On a boundary value problem for a system of hyperbolic equations with the wave operator and a singular coefficient of lower derivatives

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 144-149 УДК 517.968.78 ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВОЛНОВЫМ ОПЕРАТОРОМ И СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ МЛАДШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ Р. Р. Раянова Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mail: rayanova.rina@gmail.com Рассмотрена краевая задача в характеристическом квадрате с данными на па- раллельных характеристиках для системы гиперболических уравнений с волно- вым оператором и сингулярным матричным коэффициентом при младшей про- изводной. В характеристических координатах указанная система дифференци- альных уравнений редуцируется к системе уравнений Эйлера Пуассона Дар- бу. С использованием известного решения задачи Коши с данными на линии сингулярности матричного коэффициента задача редуцируется к системе ин- тегральных уравнений Карлемана. На основе проведённых ранее автором данной статьи исследований по разрешимости систем обобщённых интегральных урав- нений Абеля в работе найдено в явном виде решение указанной краевой задачи. Ключевые слова: дробное исчисление Римана Лиувилля, функции от матриц, интегро-дифференциальные операторы матричного порядка, система обобщен- ных интегральных уравнений Абеля, интегральное уравнение Карлемана. Обозначим через Mn множество постоянных матриц порядка n. Пусть (G) спектр матрицы G Mn; i, i = 1, 2, . . . , n собственные значения матрицы G. В области D = {(x, y) : 0 < x + y < 1, 0 < x - y < 1} рассмотрим систему уравнений uxx - uyy - 2G y uy = 0, (1) где u(x, y) = u1(x, y), u2(x, y), . . . , un(x, y) вектор искомых функций, (G) (0, 1/2). Пусть D0 = D {y > 0} = {(x, y) : 0 < x + y < 1, 0 < x - y < 1, y > 0}, D1 = D {y < 0} = {(x, y) : 0 < x + y < 1, 0 < x - y < 1, y < 0}. Обозначим 0 x/2, x/2 и 1 (1 + x)/2, (x - 1)/2 точки пересечения ха- рактеристик x - y = 0 и x - y = 1 с характеристикой другого семейства, выходящей из точки (x, 0). Задача 1. Найти вектор-функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим свойствам: 1) u(x, y) C(D) C2(D0 D1), 2) u(x, y) удовлетворяет системе (1) в области D0 D1, 3) u(0) = (x), x [0, 1], 4) u(1) = (x), x [0, 1], 5) lim y0- (-y)2G u y = lim y0+ y2G u y , Рина Ринатовна Раянова, ассистент, каф. прикладной математики и информатики. 144 Об одной краевой задаче для системы гиперболических уравнений где (x) = (1(x), 2(x), . . . , n(x)), (x) = (1(x), 2(x), . . . , n(x)), y2G показательная функция матричного аргумента [1]. Нетрудно показать, что в характеристических координатах = x - y и = x + y область D0 преобразуется в область H = {(, ) : 0 < < < 1}, а система дифференциальных уравнений (1) редуцируется к системе диффе- ренциальных уравнений Эйлера Пуссона Дарбу следующего вида: u, - G u - u - = 0. (2) В характеристических координатах = x+y и = x-y область D1 преоб- разуется в ту же самую область H, а система дифференциальных уравнений (1) в систему дифференциальных уравнений Эйлера Пуссона Дарбу (2). Для решения поставленной задачи воспользуемся решением задачи Коши с данными u(, ) = (), [0, 1], (3) lim -0+ - 2 2G (u - u) = (), (0, 1), (4) где , заданные n-мерные вектор-функции. Решение уравнения Эйлера Пуссона Дарбу в скалярном случае [2] нетруд- но обобщить на матричный. Справедливо следующее утверждение. Утверждение 1. Пусть спектр матрицы G принадлежит интервалу (0, 1/2). Тогда регулярное в характеристической области H решение задачи Коши (3), (4) может быть записано в виде u(, ) = k1(G)( - )E-2G [( - t)(t - )]-(E-G) (t)dt+ + k2(G)22G-E [( - t)(t - )]-G (t)dt, (5) где k1(G) = (2G)-2(G), k2(G) = (E -2G)-2(E -G), (), () C2(0, 1), E единичная матрица, причём функция () на концах интервала (0, 1) может иметь интегрируемые особенности. Располагая решением задачи Коши (5) для систем уравнений (2), можно показать, что решение системы уравнений (1) в области D0 с данными 3) и lim y0+ y2G u y = +(x), и в области D1 с данными 4) и lim y0- y2G u y = -(x), соответственно, имеют вид 145 Р. Р. Р а я н о в а u+(x, y) = -1 (G) 1 0 [s(1 - s)]-(E-G) (x - y + 2ys)E-G DG 0,x-y+2ys(x - y + 2ys)2G-E (x - y + 2ys)ds+ + -2 (E - G)(E - 2G)y2G-E 1 0 [s(1 - s)]-G +(x - y + 2ys)ds- - -1 (G)(E - 2G)-1 (E - G)22G-E 1 0 [s(1 - s)]-(E-G) IE-2G 0,x-y+2ys+(x - y + 2ys)ds; (6) u-(x, y) = --1 (G) 1 0 [s(1 - s)]-(E-G) (1 - x + y - 2ys)E-G DG x-y+2ys,1(1 - x + y - 2ys)2G-E (x - y + 2ys)ds- - -2 (E - G)(E - 2G)(-y)E-2G 1 0 [s(1 - s)]-G -(x - y + 2ys)ds+ + -1 (G)(E - 2G)-1 (E - G)22G-E 1 0 [s(1 - s)]-(E-G) IE-2G x-y+2ys,1-(x - y + 2ys)ds. (7) Здесь (формулы (6) и (7)) и далее предполагается, что функции i(x), i(x), i(x), i = 1, 2, . . . , n, удовлетворяют следующим условиям: i(x) C[0, 1], i(x) C1 (0, 1), i(x) L(0, 1), i(0) = i(1) = 0; i(x) C[0, 1], i(x) C2 (0, 1), i (x) L(0, 1), i(0) = i(1) = 0; i(x) C[0, 1], i(x) C2 (0, 1), i (x) L(0, 1), i(0) = i(1) = 0. Найдём значения функций u+(x, y) и u-(x, y) на границе y = 0: u+(x, 0) = (G)-1 (2G)xE-G DG 0+x2G-E (x)- - -1 (E - G)(E - 2G)(G)-1 (2G)22G-E IE-2G 0+ +(x), (8) u-(x, 0) = -(G)-1 (2G)(1 - x)E-G DG 1-(1 - x)2G-E (x)+ + -1 (E - G)(E - 2G)(G)-1 (2G)22G-E IE-2G 1- -(x). (9) По условию задачи предполагается, что искомая вектор-функция u(x, y) C(D). Это означает, что u+(x, 0) = u-(x, 0) = u(x, 0). Приравнивая правые части равенств (8) и (9), приходим к системе интегральных уравнений типа системы обобщённых уравнений Абеля: l1(G)IE-2G 0+ (x) + l1(G)IE-2G 1- (x) = = l2(G)xE-G DG 0+x2G-E (x) - l2(G)(1 - x)E-G DG 1-(1 - x)2G-E (x), где l1(G) = -1(E - G)(E - 2G)(G)-1(2G)22G-E и l2(G) = (G)-1(2G). 146 Об одной краевой задаче для системы гиперболических уравнений Полученная система интегральных уравнений сводится к системе инте- гральных уравнений Карлемана. Действительно, записывая интегральные операторы IE-2G 0+ и IE-2G 1- по определениям левостроннего и правостороннего матричного интегрального оператора Римана Лиувиля [3, 4], получим l1(G)-1 (E - 2G) x 0 (x - t)-2G (t)dt + 1 x (t - x)-2G (t)dt = f(x), где f(x) = l2(G)xE-G DG 0+x2G-E (x) - l2(G)(1 - x)E-G DG 1-(1 - x)2G-E (x). В итоге имеем 1 0 |x - t|-2G (t)dt = g(x), (10) где g(x) = (E -G)2E-2G xE-G DG 0+x2G-E (x)-(1-x)E-G DG 1-(1-x)2G-E (x) . Используя результаты работы [5], решение системы интегральных урав- нений (10) можно найти как частный случай решения системы обобщённых интегральных уравнений Абеля AIE-2G 0+ + BIE-2G 1- = g(x) при A = B = E. Пусть = [a, b], где - < a < b < +. Будем говорить, что вектор- функция f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) с областью определения Df = удо- влетворяет условию Гёльдера порядка = (1, 2, . . . , n), если x1, x2 |fk(x1) - fk(x2)| Ak|x1 - x2|k , k = 1, 2, . . . , n, где Ak постоянные, а k показатель Гёльдера. Определение 1. Через H = H() обозначим класс вектор-функций f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) с областью определения Df = , каждая ком- понента которых удовлетворяет на условию Гёльдера со своими фиксиро- ванными значениями Ak и k. Определение 2. Через H = H(a, b) обозначим класс вектор-функций f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), для которых существуют такие мультииндек- сы = (1, 2, . . . , n), = ( 1, 2, . . . , n) и = (1, 2, . . . , n), что f(x) = f(x) (x - a)1- (b - x)1- , где f(x) H([a, b]) и каждой компоненте вектора f(x) соответствуют свои фиксированные значения мультииндексов , и . Определение 3. Пусть = (1, 2, . . . , n) мультииндекс. Через H обо- значим класс вектор-функций f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) таких, что f(x) = f(x) (x - a)1-- (b - x)1-- , 147 Р. Р. Р а я н о в а где 0 < k < 1 - k, 0 < k < 1 - k (k = 1, 2, . . . , n), а каждая компонента вектора f(x) принадлежит своему классу ~Hk , который определён в [6]. Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть матрица G Mn, спектр (G) (0, 1/2). Пусть мат- рица T Mn является матрицей преобразования G к жордановому виду G = TGT-1. Пусть вектор Tg(x) H , где = (1, 2, . . . , n), k = = 1 - 2k, k (G). Тогда единственное решение системы интегральных уравнений (10) в классе вектор-функций, таких, что T(x) H, имеет вид (x) = L(E - 2G) -1 DE-2G a+ E - Z(x)D2G a+I2G b- Z-1 (x) g(x), (11) где Z(x) = b - x x - a E-2G , L = 4 cos2 2 (E - 2G) . Подставляя найденное в формуле (11) выражение для вектора (x) в формулы (6), (7), найдём окончательно выражения искомых вектор-функ- ций u+(x, y) и u-(x, y), определяющих решение задачи 1 в областях D0 и D1 соответственно, а следовательно, и решение u(x, y) в области D = D0 D1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [F. R. Gantmakher, Theory of matrices. Moscow: Nauka, 1988. 549 pp.] 2. А. А. Андреев, О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками / В сб.: Корректные краевые задачи для неклассиче- ских уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981. С. 13- 16. [A. A. Andreev, On the Riemann method for one system hyperbolic equations with multiple characteristics / In: Correct Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical Physics. Novosibirsk: IM SOAN SSSR, 1981. Pp. 13-16]. 3. А. А. Андреев, Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типах / В сб.: Краевые задачи для уравнений математиче- ской физики. Куйбышев: Куйбыш. гос. пед. ин-т, 1990. С. 3-6. [A. A. Andreev, Nonlocal boundary value problems for a model degenerate system of hyperbolic type / In: Boundary value problems for equations in mathematical physics. Kuybyshev: Kuybyshev. Gos. Ped. Inst., 1990. Pp. 3-6]. 4. А. А. Андреев, Об одном обобщении операторов дробного интегро-дифференцирования и его приложениях / В сб.: Интегральные уравнения и краевые задачи математи- ческой физики: Матер. Всессоюзной конф.. Владивосток, 1990. С. 91. [A. A. Andreev, On one generalization of fractional integro-differentiation operators and its applications / In: Integral Equations and Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Vladivostok, 1990. Pp. 91]. 5. Р. Р. Исмагилова, Решение полного матричного аналога обобщённого уравнения Абе- ля с постоянными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. 1(22). С. 93-98. [R. R. Ismagiliva, The solution of the full matrix analogue of the generalized Abel equation with constant coefficients // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 1(22). Pp. 93-98]. 148 Об одной краевой задаче для системы гиперболических уравнений 6. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного поряд- ка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.] Поступила в редакцию 29/X/2012; в окончательном варианте 27/I/2013. MSC: 35L80 ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF HYPERBOLIC EQUATIONS WITH THE WAVE OPERATOR AND A SINGULAR COEFFICIENT AT LOWER DERIVATIVE R. R. Rayanova Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia. E-mail: rayanova.rina@gmail.com The boundary value problem with data given on the parallel characteristics for the sys- tem of hyperbolic equations with the wave operator and the singular matrix coefficient at the lower derivative is considered in the characteristic square. This system of dif- ferential equations in the characteristic coordinates can be reduced to the system of Euler-Poisson-Darboux equations. Using the known solution of Cauchy problem with data given on the singularity line of matrix coefficient, we reduce the problem to the Carleman system of integral equations.The explicit solution of the considered boundary value problem is constructed using the results of previous research on the solvability of the systems of generalized Abel integral equations, made by the author. Key words: Riemann-Liouville fractional calculation, matrix functions, integral- differentional operators of matrix order, system of generalized Abel integral equations, Carleman integral equation. Original article submitted 29/X/2012; revision submitted 27/I/2013. Rina R. Rayanova, Assistent, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.

About the authors

Rina Rinatovna Rayanova

Samara State Technical University

Email: rayanova.rina@gmail.com

References

Supplementary files