A uniqueness criterion for solutions of the Dirichlet problem for a loaded equation with the Lavrent'ev-Bitsadze operator

Abstract


The first boundary value problem was considered for the second order loaded differential equation of mixed elliptic-hyperbolic type in a rectangular region. The local and nonlocal problems for the loaded partial differential equations of the individual and mixed types have been previously studied in areas where the hyperbolic part is the characteristic triangle. In this work, in contrast to the well-known ones, necessary and sufficient conditions of the uniqueness of this problem solution were found by the method of spectral analysis.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 37-45 УДК 517.956.6 КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ЛАВРЕНТЬЕВА БИЦАДЗЕ О. А. Архипова Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194. E-mail: www.aolga@mail.ru Для нагруженного дифференциального уравнения смешанного эллиптико-гипер- болического типа второго порядка в прямоугольной области рассмотрена первая граничная задача. Ранее были изучены локальные и нелокальные задачи для на- груженных дифференциальных уравнений в частных производных отдельных и смешанных типов в области, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. В данной работе в отличие от извест- ных работ методом спектрального анализа найдены необходимые и достаточ- ные условия единственности решения поставленной задачи. Ключевые слова: нагруженное уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод, критерий единственности. Введение. Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного типа Lu = uxx + (sgn t) utt + a(t)u(x, 0) + b(t)u(x, d) = 0 (1) в прямоугольной области D = {(x, t) : 0 < x < 1, - < t < }, где , за- данные положительные действительные числа, a(t) = a1(t) при t 0, a(t) = = a2(t) при t 0, b(t) = b1(t) при t 0, b(t) = b2(t) при t 0, d = d1, при t > 0, d1 (0, ), d = -d2 при t < 0, d2 (0, ), d1 и d2 заданные поло- жительные числа из указанных промежутков, ai(t), bi(t), i = 1, 2, заданные непрерывные функции. Числа a1 (0) и a2 (0) и соответственно b1 (0) и b2 (0) здесь не связаны никакими условиями. Задача Дирихле. Найти в области D функцию u(x, t), удовлетворяю- щую следующим условиям: u (x, t) C1 D C2 (D+ D-) ; (2) Lu(x, t) 0, (x, t) D+ D-; u (0, t) = u(1, t) = 0, - t ; (3) u (x, ) = (x), u(x, -) = (x), 0 x 1, (4) где (x), (x) заданные достаточно гладкие функции, при этом (0) = = (1) = (0) = (1) = 0, D+ = D {y > 0} , D- = D {y < 0} . Отметим, что в работе [1] для нагруженного параболо-гиперболического уравнения в прямоугольной области изучена начально-граничная задача, в которой методом спектральных разложений [2] установлен критерий един- ственности решения этой задачи и само решение построено в виде суммы Ольга Анатольевна Архипова, аспирант, каф. высшей математики. 37 О. А. А р х и п о в а ряда по собственным функциям соответствующей одномерной задачи на соб- ственные значения. Ранее в работах [3-10] изучены краевые задачи (локальные и нелокаль- ные) для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производ- ных отдельных и смешанных типов в классических областях, у которых ги- перболическая часть представляет собой характеристический треугольник. В работе [11] изучена задача (2)-(4) для уравнения (1) при b(t) 0 в прямо- угольной области D. В данной работе в соответствии с [1,2,11] установлен критерий единствен- ности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа с нагружен- ными слагаемыми (1) при b(t) = 0 в прямоугольной области D. 1. Единственность. Пусть u(x, t) решение задачи (2)-(4). Рассмотрим функцию uk(t) =

About the authors

Olga Anatolievna Arhipova

Samara State University of Architecture and Construction

Email: www.aolga@mail.ru

without scientific degree, no status

References

  1. Сабитов К. Б., "Начально-граничная задача для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа", Докл. АМАН, 11:1 (2009), 66-73
  2. К. Б. Сабитов, "Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического в прямоугольной области", Матем. заметки, 86:2 (2009), 273-279
  3. А. М. Нахушев, "О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка", Диффер. уравн., 12:1 (1976), 103-108
  4. В. М. Казиев, "Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе", Диффер. уравн., 15:1 (1979), 173-175
  5. А. М. Нахушев, "Нагруженные уравнения и их приложения", Диффер. уравн., 19:1 (1983), 86-94
  6. М. Т. Дженалиев, К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений, Ин-т теоретической и прикладной математики, Алматы, 1995, 270 с.
  7. Л. С. Пулькина, "Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения", Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, Наука, М., 2002, 298-303
  8. А. И. Кожанов, "Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 44:4 (2004), 694-716
  9. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных, Наука, М., 2006, 287 с.
  10. К. У. Хубиев, Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа, Автореферат дисс. … к.ф.-м.н., Белгород, 2009, 15 с.
  11. Е. П. Мелишева, "Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе", Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия, 2010, № 6(80), 39-47

Statistics

Views

Abstract - 32

PDF (Russian) - 13

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies