (2), удовлетворяющее условиям l1, U (x, 1x) = 1 (x), l2, U (x, 1x) = 2 (x), l1, U (x, 2x) = 1 (x), l2, U (x, 2x) = 2 (x), (4) l1, U (x, 3x) = 1 (x), l2, U (x, 3x) = 2 (x), где i(x), i(y), i(x) C3(R), i = 1, 2, a, b скалярное произведение; l1 = a1212 b2 12dB(a2 - a1)t1 , - a12(b22 + b12 a12 (a2 - a22))1 b12dB(a2 - a1)t1 , l2 = - a1212 b2 12dB(a2 - a1)t2 , a12(b22 + b12 a12 (a1 - a22))1 b12dB(a2 - a1)t2 . Теорема 1. Если i н(x) = i н(ix) + i н((1 - i)x), i = 1, 2, где 1 = (3 - 2)/(1 - 2), 2 = (3 - 2)/(1 - 2), то задача G корректна по Адамару. Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (2) преобразованием T редуцируется к си- стеме (3). Решение каждого уравнения этой системы [6] имеет следующий вид: v1 (x, y) = 1 y - 2x 1 - 2 + 1 y - 1x 2 - 1 - 1 2 1 (0)+ + 1 2 1 ч y - 3x 1 - 3 - 1 ч y - 2x 1 - 2 - 1 ч (y - 1x)(2 - 3) (1 - 3)(1 - 2) + + 1 2 1 ч y - 3x 2 - 3 - 1 ч y - 1x 1 - 2 - 1 ч (y - 2x)(1 - 3) (1 - 2)(2 - 3) - - 1 2 1 ч (y - 3x)(1 - 2) (1 - 3)(2 - 3) - 1 ч y - 1x 1 - 3 - 1 ч y - 2x 2 - 3 , v2 (x, y) = 2 y - 2x 1 - 2 + 2 y - 1x 2 - 1 - 1 2 2 (0)+ + 1 2 2 ч y - 3x 1 - 3 - 2 ч y - 2x 1 - 2 - 2 ч (y - 1x)(2 - 3) (1 - 3)(1 - 2) + 33 А. А. А н д р е е в, Ю. О. Я к о в л е в а + 1 2 2 ч y - 3x 2 - 3 - 2 ч y - 1x 1 - 2 - 2 ч (y - 2x)(1 - 3) (1 - 2)(2 - 3) - - 1 2 2 ч (y - 3x)(1 - 2) (1 - 3)(2 - 3) - 2 ч y - 1x 1 - 3 - 2 ч y - 2x 2 - 3 . Ищем решение задачи G в виде решения матричного уравнения U = TV : u1 (x, y) = b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12 1 t1v1 + b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12 1 t2v2 , u2 (x, y) = t1v1 + t2v2 . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что полученная вектор-функ- ция U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) удовлетворяет задаче (4). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере системы A Uxxx + B Uxxy + C Uxyy + D Uyyy = 0, у которой матрицы A, D нулевые, B единичная матрица второго поряд- ка, C = -Q. В плоскости независимых переменных x, y R рассмотрим одну систему гиперболических уравнений третьего порядка: Uxxy - QUxyy = 0, (5) где U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) вектор-функция, Q постоянная матрица вида Q = p 1 - p 1 + p -p , p R. Существует матрица T = 1

About the authors

Aleksandr Anatol'evich Andreev

Samara State Technical University

Email: andre@ssu.samara.ru; andre01071948@yandex.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Juliya Olegovna Yakovleva

Samara State Technical University

Email: julia.yakovleva@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. А. В. Бицадзе, "К вопросу о постановке характеристической задачи для гиперболических систем второго порядка", Докл. АН СССР, 223:6 (1975), 1289–1292
  2. О. М. Джохадзе, "Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка", Матем. заметки, 74:4 (2003), 517-528
  3. А. П. Солдатов, М. Х. Шхануков, "Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А. А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка", Докл. АН СССР, 297:3 (1987), 547-552
  4. С. С. Харибегашвили, "О разрешимости одной характеристической задачи для вырождающихся систем второго порядка", Диффер. уравнения, 25:1 (1989), 154-162
  5. А. В. Бицадзе, Некоторые классы уравнений в частных производных, Наука, М., 1981, 448 с.
  6. Ю. О. Яковлева, "Одна характеристическая задача для дифференциального гиперболического уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012, № 3(28), 180-183

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies