A uniqueness criterion for solutions of the Dirichlet problem for a loaded equation with the Lavrent'ev-Bitsadze operator

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 37-45 УДК 517.956.6 КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА БИЦАДЗЕ О. А. Архипова Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194. E-mail: www.aolga@mail.ru Для нагруженного дифференциального уравнения смешанного эллиптико-гипер- болического типа второго порядка в прямоугольной области рассмотрена первая граничная задача. Ранее были изучены локальные и нелокальные задачи для на- груженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в области, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. В данной работе в отличие от извест- ных работ методом спектрального анализа найдены необходимые и достаточ- ные условия единственности решения поставленной задачи. Ключевые слова: нагруженное уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод, критерий единственности. Введение. Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа Lu = uxx + (sgn t) utt + a(t)u(x, 0) + b(t)u(x, d) = 0 (1) в прямоугольной области D = {(x, t) : 0 < x < 1, - < t < }, где , за- данные положительные действительные числа, a(t) = a1(t) при t 0, a(t) = = a2(t) при t 0, b(t) = b1(t) при t 0, b(t) = b2(t) при t 0, d = d1, при t > 0, d1 (0, ), d = -d2 при t < 0, d2 (0, ), d1 и d2 заданные поло- жительные числа из указанных промежутков, ai(t), bi(t), i = 1, 2, заданные непрерывные функции. Числа a1 (0) и a2 (0) и соответственно b1 (0) и b2 (0) здесь не связаны никакими условиями. Задача Дирихле. Найти в области D функцию u(x, t), удовлетворяю- щую следующим условиям: u (x, t) C1 D C2 (D+ D-) ; (2) Lu(x, t) 0, (x, t) D+ D-; u (0, t) = u(1, t) = 0, - t ; (3) u (x, ) = (x), u(x, -) = (x), 0 x 1, (4) где (x), (x) заданные достаточно гладкие функции, при этом (0) = = (1) = (0) = (1) = 0, D+ = D {y > 0} , D- = D {y < 0} . Отметим, что в работе [1] для нагруженного параболо-гиперболического уравнения в прямоугольной области изучена начально-граничная задача, в которой методом спектральных разложений [2] установлен критерий един- ственности решения этой задачи и само решение построено в виде суммы Ольга Анатольевна Архипова, аспирант, каф. высшей математики. 37 О. А. А р х и п о в а ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на соб- ственные значения. Ранее в работах [3-10] изучены краевые задачи (локальные и нелокаль- ные) для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производ- ных отдельных и смешанных типов в классических областях, у которых ги- перболическая часть представляет собой характеристический треугольник. В работе [11] изучена задача (2)-(4) для уравнения (1) при b(t) 0 в прямо- угольной области D. В данной работе в соответствии с [1, 2, 11] установлен критерий единствен- ности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа с нагружен- ными слагаемыми (1) при b(t) = 0 в прямоугольной области D. 1. Единственность. Пусть u(x, t) решение задачи (2)-(4). Рассмотрим функцию uk(t) =

About the authors

Olga Anatolievna Arhipova

Samara State University of Architecture and Construction

Email: www.aolga@mail.ru
without scientific degree, no status

References

Supplementary files