The Dunkl convolution operators and multipoint de la Vallee–Poussin problem

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 70-81 УДК 517.53+517.98 ОПЕРАТОРЫ СВEРТКИ ДАНКЛА И МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА ВАЛЛЕ ПУССЕНА К. Р. Забирова1 , В. В. Напалков2 1 Уфимский государственный авиационный технический университет, Россия, 450000, Уфа, ул. К. Маркса, 12. 2 Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, Россия, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112. E-mails: karinazabirova@gmail.com, shaig@anrb.ru Рассматривается оператор Данкла объект математической физики, изуча- ется ядро и сюръективность операторов свёртки Данкла в пространстве це- лых функций и пространстве целых функций экспоненциального типа. Основ- ным результатом является решение многоточечной задачи Валле Пуссена для операторов свёртки Данкла в пространстве целых функций. Ключевые слова: оператор Данкла, свёртка Данкла, задача Валле Пуссена (Ко- ши), достаточные множества, пространство целых функций. Пусть H(C) пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах; H(C) сопряжённое пространство; PC простран- ство целых функций экспоненциального типа с топологией индуктивного пре- дела, в которой последовательность k сходится к тогда и только тогда, когда выполняются условия |k(z)| C1eC2z, C1, C2 > 0 и k(z) (z) равномерно на компакте; P C сопряжённое пространство. Рассмотрим в H(C) оператор Данкла [f(z)] = f (z) + z (f(z) - f(-z)), > 0. Этот оператор играет важную роль в различных задачах математической фи- зики. Так, например, операторы Данкла находят применение при решении квантовой задачи Калоджера Мозера Сазерленда [1]. В последнее время появился ряд работ (например [2]), в которых развивается гармонический анализ, связанный с одномерным оператором Данкла, оператором сдвига Данкла и свёртки, преобразованием Данкла. Собственная функция опера- тора Данкла (см. [2, 3]) следующая: y(z) = 1 + k=1 kzk p(1) · p(2) · · · p(k) , где p(k) = k + (1 - eik). Функция имеет порядок один и конечный тип. Лемма 1. Пусть задана последовательность k 0, k+1 > k(1 + 2) и k +, тогда y(kx) y(k+1x) 0 при x +, x R+. Карина Раисовна Забирова, аспирант, каф. специальных глав математики. Валентин Васильевич Напалков (д.ф.-м.н., проф., чл.-кор. РАН), директор Института. 70 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произведение p(1) · p(2) · · · p(l). В силу чётных и нечётных l можно сделать следующую оценку для произведения: l! < p(1) · p(2) · · · p(l) < l!(1 + 2)l . Тогда y(kx) y(k+1x) = 1 + l=1 l kxl p(1)·p(2)···p(l) 1 + l=1 l k+1xl p(1)·p(2)···p(l) < 1 + l=1 l kxl l! 1 + l=1 l k+1xl l!(1+2)l = = ekx e k+1x 1+2 = e xk(1- k+1 k(1+2) ) 0 при k фиксированном, x +, k+1 k(1+2) > 1. 1. Оператор свёртки Данкла в пространстве H(C). В работе [2] были введены оператор сдвига Данкла St[f(z)] = k=1 (k) [f(z)] tk p(1)p(2) . . . p(k) и оператор свёртки Данкла MF [f(z)] = (F, St[f(z)]), где F H(C). Эти операторы являются линейными, непрерывными и дей- ствуют из H(C) в H(C) [2]. Преобразованием Данкла ^F() назовём действие функционала F H(C) на собственную функцию y(z). Оно принадлежит PC и осуществляет вза- имно однозначное соответствие между H(C) и PC [2, 4]. Если F определяет MF , тогда ^F() характеристическая функция дан- ного оператора. Рассмотрим однородное уравнение свёртки Данкла MF [f(z)] = 0. (1) Пусть (1, n1), . . . , (k, nk), . . . нули и кратность нулей функции ^F(). Лемма 2. Для каждой пары (k, nk), k = 1, 2, . . . , система функций y(kz), zy (kz), . . . , znk-1y(nk-1)(kz) является решением (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сдвиг от собственной функции: St[y(z)] = k=1 (k) [y(z)] · tk p(1) · p(2) · · · p(k) = y(z)y(t). Найдём свёртку от этого сдвига: MF [y(z)] = (F, St(y(z)) = (F, y(z)y(t)) = y(t) ^F(). 71 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Продифференцируем по этот оператор и получим (MF [y(z)]) = MF [zy (z)] = (y(t) ^F()) = ty (t) ^F() + y(t) ^F (). Дифференцируя ^F(), получим ^F () = (F, zy (z)). Так как ^F(j)(k) = 0 = = (F, zjy(j)(kz)), j = 0, 1, . . . , nk - 1, то MF [zy (z)] = 0. Далее дифференци- руем MF [zy (z)] по и т. д. nk-1 раз. Все это будет равно 0 в силу ^F(j)(k) = = 0, j = 0, 1, . . . nk - 1. Значит, система y(kz), zy (kz), . . . , znk-1y(nk-1)(kz) является решением (1). Лемма 3. Если zmy(0z) решение уравнения (1), то 0 является нулём характеристической функции ^F() кратности не меньше, чем m. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично предыдущей лемме. Теорема 1. E замыкание E линейной оболочки k {y(kz), zy (kz), . . . , znk-1 y(nk-1) (kz)} совпадает с W множеством решений уравнения (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 2 следует, что E W. Покажем, что E плотно в W. Для этого нужно показать, что для любого L H(C), удовле- творяющего (L, E) = 0, выполняется (L, W) = 0. Берём L H(C) такое, что (L, zj y(j) (kz)) = 0 k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . . , nk - 1. Так как (L, zjy(j)(kz)) = ^L(j)(k) = 0, то k нуль ^L(). Таким образом, имеем ^F() PC только с нулями k и ^L() PC с нулями k кратности не меньше nk и еще другими. Покажем, что ^L() делится на ^F(). Пусть 0 нуль ^L(). Если 0 не нуль ^F(), то ^F(0) = 0 и существу- ет окрестность V0 , в которой ^L()/ ^F() H(V0 ). Если 0 нуль ^F(), то ^F() = ( - 0)nk0 P(), где P() = 0. Так как кратность нулей ^G() не меньше кратности нулей ^F(), то ^L() = ( - 0)nk0+mR(), причём m 0. Поэтому ^L()/ ^F() = ( - 0)mR()/P() и ^L()/ ^F() H(V0 ). А значит, ^L()/ ^F() аналитическая на плоскости. Так как ^L(), ^F () PC, то по теореме деления [4] () = ^L()/ ^F() PC. Поскольку между H(C) и PC существует изоморфизм, то () PC соответствует Q H(C) : ^Q() = и ^L() = ^Q() ^F(), т. е. L есть свёртка Q и F. Для любой f из W выполняется (L, f) = Q, F, St[f(z)] = 0. Значит, E = W. Найдём сопряжённый оператор M F исходя из определения: (MF [f], L) = (f, M F [L]). 72 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Возьмём f(z) = y(z). Тогда MF [y(z)] = (F, St[y(z)]) = (F, y(z)y(t)) = ^F()y(t), а действие оператора свёртки на функционал следующее: (MF [y(z)], L) = (y(t) ^F(), L) = ^F()^L(). С другой стороны, (y(z), M F [L]) = M F [L] = ^F()^L(). Значит, ^M F оператор умножения на характеристическую функцию, а M F свёртка F и L. В силу полученного можем вместо M F рассматривать экви- валентный оператор ^M F . Теорема 2. Оператор свёртки Данкла MF сюръективен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если образ MF замкнут и всюду плотен в H(C), то образ MF будет совпадать с H(C). По теореме Дьедонне Шварца [5] за- мкнутость образа MF эквивалентна замкнутости образа ^M F в PC. Всюду плотность Im MF в H(C) эквивалентна инъективности ^M F (Ker ^M F = 0), где MF действует из H(C) в H(C), M F из H(C) в H(C), а ^M F из PC в PC. 1. Покажем, что Im ^M F замкнут в PC. Рассмотрим последовательность k() PC такую, что k() Im ^M F , k() (). Сопряжённый оператор, как показано выше, есть оператор умножения, поэтому k() = ^F()gk(). Необходимо показать, что () = ^F()g(), где g() PC. Так как k() PC, то k равномерно ограничены и равномерно сходятся на компактах, поэтому ^F()gk() ^F()g() и нули g() есть нули gk(). ()/ ^F() H(C), так как нули () можно убрать представлением ^F() как (z-z0)kR(z). По теореме деления [4] ()/ ^F() PC, т. е. g() PC, поэтому () Im ^M F . Значит, Im MF замкнут в H(C). 2. Покажем, что Ker ^M F = 0. Рассмотрим () PC. Пусть () ^F () 0, тогда () = 0 в силу того, что ^F() целая и не равна нулю. Получили, что () имеет множество нулей, кроме счётного числа точек нулей ^F(), поэтому () 0, Ker ^M F = 0. Значит, Im MF всюду плотен в HC. Из 1 и 2 получаем, что Im MF = H(C). 2. Оператор свёртки Данкла в пространстве PC. Если G P(C), то дей- ствие G на y(z) даёт преобразование Данкла ^G() H(C). Это доказывает- ся через изоморфизм пространств H(C) и PC и полноту y(z) в PC [4]. Как и в предыдущем пункте, вводим сдвиг в PC. Так как любая g(z) = k=0 ckzk p(1) · p(2) · · · p(k) PC представляется в виде 1 2i Ag y(zw)g(w)dw, 73 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в где контур Ag спрямляемый и содержит особенности обобщённой ассоцииро- ванной функции g = k=0 ck zk+1 , сдвиг можно записать как St[g(z)] = 1 2i Ag y(zw)y(tw)g(w)dw. Значит, S действует из PC в PC. Подействуем функционалом из P C на сдвиг и получим MG[g] = (G, St[g(z)]) = 1 2i Ag ^G(w)y(zw)g(w)dw. (2) Рассмотрим однородное уравнение свёртки Данкла в PC: MG[g(z)] = 0. (3) Пусть ^G() имеет нули (1, m1), . . . , (k, mk), . . . , где mk кратность со- ответствующего нуля k; Ep линейная оболочка k=1 {y(kz), zy (kz), . . . , zmk-1 y(mk-1) (kz)}, тогда справедлива следующая теорема. Теорема 3. Любое решение уравнения (3) g(z) PC представляется в виде конечной суммы функций из Ep, у которых все k лежат внутри кон- тура Ag из интегрального представления g(z). Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (3) запишем в интегральном виде, ис- пользуя (2), для любого z: 1 2i |w|=R ^G(w)y(zw)(w)dw 0. Так как ^G(w) H(C), она аналитична всюду, кроме бесконечности; (w) аналитична вне круга, а значит, ^G(w)(w) аналитична в кольце и поэтому ^G(w)(w) = k=- ckwk . Используя этот факт и представление собственной функции, свёртку Данкла перепишем в виде MG[g] = 1 2i |w|=R k=- ckwk 1 + m=1 wmzm p(1) · p(2) · · · p(m) dw = = c-1 + c-2 z p(1) + c-3 z2 p(1)p(2) + · · · 0. 74 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Получили, что все ci = 0, i = -, . . . , -2, -1, поэтому ^G(w)(w) = k=0 ckwk = l(w) H(C). Отсюда (w) = l(w)/ ^G(w) мероморфная функция, у которой особенности в нулях k полюса разной кратности. Пусть k полюс кратности mk, а M число нулей в круге радиуса R. Разобьём этот круг на круги радиуса rk, куда попадают только нули k. Тогда, используя теорему о вычетах, получим g(z) = 1 2i |w|=R y(zw)(w)dw = M k=1 1 2i |w-k|=rk y(zw) l(w) ^G(w) dw = = M k=1 mk! mk!2i |w-k|=rk y(zw) l(w) (w - k)mk+1Pk(w) dw = = M k=1 1 mk! mk n=0 dn dwn y(zw) l(w) Pk(w) w=k = M k=1 mk n=0 ck nzn y(n) (kz). Теорема доказана. Теорема 4. Ep совпадает с Wp множеством решений уравнения (3), т. е. Ep = Wp. Таким образом, в случае PC получили, что всякое решение однородного уравнения свертки Данкла есть конечная сумма функций из Ep, что говорит об аналоге представления решений в PC с фундаментальным принципом Эй- лера для дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами в H(C) [6]. Всякое решение уравнения (3) принадлежит Ep. Найдём сопряжённый оператор M G из определения (MG[g], Q) = (g, M G[Q]). Возьмём g(z) = y(z). Тогда MG[y(z)] = (G, St[y(z)]) = (G, y(z)y(t)) = ^G()y(t), а действие оператора свёртки на функционал следующее: (MG[(z)], Q) = (y(t) ^G(), Q) = ^G() ^Q(). С другой стороны, (y(z), M G[Q]) = M G[Q] = ^G() ^Q(). Значит, ^M G оператор умножения на характеристическую функцию, а M G свёртка G и Q. 75 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Теорема 5. Оператор свёртки Данкла MG сюръективен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если образ MG замкнут и всюду плотен в PC, то образ MG будет совпадать с PC. По теореме Дьедонне Шварца [5] замкну- тость образа MG эквивалентна замкнутости образа ^M G в H(C). Всюду плот- ность Im MG в PC эквивалентна инъективности ^M G (Ker ^M G = 0), где MG действует из PC в PC, M G из P C в P C, а ^M G из H(C) в H(C). 1. Покажем, что Im ^M G замкнут в H(C). Рассмотрим последовательность rk(z) H(C) такую, что rk(z) Im ^M G, rk(z) r(z). Сопряжённый опера- тор, как показано выше, есть оператор умножения, поэтому rk(z) = ^G()gk(z). Необходимо показать, что r(z) = ^G()g(z), где g(z) H(C). В силу равномер- ной сходимости на компактах нули ^G() есть нули ^G()gk(z), т. е r(z) будет иметь те же нули, что и ^G(). В этом случае, как и в предыдущем случае пункта 1, нули функции r(z), с учётом кратности, содержат нули характе- ристической функции ^G с учётом кратности. Рассмотрим теперь r(z)/ ^G(). Если z0 : ^G(z0) = 0, то существует окрестность, в которой r(z)/ ^G() целая. Если z0 : ^G(z0) = 0, то существует окрестность, в которой функция ^G не имеет других нулей, кроме z0 в силу изолированности нулей аналитических функций. Поэтому можем представить ^G() в виде (z - z0)kR(z) и R(z) = 0, а r(z) запишем в виде r(z) = (z - z0)k+p Q(z), p 0, Q(z0) = 0. Поэтому, как и в PC, получаем r(z)/ ^G() = g(z) H(C). Следовательно, r(z) = ^G()g(z). 2. Покажем, что Ker ^M G = 0. Рассмотрим l(z) H(C). Пусть l(z) ^G() 0, тогда l(z) = 0 в силу того, что ^G() целая и не равна нулю. Получили, что l(z) имеет множество нулей, кроме счётного числа точек нулей ^G(), поэтому l(z) 0, Ker ^M G = 0. Значит, Im MG всюду плотен в PC. Из 1 и 2 получаем, что Im MG = PC. 3. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов Данкла в H(C). Пусть f(z) H(C), g(z) PC, F H(C), G P C. Введём два оператора в H(C) и PC: MF [ ^G · f(z)] = (F, St[( ^Gf)(z)]) и MG[ ^F · g(z)] = 1 2i A ^G(w)y(zw)(w)dw. Здесь и далее будем считать, что контур A охватывает особенности функции ^Fg(z), а обобщённая ассоциированная функция. При этом MF [ ^G·] дей- ствует из H(C) в H(C), а MG[ ^F·] из PC в PC. Линейному и непрерывному оператору MF [ ^G·] соответствует сопряжённый оператор {MF [ ^G·]}, линей- но и непрерывно отображающий пространство H(C) в H(C). Поскольку пространства PC и H(C) топологически изоморфны, оператор {MF [ ^G ·]} порождает линейный и непрерывный оператор MG[ ^F ·], действующий из PC в PC. 76 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Пусть 1, . . . , k фиксированная последовательность, a1, . . . , ak произ- вольные комплексные числа. Многоточечной задачей Валле Пуссена будем называть задачу о том, при каких условиях существует решение (1), которое в точках j принимает значения aj. Теорема 6. Многоточечная задача Валле Пуссена для MF разрешима тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера [7] H(C) = Ker MF + { ^G() · r() : r() H(C)}, (4) где {. . . } множество всех произведений функции ^G() на всевозможные r() H(C). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение многоточечной задачи Валле Пуссена эк- вивалентно тому, что для любой h(z) H(C) необходимо найти решение u(z) H(C) уравнения MF [f] = 0 такое, что (u - h)/ ^G H(C). Отсюда u - h = l(z) ^G, l(z) H(C) или h = u + l ^G. Получили представление Фишера. Обратно. Любая функция h(z) H(C) представима в виде h(z) = h1(z) + h2(z), где h1(z) Ker MF , h2(z) { ^G() · r() : r() H(C)}. Пусть j ну- ли ^G, aj произвольная последовательность комплексных чисел. Поставим многоточечную задачу Валле Пуссена следующим образом: существует ли u(z) Ker MF такое, что u(j) = aj. Действительно, h(j) = h1(j) + h2(j), следовательно aj = h1(j). Лемма 4. Представление Фишера (4) эквивалентно сюръективности опе- ратора MF [ ^G·]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеется сюръективность MF [ ^G·], покажем, что выполняется представление Фишера. Для любой функции f(z) будет су- ществовать некоторая g такая, что MF [f] = g. Теперь в силу сюръективности MF [ ^G·] для g будет существовать h(z) H(C) такая, что MF [ ^G · h] = g. Используя линейность, получим MF [ ^G · h - f] = 0 или l(z) := ^G · h - f, l(z) Ker MF . То есть получили, что для любой f(z) выполняется f = ^G · h + l, где l(z) Ker MF , а ^G · h определяется из оставшейся части представления Фишера. Пусть теперь имеется представление Фишера, покажем сюръективность MF [ ^G·]. Для любой g(z) H(C) существует f(z) такая, что MF [f] = g в силу разрешимости оператора MF . Для f имеем представление Фишера, т. е. f = ^G · h - l(z). 77 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Подействуем оператором MF и получим MF [f] = MF [ ^G · h] = g. А это означает разрешимость MF [ ^G · h] для любой g. Пусть N ^F = {k} k=1 множество простых (кратности один) нулей функ- ции ^F PC, а {k} k=1 множество нулей функции ^G H(C). Теорема 7. Если k > 0, k > 0, k = 1, 2, . . . и k , k , k+1 > > k(1 + 2), то многоточечная задача Валле Пуссена разрешима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что N ^F достаточное множество [8] в ядре оператора (3). Если MF [ ^G·] сюръективен, то по лемме 4 и теореме 6 получаем разрешимость задачи Валле Пуссена. Чтобы доказать сюръектив- ность оператора MF [ ^G·], нужно показать замкнутость и всюду плотность его образа. По теореме Дьедонне Щварца [5] это эквивалентно инъективности MG[ ^F·] и замкнутости его образа. Инъективность означает, что Ker MG[ ^F·] = = {0}. Пусть h(z) PC такое, что MG[ ^F · h(z)] = 0, тогда ^F · h(z) Ker MG, а N ^F есть нули ^F. Из доказательства достаточности (см. ниже) вытекает, что N ^F множество единственности в Ker MG, поэтому ^Fh(z) 0. Так как ^F(z) = 0 в Ker MG, то h(z) 0. Для замкнутости Im MG[ ^F·] необходимо показать, что если последова- тельность gn(z) сходится к g(z) и gn(z) Im MG[ ^F·], то g(z) Im MG[ ^F·]. Так как gn(z) Im MG[ ^F·], существует Qn(z) PC такая, что MG[ ^F · Qn(z)] = gn(z). (5) Рассмотрим оператор MG. По теореме 5 оператор MG сюръективен, зна- чит существует непрерывный правый обратный M-1 G (см. [9]) и поэтому су- ществует yn(z) PC такая, что выполняются два условия: MG[yn] = gn(z) и yn(z) y(z), y(z) PC. Из первого условия и (5) в силу линейности MG получим MG[yn(z) - ^F · Qn(z)] = 0. Обозначим hn(z) = yn(z) - ^F · Qn(z), тогда hn(z) PC, hn(k) = yn(k). Так как N ^F достаточное множество в Ker MG, то hn(z) h(z) в PC, h(z) Ker MG. Тогда, учитывая второе условие, ^F · Qn(z) l(z) и нули l(z) вклю- чают нули ^F. Обозначим Q(z) = l(z)/ ^F; Q(z) H(C). По теореме деления [4] Q(z) PC. Покажем, что Qn(z) сходится к введённой Q(z) на компактах. Пусть K замкнутый круг с центром в нуле и | ^F| > на границе K. Так как ^F · Qn(z) l(z) в PC, то ^F · Qn(z) l(z) равномерно на компактах. Это означает, что для любого > 0 существует > 0 такое, что выполняется неравенство | ^F · Qn(z) - l(z)| < , n > N(), z K. Следовательно, |Qn(z) - l(z)/ ^F| < / на границе K. По принципу максиму- ма модуля сходимость может быть продолжена на весь компакт K. Таким 78 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена образом, Qn(z) равномерно сходится к Q(z) на K или ^F · Qn(z) равномерно сходится к ^F · Q(z) в PC. В силу непрерывности оператора свёртки Данкла получим MG[y(z) - ^F · Q(z)] = 0. Поэтому MG[ ^F · Q(z)] = MG[y(z)] = g(z), то есть g(z) Im MG[ ^F·]. Получили, что MF [ ^G·] сюръективен, и получаем представление Фишера. Осталось доказать, что N ^F достаточное множество в Ker MG, т. е. нужно показать, что в пространстве решений уравнения топология N эквивалентна топологии C [8] пространства PC. Очевидно, что топология C сильнее топо- логии N . Осталось показать, что топология N не слабее топологии C, т. е. что если последовательность сходится в топологии N , то она будет сходиться и в топологии C. Пусть задана последовательность rm(x) = pm k=1 Ck(m)y(kx), cp = 0. Предположим, что rm(x) 0 при m в топологии N . Это означает следующее: 1) |rm(x)| B1eB2x, где x N ^F ; 2) rm(x) 0 равномерно при m на любом компакте множества N ^F . Заметим, что компактное множество N ^F есть любая конечная последова- тельность нулей k. Покажем, что в каждый член последовательности, удо- влетворяющей неравенству 1) и сходящейся в топологии N , входят только те y(kx), у которых k B2(1 + 2). Предположим обратное. Пусть существуют члены, у которого k > B2(1 + 2). Вынесем за скобки максимальное слагаемое Cp(m)y(px). Элементы в скобке, учитывая лемму 1, будут стремиться к 1 при x , значит, y(px) > eB2x , учитывая оценку e kx 1+2 < y(kx) < ekx . А это противоречит условию 1). Докажем теперь, что |rm(x)| = p k=1 Ck(m)y(kx) 0 равномерно при m на любом компакте в плоскости C. Так как y(kx) ограничены на любом компактном множестве, то достаточно показать, что Ck(m) 0. Строим матрицу A. Берем первый y(11) = 0, y(2j2) выбираем так, чтобы определитель матрицы второго порядка 2 = 0 за счёт выбора j2. 79 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Аналогично строим матрицу третьего порядка и т. д. Величину выбираем таким образом, чтобы y(ijl) = 0, а jl выбираем так, чтобы l = 0, где l = det y(11) . . . y(l1) y(1j2) . . . y(lj2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y(1jl) . . . y(ljl) . Это возможно за счёт выбора y(ljl), намного превосходящих все элементы данной матрицы. Получим квадратную матрицу размера p с det A = 0. По формуле Крамера Ci(m) = det |Ai(m)| det A , где матрица Ai(m) получена из A заменой i-того столбца столбцом свободных членов (A1(m), . . . , Ap(m)) . При этом Ai(m) = p k=1 Ck(m)y(kji) и Ai(m) 0 из 2) равномерно при m на конечном множестве точек k, следовательно, Ck(m) 0. Поэтому для любого x K выполняется p k=1 Ck(m)y(kx) 0 равномерно при m . БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. L. Lapointe, L. Vinet, Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model // Commun. Math. Phys., 1996. Vol. 178, no. 2. Pp. 425-452. 2. J. J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche, Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hung., 2005. Vol. 106, no. 1-2. Pp. 101-116. 3. В. В. Напалков, В. В. Напалков (мл.), Операторы Данкла как операторы свертки // Докл. Акад. наук, 2008. Т. 423, 3. С. 300-302; англ. пер.: V. V. Napalkov, V. V. Napalkov (jun.), Dunkl operators as convolutions // Dokl. Math., 2008. Vol. 78, no. 3. Pp. 856-858. 4. В. В. Напалков, Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с. [V. V. Napalkov, Convolution equations in multidimensional spaces. Moscow: Nauka, 1982. 240 pp.] 5. J. Dieudonne, L. Schwartz, La dualite dans les espaces (F) et (LF) // Ann. Inst. Fourier, 1949. Vol. 1. Pp. 61-101. 6. L. Euler, De integratione aequationum differentialum altiorum gradum // Miscellanea Berol., 1743. Vol. 7. Pp. 193-242. 7. H. S. Shapiro, An algebraic theorem of Fisher, and the holomorphic Goursat problem // Bull. Lond. Math. Soc., 1989. Т. 21, 6. С. 513-537. 8. В. В. Напалков, О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций // Матем. заметки, 1986. Т. 39, 4. С. 529-538; англ. пер.: V. V. Napalkov, The strict topology in certain weighted spaces of functions // Math. Notes, 1986. Vol. 39, no. 4. Pp. 291- 296. 80 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена 9. О. В. Епифанов, О существовании непрерывного правого обратного в одном классе локально выпуклых пространств // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. Естеств. науки, 1991. 3(75). С. 3-4. [O. V. Epifanov, On the existence of the continuous right- inverse for an operator in a class of locally convex spaces // Izv. Sev.-Kavk. Nauchn. Tsentra Vyssh. Shk., Estestv. Nauki, 1991. no. 3(75). Pp. 3-4]. Поступила в редакцию 17/X/2012; в окончательном варианте 19/I/2013. MSC: 47B38; 46A20, 46E10, 43A22, 30H05 THE DUNKL CONVOLUTION OPERATORS AND MULTIPOINT DE LA VALLEE-POUSSIN PROBLEM K. R. Zabirova, V. V. Napalkov 1 Ufa State Aviation Technical University 12, K. Marks st., Ufa, Russia, 450000. 2 Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences 112, Chernyshevskiy st., Ufa, Russia, 450077. E-mails: karinazabirova@gmail.com, shaig@anrb.ru The Dunkl operator as an object of mathematical physics is considered, we study the kernel and the surjectivity of Dunkl convolution operators in the space of entire func- tions and the space of entire functions of exponential type. The main result is the solution of the multipoint de la Vallee-Poussin problem for Dunkl convolution opera- tors in the space of entire functions. Key words: Dunkl operators, Dunkl convolution, de la Vallee-Poussin (Cauchy) prob- lem, sufficient sets, space of entire functions. Original article submitted 17/X/2012; revision submitted 19/I/2013. Karina R. Zabirova, Postgraduate Student, Dept. of Special Chapters of Mathematics. Valentin V. Napalkov (Dr. Sci. (Phys. & Math.), Corresponding member of RAS), Director of Institute.

About the authors

Karina Raisovna Zabirova

Ufa State Aviation Technical University

Email: karinazabirova@gmail.com

Valentin Vasil'evich Napalkov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: shaig@anrb.ru, napalkov@matem.anrb.ru, vnap@matem.anrb.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files