On some classes of nonlinear integral equations with noncompact operators

Abstract


The work is devoted to the investigation of some classes of nonlinear integral equations of Hammerstein–Nemitski type with noncompact operators. Above mentioned class of equations, beside the theoretical interest has immediately an application in kinetic theory of gases. The existence theorems for positive solutions in different functional spaces are proved.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 181-188 УДК 517.968.4 О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Х. А. Хачатрян Институт математики НАН Армении, Армения, 375019, Ереван, пр-т Маршала Баграмяна, 24/5. E-mail: khach82@rambler.ru Работа посвящена исследованию некоторых классов нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами типа Гаммерштейна Немыцкого. Указанный класс уравнений не только представляет теоретический интерес, но и имеет непосредственное применение в кинетической теории газов. Дока- зываются теоремы существования положительных решений в различных функ- циональных пространствах. Ключевые слова: интегральное уравнение типа Гаммерштейна Немыцкого, условие консервативности, условие Каратеодори, монотонность, уравнение Ви- нера Хопфа. Рассмотрим класс нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштей- на Немыцкого (x) = + 0 K(x, t)H(t, (t))dt + A(x, (x)), x 0, (1) относительно искомой вещественной и измеримой функции (x), где K(x, t) определённая на R+R+ (R+ [0, +)) измеримая и неотрицательная функ- ция, удовлетворяющая условию консервативности esssup xR+ + 0 K(x, t)dt = 1; H(t, z) и A(x, ) определённые на R+ R (R (-; +)) измеримые и вещественнозначные функции, удовлетворяющие условию критичности H(t,0) 0, t R+ , A(x,0) 0, x R+ . Последнее условие означает, что (x) 0 является решением уравнения (1). Уравнение (1) не только представляет теоретический интерес, но и имеет применение в кинетической теории газа, а именно в задаче о течении раз- реженного газа в полупространстве, ограниченном твёрдой стенкой (задача Крамерса) (см.[1-3]). В случае, когда H(t, z) z, A(x, ) = y(x) - F(x, ), y L2(R+), а F(x, ) удовлетворяет условию Гёльдера Липшица по второму аргументу и моно- тонно убывает по , причём ядро K(x, t) зависит от разности своих аргумен- тов, уравнение (1) рассмотрено в [4]. В этой работе при некоторых допол- нительных условиях на K доказано существование решения в пространстве L2(R+). Хачатур Агавардович Хачатрян (д.ф.-м.н.), старший научный сотрудник, отдел методов математической физики. 181 Х. А. Х а ч а т р я н Отметим также, что в частном случае A(x, ) 0 уравнение (1) при раз- личных ограничениях на функции H и K исследовано в работах [5-12]. В ука- занных работах в основном доказаны теоремы существования положитель- ных и ограниченных (в некоторых случаях линейно растущих) решений. В настоящей работе, путём наложения на функции H и A существен- но разных условий, доказывается существование положительных решений в пространствах L0 (R+) {f L(R+), lim x f(x) = 0} и L1(R+) L0 (R+). Небезынтересно отметить также, что построенные решения имеют есте- ственный физический смысл (см. [3]). Формулировка основных результатов. Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть K0(x) 0, x R некоторая измеримая функция, для которой + - K0(x)dx = 1, (K0) + - xK0(x)dx < 0, (2) а 0 K(x, t) K0(x - t),(x, t) R+ R+, причём сходимость последнего интеграла в (2) понимается в смысле абсолютной сходимости. Пусть су- ществуют числа > 0 и 0 (0, ) такие, что выполняются следующие условия: a) функции H(t, z) и A(x, ) удовлетворяют условию Каратеодори по вто- рому аргументу на множестве R+ [0, ]; b) H(t, z) возрастает по z на [0, ] при каждом фиксированном t R+, а A(x, ) возрастает по на [0, ] при каждом фиксированном x R+; c) имеют место следующие неравенства: 0 H(t, z) z, (t, z) R+ [0, ], (3) A(x, 0 (x)) 0 (x), A(x, ) (x), x R+ , где (x) x K0(t)dt, > 0, x R+ . Тогда уравнение (1) имеет положительное решение из пространства L1(R+) L0 (R+). Для изложения следующих результатов нам понадобятся некоторые обо- значения и вспомогательные факты из линейной теории консервативных ин- тегральных уравнений Винера Хопфа. Пусть Q(x) определённая на множестве R измеримая функция, для ко- торой 0 и 1 являются первыми положительными корнями уравнений Q(x) = = x и Q(x) = 2x соответственно, причём 21 < 0, Q возрастает на отрезке [0, 0] и Q C[0, 0]. В качестве функции Q можно рассматривать одну из следующих: a) Q(x) = x, (0,1), 0 = 1, 1 = (1/2)1/(1-); b) Q(x) = ex-1, 0 = 1, 1

About the authors

Khachatur Aghavardovich Khachatryan

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Armenia

Email: khach82@rambler.ru, Khach82@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Н. Б. Енгибарян, А. Х. Хачатрян, "Вопросы нелинейной теории динамики разреженного газа", Матем. моделирование, 16:1 (2004), 67-74
  2. C. Cercignani, Theory and application of the Boltzmann equation, Scottish Academic Press, Edinburg, London, 1975, 415 pp.
  3. А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, "Качественные различия решений для одной модели уравнения Больцмана в линейном и нелинейном случаях", ТМФ, 172:3 (2012), 497-504
  4. P. S. Milojevic, "A global description of solutions to nonlinear perturbations of the Wiener-Hopf integral equations", Electronic Journal of Differential Equations (EJDE), 2006 (2006), 51, 14 pp.
  5. Х. А. Хачатрян, "Однопараметрическое семейство решений одного класса нелинейных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси", ДАН, 429:5 (2009), 595-599
  6. R. Precup, Methods in nonlinear integral equations, Springer Verlag, New York, 2007, 232 pp.
  7. C. D. Panchal, "Existence theorems for equation of Hammerstein type", Quart. J. Math., 35:3 (1984), 311-319
  8. A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, "On an integral equation with monotonic nonlinearity", Mem. Differential and Equations Math. Phys., 51 (2010), 59-72 pp.
  9. Х. А. Хачатрян, "Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью", Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012), 173-200
  10. G. Emmanuele, "An existense theorem for Hammerstein integral equations", Portugaliae Mathematica, 51:4 (1994), 607-611
  11. А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, "Об одном нелинейном интегральном уравнении типа уравнения Гаммерштейна c некомпактным оператором", Матем. сб., 201:4 (2010), 125-136
  12. Л. Г. Арабаджян, "О существовании нетривиальных решений некоторых линейных и нелинейных уравнений типа свертки", Укр. мат. журн, 41:12 (1989), 1587-1595
  13. Л. Г. Арабаджян, Н. Б. Енгибарян, "Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения", Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 22, ВИНИТИ, М., 1984, 175-244
  14. А. Н. Колмогоров, В. С. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1981, 544 с.

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies