Thermodynamics of the viscous fluid from an observer's viewpoint

Abstract


The development of the non-equilibrium thermodynamics of the viscous fluid not using the local thermodynamic equilibrium hypothesis is considered. The theory is based on the causal mechanics of the heat conducting continuum, which includes the 1st law of thermodynamics as a theorem. The conditions of applicability of the 2nd law of thermodynamics and the dissipation of the kinetic energy problem are discussed. Main conclusions are illustrated using the example from the numerical analysis.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 189-198 Механика и классическая теория поля УДК 530.161+532.5+536.7 ТЕРМОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НАБЛЮДАТЕЛЯ М. Ю. Белевич Санкт-Петербургский филиал Института океанологии им. П. П. Ширшова РАН, Россия, 199053, Санкт-Петербург, 1-я линия, 30. E-mail: mbelevich@yahoo.com Рассматривается вариант построения неравновесной термодинамики вязкой жидкости, не требующий привлечения гипотезы локального термодинамиче- ского равновесия. Предлагаемая теория является частью причинно обусловлен- ной модели вязкой теплопроводящей жидкости, включающей наблюдателя как элемент описания движения среды. Ключевой момент замена первого начала термодинамики законом сохранения полной энергии теоремой, следующей из закона сохранения массы. Обсуждаются условия применимости второго начала термодинамики и проблема диссипации кинетической энергии. Основные выводы иллюстрируются примерами из численного анализа. Ключевые слова: неравновесная термодинамика, механика жидкости, законы сохранения, причинность. Введение. Стандартная модель вязкой жидкости включает в себя две тео- рии. Первая описывает движение жидкости под действием механических сил и основывается на двух интегральных законах: сохранения массы и дви- жения. Вторая теория призвана описывать эволюцию характеристик жид- кости под действием термических факторов. Однако в классическом случае фундаментальные законы, на основе которых можно описывать такую эво- люцию, отсутствуют. Имеется набор так называемых начал равновесной тер- модинамики, которые распространяются на общий неравновесный случай с помощью гипотезы локального термодинамического равновесия. Эта гипоте- за предъявляет ряд требований к изучаемым явлениям, и для их преодоле- ния были разработаны специальные расширения классической термодинами- ки (см., например, [1-3]). Помимо указанных расширений классической термодинамики имеется иной путь построения общей термодинамической теории, применимой в нерав- новесном случае. Он был разработан как часть причинно обусловленной мо- дели жидкости, предложенной в [4-6]. Эта модель допускает естественное рассмотрение термодинамических эффектов без привлечения законов равно- весной термодинамики и гипотезы локального равновесия, в то время как стандартная модель жидкости помимо постулатов механики основана на по- стулате о сохранении полной энергии. Причинная модель рассматривает со- Михаил Юрьевич Белевич (к.ф.-м.н., доц.), ведущий научный сотрудник, лаб. геофизиче- ских пограничных слоев. 189 М. Ю. Б е л е в и ч хранение энергии как теорему, следующую из закона сохранения массы. По этой причине здесь не требуется ни постулирования первого начала термоди- намики, ни принятия гипотезы локального равновесия. Целью данной работы является демонстрация возможности указанного способа построения неравновесной термодинамики. Теория строится с точки зрения наблюдателя, который является одним из элементов описания. Легко показать, что стандартная гидромеханика является частным случаем этой более общей причинно обусловленной теории. Настоящая работа имеет сле- дующую структуру. Раздел 1 содержит краткое описание причинной модели вязкой жидкости, предложенной в [4]. Баланс энергии в причинной моде- ли рассматривается в разделе 2, а его сравнение с классическим случаем в разделе 3. Раздел 4 посвящён обсуждению второго закона термодинамики. Заключительные замечания можно найти в разделе 5. 1. Причинно обусловленная модель жидкости. Основные понятия. Гипотеза сплошности считается принятой, и любое те- ло B мыслится как сплошная среда. Каждая точка тела ассоциируется с мно- жеством событий, образующих её мировую линию в пространстве событий W. Совокупность мировых линий точек тела образует его мировую трубку, рассматриваемую как 4-мерное многообразие B4 в пространстве W. Каждая мировая линия может быть гладко параметризована веществен- ным параметром. Параметризация произвольна, и для сужения произвола могут быть наложены дополнительные ограничения. Цель заменить бес- конечное число независимых параметров единственным параметром вре- менем t. Для этого выделяется одна из мировых линий, называемая миро- вой линией наблюдателя 0. Ее параметризация произвольна. Остальные па- раметры синхронизируются с временем наблюдателя. Метод синхронизации удобно интерпретировать в терминах скорости сигнала, используемого для проведения наблюдений. Фазовая скорость сигнала будет обозначаться через c. Наблюдатель, таким образом, есть совокупность параметров (0, t, c). Наличие наблюдателя позволяет определить пространства одновремен- ных событий Wt. Сечение Bt мировой трубки B4 пространством Wt назы- вается конфигурацией тела B в момент времени t. Разные наблюдатели по- рождают различные пространства одновременных событий и тем самым разные конфигурации тела для одного и того же момента времени. Интегральные законы сохранения. На теле B и на пространстве событий W можно определить меры M(B) и V(W), которые на сечении Bt индуцируют меры m(Bt) и V (Bt), обычно интерпретируемые как масса и объём конфигу- рации тела. Постулируется закон сохранения dtm(Bt) = 0. (1) Нетрудно показать (см. [4, 6]), что меру m(Bt) можно рассматривать и как энергию1 cm(Bt) конфигурации Bt, что приводит к двоякой интерпрета- ции закона сохранения (1). Действительно, если для любой конфигурации Bt выполняется равенство cm(Bt) = C m(Bt), C = const, тогда уравнение dtcm(Bt) = 0 (2) 1 Чтобы различать обе интерпретации, используются разные обозначения для одной и той же меры. Здесь физическая размерность энергии cm совпадает с размерностью массы m. Для получения величины с обычной размерностью энергии используется метрика. 190 Термодинамика вязкой жидкости с точки зрения наблюдателя необходимо следует из уравнения (1). Реализация такой возможности обсуж- дается ниже. Дифференциальные законы сохранения. При весьма общих допущениях существует единственная функция такая, что масса и объём конфигура- ции оказываются связаны соотношением m(Bt) = V (Bt) dV. Аналогичное соотношение связывает и энергию с объёмом: cm(Bt) = V (Bt) dV. Величины и называются плотностями массы и энергии в точке, и при этом = C. Уравнения (1) и (2) порождают соответствующие дифференциальные за- коны сохранения div () = 0, (3) div () = dt = 0, где = dt вектор, касательный к мировой линии. Поскольку по определе- нию = 1 2||2 и = C, имеем C = 1 2||2. За счёт выбора подходящего метрического тензора g величину ||2 = g(, ) можно положить равной кон- станте, например, || = 1. В этом случае = 1 2. Относительно ортогональ- ного базиса метрический тензор диагонален и может быть выбран пропорци- ональным единичному тензору I с коэффициентом пропорциональности g0: g = g0I. При этом g-1 0 = I(, ). Осреднение. Поскольку гипотеза сплошности принята, движение далее следует разделить по масштабам и осреднить, т. е. перейти к термодинами- ческому случаю. При этом каждая мировая линия представляется в виде сум- мы сглаженной кривой и пульсации. Соответственно, касательное векторное поле = v + разделяется на осреднённое векторное поле v, касающее- ся сглаженных мировых линий, и векторное поле пульсаций . Обсуждение процедуры осреднения см. в [7,8]. В результате осреднения (далее обозначаемого надчеркиванием) закон со- хранения массы (3) приводит к уравнению диффузии плотности массы, кото- рое следует рассматривать как обобщение уравнения неразрывности (детали см. в [8]). Однако как правило, рассматривают более грубое приближение, со- храняющие вид дифференциального закона сохранения массы. Здесь осред- ненное уравнение (3) также будем записывать в виде 4-мерного уравнения неразрывности div () = div(v) = 0. В свою очередь, энергия (теперь называемая полной энергией) записыва- ется как сумма кинетической K(Bt) и внутренней E(Bt) энергий конфигу- рации тела cm(Bt) = K(Bt) + E(Bt), K, E > 0 с плотностями 1 2 |v|2 , 1 2 ||2 - |v|2 = 1 2 1 - |v|2 . (4) 191 М. Ю. Б е л е в и ч В силу определения (4) верно равенство + = 1 2 . Метрический коэффициент g0 в этом случае имеет вид g0 = 1 - 2 I(, ) , = . Осредняя скорость изменения энергии, получим dtcm = dt V ( + ) dV (K+E) + V (T v)ndS =0 + V ( )ndS =Q = 0. Первое слагаемое описывает скорость изменения полной энергии. Интеграл V (T v)ndS равен нулю, поскольку нормальная компонента (T v)n потока через границу V сечения мировой трубки Bt отсутствует. Последнее слагаемое V ( )ndS описывает внешний поток Q внутренней энергии через границу. Здесь вели- чина 1 2 | |2 = интерпретируется как удельная плотность пульсаций внутренней энергии, порождаемых пульсациями скорости . Величина = T 4-мерный тензор вязких напряжений, а T v означает свертку T с v. В отсутствие Q имеет место закон сохранения dt(K + E) = 0, которому соответствует дифференциальное уравнение баланса плотности пол- ной энергии 0 = dt + =0 +div(T v + ). (5) 2. Баланс энергии. Уравнения баланса. Из уравнения (5) можно получить уравнения баланса плотности обоих видов энергии. Продифференцируем слагаемое div(T v) = g(v, divT ) + T : v, 192 Термодинамика вязкой жидкости с точки зрения наблюдателя а затем сгруппируем члены в уравнении (5) следующим образом: dt + g(v, divT ) =dt + dt + T : v + div =-dt = 0. (6) Здесь (·) : (·) скалярное произведение тензоров. Поскольку обе группы чле- нов должны различаться лишь знаком, обозначим их через dt и запишем два дифференциальных уравнения баланса энергии dt = dt - g(v, divT ), dt = -dt - T : v - div , соответственно кинетической и внутренней. Величина имеет смысл ска- лярной кривизны пространства событий W (детали см. в [5]). Слагаемое g(v, divT ) в уравнении (7) описывает перераспределение и диссипацию плот- ности кинетической энергии, тогда как слагаемые T : v и div в уравне- нии (8) вязкий приток внутренней энергии и ее перенос теплопроводностью. Баланс импульса. Слагаемые в уравнении (6) были сгруппированы так, чтобы первая группа соответствовала уравнению движения вязкой жидко- сти. Действительно, скорость изменения удельной плотности кинетической энергии можно записать в виде dt = g(v, divM), (9) где тензор M v v называется 4-тензором плотности потока импульса. Постулируемое уравнение divM = divT, (10) где T 4-тензор напряжений, известно как уравнение баланса плотности импульса или уравнение движения (в данном случае 4-мерное). В соответ- ствии с (10) уравнение (9) можно переписать так: dt = g(v, divT). (11) Комбинируя (5), (10) и (11), получим уравнение баланса плотности внут- ренней энергии (ср. с уравнением (8)) dt = -g(v, divT) - div . (12) Тензор напряжений. Сравнивая оба варианта записи уравнения баланса плотности кинетической энергии (7) и (11), получим T = g-1 - T . (13) Тензор вязких напряжений определяется как T = 2D. Здесь D 4-мерный тензор скоростей деформации. Величина = -g-1 0 называется коэффици- ентом динамической вязкости. Первое слагаемое в правой части (13) обычно 193 М. Ю. Б е л е в и ч записывается в виде g-1 = g-1 0 I = -pI, а множитель p -g-1 0 называется давлением. Таким образом, вид 4-мерного тензора напряжений T, записанно- го в терминах давления и тензора скоростей деформации, согласуется с его 3-мерным аналогом T = -pI + 2D. Если пренебречь тензором вязких напря- жений, получим модель идеальной жидкости, в противном случае модель вязкой жидкости. Уравнение баланса внутренней энергии. Слагаемое div в правой ча- сти уравнения (12) описывает перенос плотности внутренней энергии тепло- проводностью. Соответствующая корреляция обычно записывается в терми- нах градиента удельной плотности внутренней энергии = g-1( ). То же в случае ортогонального базиса выглядит так: = -k , где k = -g-1 0 . Таким образом, рассматриваемое слагаемое теперь имеет вид div = div g-1( ) или div = -div (k ), если базис ортогонален. Множи- тель k называется коэффициентом температуропроводности. В простейшем случае тензор напряжений T = g-1. Уравнение баланса внутренней энергии (12) в случае идеальной жидкости имеет вид dt = = -dt -div . Полагая g = g0I и вводя обозначение e = g-1 0 для удельной плотности внутренней энергии, получим уравнение dte = dtp + div (k e) . (14) В более общем случае T = g-1 + 2D, и если g = g0I, получим анало- гичное уравнение dte = dtp - div (2Dv) + 2D : D + div (k e) . (15) 3. Сравнение со стандартной моделью жидкости. В стандартной гидроме- ханике закон сохранения полной энергии постулат. Изначально он форму- лируется в рамках равновесной термодинамики и его использование в рамках нестационарной модели среды возможно, если выполняется гипотеза локаль- ного термодинамического равновесия. Понятие равновесия требует введения функции состояния T температуры. Утверждается, что две термодинами- ческие системы находятся в равновесии, если их температуры равны. В рассмотренной причинно обусловленной модели потребность в класси- ческой термодинамике и гипотезе равновесия отсутствует. Это связано с тем, что закон сохранения полной энергии в причинной модели является теоремой, следующей из сохранения массы. При этом причинно обусловленное урав- нение баланса внутренней энергии отличается от классического. Сравнение стандартного уравнения с классическим пределом (c ) соответствую- щего причинного уравнения показывает, в чем состоит принятие гипотезы локального равновесия. Определение температуры. Дадим определение температуры T, приме- нимое в общем неравновесном случае. Разумно выбрать его таким, чтобы справедливыми оставались известные результаты. Определим температуру T с помощью соотношения de = cpdT, где множитель cp называется удельной теплоёмкостью среды при постоян- ном давлении. Подставив это выражение в уравнение (15), получим 4-мерное 194 Термодинамика вязкой жидкости с точки зрения наблюдателя уравнение теплопроводности движущейся среды cpdtT = dtp - div (2Dv) + 2D : D + div ( T) . Оно является гиперболическим и было предложено в [7]. Здесь kcp коэффициент теплопроводности. Локальное равновесие в жидкости. Стандартное уравнение баланса удель- ной внутренней энергии e3 идеальной жидкости без учёта внешних источни- ков записывается в виде dte3 = p3 dt. Соответствующее причинное уравнение (14) в классическом пределе (c ) таково: dte3 = dtp3 dte3 = p3 dt + dt p3 . Здесь введены обозначения e3 = limc e и p3 = limc p. Легко видеть, что оба уравнения совпадают, если dt p3 = 0. Это равенство следует рассматривать как математическое выражение ги- потезы локального равновесия в идеальной жидкости. Действительно, для уравнения состояния p3 = RT, где R универсальная газовая постоянная, отношение p3 равно RT и из dt p3 = 0 следует T = const. В случае вязкой жидкости аналогичными рассуждениями получим равен- ство dt p3 - div (2D3v) = 0, означающее выполнение условия локального равновесия в вязкой жидкости. Диссипация кинетической энергии. В стандартной теории слагаемое diss3 2D3 : D3, описывающее диссипацию кинетической энергии, знакопостоянно. В причин- ной модели жидкости знак аналогичного слагаемого diss = 2D : D определяется соотношением, связывающим 3-мерную скорость v3 и скорость сигнала. Можно показать (детали см. в [5]), что если |v3|2 < c2, то плотность диссипации будет положительна. Скорость изменения кинетической энергии сечения мировой трубки имеет вид dt(g-1 0 K) = - V (Bt) dtpdV - Diss, где Diss = V (Bt) diss dV 195 М. Ю. Б е л е в и ч потери кинетической энергии за счёт диссипации. Величина g-1 0 K кине- тическая энергия тела, имеющая обычную физическую размерность. Первое слагаемое в правой части уравнения (16) описывает изменение K за счёт сжимаемости среды, а второе слагаемое диссипацию кинетической энер- гии сечения. Поскольку часть слагаемых в диссипации отрицательны, в некоторых специальных случаях диссипация может восприниматься как антидиссипация . Интерпретация подобных случаев дана ниже. 4. Второй закон термодинамики в общем случае. Определение энтропии. Дадим для общего неравновесного случая опре- деление плотности энтропии s, которое не требует допущения локального термодинамического равновесия. По аналогии с уравнением Гиббса (см., на- пример, [9]) определим плотность энтропии s с помощью соотношения Tdt s dte - dtp. В случае локального равновесия dt p3 = 0 оно совпадает со стандартным опре- делением и для идеальной жидкости равно нулю. Для вязкой жидкости урав- нение баланса плотности внутренней энергии даёт уравнение баланса энтро- пии Tdt s = -div (2D (g(v))) + diss. Второй закон термодинамики. Легко показать, что знак скорости изме- нения энтропии dtS определяется знаком скалярного произведения D : D. В стандартной гидромеханике, как и в причинной теории при c , выпол- няется второй закон термодинамики и имеет место неравенство Клаузиуса dtS > 0. В общем же причинном случае имеются две возможности: кроме указанной стандартной возможности имеется и нестандартная второй за- кон не выполняется. Для того чтобы выяснить смысл этих двух возможностей, рассмотрим частный случай v = (ic, u,0,0), c = const. Можно показать, что необходимым условием выполнения второго закона термодинамики здесь является нера- венство c2 > 1 2 tu xu 2 . Если это неравенство выполняется, реализуется стандартная возможность: наблюдается выполнение второго закона термодинамики, уменьшение кине- тической энергии за счёт диссипации и возрастание энтропии в замкнутой системе. В противном случае сигнал оказывается слишком медленным и на- блюдения будут рисовать ошибочную картину явления, которая заключается в невыполнении второго закона термодинамики и в поведении диссипатив- ного слагаемого: оно ведет себя как антидиссипация и приводит к росту кинетической энергии. Всё это говорит о том, что используемый сигнал не подходит для проведения наблюдений и должен быть заменён на более быст- рый. 196 Термодинамика вязкой жидкости с точки зрения наблюдателя 5. Заключительные замечания. Общая схема рассуждений. Ключевой момент данного исследования со- стоит в замене постулата (закона сохранения энергии) теоремой с тем же названием. В этом случае, кроме выбора метрики, никаких дополнительных предположений делать не требуется. Для того чтобы сформулировать и дока- зать указанную теорему, необходимо рассмотреть 4-мерное пространство со- бытий W и определить в нём метрический тензор g исходя из условия || = 1. При этом плотность энергии оказывается пропорциональной плотности мас- сы тела. Такая метрика может быть построена с помощью дополнительной степени свободы c скорости сигнала, используемого для наблюдений. Ско- рость сигнала ограничивает допустимые скорости наблюдаемых объектов. Можно показать (см. [4]), что наблюдение даёт правильное значение ско- рости движущегося объекта тогда и только тогда, когда скорость сигнала превосходит скорость объекта. Второй закон термодинамики и численная неустойчивость. Вывод о том, что при недостаточно высокой скорости сигнала наблюдается искаженная картина явления, непосредственно проверить не удается, поскольку отсут- ствуют соответствующие эксперименты. Однако косвенная проверка возмож- на. Речь идет о численном (здесь конечно-разностном) решении уравнений модели. При численном рассмотрении соответствующих задач сплошная сре- да заменяется набором узлов пространственно-временной сетки. Скорости ис- пользуемых сигналов могут меняться в широком диапазоне от конечных, рав- ных отношению шагов сетки (явные модели), до бесконечных (неявные мо- дели). Анализ устойчивости таких моделей (см., например, [10]) показывает, что если скорость сигнала выбрана слишком малой (меньшей, чем возможная скорость движения среды), вычисления (здесь они играют роль наблюдений) дадут неверную картину движения жидкости. Решение уравнений модели с помощью явных численных алгоритмов подобно реальным наблюдениям дви- жения жидкости, тогда как неявные алгоритмы с их бесконечной скоростью сигнала соответствуют стандартной механике жидкости. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. I. Muller, T. Ruggeri, Extended thermodynamics / Springer Tracts in Natural Philosophy. Vol. 37. New York: Springer-Verlag, 1993. xii+230 pp. 2. D. Jou, J. Casas-Vazquez, G. Lebon, Extended irreversible thermodynamics // Rep. Prog. Phys., 1988. Vol. 51, no. 8. Pp. 1105-1179. 3. D. Jou, J. Casas-Vazquez, G. Lebon, Extended irreversible thermodynamics revisited (1988-98) // Rep. Prog. Phys., 1999. Vol. 62, no. 7. Pp. 1035-1142. 4. M. Belevich, Causal description of non-relativistic dissipative fluid motion // Acta Mech., 2003. Vol. 161, no. 1-2. Pp. 65-80. 5. M. Belevich., Relationship between standard and causal fluid models // Acta Mech., 2005. Vol. 180, no. 1-4. Pp. 83-106. 6. M. Belevich, Non-relativistic abstract continuum mechanics and its possible physical interpretations // J. Phys. A, Math. Theor., 2008. Vol. 41, no. 4, 045401. 19 pp. 7. M. Belevich, Causal description of heat and mass transfer // J. Phys. A, Math. Gen., 2004. Vol. 37, no. 8. Pp. 3053-3069. 8. M. Belevich, On the continuity equation // J. Phys. A, Math. Theor., 2009. Vol. 42, no. 37, 375502. 13 pp. 9. I. Gyarmati, Non-equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles. New York: Springer, 1970. 197 М. Ю. Б е л е в и ч 10. P. J. Roach, Computational Fluid Dynamics. Albuquerque, N.M.: Hermosa Publishers, 1976. vii+446 pp. Поступила в редакцию 01/X/2012; в окончательном варианте 12/I/2013. MSC: 76A02 THERMODYNAMICS OF THE VISCOUS FLUID FROM AN OBSERVER'S VIEWPOINT M. Yu. Belevich St. Petersburg Branch of P. P. Shirshov Institute of Oceanology of RAS, 30, 1 liniya st., St. Petersburg, 199053, Russia. E-mail: mbelevich@yahoo.com The development of the non-equilibrium thermodynamics of the viscous fluid not using the local thermodynamic equilibrium hypothesis is considered. The theory is based on the causal mechanics of the heat conducting continuum, which includes the 1st law of thermodynamics as a theorem. The conditions of applicability of the 2nd law of thermodynamics and the dissipation of the kinetic energy problem are discussed. Main conclusions are illustrated using the example from the numerical analysis. Key words: non-equilibrium thermodynamics, fluid mechanics, conservation laws, causality. Original article submitted 01/X/2012; revision submitted 12/I/2013. Michael Yu. Belevich (Ph. D. (Phys. & Math.)), Leading Research Associate, Lab. of Geo- physical Boundary Layers.

About the authors

Mikhail Yur'evich Belevich

St-Petersburg Branch of P. P. Shirshov institute of Oceanology of RAS

Email: mbelevich@yahoo.com

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. I. Müller, T. Ruggeri, Extended thermodynamics, Springer Tracts in Natural Philosophy, 37, Springer-Verlag, New York, 1993, xii+230 pp.
  2. D. Jou, J. Casas-Vazquez, G. Lebon, "Extended irreversible thermodynamics", Rep. Prog. Phys., 51:8 (1988), 1105-1179
  3. D. Jou, J. Casas-Vazquez, G. Lebon, "Extended irreversible thermodynamics revisited (1988-98)", Rep. Prog. Phys., 62:7 (1999), 1035-1142
  4. M. Belevich, "Causal description of non-relativistic dissipative fluid motion", Acta Mech., 161:1-2 (2003), 65-80
  5. M. Belevich., "Relationship between standard and causal fluid models", Acta Mech., 180:1-4 (2005), 83-106
  6. M. Belevich, "Non-relativistic abstract continuum mechanics and its possible physical interpretations", J. Phys. A, Math. Theor., 41:4 (2008), 045401, 19 pp.
  7. M. Belevich, "Causal description of heat and mass transfer", J. Phys. A, Math. Gen., 37:8 (2004), 3053-3069
  8. M. Belevich, "On the continuity equation", J. Phys. A, Math. Theor., 42:37 (2009), 375502, 13 pp.
  9. I. Gyarmati, Non-equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles, Springer, New York, 1970
  10. P. J. Roach, Computational Fluid Dynamics, Hermosa Publishers, Albuquerque, N.M., 1976, vii+446 pp.

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies