$L_p$-estimates of the nontangential maximal function for solutions a second-order elliptic equation solutions

Abstract

The work contains the survey of results related to the study of near the boundary behavior of the solution of the Dirichlet problem with the boundary function in $L_p,$ $p > 1$ for a second-order elliptic equation. There are new statements and some unsolved problems in this direction.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 53-69 УДК 517.956.223 Lp-ОЦЕНКИ НЕКАСАТЕЛЬНОЙ МАКСИМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА А. К. Гущин Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: akg@mi.ras.ru Работа содержит обзор результатов, относящихся к изучению поведения вбли- зи границы решения задачи Дирихле с граничной функцией из Lp, p > 1, для эллиптического уравнения второго порядка, включающий новые утверждения и некоторые нерешённые задачи в этом направлении. Ключевые слова: эллиптическое уравнение, задача Дирихле, функциональное пространство. Работа посвящена изложению ряда результатов автора, относящихся к изу- чению поведения вблизи границы решения задачи Дирихле с граничной функ- цией из Lp, p > 1, для эллиптического уравнения второго порядка. Основным аппаратом исследования является оценка нормы в Lp некасательной макси- мальной функции через Lp-норму его граничного значения, установленная при тех же условиях на коэффициенты уравнения, при которых известна од- нозначная разрешимость этой задачи; внутри рассматриваемой области ко- эффициенты предполагаются только измеримыми и ограниченными. Суще- ственное внимание уделяется распространению на такие уравнения теоремы Карлесона, дающей условия на борелевскую меру, необходимые и достаточ- ные для справедливости оценки норм в пространстве Lp по этой мере ана- литических в круге функций через Lp-норму их граничных значений, см. [1] и [2]. Для гармонических функций такая теорема была доказана Херман- дером, см. [3]. Обобщение теоремы Карлесона на решения эллиптического уравнения позволяет дать описание граничного поведения решения задачи Дирихле в терминах принадлежности специальному функциональному про- странству. В гильбертовом случае p = 2 близкие результаты были получе- ны в работах [4-6]. Будем рассматривать следующую задачу Дирихле для однородного эл- липтического уравнения второго порядка в самосопряжённой форме без млад- ших членов - n i,j=1 xi aij(x) u xj = 0, x Q, (1) u |Q= u0 (2) с граничной функцией u0 из Lp(Q), p > 1; x = (x1, x2, . . . , xn) точка Rn, а Q Rn ограниченная область с гладкой границей Q, Q C1. Ко- Анатолий Константинович Гущин (д.ф.-м.н., проф.), ведущий научный сотрудник, отдел математической физики. 53 А. К. Г у щ и н эффициенты aij(x) = aji(x), x Q, уравнения (1) являются измеримыми функциями, удовлетворяющими с некоторой положительной постоянной условию n i,j=1 aij(x)ij -1 для всех = (1, . . . , n) Rn, || = 1, и п.в. x Q. (3) Далее симметрическую матрицу aij(x) будем для краткости обозначать через A(x); постоянную из (3) будем называть постоянной эллиптичности. 1. Однозначная разрешимость задачи Дирихле. Прежде всего остановимся на вопросах постановки рассматриваемой задачи Дирихле и на результатах по её разрешимости. Хорошо известно, что понятие обобщённого решения из соболевского пространства W1 2 (Q) задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в полном смысле обобщением поня- тия классического решения: не любое классическое решение является обоб- щённым. Естественным обобщением этих понятий является предложенное в работе [7] определение решения из W1 2,loc, в котором u0 L2(Q), а гранич- ное значение понимается как предел в L2 следов решения на параллельных границе поверхностях . Разрешимость такой задачи и свойства её решений достаточно подробно изучены, см. [4-9]. В случае u0 Lp(Q) с p = 2 обычно рассматривают, см. [10-13], решение из W1 p,loc(Q), что гарантирует принад- лежность следов решения на лежащих внутри области гладких (n-1)-мерных поверхностях пространству Lp и позволяет говорить о пределе в Lp на грани- це. Однако эта естественная постановка, как и постановка задачи в W1 p (Q), приводит к необходимости налагать дополнительные условия на данные за- дачи. Отметим, что задача Дирихле в W1 p (Q) достаточно полно изучена, см. по этому поводу работы [14, 15], в которых требовалась непрерывность коэф- фициентов уравнения. Напомним, что для разрешимости изучаемой задачи в пространстве W1 2 (Q) никакие дополнительные условия не нужны. В случае негладкой границы граничное условие понимается как принадлежность раз- ности решения и определённой в Q заданной функции из W1 2 (Q) пространству W 1 2 (Q). Если граница гладкая, то u0 W 1/2 2 (Q). Следуя [16, 17], под решением задачи (1), (2) будем понимать функцию u из W1 2,loc(Q), удовлетворяющую уравнению (1) в смысле равенства обобщён- ных функций и принимающую граничное значение u0 в следующем смыс- ле: найдётся такое положительное число r0, что для граничной окрестности Vx0 = Bx0 (r0) Q произвольно взятой точки x0 Q выполняется соотно- шение Vx0 |u(x + (x0 )) - u0(x)|p dS 0 при +0; (2 ) здесь и далее Bx0 (r) = {x Rn : |x| < r} n-мерный шар с центром в точке x0 Rn радиуса r > 0, а (x0) единичный вектор внутренней нормали к Q в точке x0. Конечно, окрестность Vx0 должна быть такой, чтобы при доста- точно малых > 0 её сдвиг {x Rn : x = x + (x0), x Vx0 } на расстояние вдоль нормали (x0) лежал строго внутри области Q. Принадлежность ре- шения пространству Lp на лежащих внутри Q гладких поверхностях следует 54 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . из свойств внутренней гладкости решения, например, из теоремы Де Джор- джи Нэша, см. [18-20]. Такая постановка задачи Дирихле позволяет не требовать дополнитель- ные условия на коэффициенты уравнения внутри области. Если рассматри- вать решение из W1 p,loc(Q), то без дополнительных условий на коэффициенты внутри области при p < 2 несправедливо утверждение о единственности ре- шения (даже решения из W1 p (Q); не помогают и дополнительные условия гладкости коэффициентов на границе области), а при p > 2, как хорошо известно, решение из W1 2,loc(Q) не обязано принадлежать W1 p,loc(Q), а следо- вательно, нет теоремы существования. Подробное обсуждение этого вопроса и соответствующие примеры имеются в работе [17]. Итак, внутри области от коэффициентов уравнения не нужно требовать никаких дополнительных условий: на любом лежащем в Q компакте матрица A может быть произволь- ной (удовлетворяющей (3)). Но на границе области дополнительные условия приходится требовать даже в гильбертовом случае p = 2. Ослабление тре- бований на принятие решением своего граничного значения приводит к необ- ходимости условий гладкости границы области и коэффициентов уравнения на границе. Всюду далее мы будем предполагать, не оговаривая этого особо, что нормаль (внутренняя и единичная) непрерывна по Дини: |(x) - (y)| (|x - y|), x Q, y Q, (4) а коэффициенты уравнения непрерывны по Дини на границе: |aij(x) - aij(y)| (|x - y|), i, j = 1, 2, . . . , n, x Q, y Q (5) (значения функций aij можно так изменить на множестве нулевой меры, что- бы для всех x Q и y Q выполнялось неравенство (5)); (t), t > 0 такая монотонная (принимающая положительные значения) функция, что интеграл от отношения (t)/t сходится в нуле. При выполнении этих условий справедлива теорема об однозначной разре- шимости рассматриваемой задачи. Для p = 2 это утверждение было доказано в работе [4], а для произвольного показателя p > 1 в [17]. Теорема 1 [17]. Для любой граничной функций u0 из Lp(Q) существу- ет решение задачи Дирихле (1), (2). Это решение единственно и для него справедлива оценка sup >0 1 {xQ:<r(x)<2} |u|p (x)dx + Q r(x)|u(x)|p-2 | u(x)|2 dx const · Q |u0(x)|p dS (6) с зависящей только от n, , Q, и p постоянной. Здесь и далее r(x) расстояние от точки x Q до границы Q, а S (n - 1)-мерная мера Лебега на Q. Условия (4), (5), при которых доказана теорема 1, по-видимому можно ослабить. Но отказаться от них, как отмечалось выше, нельзя. В [4] приведён 55 А. К. Г у щ и н пример, показывающий, что без дополнительных (к (3)) условий на коэффи- циенты уравнения нарушается утверждение о единственности решения при p = 2. Не помогает и более жёсткое в случае p > 2 условие (2 ). Более точные достаточные для справедливости теоремы 1 условия на коэффициенты урав- нения и границу области не известны. В частности, интересно было бы дать ответ на следующий вопрос: не сохраняется ли утверждение об однозначной разрешимости при условии непрерывности A(x) на Q? Из оценки (6) теоремы 1 немедленно следует оценка нормы решения в про- странстве Lp(Q). Несложно получается из неё и оценка нормы в Lp на лежа- щей в рассматриваемой области гладкой (n - 1)-мерной поверхности, точнее см. [17]. Более тонкой оценке, которая является мощным инструментом иссле- дования граничного поведения решения, посвящён следующий пункт работы. 2. Оценка некасательной максимальной функции. Возьмём произвольное положительное число a и произвольную точку x0 Q. Обозначим через (x0) = (x0; a) лежащий в области Q открытый усеченный конус фиксиро- ванной высоты h0 с вершиной в x0, ось которого направлена по внутренней нормали (x0); в местной системе координат (в ортогональной системе коор- динат, начало которой находится в точке x0, а ось xn направлена по нормали (x0)), этот конус описывается неравенствами 0 < xn < h0, |x | < axn. Вы- соту h0 = h0(a, Q) (она одинакова для всех x0 Q) выберем столь малой, чтобы границы конуса и области пересекались только по вершине x0. Пусть M(x0) = M(x0; a) = sup{|u(x)| : x (x0; a)} некасательная (нетангенци- альная) максимальная функция для решения u. Основным результатом этого пункта является следующее утверждение. Теорема 2 [21]. Для любого a > 0 и любой граничной функции u0 из Lp(Q) решение u задачи Дирихле (1), (2) удовлетворяет оценке Q Mp (x; a)dS const · Q |u0(x)|p dS, (7) постоянная в которой зависит от размерности пространства n, постоян- ной эллиптичности из (3), области Q, функции из (4), (5), показателя суммирования p и раствора конуса a. Замечание. Из известных оценок решения внутри области (см., например, [22-24] или [17]) немедленно следует, что неравенство (7) остаётся справед- ливым, если к конусам (x0), x0 Q, добавить произвольную компактно принадлежащую области Q подобласть Q (например, множество точек об- ласти, отстоящих от границы на расстоянии большем, чем h0/2). Для гармонических функций некасательная максимальная функция и её связь с другими характеристиками граничного поведения (с интегралом пло- щадей Лузина, с функцией Литтлвуда Пэли и др.) детально изучены, см. [25-27]. В частности, известно и сформулированное утверждение, см., напри- мер, [27]. В силу принципа максимума оценку (7) достаточно доказать для решения с неотрицательным граничным значением u0. А так как при p > 2 функция up/2 является субрешением, то достаточно рассмотреть случай 1 < p 2. Кроме того, можно ограничиться рассмотрением решений задачи с гладкой 56 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . функцией u0; справедливость теоремы в общем случае получается стандарт- ным предельным переходом. При этом в силу замечания к теореме 2 можно ограничиться рассмотрением случая достаточно больших значений парамет- ра a. С помощью покрытия прилегающей к границе части области достаточно малыми подобластями специального вида и распрямления соответствующих кусков границы доказательство теоремы 2 сводится к изучению свойств ре- шения следующей задачи Дирихле. Пусть a0 достаточно большое число, его выбор определяется размерно- стью пространства n, постоянной из (3), функцией и показателем сумми- руемости p > 1. Зафиксируем произвольно взятое число a > a0. В усечённом конусе = {x = (x , xn) Rn : |x | < 1, 0 < xn < (1 - |x |)/a} рассмотрим задачу Дирихле для уравнения (1) со следующим граничным условием: u(x) = 0 при x , xn > 0, u(x , 0) = u0(x ), |x | 1; (2 ) неотрицательную, непрерывно дифференцируемую функцию u0 можно, кро- ме того, считать финитной: suppu0 B , B = {x Rn-1 : |x | < 1}. Сле- дующая теорема, утверждающая справедливость в рассматриваемой ситуа- ции оценки некасательной максимальной функции через аналог интеграла площадей Лузина, не только является основным элементом доказательства теоремы 2, но и представляет самостоятельный интерес. Для гармонических функций оценки нормы в пространстве Lp(Q) некасательной максимальной функции через норму в том же пространстве интеграла площадей (и более общие утверждения) хорошо известны, см. [25-27]. В работе [28] показано, что такие результаты допускают распространение на классические решения эллиптического уравнения с гладкими коэффициентами в области, граница которой представляется в виде разности выпуклых функций. Для случая p = = 2 такая оценка была установлена и в рассматриваемой ситуации, см. [4]. В общем случае (p = 2) доказанная в [17] теорема о разрешимости дает оценку (через норму в Lp(Q) граничной функции u0) нормы в L2(Q) инте- грала площадей функции up/2. Оценка нормы в Lp(Q) интеграла площадей самого решения неизвестна; неочевидна и конечность этой нормы. В связи с этим нам потребовалась оценка нормы в Lp(Q) некасательной максимальной функции через норму в L2(Q) интеграла площадей функции up/2; отметим, что в рассматриваемом сейчас случае p < 2 функция up/2 не является субре- шением. Пусть 1(x ), x B Rn-1 пересечение конуса (x ; a) = {y = (y , yn) Rn : |y - x | < ayn} с областью , 2(x ) = (x ; 2a) , M(x ) = sup{u(x) : x 1(x )}, а S(x ) = 2(x ) x2-n n | [u(x)]p/2 |2 dx 1/2 интеграл площадей функции up/2. Теорема 3 [21]. Для решения задачи (1), (2 ) справедлива оценка B M p/2 1 (x )dx const · B S2 (x )dx , постоянная в которой зависит только от n, , и p. В следующем пункте мы докажем несложное следствие теоремы 2, утвер- ждающее существование у решения рассматриваемой задачи некасательного 57 А. К. Г у щ и н предела (предела по некасательному направлению) в почти всех точках гра- ницы. 3. Существование некасательного предела решения для п.в. точек гра- ницы. Естественным обобщением хорошо известной теоремы Фату, см. [29], является следующее утверждение: конечность почти всюду некасательной максимальной функции (некасательная ограниченность) для гармонической функции эквивалентна существованию п.в. некасательного предела, см. [25, 30, 31]. Из теоремы 2 вытекает справедливость такого типа (но существенно более слабого) утверждения и для решений рассматриваемой задачи. Напом- ним, что число A называется некасательным пределом функции u в точке x0 Q, если для любых положительных чисел и a найдётся такое положи- тельное число = (, a), что для всех точек x (x0; a), удовлетворяющих неравенству |x - x0| < , выполняется оценка |u(x) - A| < . Теорема 4. Пусть u0 Lp(Q) с некоторым p > 1. Тогда для п.в. x0 Q решение задачи (1), (2) имеет некасательный предел в x0 и этот предел равен значению граничной функции u0 в этой точке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u0 произвольная функция из Lp(Q), а u решение задачи (1), (2). Возьмём последовательность гладких функций u (k) 0 C1(Q), k = 1, 2, . . ., сходящуюся в Lp(Q) к граничной функции u0. Выбе- рем из неё подпоследовательность, сходящуюся (к u0) п.в. на Q; сохраним за ней то же обозначение. Обозначим через {u(k)} последовательность реше- ний рассматриваемой задачи Дирихле с граничными значениями u (k) 0 . Отме- тим, что решения u(k) непрерывны (и даже непрерывны по Гёльдеру) в Q, см. [22, 23, 32]. Имеем u0 - u (k) 0 Lp(Q) 0 при k , u0(x0 ) - u (k) 0 (x0 ) 0 при k для п.в. x0 из Q и в силу оценки (7) теоремы 2 для решения u - u(k): Q sup{|u(x) - u(k) (x)| : x (x0 ; a)} p dS const · Q |u0(x) - u (k) 0 (x)|p dS 0 при k для произвольного положительного a (конечно, постоянная в этом неравен- стве зависит от a). Возьмём произвольные положительные числа и a. Из стремящейся к нулю в Lp(Q) последовательности sup{|u(x) - u(k)(x)| : x (x0; a)}, k = = 1, 2, . . . , выберем стремящуюся к нулю п.в. на Q подпоследовательность; опять будем обозначать выбранную подпоследовательность так же, как и са- му последовательность. По построению имеем, что для почти всех точек x0 из Q функциональная последовательность u(k)(x) сходится к функции u(x) равномерно на конусе (x0; a). Зафиксируем произвольно взятую точку x0 из 58 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . множества полной меры, на котором имеется эта сходимость и u (k) 0 сходит- ся к u0. По числу выберем номер k0 так, чтобы выполнялись неравенства |u(x)-u(k0)(x)| < /3 для всех x (x0; a) и |u0(x0)-u (k0) 0 (x0)| < /3; зафик- сируем эту функцию u(k0). Число > 0 выберем теперь по /3 из непрерыв- ности функции u (k0) 0 в точке (x0). Доказанная теорема о некасательной сходимости решения на границе пред- ставляет определённый интерес, но, как видно из сравнения с соответству- ющим результатом для гармонических функций, является довольно грубой. Кроме того, такого рода утверждения не имеют фундаментального значения для теории краевых задач для эллиптических уравнений. Дело в том, что в отличие от случая аналитических функций одного комплексного переменно- го в рассматриваемой ситуации условие сходимости п.в. на границе решения уравнения к заданному граничному значению не выделяет единственное ре- шение. Более существенным следствием теоремы 2 является аналог теоремы Кар- лесона об оценках в Lp по мерам решения задачи Дирихле. Этому вопросу будет посвящён следующий пункт работы. 4. Теорема карлесоновского типа для решений эллиптического уравне- ния второго порядка. Известные работы Л. Карлесона [1, 2], посвящённые проблеме интерполяции ограниченными аналитическими функциями одного комплексного переменного и доказательству теоремы о короне, основываются на следующей оценке аналитической в единичном круге Q C функции. Пусть неотрицательная борелевская мера (с носителем в Q) удовлетво- ряет условию: существует такая постоянная C, что для любой точки z0 Q и любого положительного числа r выполняется неравенство (Bz0 (r)) Cr, в котором Bz0 (r) круг с центром в точке z0 радиуса r. Тогда для любой аналитической в Q функций u с граничным значением u0 = u |Q справедлива оценка Q |u|p d C Q |u0|p dS, (8) в которой p > 0, C = C(p)C, а C(p) положительная постоянная. Приве- дённое условие на меру является и необходимым для справедливости оценки (8) для всех аналитических в Q функций u. В работе Л. Хермандера [3] аналогичный результат был доказан для гар- монических функций в ограниченной области Q с дважды гладкой границей (Q C2). Для справедливости оценки (8) для всех гармонических в Q функ- ций с граничным значением u0 из Lp(Q), p > 1, необходимо и достаточно, чтобы мера , supp Q, удовлетворяла следующему условию: существует такая постоянная C, что для любой точки x0 Q и любого положительного числа r выполняется неравенство (Bx0 (r)) Crn-1 ; (9) напомним, что Bx0 (r) шар в Rn с центром в точке x0 радиуса r, Bx0 (r) = = {x Rn : |x - x0| < r}. 59 А. К. Г у щ и н Удовлетворяющие условию (9) борелевские меры принято называть ме- рами Карлесона, см., например, [33, 34]. Наименьшую из постоянных C, с которыми выполняется (9), будем называть нормой меры Карлесона . Целью настоящего пункта является аналогичное утверждение для реше- ний задачи Дирихле (1), (2). Достаточно подробно в этом направлении ис- следован гильбертов случай p = 2. В работе автора [4] был установлен ослабленный вариант теоремы Карлесона. При выполнении условий (4) и (5), гарантирующих однозначную разрешимость рассматриваемой задачи, было доказано утверждение о достаточности для справедливости оценки (8) сле- дующего более жёсткого условия на меру: существует такая постоянная C, что для любых x0 Q и r > 0 выполняется неравенство (Bx0 (r)) Crn-1 ; (9 ) в отличие от (9) в этом условии требуется выполнение оценки меры не только для шаров с лежащими на границе центрами, но и для шаров с центрами внутри области. Отказаться в этом утверждении от условия (5) нельзя. Без него, как отмечалось выше, нельзя гарантировать единственность решения, и тем более справедливость оценки (8). Этот результат позволил установить (n - 1)-мерную непрерывность ре- шения задачи Дирихле, доказать свойства, характеризующее поведение ре- шения вблизи границы, и дать определение решения этой задачи (с u0 L2(Q)), не требующее, как и определение классического решения, в своей постановке условий гладкости коэффициентов уравнения и границы области (условия (4), (5) нужны для теоремы об однозначной разрешимости), подроб- нее см. [4]. В частности, установлено следующее утверждение (напомним, что условия (4), (5), как и условие (3), мы договорились всегда считать выпол- ненными). Утверждение. Пусть u решение задачи Дирихле (1), (2) с произволь- ной u0 L2(Q), некоторое положительное число, S мера Лебега на Q, а = {} семейство отображений Q в Q, каждое из которых удо- влетворяет следующим условиям: a) полный прообраз любого борелевского множества является измеримым (по мере S); b) мера (S-мера) полного прообраза любого шара с центром в Q не превос- ходит произведения числа на радиус шара в степени n - 1. Тогда Q |u((x)) - u0(x)|p dS 0 при Q |(x) - x|dS 0. Обсуждаемый ослабленный вариант теоремы Карлесона ((9 ) (8)), как было доказано в работе В. Ж. Думаняна [35], справедлив и для решений обще- го эллиптического уравнения второго порядка при некоторых естественных ограничениях на рост коэффициентов при младших членах вблизи границы. Теорема о достаточности для справедливости оценки (8) при p = 2 более слабого условия (9) была доказана в совместной с В. П. Михайловым рабо- те [5], посвящённой исследованию разрешимости нелокальных задач, в кото- рых значения решения в граничных точках выражаются через его значения 60 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . во внутренних точках области. Использование этого утверждения позволило предложить новый подход к исследованию разрешимости нелокальных задач и существенно расширить класс поддающихся изучению задач, см. также [36- 39]. Более простое утверждение о необходимости условия (9) в случае p = 2 приведено в [6]. В общем случае p > 1 обсуждаемый аналог теоремы Карлесона (8) (9) справедлив при те же, что и в случае p = 2, условиях (4), (5). Доказатель- ство этого утверждения опубликовано в работе [40]. Отметим, что условие справедливости для решений задачи Дирихле с u0 Lp(Q) оценки (8) не зависит не только от показателя суммируеммости p, но и от выбора эллипти- ческого оператора; от постоянной эллиптичности и функции из (4), (5) зависит только постоянная в этой оценке. В частности, эту теорему можно сформулировать следующим образом. Теорема 5. Для того чтобы оценка (8) была справедлива для всех реше- ний задачи Дирихле (1), (2) с u0 Lp(Q), необходимо и достаточно, чтобы она была справедлива (с той же мерой ) для всех гармонических функций с граничными значениями из L2(Q). 5. Следствия из теоремы 5. Введём на множестве непрерывных в замыка- нии Q области Q функций норму v p = sup 1 Q |v(x)|p d(x) 1/p ; (10) здесь норма меры Карлесона (наименьшая из постоянных, с кото- рыми выполнено (9)), а точная верхняя грань берется по всем отличным от нулевой мерам Карлесона. Пополнение этого пространства будем обозначать через Cn-1,p( Q; Q). Легко видеть, что норма (10) не меньше, чем норма в пространстве Cn-1,p( Q), см. [4]. Тем самым введённое пространство лежит в пространстве (n - 1)-мерно непрерывных функций Cn-1,p( Q) и, тем более, в Lp(Q). Кроме того, из сходимости во введённом пространстве, как нетрудно проверить, следует равномерная сходимость на любом лежащем в Q ком- пакте и сходимость в Lp(Q). Далее элементы пространства Cn-1,p( Q; Q) будем интерпретировать как определённые на Q непрерывные внутри обла- сти функции, сужения которых на границу суммируемы с p-ой степенью. При этом будем отождествлять, не оговаривая этого особо, функции, значения ко- торых совпадают внутри области и п.в. на границе (по мере Лебега на Q). Определение 1. Будем говорить, что функция v : Q R принадлежит пространству Cn-1,p( Q; Q), если существует сходящаяся к ней по норме (10) последовательность непрерывных в Q функций. Конечно, при этом предполагается, что функция v интегрируема с p-ой степенью по любой мере Карлесона. Из определения 1 немедленно следует, что для любой меры Карлесона пространство Cn-1,p( Q; Q) вкладывается в Lp( Q; ); предел в Lp( Q; ) сходящейся к функции v по норме (10) последова- тельности непрерывных функций (элемент Lp( Q; )) будем называть следом функции v на мере . 61 А. К. Г у щ и н Следствие 1. Для любой u0 Lp(Q) решение задачи (1), (2) принадле- жит пространству Cn-1,p( Q; Q). Отметим, что из последнего утверждения вытекает, что множество следов на Q (на мере S) всех функций из Cn-1,p( Q; Q) совпадает с Lp(Q). Можно дать и другие, эквивалентные приведённому определения рассмат- риваемого пространства. Прежде всего заметим, что определение нормы в этом пространстве не меняется, если ограничиться единичными мерами Кар- лесона: (Rn) = 1. Пусть и две единичные меры. Возьмём такую меру в R2n, что её проекция на пространство первых n переменных совпадает с , а проекция на пространство последних n переменных совпадает с : (GRn) = (G), (Rn)G) = (G) для всех борелевских множеств G Rn; меру будем называть мерой, соединяющей меры и . Конечно, supp Q Q и (R2n) = 1. Заметим, что для любых рассматриваемых мер суще- ствует соединяющая их мера; например, их произведение. Если же каждая из мер и сосредоточена в точке (их носители являются точками), то про- изведение этих мер является единственной соединяющей их мерой. Определение 2. Функция v : Q R принадлежит пространству Cn-1,p( Q; Q), если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для любых мер Карлесона и и для любой соединяющей их меры , удовлетворяющей неравенству R2n |x - y|d(x, y) < , (11) выполняется оценка 1 + R2n |v(x) - v(y)|p d(x, y) < . (12) Возьмём произвольное положительное число и обозначим через Q(x), x Q, пересечение области Q с шаром Bx(), а через m(Q(x)) меру Лебега (n-мерную) этого пересечения. Отметим, что в силу гладкости границы обла- сти для всех > 0 и всех x Q справедливо неравенство m(Q(x)) c(n)n с зависящей только от n положительной постоянной c(n). Обозначим, кроме того, v(x) = 1 m(Q(x)) Q(x) v(y)dy. Определение 3. Функция v : Q R принадлежит пространству Cn-1,p( Q; Q), если v - v p 0 при 0. Теорема 6. Определения 1, 2 и 3 эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция v Cn-1,p( Q; Q) в смысле опре- деления 1, {vk} последовательность непрерывных в замыкании области Q функций, сходящаяся к v в норме (10). Возьмём произвольные положитель- ное число , единичные меры Карлесона , и соединяющую их меру , удовлетворяющую условию (11). Отметим, что 2 = (Rn) + (Rn) [ + ]Rn-1 0 , 62 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . где R0 радиус шара с лежащим на Q центром, содержащего замыкание области Q. По 1 = /22p найдём такой номер k, что v - vk p p < 1; (13) зафиксируем этот номер. Обозначим M = max{ vk C( Q), 1}. Выберем теперь такое число > 0, что из |x - y| < (конечно, x Q и y Q) следует неравенство |vk(x) - vk(y)| < 2 = 1 2 /Rn-1 0 1/p . Тогда {(x,y)R2n:|x-y|<} |vk(x) - vk(y)|p d(x, y) < p 2. (14) По выбранному уже числу возьмём = p 2/(2pMp). Тогда из (11) следует, что ({(x, y) R2n : |x - y| }) < = p 2 2pMp , и следовательно, {(x,y)R2n:|x-y| } |vk(x) - vk(y)|p d(x, y) < (2M)p p 2 2pMp = p 2. Объединяя последнее неравенство и (14), получаем R2n |vk(x) - vk(y)|p d(x, y) < 2p 2. (15) Из (13) и (15) имеем R2n |v(x) - v(y)|p d(x, y) 1/p R2n |v(x) - vk(x)|p d(x, y) 1/p + + R2n |vk(x) - vk(y)|p d(x, y) 1/p + R2n |vk(y) - v(y)|p d(x, y) 1/p < < 1/p 1 1/p + 1/p + 21/p 2 2 1/p 1 ( + )1/p + 21/p 2 Rn-1 0 ( + )/2 1/p ( + )1/p 1/p , что и даёт доказываемую оценку (12). Таким образом, мы доказали, что если функция v принадлежит про- странству Cn-1,p( Q; Q) в смысле определения 1, то она принадлежит это- му пространству и в смысле опредения 2. Докажем теперь, что если v Cn-1,p( Q; Q) в смысле определения 2, то v - v p 0 при 0 (то есть выполнено и требование определения 3). Возьмём произвольную единичную меру Карлесона . Определим меры и следующими равенствами: (G) = Q m(G Q(x)) m(Q(x)) d(x) для всех (борелевских) множеств G Rn 63 А. К. Г у щ и н и (D) = D {(x,y) Q Q:|x-y|<}(x, y) m(Q(x)) dyd(x), D R2n; здесь E характеристическая функция множества E. Нетрудно проверить, что (R)n) = 1, а мера соединяет меры и . Покажем, что мера является мерой Карлесона и её норма удовлетворяет оценке C , (16) постоянная C = C(n, Q) в которой зависит только от n и Q. Действительно, возьмём произвольные r > 0 и x0 Q. Рассмотрим -меру шара Bx0 (r): (Bx0 (r)) = Bx0 (r+) m(Q(x) Bx0 (r)) m(Q(x)) d(x) C(n, Q) min{n, rn} n (Bx0 (r+)). Откуда, если r, получаем (Bx0 (r)) C(n, Q) ( + r)n-1 C(n, Q)2n-1 rn-1 . Если же r < , то (Bx0 (r)) C(n, Q) rn n (2)n-1 C(n, Q)2n-1 rn-1 . Таким образом, неравенство (16) доказано. Учитывая эту оценку и оче- видное неравенство R2n |x - y|d(x, y) < , из определения 2 получаем, что если v Cn-1,p( Q; Q), то 1 Rn v(x) - 1 m(Q(x) Q(x) v(y)dy p d(x) C(n, Q) + R2n |v(x) - v(y)|p d(x, y) < C(n, Q), как только < . Отсюда следует сходимость v к v и в Cn-1,p( Q; Q), по- скольку постоянная в последней оценке не зависит от . Так как при вы- полнении определения 3, очевидно, выполняется и определение 1, теорема доказана. Если в определении 2 ограничиться мерами, каждая из которых сосре- доточена в точке (каждая в своей), лежащей внутри области, то получим не только непрерывность функций из рассматриваемого пространства (что уже отмечалось выше), но и характеристику неравномерности непрерывно- сти вблизи границы. Из неё будет следовать оценка возможного роста этих функций при приближении к границе. Пусть мера, сосредоточенная в точке x0 Q, а мера, сосредото- ченная в точке y0 Q: Q g(x)d(x) = g(x0 ), Q g(x)d(x) = g(y0 ) для всех g C( Q). 64 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . Легко вычисляются нормы этих мер: = 1 rn-1(x0) , = 1 rn-1(y0) ; напомним, что r(x) = dist{x, Q}. В этом случае соединяющая их мера единственна произведение соединяемых мер. Условие (11) принимает вид |x0 - y0 | = R2n |x - y|d(x, y) < . Следующее из этого условия неравенство (12) даёт 1 2 rn-1 (x, y)|v(x0 ) - v(y0 )| 1 + R2n |v(x) - v(y)|p d(x, y) < , здесь r(x, y) = min{r(x), r(y)}. Из полученного свойства, в частности, немед- ленно вытекает справедливость следующей оценки для каждой функции v из Cn-1,p( Q; Q): |v(x)| const rn-1(x) . В заключение отметим ещё следствие из теорем 5 и 6, аналогичное утвер- ждению пункта 4, но более точно характеризующее принятие решением за- дачи Дирихле своего граничного значения. Следствие 2. Пусть u решение задачи Дирихле (1), (2) с произвольной u0 Lp(Q), некоторое положительное число, а = {} семейство отображений Q в Q, каждое из которых удовлетворяет следующим усло- виям: a) полный прообраз любого борелевского множества является измеримым (по мере S); b) мера (S-мера) полного прообраза любого шара с лежащим на Q цен- тром не превосходит произведения числа на радиус шара в степени n - 1. Тогда Q |u((x)) - u0(x)|p dS 0 при Q |(x) - x|dS 0. Доказательство последнего утверждения немедленно вытекает из принад- лежности решения пространству Cn-1,p( Q; Q) и второго определения, если взять в качестве меры нормированную (n - 1)-мерную меру Лебега на гра- нице, а в качестве меру, сосредоточенную на графике отображения . Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-00178-а) и гранта президента РФ для поддержки ведущих на- учных школ (НШ-2928.2012.1). 65 А. К. Г у щ и н БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. L. Carleson, An interpolation problem for bounded analytic functions // Amer. J. Math., 1958. Vol. 80, no. 4. Pp. 921-930. 2. L. Carleson, Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of Math., 1962. Vol. 76, no. 3. Pp. 547-559. 3. L. Hormander, Lp -estimates for (pluri-) subharmonic functions // Math. scand., 1967. Vol. 20. Pp. 65-78. 4. А. К. Гущин, О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб., 1988. Т. 137(179), 1(9). С. 19-64; англ. пер.: A. K. Gushchin, On the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation // Math. USSR-Sb., 1990. Vol. 65, no. 1. Pp. 19-66. 5. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, О разрешимости нелокальных задач для эллиптиче- ского уравнения второго порядка // Матем. сб., 1994. Т. 185, 1. С. 121-160; англ. пер.: A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, On solvability of nonlocal problems for a second- order elliptic equation // Russian Acad. Sci. Sb. Math., 1995. Vol. 81, no. 1. Pp. 101-136. 6. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Внутренние оценки обобщенных решений эллипти- ческого уравнения второго порядка // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия, 2008. 8/1(67). С. 76-94. [A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, Internal estimates of general solutions of second order elliptic equation // Vestn. SamGU. Yestestvennonauchnaya seriya, 2008. no. 8/1(67). Pp. 76-94]. 7. В. П. Михайлов, О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, 10. С. 1877-1891. [V. P. Mikhailov, The Dirichlet problem for a second order elliptic equation // Differents. Uravneniya, 1976. Vol. 12, no. 10. Pp. 1877-1891]. 8. А. К. Гущин, О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго по- рядка // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, 5. С. 1036-1052; англ. пер.: A. K. Gushchin, On the interior smoothness of solutions to second-order elliptic equations // Siberian Math. J., 2005. Vol. 46, no. 5. Pp. 826-840. 9. А. К. Гущин, Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гёльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // ТМФ, 2008. Т. 157, 3. С. 345-363; англ. пер.: A. K. Gushchin, A strengthening of the interior Holder continuity property for solutions of the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation // Theoret. and Math. Phys., 2008. Vol. 157, no. 3. Pp. 1655-1670. 10. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических уравнений // Матем. сб., 1979. Т. 108(150), 1. С. 3-21; англ. пер.: A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations // Math. USSR-Sb., 1980. Vol. 36, no. 1. Pp. 1-19. 11. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, О граничных значениях решений эллиптических урав- нений / В сб.: Обобщённые функции и их применения в математической физике: Тр. междунар. конференции. М.: ВЦ АН СССР, 1981. С. 189-205. [A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, On boundary values of solutions of elliptic equations / In: Generalized functions and their applications in mathematical physics: Proceedings of the International Conference. Moscow, 1981. Pp. 189-205]. 12. И. М. Петрушко, О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптических урав- нений в областях с ляпуновской границей // Матем. сб., 1983. Т. 120(162), 4. С. 569- 588; англ. пер.: I. M. Petrushko, On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations in domains with a Lyapunov boundary // Math. USSR-Sb., 1984. Vol. 48, no. 2. Pp. 565-585. 13. Ю. А. Михайлов, О граничных значениях в Lp, p > 1, решений эллиптического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, 2. С. 318-337. [Yu. A. Mikhailov, Boundary values in Lp, p > 1, of solutions of a second-order linear elliptic equation // Differents. Uravneniya, 1983. Vol. 19, no. 2. Pp. 318-337]. 66 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . 14. Ю. А. Алхутов, В. А. Кондратьев, Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, 5. С. 806-817; англ. пер.: Yu. A. Alkhutov, V. A. Kondrat'ev, Solvability of the Dirichlet problem for second-order elliptic equations in a convex domain // Differ. Equ., 1992. Vol. 28, no. 5. Pp. 650-662. 15. Ю. А. Алхутов, Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических урав- нений второго порядка // Матем. сб., 1998. Т. 189, 1. С. 3-20; англ. пер.: Yu. A. Alkhutov, Lp-estimates of the solution of the Dirichlet problem for second- order elliptic equations // Sb. Math., 1998. Vol. 189, no. 1. Pp. 1-17. 16. А. К. Гущин, О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из Lp для эллиптического уравнения второго порядка // Докл. Акад. наук, 2011. Т. 437, 5. С. 583-586; англ. пер.: A. K. Gushchin, On the solvability of the Dirichlet problem with a boundary function from Lp for a second-order elliptic equation // Dokl. Math., 2011. Vol. 83, no. 2. Pp. 219-221. 17. А. К. Гущин, О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго поряд- ка с граничной функцией из Lp // Матем. сб., 2012. Т. 203, 1. С. 3-30; англ. пер.: A. K. Gushchin, The Dirichlet problem for a second-order elliptic equation with an Lp boundary function // Sb. Math., 2012. Vol. 203, no. 1. Pp. 1-27. 18. E. De Giorgi, Sulla differenziabilit`a e l'analiticit`a delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur, 1957. Vol. 3, no. 3. Pp. 25- 43. 19. J. Nash, Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math, 1958. Vol. 80, no. 4. Pp. 931-954. 20. J. Moser, A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math, 1960. Vol. 13, no. 3. Pp. 457-468. 21. А. К. Гущин, Оценки некасательной максимальной функции решений эллиптического уравнения второго порядка // Докл. Акад. наук, 2012. Т. 446, 5. С. 487-489; англ. пер.: A. K. Gushchin, Estimates of the nontangential maximal function for solutions of a second-order elliptic equation // Dokl. Math., 2012. Vol. 86, no. 2. Pp. 667-669. 22. О. А.Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллипти- ческого типа. М.: Наука, 1973. 576 с. [O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva , Linear and quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 576 pp.] 23. D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differentiol equations of second order. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1983. 529 pp.; русск. пер.: Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производ- ными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с. 24. В. П. Михайлов, А. К. Гущин, Дополнительные главы курса Уравнения математи- ческой физики / Лекц. курсы НОЦ, Т. 7. М.: МИАН, 2007. С. 3-144. [V. P. Mikhailov, A. K. Gushchin, Additional chapters of course Equations of Mathematical Physics / Lekts. Kursy NOC, 7. Moscow: Steklov Math. Inst., RAS, 2007. Pp. 3-144]. 25. E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions / Princeton Mathematical Series. Vol. 30. Prinston, N.J.: Prinston University Press, 1970. xiv+290 pp.; русск. пер.: И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функ- ций. М.: Мир, 1973. 344 с. 26. D. L. Burkholder, R. F. Gundy, Distribution function inequalities for the area integral, Collection of articles honoring the completion by Antoni Zygmund of 50 years of scientific activity, VI // Studia Math., 1972. Vol. 44. Pp. 527-544. 27. B. E. J. Dahlberg, Weighted norm inequalities for the Lusin area integral and the nontangential maximal functions for functions harmonic in a Lipschitz domain // Studia Math., 1980. Т. 67, 3. С. 297-314. 67 А. К. Г у щ и н 28. В. Ю. Шелепов, О граничных свойствах решений эллиптических уравнений в много- мерных областях, представимых с помощью разности выпуклых функций // Матем. сб., 1987. Т. 133(175), 4(8). С. 446-468; англ. пер.: V. Yu. Shelepov, On boundary properties of solutions of elliptic equations in multidimensional domains representable by means of the difference of convex functions // Math. USSR-Sb., 1988. Vol. 61, no. 2. Pp. 437- 460. 29. H. Fatou, Series trigonometriques et series de Taylor // Acta Math., 1906. Vol. 30, no. 1. Pp. 335-400. 30. И. И. Привалов, Интеграл Коши. Саратов, 1919. 96 с. [I. I. Privalov, The Cauchy Integral. Saratov, 1919. 96 pp.] 31. E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces / Princeton Mathematical Series. Vol. 32. Prinston, N.J.: Prinston University Press, 1971. x+297 pp.; русск. пер.: И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про- странствах. М.: Мир, 1974. 333 с. 32. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, Качественная теория линейных дифференциаль- ных уравнений в частных производных второго порядка / В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными - 3 / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 99-215. [V. A. Kondratiev, E. M. Landis, Qualitative theory of second order linear partial differential equations / In: Partial differential equations - 3 / Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., 32. Moscow: VINITI, 1988. Pp. 99-215]. 33. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. 384 с. [N. K. Nikol'skiy, Lectures on the shift operator. Moscow: Nauka, 1980. 384 pp.] 34. J. B. Garnett, Bounded analytic functions / Pure and Applied Mathematics. Vol. 96. New York, London: Academic Press, Inc., 1981. xvi+467 pp.; русск. пер.: Дж. Гарнет, Огра- ниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 469 с. 35. В. Ж. Думанян, О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптическо- го уравнения второго порядка // Матем. сб., 2011. Т. 202, 7. С. 75-94; англ. пер.: V. Zh. Dumanyan, Solvability of the Dirichlet problem for a general second-order elliptic equation // Sb. Math., 2011. Vol. 202, no. 7. Pp. 1001-1020. 36. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения // Матем. сб., 1995. Т. 186, 2. С. 37-58; англ. пер.: A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, On the continuity of the solutions of a class of non-local problems for an elliptic equation // Sb. Math., 1995. Vol. 186, no. 2. Pp. 197-219. 37. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Об однозначной разрешимости нелокальных за- дач для эллиптического уравнения // Докл. Акад. наук, 1996. Т. 351, 1. С. 7-8. [A. K. Gushchin, V. P. Mikhailov, On the unique solvability of nonlocal problems for an elliptic equation // Dokl. Akad. Nauk, 1996. Vol. 351, no. 1. Pp. 7-8]. 38. А. К. Гущин, Условие полной непрерывности операторов, возникающих в нелокаль- ных задачах для эллиптических уравнений // Докл. Акад. наук, 2000. Т. 373, 2. С. 161-163; англ. пер.: A. K. Gushchin, A condition for the complete continuity of operators arising in nonlocal problems for elliptic equations // Dokl. Math., 2000. Vol. 62, no. 1. Pp. 32-34. 39. А. К. Гущин, Условие компактности одного класса операторов и его применение к ис- следованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений // Ма- тем. сб., 2002. Т. 193, 5. С. 17-36; англ. пер.: A. K. Gushchin, A condition for the compactness of operators in a certain class and its application to the analysis of the solubility of non-local problems for elliptic equations // Sb. Math., 2002. Vol. 193, no. 5. Pp. 649-668. 68 Lp-оценки некасательной максимальной функции . . . 40. А. К. Гущин, Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения вто- рого порядка // ТМФ, 2013. Т. 174, 2. С. 243-255; англ. пер.: A. K. Gushchin, Lp- estimates for solutions of second-order elliptic equation Dirichlet problem // Theoret. and Math. Phys., 2013. Vol. 174, no. 2. Pp. 209-219. Поступила в редакцию 13/XI/2012; в окончательном варианте 19/I/2013. MSC: 35D05; 35J25, 35B30, 35R05, 35B45 Lp-ESTIMATES OF THE NONTANGENTIAL MAXIMAL FUNCTION FOR A SECOND-ORDER ELLIPTIC EQUATION SOLUTIONS A. K. Gushchin Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russia. E-mail: akg@mi.ras.ru The work contains the survey of results related to the study of near the boundary behavior of the solution of the Dirichlet problem with the boundary function in Lp, p > 1 for a second-order elliptic equation. There are new statements and some unsolved problems in this direction. Key words: elliptic equation, Dirichlet problem, function space. Original article submitted 13/XI/2012; revision submitted 19/I/2013. Anatolii K. Gushchin (Dr. Sci (Phys. & Math.)), Leading Researcher, Dept. of Mathematical Physics.