The characteristic problem for the system of the general hyperbolic differential equations of the third order with nonmultiple characteristics

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 31-36 УДК 517.956.3 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ОБЩЕГО ВИДА С НЕКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mails: andre01071948@yandex.ru, julia.yakovleva@mail.ru Исследуется корректная по Адамару постановка характеристической задачи для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками. Решение указанной задачи по- строено в явном виде. Приведён пример аналога задачи Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка. Ключевые слова: система гиперболических дифференциальных уравнений общего вида, некратные характеристики, характеристическая задача, корректность по Адамару. Исследованию начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными порядка выше второго в случае кратных характеристик посвящены работы многих авторов. Изучены гранич- ные задачи относительно корректной постановки их по Ж. Адамару [1-4]. Но характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками исследованы недоста- точно. В монографии А. В. Бицадзе [5] приводятся примеры, показывающие, что для системы второго порядка с некратными характеристиками задача Гурса является некорректной по Адамару. В настоящей работе сформулирована и исследована характеристическая задача для системы гиперболических уравнений третьего порядка общего ви- да с некратными характеристиками. Установлены достаточные условия её корректности. 1. Предварительные сведения. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка общего вида с двумя независимыми переменными x, y R на плоскости, не содержащую произ- водных порядка меньше третьего A Uxxx + B Uxxy + C Uxyy + D Uyyy = 0, (1) где U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) искомая двумерная вектор-функция, A, B, C, D постоянные квадратные матрицы второго порядка. В предположении, что D невырожденная матрица, система (1) реду- цируется к следующему виду: AUxxx + BUxxy + CUxyy + Uyyy = 0. (2) Александр Анатольевич Андреев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики и информатики. Юлия Олеговна Яковлева, аспирант, каф. прикладной математики и информатики. 31 А. А. А н д р е е в, Ю. О. Я к о в л е в а Пусть матрицы A, B, C попарно коммутативны, тогда без ограничения общности они имеют следующий вид: A = a11 a12 a21 a22 , B = b22 + b12 a11-a22 a12 b12 b12 a21 a12 b22 , C = c11 c21 a12 a21 c21 c11 - c21 a11-a22 a21 , aij, bij, cij R, aij, bij, cij = 0, i, j = 1, 2. Матрицы преобразования T = t1 b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12-1 1 t2 b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12-1 2 t1 t2 , T-1 = a1212 b2 12dB(a2 - a1)t1t2 t2 -t2 b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12-1 2 -t1 t1 b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12-1 1 , где dB = b2 22 + b12b22 a11 - a22 a12 - b2 12 a21 a12 , 1 = b22 + b12 a12 (a1 - a22) b22 - dB, 2 = b22 + b12 a12 (a2 - a22) b22 - dB, t1, t2 R, t1, t2 = 0, одновременно приводят матрицы A, B, C к диагональной форме: T-1AT = = A = diag(a1, a2), T-1BT = B = diag(b1, b2), T-1CT = C = diag(c1, c2), при этом a1, a2, b1, b2, c1, c2 различные собственные значения матриц A, B, C соответственно. Система (2) эквивалентна следующей системе: AVxxx + BVxxy + CVxyy + Vyyy = 0, (3) или a1v1 xxx + b1v1 xxy + c1v1 xyy + v1 yyy = 0, a2v2 xxx + b2v2 xxy + c2v2 xyy + v2 yyy = 0. Каждое характеристическое уравнение этой системы (3) имеет три различ- ных корня: 1, 2, 3 и 1, 2, 3, соответственно. 2. Характеристическая задача. В работе [6] приводятся пример, иллюстри- рующий некорректность по Адамару классической постановки задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характери- стиками, и решение характеристической задачи, корректной по Адамару, для гиперболического уравнения третьего порядка общего вида avxxx + bvxxy + cvxyy + vyyy = 0 с некратными характеристиками y - 1x + C1, y - 2x + C2, y - 3x + C3. 32 Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений. . . Пусть x Ic [a, b], c = (a + b)/2. Отрезок Ic имеет центральную сим- метрию: x Ic, 2c - x Ic, тогда для любой функции f(x) справедливы выражения f(x) = fc н + fc ч, fc н = 1 2 (f(x) - f(2c - x)), fc ч = 1 2 (f(x) + f(2c - x)). Функции fc н, fc ч при c = 0 будем обозначать fн, fч соответственно. Для системы (2) рассмотрим следующую характеристическую задачу. Задача G. Найти решение U(x, y) C3(R R) системы уравнений (2), удовлетворяющее условиям l1, U (x, 1x) = 1 (x), l2, U (x, 1x) = 2 (x), l1, U (x, 2x) = 1 (x), l2, U (x, 2x) = 2 (x), (4) l1, U (x, 3x) = 1 (x), l2, U (x, 3x) = 2 (x), где i(x), i(y), i(x) C3(R), i = 1, 2, a, b скалярное произведение; l1 = a1212 b2 12dB(a2 - a1)t1 , - a12(b22 + b12 a12 (a2 - a22))1 b12dB(a2 - a1)t1 , l2 = - a1212 b2 12dB(a2 - a1)t2 , a12(b22 + b12 a12 (a1 - a22))1 b12dB(a2 - a1)t2 . Теорема 1. Если i н(x) = i н(ix) + i н((1 - i)x), i = 1, 2, где 1 = (3 - 2)/(1 - 2), 2 = (3 - 2)/(1 - 2), то задача G корректна по Адамару. Д о к а з а т е л ь с т в о. Система (2) преобразованием T редуцируется к си- стеме (3). Решение каждого уравнения этой системы [6] имеет следующий вид: v1 (x, y) = 1 y - 2x 1 - 2 + 1 y - 1x 2 - 1 - 1 2 1 (0)+ + 1 2 1 ч y - 3x 1 - 3 - 1 ч y - 2x 1 - 2 - 1 ч (y - 1x)(2 - 3) (1 - 3)(1 - 2) + + 1 2 1 ч y - 3x 2 - 3 - 1 ч y - 1x 1 - 2 - 1 ч (y - 2x)(1 - 3) (1 - 2)(2 - 3) - - 1 2 1 ч (y - 3x)(1 - 2) (1 - 3)(2 - 3) - 1 ч y - 1x 1 - 3 - 1 ч y - 2x 2 - 3 , v2 (x, y) = 2 y - 2x 1 - 2 + 2 y - 1x 2 - 1 - 1 2 2 (0)+ + 1 2 2 ч y - 3x 1 - 3 - 2 ч y - 2x 1 - 2 - 2 ч (y - 1x)(2 - 3) (1 - 3)(1 - 2) + 33 А. А. А н д р е е в, Ю. О. Я к о в л е в а + 1 2 2 ч y - 3x 2 - 3 - 2 ч y - 1x 1 - 2 - 2 ч (y - 2x)(1 - 3) (1 - 2)(2 - 3) - - 1 2 2 ч (y - 3x)(1 - 2) (1 - 3)(2 - 3) - 2 ч y - 1x 1 - 3 - 2 ч y - 2x 2 - 3 . Ищем решение задачи G в виде решения матричного уравнения U = TV : u1 (x, y) = b22 + b12 a12 (a1 - a22) b12 1 t1v1 + b22 + b12 a12 (a2 - a22) b12 1 t2v2 , u2 (x, y) = t1v1 + t2v2 . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что полученная вектор-функ- ция U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) удовлетворяет задаче (4). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере системы A Uxxx + B Uxxy + C Uxyy + D Uyyy = 0, у которой матрицы A, D нулевые, B единичная матрица второго поряд- ка, C = -Q. В плоскости независимых переменных x, y R рассмотрим одну систему гиперболических уравнений третьего порядка: Uxxy - QUxyy = 0, (5) где U(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)) вектор-функция, Q постоянная матрица вида Q = p 1 - p 1 + p -p , p R. Существует матрица T = 1

About the authors

Aleksandr Anatol'evich Andreev

Samara State Technical University

Email: andre@ssu.samara.ru; andre01071948@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Juliya Olegovna Yakovleva

Samara State Technical University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files