On some classes of nonlinear integral equations with noncompact operators

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 181-188 УДК 517.968.4 О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Х. А. Хачатрян Институт математики НАН Армении, Армения, 375019, Ереван, пр-т Маршала Баграмяна, 24/5. E-mail: khach82@rambler.ru Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Дока- зываются теоремы существования положительных решений в различных функ- циональных пространствах. Ключевые слова: интегральное уравнение типа Гаммерштейна Немыцкого, условие консервативности, условие Каратеодори, монотонность, уравнение Ви- нера Хопфа. Рассмотрим класс нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей- на Немыцкого (x) = + 0 K(x, t)H(t, (t))dt + A(x, (x)), x 0, (1) относительно искомой вещественной и измеримой функции (x), где K(x, t) определённая на R+R+ (R+ [0, +)) измеримая и неотрицательная функ- ция, удовлетворяющая условию консервативности esssup xR+ + 0 K(x, t)dt = 1; H(t, z) и A(x, ) определённые на R+ R (R (-; +)) измеримые и вещественнозначные функции, удовлетворяющие условию критичности H(t,0) 0, t R+ , A(x,0) 0, x R+ . Последнее условие означает, что (x) 0 является решением уравнения (1). Уравнение (1) не только представляет теоретический интерес, но и имеет применение в кинетической теории газа, а именно в задаче о течении раз- реженного газа в полупространстве, ограниченном твёрдой стенкой (задача Крамерса) (см.[1-3]). В случае, когда H(t, z) z, A(x, ) = y(x) - F(x, ), y L2(R+), а F(x, ) удовлетворяет условию Гёльдера Липшица по второму аргументу и моно- тонно убывает по , причём ядро K(x, t) зависит от разности своих аргумен- тов, уравнение (1) рассмотрено в [4]. В этой работе при некоторых допол- нительных условиях на K доказано существование решения в пространстве L2(R+). Хачатур Агавардович Хачатрян (д.ф.-м.н.), старший научный сотрудник, отдел методов математической физики. 181 Х. А. Х а ч а т р я н Отметим также, что в частном случае A(x, ) 0 уравнение (1) при раз- личных ограничениях на функции H и K исследовано в работах [5-12]. В ука- занных работах в основном доказаны теоремы существования положитель- ных и ограниченных (в некоторых случаях линейно растущих) решений. В настоящей работе, путём наложения на функции H и A существен- но разных условий, доказывается существование положительных решений в пространствах L0 (R+) {f L(R+), lim x f(x) = 0} и L1(R+) L0 (R+). Небезынтересно отметить также, что построенные решения имеют есте- ственный физический смысл (см. [3]). Формулировка основных результатов. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть K0(x) 0, x R некоторая измеримая функция, для которой + - K0(x)dx = 1, (K0) + - xK0(x)dx < 0, (2) а 0 K(x, t) K0(x - t),(x, t) R+ R+, причём сходимость последнего интеграла в (2) понимается в смысле абсолютной сходимости. Пусть су- ществуют числа > 0 и 0 (0, ) такие, что выполняются следующие условия: a) функции H(t, z) и A(x, ) удовлетворяют условию Каратеодори по вто- рому аргументу на множестве R+ [0, ]; b) H(t, z) возрастает по z на [0, ] при каждом фиксированном t R+, а A(x, ) возрастает по на [0, ] при каждом фиксированном x R+; c) имеют место следующие неравенства: 0 H(t, z) z, (t, z) R+ [0, ], (3) A(x, 0 (x)) 0 (x), A(x, ) (x), x R+ , где (x) x K0(t)dt, > 0, x R+ . Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства L1(R+) L0 (R+). Для изложения следующих результатов нам понадобятся некоторые обо- значения и вспомогательные факты из линейной теории консервативных ин- тегральных уравнений Винера Хопфа. Пусть Q(x) определённая на множестве R измеримая функция, для ко- торой 0 и 1 являются первыми положительными корнями уравнений Q(x) = = x и Q(x) = 2x соответственно, причём 21 < 0, Q возрастает на отрезке [0, 0] и Q C[0, 0]. В качестве функции Q можно рассматривать одну из следующих: a) Q(x) = x, (0,1), 0 = 1, 1 = (1/2)1/(1-); b) Q(x) = ex-1, 0 = 1, 1

About the authors

Khachatur Aghavardovich Khachatryan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia

Email: khach82@rambler.ru, Khach82@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files