Plasticity condition related with level lines of strainstates surface, and features of its application in the idealplasticity theory

Abstract

The feature of solution formation of boundary valueproblems is considered in plane strain of ideal rigid-plastic bodywhen the plasticity condition is related with level lines ofstrain states surface of work-hardening incompressiblerigid-plastic body.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 199-206 УДК 539.379 УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ, СВЯЗАННОЕ С ЛИНИЯМИ УРОВНЯ ПОВЕРХНОСТИ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ, И ОСОБЕННОСТИ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ А. А. Буханько Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королeва (национальный исследовательский университет), 443086, Россия, Самара, Московское ш., 34. E-mail: abukhanko@mail.ru Рассматривается особенность построения решения краевых задач в теории плоской деформации идеального жёсткопластического тела при условии пла- стичности, связанном с линиями уровня поверхности деформационных состоя- ний упрочняющегося несжимаемого жёсткопластического тела. Ключевые слова: пластичность, поверхность деформационных состояний, жёсткопластическое тело. Введение. Традиционно приложением теории пластичности считаются за- дачи обработки материалов давлением. С другой стороны, приложение тео- рии пластического течения к задачам механики разрушения остается недо- статочно изученным. С точки зрения механики разрушения процесс разру- шения пластических тел состоит из двух этапов: достижения материалом предельного состояния (зарождение трещины) и образования новых свобод- ных поверхностей (распространение трещины) [1]. Если первый процесс обу- словлен рассеянием работы внутренних сил на пластических деформациях, связанных с упрочнением материала, вызывающих его повреждение, то вто- рой процесс происходит без упрочнения материала в связи с исчерпанием его пластических свойств. Условия второго этапа разрушения позволяют поста- вить задачу об определении пластического течения материала в условиях его предельного упрочнения при идеально пластических свойствах. 1. Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности де- формационных состояний. Если рассматривать несжимаемое упрочняющееся изотропное жёсткопластическое тело, то все его деформационные состояния будут лежать на гиперболической поверхности третьего порядка в простран- стве главных деформаций, рис. 1, а [2, 3]. Все деформационные процессы описываются линиями L на этой поверхности или их проекциями l на де- виаторной плоскости, рис. 1, б. Вид линий на поверхности зависит от исто- рии нагружения. В частности, ортогональным линиям будет соответствовать одноосное деформирование цилиндрического образца. Наиболее простой линией, характеризующей предельное состояние ма- териала, является сечение поверхности плоскостями, параллельными де- виаторной плоскости. Далее будем называть эти линии линиями уровня , рис. 1, б. Эти линии имеют вид замкнутого криволинейного треугольника с тремя осями симметрии [4-6]. Связь между поверхностью нагружения и предельным состоянием мате- Анастасия Андреевна Буханько (к.ф.-м.н., доцент), докторант, каф. высшей математики. 199 А. А. Б у х а н ь к о а б Рис. 1. Поверхности деформационных состояний и нагружения (а) и линии уровня (б) Рис. 2. Диаграмма нагружения для сплава ЭК79 Рис. 3. Проекции поверхности нагружения на девиаторную плоскость для сплава ЭК79 в пространстве главных напряжений 200 Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний . . . риала определяется гипотезой [7]: предельным состоянием материала счита- ется состояние исчерпания его пластических свойств, т.е. состояние предель- ного упрочнения. Предполагаем, что при определенном уровне деформирова- ния условие пластичности определяется формой линии уровня, размер кото- рой соответствует диаграмме нагружения для конкретного материала. Для того чтобы связать поверхность деформационных состояний и поверхность нагружения , необходимо перестроить диаграмму нагружения (см. рис. 2): предполагается использование гипотезы единой кривой, но построенной не в традиционных координатах интенсивностей касательных напряжений и де- формаций сдвига, а в виде зависимости текущего значения предела текучести S(IE), определяемого значением параметра упрочнения, который совпадает с модулем первого инварианта IE тензора конечных деформаций Альманси. Точке A предельного состояния материала на диаграмме нагружения соот- ветствует некоторая линия M на предельной поверхности или m на девиатор- ной плоскости. Причем, если материал монотонно однократно деформировал- ся, то положение предельной линии будет максимально удалено от точки O недеформированного состояния. Если же материал испытывал сложное на- гружение (включая циклическое с произвольной формой циклов), то линия предельного состояния примет другое положение, ближе к недеформирован- ному состоянию, согласно известной формуле Коффина Мэнсона [8]. Если рассматривать последовательность сечений поверхности деформа- ционных состояний плоскостями, параллельными девиаторной плоскости, то форма кривой текучести изменяется следующим образом: при приближении к недеформированному состоянию она будет стремиться к окружности, т.е. к условию пластичности Мизеса. При удалении от этой точки она будет при- нимать все более треугольнообразную форму, которая в пределе будет стре- миться к треугольнику. Переход с одной линии уровня на другую происходит при одной и той же мощности работы внутренних сил для всех ортогональ- ных процессов деформирования, которая совпадает с удельной мощностью работы внутренних сил при одноосном растяжении цилиндрического образ- ца. На рис. 3 представлены проекции поверхности нагружения на девиатор- ную плоскость для сплава ЭК79 в пространстве главных напряжений. Таким образом, при рассмотрении задач деформирования упрочняющего- ся жёсткопластического тела на каждом уровне деформаций для определения компонент тензора скорости деформации ij может быть поставлена задача теории идеальной пластичности при заданном параметре упрочнения, харак- теризующем положение поверхности нагружения. За параметр упрочнения выбирается модуль первого инварианта тензора конечных деформаций Аль- манси h = |IE|. 2. Формы записи условия пластичности. В работах [2, 3] уравнение линий уровня было представлено в виде системы уравнений, геометрически пред- ставляющей собой пересечение двух поверхностей: C1C2C3 = 1, H = 1