On the existence of boundary values of solutions of elliptic equations

Abstract

In the paper we show a survey of results related to the existence of boundary values of solutions of elliptic equations.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 97-105 УДК 517.956.223 О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ У РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П. Михайлов Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: vpmih@mi.ras.ru Приведён некоторый обзор результатов, связанных с существованием гранич- ных значений у решений эллиптических уравнений. Ключевые слова: эллиптические уравнения, классические и обобщённые решения, предельные значения на границе, теоремы существования. Пусть Q некоторая область в Rn, n 2, а функция u(x) C2m(Q) и является в Q классическим решением линейного эллиптического уравнения Lu = f(x), x Q, (1) порядка 2m 2. Для простоты будем считать функцию u(x) и коэффициенты уравнения (1) вещественнозначными функциями. Возникает вопрос: не явля- ется ли функция u(x) не только решением в Q уравнения (1), но и решением некоторой краевой задачи для этого уравнения (граничные условия при этом тоже естественно считать линейными и с вещественными коэффициентами). А для ответа на этот вопрос следует прежде всего выяснить, существуют ли в каком-то смысле понимаемые пределы соответствующих линейных комбина- ций взятого решения и его производных при приближении к границе области и имеет ли место утверждение о единственности соответствующим образом понимаемой краевой задачи. Конечно, аналогичные вопросы возникают не только для классических решений уравнения (1), но и для обобщенных (на- пример, из Wm p ) решений этого уравнения. Под предельным значением на границе мы будем понимать Lp-предельные значения, p 1. А это для случая ограниченной области Q с границей Q класса C2 означает следующее. Обозначим через r(x) расстояние от точки x Rn до границы Q: r(x) = min yQ |x - y|. Существует столь малое 0, что для всех (0, 0] подмножество Q = = Q{r(x) > } точек x области Q, отстоящих от границы Q на расстоянии большем, чем , является областью с границей Q. При этом можно считать, что при произвольном (0, 0] для любой точки x0 Q существует един- ственная точка x поверхности Q, отстоящая от точки x0 на расстояние, равное , |x0 - x| = , x = x(x0) = x0 - (x0), (2) Валентин Петрович Михайлов (д.ф.-м.н., проф.), ведущий научный сотрудник, отдел математической физики. 97 В. П. М и х а й л о в где (x0) вектор внешней по отношению к области Q единичной нормали к Q в точке x0. Соответствие (2) точек x0 Q и x Q есть взаимно однозначное отображение класса C1 поверхности Q на поверхность Q, причём обратное к (2) отображение задаётся формулой x0 = x + (x), (2 ) где (x) вектор внешней по отношению к Q единичной нормали к поверх- ности Q в точке x. Заметим, что (x) = (x0) при x0 Q, x Q, |x0 - x| = . Это построение для случая шара Q = {|x| < 1} приводит к шару Q = = {|x| < 1 - }, для полупространства Q = {(x1, x2 . . . , xn-1) = x Rn-1, xn > 0} аналогичное построение приводит к полупространству Q = {(x Rn-1, xn > }, а для полосы Q = {x Rn-1, 0 < xn < 1} при (0, 1/2) к полосе Q = {x Rn-1, < xn < 1 - }. Пусть в области Q задана функция U(x) C(Q) (или U(x) W1 p (Q ), p 1, в любой области Q , содержащейся в Q вместе с замыканием). Будем говорить, что функция U(x) имеет Lp-предел на Q, если существует такая функция h(x) Lp(Q) (Lp-предел на Q функции U(x)), что имеет место равенство lim 0 U(x(x0)) - h(x0) Lp(Q) = 0. Большая часть результатов, о которых пойдёт речь в настоящей работе, уже опубликована в работах А. К. Гущина и моих [1-10], при этом рассматри- вается лишь самый простой случай, когда p = 2; значительно более сложный случай, когда p = 2, рассматривается А. К. Гущиным [11]. Пусть сначала уравнение (1) является уравнением второго порядка - n i,j=1 aij(x)uxi xj + n i=1 ai(x)uxi + a(x)u = f(x), x Q, (3) где aij(x) = aji(x) C1( Q), i, j = 1, 2, . . . , n, a(x) C( Q), а функция f(x) при рассмотрении классического решения (u(x) C2(Q)) принадлежит C(Q) и при некотором < 3 выполняется неравенство Q f2 (x)r (x)dx < . (4) От функции f(x) будем требовать её измеримость в Q и выполнение при неко- тором < 3 неравенства (4), если нас интересует обобщённое из W1 2 решение u(x) уравнения (3), то есть, если функция u(x) принадлежит W1 2 (Q ) в лю- бой области Q , Q Q, и удовлетворяет при любой финитной в Q функции v(x) W1 2 (Q) равенству Q n i,j=1 aij(x)uxi vxj + n i=1 uxi + a(x)u v dx = Q fvdx. 98 О существовании граничных значений у решений эллиптических уравнений Как для классического, так и для обобщённого решения u(x) уравнения (3) введём непрерывную по (0, 0] функцию M() = Q u2 (x)dSx. Имеют место следующие утверждения. Теорема 1. Для того чтобы классическое или обобщенное из W1 2 решение u(x) уравнения (3) имело L2-предел на границе Q, необходимо и достаточно, чтобы функция M() была ограниченной: sup (0,0] M() = sup (0,0] Q u2 (x)dSx < . (5) Теорема 2. Для того чтобы классическое или обобщенное из W1 2 решение u(x) уравнения (3) имело L2-предел на границе Q, необходимо и достаточно, чтобы функция | u|2r(x) была интегрируемой по Q: Q | u|2 r(x)dx < . (6) Для аналитической функции одного комплексного переменного в круге (а следовательно, и для двумерной гармонической функции в круге) тео- рема 1 была установлена Ф. Риссом [12], а теорема 2 Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [13], см. также [14-16]. Условие (4) на правую часть f(x) уравнения (3) существенно для справед- ливости этих утверждений. Для случая, когда Q есть шар в Rn, Q = {|x| < 1} функция f0(x) = 8|x|2 ln(1 - |x|2) (1 - |x|2)2(1 + ln2 (1 - |x|2)) - 8|x|2(1 - ln2 (1 - |x|2)) (1 - |x|2)(1 + ln2 (1 - |x|2))2 + + 4n ln(1 - |x|2) (1 - |x|2)(1 + ln2 (1 - |x|2)) , |x| < 1, принадлежит C(|x| < 1), для любого < 3 Q f2 0 (x)r (x)dx = |x|<1 f2 0 (x)(1 - |x|) dx = , но несмотря на то, что Q f2 0 (x)r3 (x)dx = |x|<1 f2 0 (x)(1 - |x|)3 dx < , уравнение u = f0(x), |x| < 1, не имеет ни классических, ни обобщённых решений (все такие решения при- надлежат C(|x| < 1)), у которых существует L2-предел на граничной сфере {|x| = 1}. 99 В. П. М и х а й л о в Утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, справедливы для гармониче- ских функций в простейших областях и для случаев более общих граничных операторов. В частности, имеют место следующие предложения. Теорема 3. Пусть u(x) гармоническая в шаре {|x| < 1} функция. Для существования L2-предела на границе функции u |x| + u = ( u, ) + u, |x| < 1, где вектор = x/|x|, || = 1, а постоянная, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие sup (0,0] |x|=1- u |x| 2 dSx < , которое эквивалентно условию |x|<1 u |x| 2 (1 - |x|)dx < . Теорема 4. Пусть u(x) функция, гармоническая в полупространстве {(x1, x2, . . . , xn-1) = x Rn-1, xn > 0}. Для существования L2-предела на границе {x Rn-1, xn = 0} функции u xn + u, x Rn-1 , xn > 0, где постоянная, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие xn>0 | uxn |2 xndx < , которое эквивалентно условию sup (0,0] xn= u xn 2 dx < . Для случая, когда порядок 2m уравнения (1) больше, чем 2 (2m > 2), результаты более скромные. Прежде всего, областями, в которых изучаются решения, здесь являются либо шар, либо полупространство (или полоса) в Rn, да и уравнения рассмотрены весьма частного вида. Это полигармоническое уравнение в шаре: m u = 0, |x| < 1. (7) В n-мерной полосе = {x Rn-1, 0 < xn < 1} рассмотрено метагармониче- ское уравнение G()u = 0, x , (8) 100 О существовании граничных значений у решений эллиптических уравнений в котором функция G(z) является многочленом степени m 1, G(z) = a0 + + a1z + · · · + amzm, где a0, a1, . . . , am постоянные, а в двумерной полосе = {x1 R1, 0 < x2 < 1} уравнение k s=1 x2 + s x1 ms x2 + s x1 ms u = 0, x = (x1, x2) , (9) в котором s попарно различные комплексные числа, Im s > 0; ms 1 целые числа, m1 + m2 + · · · + mk = m 1; s = 1, 2, . . . , k. Для решения u(x) уравнения (7) при m = 1 (для гармонических функций) имеют место теоремы 1 и 2, но при m > 1 ни одно из этих утверждений места не имеет. Условие L2-ограниченности (5), конечно, является необходимым для существования L2-предела решения и при m > 1, но достаточным условием при m > 1 оно не является. Вот соответствующий пример в двумерном (n = 2) случае. Функция u0(x1, x2) = u0(r cos , r sin ) = (1 - r2 ) k=1 akrk cos k, |x| = r < 1, при ak =