The Dunkl convolution operators and multipoint de la Vallee–Poussin problem

Abstract


The Dunkl operator as an object of mathematical physics is considered, we study the kernel and the surjectivity of Dunkl convolution operators in the space of entire functions and the space of entire functions of exponential type. The main result is the solution of the multipoint de la Vallee–Poussin problem for Dunkl convolution operators in the space of entire functions.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 70-81 УДК 517.53+517.98 ОПЕРАТОРЫ СВEРТКИ ДАНКЛА И МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА ВАЛЛЕ ПУССЕНА К. Р. Забирова1 , В. В. Напалков2 1 Уфимский государственный авиационный технический университет, Россия, 450000, Уфа, ул. К. Маркса, 12. 2 Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук, Россия, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112. E-mails: karinazabirova@gmail.com, shaig@anrb.ru Рассматривается оператор Данкла объект математической физики, изуча- ется ядро и сюръективность операторов свёртки Данкла в пространстве це- лых функций и пространстве целых функций экспоненциального типа. Основ- ным результатом является решение многоточечной задачи Валле Пуссена для операторов свёртки Данкла в пространстве целых функций. Ключевые слова: оператор Данкла, свёртка Данкла, задача Валле Пуссена (Ко- ши), достаточные множества, пространство целых функций. Пусть H(C) пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах; H(C) сопряжённое пространство; PC простран- ство целых функций экспоненциального типа с топологией индуктивного пре- дела, в которой последовательность k сходится к тогда и только тогда, когда выполняются условия |k(z)| C1eC2z, C1, C2 > 0 и k(z) (z) равномерно на компакте; P C сопряжённое пространство. Рассмотрим в H(C) оператор Данкла [f(z)] = f (z) + z (f(z) - f(-z)), > 0. Этот оператор играет важную роль в различных задачах математической фи- зики. Так, например, операторы Данкла находят применение при решении квантовой задачи Калоджера Мозера Сазерленда [1]. В последнее время появился ряд работ (например [2]), в которых развивается гармонический анализ, связанный с одномерным оператором Данкла, оператором сдвига Данкла и свёртки, преобразованием Данкла. Собственная функция опера- тора Данкла (см. [2,3]) следующая: y(z) = 1 + k=1 kzk p(1) · p(2) · · · p(k) , где p(k) = k + (1 - eik). Функция имеет порядок один и конечный тип. Лемма 1. Пусть задана последовательность k 0, k+1 > k(1 + 2) и k +, тогда y(kx) y(k+1x) 0 при x +, x R+. Карина Раисовна Забирова, аспирант, каф. специальных глав математики. Валентин Васильевич Напалков (д.ф.-м.н., проф., чл.-кор. РАН), директор Института. 70 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произведение p(1) · p(2) · · · p(l). В силу чётных и нечётных l можно сделать следующую оценку для произведения: l! < p(1) · p(2) · · · p(l) < l!(1 + 2)l . Тогда y(kx) y(k+1x) = 1 + l=1 l kxl p(1)·p(2)···p(l) 1 + l=1 l k+1xl p(1)·p(2)···p(l) < 1 + l=1 l kxl l! 1 + l=1 l k+1xl l!(1+2)l = = ekx e k+1x 1+2 = e xk(1- k+1 k(1+2) ) 0 при k фиксированном, x +, k+1 k(1+2) > 1. 1. Оператор свёртки Данкла в пространстве H(C). В работе [2] были введены оператор сдвига Данкла St[f(z)] = k=1 (k) [f(z)] tk p(1)p(2) . . . p(k) и оператор свёртки Данкла MF [f(z)] = (F, St[f(z)]), где F H(C). Эти операторы являются линейными, непрерывными и дей- ствуют из H(C) в H(C) [2]. Преобразованием Данкла ^F() назовём действие функционала F H(C) на собственную функцию y(z). Оно принадлежит PC и осуществляет вза- имно однозначное соответствие между H(C) и PC [2,4]. Если F определяет MF , тогда ^F() характеристическая функция дан- ного оператора. Рассмотрим однородное уравнение свёртки Данкла MF [f(z)] = 0. (1) Пусть (1, n1), . . . , (k, nk), . . . нули и кратность нулей функции ^F(). Лемма 2. Для каждой пары (k, nk), k = 1, 2, . . . , система функций y(kz), zy (kz), . . . , znk-1y(nk-1)(kz) является решением (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сдвиг от собственной функции: St[y(z)] = k=1 (k) [y(z)] · tk p(1) · p(2) · · · p(k) = y(z)y(t). Найдём свёртку от этого сдвига: MF [y(z)] = (F, St(y(z)) = (F, y(z)y(t)) = y(t) ^F(). 71 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Продифференцируем по этот оператор и получим (MF [y(z)]) = MF [zy (z)] = (y(t) ^F()) = ty (t) ^F() + y(t) ^F (). Дифференцируя ^F(), получим ^F () = (F, zy (z)). Так как ^F(j)(k) = 0 = = (F, zjy(j)(kz)), j = 0, 1, . . . , nk - 1, то MF [zy (z)] = 0. Далее дифференци- руем MF [zy (z)] по и т. д. nk-1 раз. Все это будет равно 0 в силу ^F(j)(k) = = 0, j = 0, 1, . . . nk - 1. Значит, система y(kz), zy (kz), . . . , znk-1y(nk-1)(kz) является решением (1). Лемма 3. Если zmy(0z) решение уравнения (1), то 0 является нулём характеристической функции ^F() кратности не меньше, чем m. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично предыдущей лемме. Теорема 1. E замыкание E линейной оболочки k {y(kz), zy (kz), . . . , znk-1 y(nk-1) (kz)} совпадает с W множеством решений уравнения (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 2 следует, что E W. Покажем, что E плотно в W. Для этого нужно показать, что для любого L H(C), удовле- творяющего (L, E) = 0, выполняется (L, W) = 0. Берём L H(C) такое, что (L, zj y(j) (kz)) = 0 k = 1, 2, . . . , j = 0, 1, . . . , nk - 1. Так как (L, zjy(j)(kz)) = ^L(j)(k) = 0, то k нуль ^L(). Таким образом, имеем ^F() PC только с нулями k и ^L() PC с нулями k кратности не меньше nk и еще другими. Покажем, что ^L() делится на ^F(). Пусть 0 нуль ^L(). Если 0 не нуль ^F(), то ^F(0) = 0 и существу- ет окрестность V0 , в которой ^L()/ ^F() H(V0 ). Если 0 нуль ^F(), то ^F() = ( - 0)nk0 P(), где P() = 0. Так как кратность нулей ^G() не меньше кратности нулей ^F(), то ^L() = ( - 0)nk0+mR(), причём m 0. Поэтому ^L()/ ^F() = ( - 0)mR()/P() и ^L()/ ^F() H(V0 ). А значит, ^L()/ ^F() аналитическая на плоскости. Так как ^L(), ^F () PC, то по теореме деления [4] () = ^L()/ ^F() PC. Поскольку между H(C) и PC существует изоморфизм, то () PC соответствует Q H(C) : ^Q() = и ^L() = ^Q() ^F(), т. е. L есть свёртка Q и F. Для любой f из W выполняется (L, f) = Q, F, St[f(z)] = 0. Значит, E = W. Найдём сопряжённый оператор M F исходя из определения: (MF [f], L) = (f, M F [L]). 72 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Возьмём f(z) = y(z). Тогда MF [y(z)] = (F, St[y(z)]) = (F, y(z)y(t)) = ^F()y(t), а действие оператора свёртки на функционал следующее: (MF [y(z)], L) = (y(t) ^F(), L) = ^F()^L(). С другой стороны, (y(z), M F [L]) = M F [L] = ^F()^L(). Значит, ^M F оператор умножения на характеристическую функцию, а M F свёртка F и L. В силу полученного можем вместо M F рассматривать экви- валентный оператор ^M F . Теорема 2. Оператор свёртки Данкла MF сюръективен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если образ MF замкнут и всюду плотен в H(C), то образ MF будет совпадать с H(C). По теореме Дьедонне Шварца [5] за- мкнутость образа MF эквивалентна замкнутости образа ^M F в PC. Всюду плотность Im MF в H(C) эквивалентна инъективности ^M F (Ker ^M F = 0), где MF действует из H(C) в H(C), M F из H(C) в H(C), а ^M F из PC в PC. 1. Покажем, что Im ^M F замкнут в PC. Рассмотрим последовательность k() PC такую, что k() Im ^M F , k() (). Сопряжённый оператор, как показано выше, есть оператор умножения, поэтому k() = ^F()gk(). Необходимо показать, что () = ^F()g(), где g() PC. Так как k() PC, то k равномерно ограничены и равномерно сходятся на компактах, поэтому ^F()gk() ^F()g() и нули g() есть нули gk(). ()/ ^F() H(C), так как нули () можно убрать представлением ^F() как (z-z0)kR(z). По теореме деления [4] ()/ ^F() PC, т. е. g() PC, поэтому () Im ^M F . Значит, Im MF замкнут в H(C). 2. Покажем, что Ker ^M F = 0. Рассмотрим () PC. Пусть () ^F () 0, тогда () = 0 в силу того, что ^F() целая и не равна нулю. Получили, что () имеет множество нулей, кроме счётного числа точек нулей ^F(), поэтому () 0, Ker ^M F = 0. Значит, Im MF всюду плотен в HC. Из 1 и 2 получаем, что Im MF = H(C). 2. Оператор свёртки Данкла в пространстве PC. Если G P(C), то дей- ствие G на y(z) даёт преобразование Данкла ^G() H(C). Это доказывает- ся через изоморфизм пространств H(C) и PC и полноту y(z) в PC [4]. Как и в предыдущем пункте, вводим сдвиг в PC. Так как любая g(z) = k=0 ckzk p(1) · p(2) · · · p(k) PC представляется в виде 1 2i Ag y(zw)g(w)dw, 73 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в где контур Ag спрямляемый и содержит особенности обобщённой ассоцииро- ванной функции g = k=0 ck zk+1 , сдвиг можно записать как St[g(z)] = 1 2i Ag y(zw)y(tw)g(w)dw. Значит, S действует из PC в PC. Подействуем функционалом из P C на сдвиг и получим MG[g] = (G, St[g(z)]) = 1 2i Ag ^G(w)y(zw)g(w)dw. (2) Рассмотрим однородное уравнение свёртки Данкла в PC: MG[g(z)] = 0. (3) Пусть ^G() имеет нули (1, m1), . . . , (k, mk), . . . , где mk кратность со- ответствующего нуля k; Ep линейная оболочка k=1 {y(kz), zy (kz), . . . , zmk-1 y(mk-1) (kz)}, тогда справедлива следующая теорема. Теорема 3. Любое решение уравнения (3) g(z) PC представляется в виде конечной суммы функций из Ep, у которых все k лежат внутри кон- тура Ag из интегрального представления g(z). Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнение (3) запишем в интегральном виде, ис- пользуя (2), для любого z: 1 2i |w|=R ^G(w)y(zw)(w)dw 0. Так как ^G(w) H(C), она аналитична всюду, кроме бесконечности; (w) аналитична вне круга, а значит, ^G(w)(w) аналитична в кольце и поэтому ^G(w)(w) = k=- ckwk . Используя этот факт и представление собственной функции, свёртку Данкла перепишем в виде MG[g] = 1 2i |w|=R k=- ckwk 1 + m=1 wmzm p(1) · p(2) · · · p(m) dw = = c-1 + c-2 z p(1) + c-3 z2 p(1)p(2) + · · · 0. 74 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Получили, что все ci = 0, i = -, . . . , -2, -1, поэтому ^G(w)(w) = k=0 ckwk = l(w) H(C). Отсюда (w) = l(w)/ ^G(w) мероморфная функция, у которой особенности в нулях k полюса разной кратности. Пусть k полюс кратности mk, а M число нулей в круге радиуса R. Разобьём этот круг на круги радиуса rk, куда попадают только нули k. Тогда, используя теорему о вычетах, получим g(z) = 1 2i |w|=R y(zw)(w)dw = M k=1 1 2i |w-k|=rk y(zw) l(w) ^G(w) dw = = M k=1 mk! mk!2i |w-k|=rk y(zw) l(w) (w - k)mk+1Pk(w) dw = = M k=1 1 mk! mk n=0 dn dwn y(zw) l(w) Pk(w) w=k = M k=1 mk n=0 ck nzn y(n) (kz). Теорема доказана. Теорема 4. Ep совпадает с Wp множеством решений уравнения (3), т. е. Ep = Wp. Таким образом, в случае PC получили, что всякое решение однородного уравнения свертки Данкла есть конечная сумма функций из Ep, что говорит об аналоге представления решений в PC с фундаментальным принципом Эй- лера для дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами в H(C) [6]. Всякое решение уравнения (3) принадлежит Ep. Найдём сопряжённый оператор M G из определения (MG[g], Q) = (g, M G[Q]). Возьмём g(z) = y(z). Тогда MG[y(z)] = (G, St[y(z)]) = (G, y(z)y(t)) = ^G()y(t), а действие оператора свёртки на функционал следующее: (MG[(z)], Q) = (y(t) ^G(), Q) = ^G() ^Q(). С другой стороны, (y(z), M G[Q]) = M G[Q] = ^G() ^Q(). Значит, ^M G оператор умножения на характеристическую функцию, а M G свёртка G и Q. 75 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Теорема 5. Оператор свёртки Данкла MG сюръективен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если образ MG замкнут и всюду плотен в PC, то образ MG будет совпадать с PC. По теореме Дьедонне Шварца [5] замкну- тость образа MG эквивалентна замкнутости образа ^M G в H(C). Всюду плот- ность Im MG в PC эквивалентна инъективности ^M G (Ker ^M G = 0), где MG действует из PC в PC, M G из P C в P C, а ^M G из H(C) в H(C). 1. Покажем, что Im ^M G замкнут в H(C). Рассмотрим последовательность rk(z) H(C) такую, что rk(z) Im ^M G, rk(z) r(z). Сопряжённый опера- тор, как показано выше, есть оператор умножения, поэтому rk(z) = ^G()gk(z). Необходимо показать, что r(z) = ^G()g(z), где g(z) H(C). В силу равномер- ной сходимости на компактах нули ^G() есть нули ^G()gk(z), т. е r(z) будет иметь те же нули, что и ^G(). В этом случае, как и в предыдущем случае пункта 1, нули функции r(z), с учётом кратности, содержат нули характе- ристической функции ^G с учётом кратности. Рассмотрим теперь r(z)/ ^G(). Если z0 : ^G(z0) = 0, то существует окрестность, в которой r(z)/ ^G() целая. Если z0 : ^G(z0) = 0, то существует окрестность, в которой функция ^G не имеет других нулей, кроме z0 в силу изолированности нулей аналитических функций. Поэтому можем представить ^G() в виде (z - z0)kR(z) и R(z) = 0, а r(z) запишем в виде r(z) = (z - z0)k+p Q(z), p 0, Q(z0) = 0. Поэтому, как и в PC, получаем r(z)/ ^G() = g(z) H(C). Следовательно, r(z) = ^G()g(z). 2. Покажем, что Ker ^M G = 0. Рассмотрим l(z) H(C). Пусть l(z) ^G() 0, тогда l(z) = 0 в силу того, что ^G() целая и не равна нулю. Получили, что l(z) имеет множество нулей, кроме счётного числа точек нулей ^G(), поэтому l(z) 0, Ker ^M G = 0. Значит, Im MG всюду плотен в PC. Из 1 и 2 получаем, что Im MG = PC. 3. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов Данкла в H(C). Пусть f(z) H(C), g(z) PC, F H(C), G P C. Введём два оператора в H(C) и PC: MF [ ^G · f(z)] = (F, St[( ^Gf)(z)]) и MG[ ^F · g(z)] = 1 2i A ^G(w)y(zw)(w)dw. Здесь и далее будем считать, что контур A охватывает особенности функции ^Fg(z), а обобщённая ассоциированная функция. При этом MF [ ^G·] дей- ствует из H(C) в H(C), а MG[ ^F·] из PC в PC. Линейному и непрерывному оператору MF [ ^G·] соответствует сопряжённый оператор {MF [ ^G·]}, линей- но и непрерывно отображающий пространство H(C) в H(C). Поскольку пространства PC и H(C) топологически изоморфны, оператор {MF [ ^G ·]} порождает линейный и непрерывный оператор MG[ ^F ·], действующий из PC в PC. 76 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена Пусть 1, . . . , k фиксированная последовательность, a1, . . . , ak произ- вольные комплексные числа. Многоточечной задачей Валле Пуссена будем называть задачу о том, при каких условиях существует решение (1), которое в точках j принимает значения aj. Теорема 6. Многоточечная задача Валле Пуссена для MF разрешима тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера [7] H(C) = Ker MF + { ^G() · r() : r() H(C)}, (4) где {. . . } множество всех произведений функции ^G() на всевозможные r() H(C). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение многоточечной задачи Валле Пуссена эк- вивалентно тому, что для любой h(z) H(C) необходимо найти решение u(z) H(C) уравнения MF [f] = 0 такое, что (u - h)/ ^G H(C). Отсюда u - h = l(z) ^G, l(z) H(C) или h = u + l ^G. Получили представление Фишера. Обратно. Любая функция h(z) H(C) представима в виде h(z) = h1(z) + h2(z), где h1(z) Ker MF , h2(z) { ^G() · r() : r() H(C)}. Пусть j ну- ли ^G, aj произвольная последовательность комплексных чисел. Поставим многоточечную задачу Валле Пуссена следующим образом: существует ли u(z) Ker MF такое, что u(j) = aj. Действительно, h(j) = h1(j) + h2(j), следовательно aj = h1(j). Лемма 4. Представление Фишера (4) эквивалентно сюръективности опе- ратора MF [ ^G·]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеется сюръективность MF [ ^G·], покажем, что выполняется представление Фишера. Для любой функции f(z) будет су- ществовать некоторая g такая, что MF [f] = g. Теперь в силу сюръективности MF [ ^G·] для g будет существовать h(z) H(C) такая, что MF [ ^G · h] = g. Используя линейность, получим MF [ ^G · h - f] = 0 или l(z) := ^G · h - f, l(z) Ker MF . То есть получили, что для любой f(z) выполняется f = ^G · h + l, где l(z) Ker MF , а ^G · h определяется из оставшейся части представления Фишера. Пусть теперь имеется представление Фишера, покажем сюръективность MF [ ^G·]. Для любой g(z) H(C) существует f(z) такая, что MF [f] = g в силу разрешимости оператора MF . Для f имеем представление Фишера, т. е. f = ^G · h - l(z). 77 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Подействуем оператором MF и получим MF [f] = MF [ ^G · h] = g. А это означает разрешимость MF [ ^G · h] для любой g. Пусть N ^F = {k} k=1 множество простых (кратности один) нулей функ- ции ^F PC, а {k} k=1 множество нулей функции ^G H(C). Теорема 7. Если k > 0, k > 0, k = 1, 2, . . . и k , k , k+1 > > k(1 + 2), то многоточечная задача Валле Пуссена разрешима. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что N ^F достаточное множество [8] в ядре оператора (3). Если MF [ ^G·] сюръективен, то по лемме 4 и теореме 6 получаем разрешимость задачи Валле Пуссена. Чтобы доказать сюръектив- ность оператора MF [ ^G·], нужно показать замкнутость и всюду плотность его образа. По теореме Дьедонне Щварца [5] это эквивалентно инъективности MG[ ^F·] и замкнутости его образа. Инъективность означает, что Ker MG[ ^F·] = = {0}. Пусть h(z) PC такое, что MG[ ^F · h(z)] = 0, тогда ^F · h(z) Ker MG, а N ^F есть нули ^F. Из доказательства достаточности (см. ниже) вытекает, что N ^F множество единственности в Ker MG, поэтому ^Fh(z) 0. Так как ^F(z) = 0 в Ker MG, то h(z) 0. Для замкнутости Im MG[ ^F·] необходимо показать, что если последова- тельность gn(z) сходится к g(z) и gn(z) Im MG[ ^F·], то g(z) Im MG[ ^F·]. Так как gn(z) Im MG[ ^F·], существует Qn(z) PC такая, что MG[ ^F · Qn(z)] = gn(z). (5) Рассмотрим оператор MG. По теореме 5 оператор MG сюръективен, зна- чит существует непрерывный правый обратный M-1 G (см. [9]) и поэтому су- ществует yn(z) PC такая, что выполняются два условия: MG[yn] = gn(z) и yn(z) y(z), y(z) PC. Из первого условия и (5) в силу линейности MG получим MG[yn(z) - ^F · Qn(z)] = 0. Обозначим hn(z) = yn(z) - ^F · Qn(z), тогда hn(z) PC, hn(k) = yn(k). Так как N ^F достаточное множество в Ker MG, то hn(z) h(z) в PC, h(z) Ker MG. Тогда, учитывая второе условие, ^F · Qn(z) l(z) и нули l(z) вклю- чают нули ^F. Обозначим Q(z) = l(z)/ ^F; Q(z) H(C). По теореме деления [4] Q(z) PC. Покажем, что Qn(z) сходится к введённой Q(z) на компактах. Пусть K замкнутый круг с центром в нуле и | ^F| > на границе K. Так как ^F · Qn(z) l(z) в PC, то ^F · Qn(z) l(z) равномерно на компактах. Это означает, что для любого > 0 существует > 0 такое, что выполняется неравенство | ^F · Qn(z) - l(z)| < , n > N(), z K. Следовательно, |Qn(z) - l(z)/ ^F| < / на границе K. По принципу максиму- ма модуля сходимость может быть продолжена на весь компакт K. Таким 78 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена образом, Qn(z) равномерно сходится к Q(z) на K или ^F · Qn(z) равномерно сходится к ^F · Q(z) в PC. В силу непрерывности оператора свёртки Данкла получим MG[y(z) - ^F · Q(z)] = 0. Поэтому MG[ ^F · Q(z)] = MG[y(z)] = g(z), то есть g(z) Im MG[ ^F·]. Получили, что MF [ ^G·] сюръективен, и получаем представление Фишера. Осталось доказать, что N ^F достаточное множество в Ker MG, т. е. нужно показать, что в пространстве решений уравнения топология N эквивалентна топологии C [8] пространства PC. Очевидно, что топология C сильнее топо- логии N . Осталось показать, что топология N не слабее топологии C, т. е. что если последовательность сходится в топологии N , то она будет сходиться и в топологии C. Пусть задана последовательность rm(x) = pm k=1 Ck(m)y(kx), cp = 0. Предположим, что rm(x) 0 при m в топологии N . Это означает следующее: 1) |rm(x)| B1eB2x, где x N ^F ; 2) rm(x) 0 равномерно при m на любом компакте множества N ^F . Заметим, что компактное множество N ^F есть любая конечная последова- тельность нулей k. Покажем, что в каждый член последовательности, удо- влетворяющей неравенству 1) и сходящейся в топологии N , входят только те y(kx), у которых k B2(1 + 2). Предположим обратное. Пусть существуют члены, у которого k > B2(1 + 2). Вынесем за скобки максимальное слагаемое Cp(m)y(px). Элементы в скобке, учитывая лемму 1, будут стремиться к 1 при x , значит, y(px) > eB2x , учитывая оценку e kx 1+2 < y(kx) < ekx . А это противоречит условию 1). Докажем теперь, что |rm(x)| = p k=1 Ck(m)y(kx) 0 равномерно при m на любом компакте в плоскости C. Так как y(kx) ограничены на любом компактном множестве, то достаточно показать, что Ck(m) 0. Строим матрицу A. Берем первый y(11) = 0, y(2j2) выбираем так, чтобы определитель матрицы второго порядка 2 = 0 за счёт выбора j2. 79 К. Р. З а б и р о в а, В. В. Н а п а л к о в Аналогично строим матрицу третьего порядка и т. д. Величину выбираем таким образом, чтобы y(ijl) = 0, а jl выбираем так, чтобы l = 0, где l = det y(11) . . . y(l1) y(1j2) . . . y(lj2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y(1jl) . . . y(ljl) . Это возможно за счёт выбора y(ljl), намного превосходящих все элементы данной матрицы. Получим квадратную матрицу размера p с det A = 0. По формуле Крамера Ci(m) = det |Ai(m)| det A , где матрица Ai(m) получена из A заменой i-того столбца столбцом свободных членов (A1(m), . . . , Ap(m)) . При этом Ai(m) = p k=1 Ck(m)y(kji) и Ai(m) 0 из 2) равномерно при m на конечном множестве точек k, следовательно, Ck(m) 0. Поэтому для любого x K выполняется p k=1 Ck(m)y(kx) 0 равномерно при m . БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. L. Lapointe, L. Vinet, Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model // Commun. Math. Phys., 1996. Vol. 178, no. 2. Pp. 425-452. 2. J. J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche, Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on C // Acta Math. Hung., 2005. Vol. 106, no. 1-2. Pp. 101-116. 3. В. В. Напалков, В. В. Напалков (мл.), Операторы Данкла как операторы свертки // Докл. Акад. наук, 2008. Т. 423, 3. С. 300-302; англ. пер.: V. V. Napalkov, V. V. Napalkov (jun.), Dunkl operators as convolutions // Dokl. Math., 2008. Vol. 78, no. 3. Pp. 856-858. 4. В. В. Напалков, Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с. [V. V. Napalkov, Convolution equations in multidimensional spaces. Moscow: Nauka, 1982. 240 pp.] 5. J. Dieudonne, L. Schwartz, La dualite dans les espaces (F) et (LF) // Ann. Inst. Fourier, 1949. Vol. 1. Pp. 61-101. 6. L. Euler, De integratione aequationum differentialum altiorum gradum // Miscellanea Berol., 1743. Vol. 7. Pp. 193-242. 7. H. S. Shapiro, An algebraic theorem of Fisher, and the holomorphic Goursat problem // Bull. Lond. Math. Soc., 1989. Т. 21, 6. С. 513-537. 8. В. В. Напалков, О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций // Матем. заметки, 1986. Т. 39, 4. С. 529-538; англ. пер.: V. V. Napalkov, The strict topology in certain weighted spaces of functions // Math. Notes, 1986. Vol. 39, no. 4. Pp. 291- 296. 80 Операторы свертки Данкла и многоточечная задача Валле Пуссена 9. О. В. Епифанов, О существовании непрерывного правого обратного в одном классе локально выпуклых пространств // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. Естеств. науки, 1991. 3(75). С. 3-4. [O. V. Epifanov, On the existence of the continuous right- inverse for an operator in a class of locally convex spaces // Izv. Sev.-Kavk. Nauchn. Tsentra Vyssh. Shk., Estestv. Nauki, 1991. no. 3(75). Pp. 3-4]. Поступила в редакцию 17/X/2012; в окончательном варианте 19/I/2013. MSC: 47B38; 46A20, 46E10, 43A22, 30H05 THE DUNKL CONVOLUTION OPERATORS AND MULTIPOINT DE LA VALLEE-POUSSIN PROBLEM K. R. Zabirova, V. V. Napalkov 1 Ufa State Aviation Technical University 12, K. Marks st., Ufa, Russia, 450000. 2 Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences 112, Chernyshevskiy st., Ufa, Russia, 450077. E-mails: karinazabirova@gmail.com, shaig@anrb.ru The Dunkl operator as an object of mathematical physics is considered, we study the kernel and the surjectivity of Dunkl convolution operators in the space of entire func- tions and the space of entire functions of exponential type. The main result is the solution of the multipoint de la Vallee-Poussin problem for Dunkl convolution opera- tors in the space of entire functions. Key words: Dunkl operators, Dunkl convolution, de la Vallee-Poussin (Cauchy) prob- lem, sufficient sets, space of entire functions. Original article submitted 17/X/2012; revision submitted 19/I/2013. Karina R. Zabirova, Postgraduate Student, Dept. of Special Chapters of Mathematics. Valentin V. Napalkov (Dr. Sci. (Phys. & Math.), Corresponding member of RAS), Director of Institute.

About the authors

Karina Raisovna Zabirova

Ufa State Aviation Technical University

Email: karinazabirova@gmail.com

Valentin Vasil'evich Napalkov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: shaig@anrb.ru, napalkov@matem.anrb.ru, vnap@matem.anrb.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. L. Lapointe, L. Vinet, "Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model", Commun. Math. Phys., 178:2 (1996), 425-452
  2. J. J. Betancor, M. Sifi, K. Trimeche, "Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on ", Acta Math. Hung., 106:1-2 (2005), 101-116
  3. В. В. Напалков, В. В. Напалков (мл.), "Операторы Данкла как операторы свертки", Докл. Акад. наук, 423:3 (2008), 300-302
  4. В. В. Напалков, Уравнения свертки в многомерных пространствах, Наука, М., 1982, 240 с.
  5. J. Dieudonne, L. Schwartz, "La dualite dans les espaces () et ()", Ann. Inst. Fourier, 1 (1949), 61-101
  6. L. Euler, "De integratione aequationum differentialum altiorum gradum", Miscellanea Berol., 7 (1743), 193–242
  7. H. S. Shapiro, "An algebraic theorem of Fisher, and the holomorphic Goursat problem", Bull. Lond. Math. Soc., 21:6 (1989), 513-537
  8. В. В. Напалков, "О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций", Матем. заметки, 39:4 (1986), 529-538
  9. О. В. Епифанов, "О существовании непрерывного правого обратного в одном классе локально выпуклых пространств", Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. шк. Естеств. науки, 1991, № 3(75), 3-4

Statistics

Views

Abstract - 7

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies