The energy levels and eigen wave functions of electrons in quantum rings in the magnetic field

Abstract


The solution of the eigenvalue problem for non interacting electrons of the quantum ring in the magnetic field is discussed. The potential shape of the quantum ring permitting analytical solution was proposed. The solution of the appropriate eigenvalue problem was found in the terms of the Heun functions and expression for the energy levels was obtained. It was pointed out that proposed potential might be considered as a single-well or double-well potential of concentric quantum rings.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 326-333 УДК 51:530.145 УРОВНИ ЭНЕРГИИ И СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ СИСТЕМ КВАНТОВЫХ КОЛЕЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Е. В. Антропова, А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов Обнинский институт атомной энергетики - филиал НИЯУ МИФИ (национальный исследовательский ядерный университет МИФИ ), Россия, 249040, Обнинск, ул. Студгородок, 1. E-mails: antrolen@yandex.ru, sandro185@mail.ru, fikarm@yandex.ru Предложен вид потенциала, создаваемого квантовым кольцом, для которого можно получить аналитическое решение стационарного уравнения Шрёдингера. Найдено решение соответствующей задачи на собственные значения в терми- нах функций Хойна. Получено выражение для энергетических уровней невзаимо- действующих электронов в квантовом кольце в присутствии магнитного поля. Рассмотрены возможные сферы применения данной модели. Ключевые слова: квантовое кольцо, магнитное поле, квазиточнорешаемые мо- дели квантовой механики. Введение. В связи с развитием электроники и нанотехнологий возрос ин- терес к моделированию квантовых низкоразмерных систем с целью их изу- чения и дальнейшего использования. Поскольку создаваемые на практике наноструктуры обладают очень широким многообразием форм и размеров, определить вид потенциала, ограничивающего движение в них заряженных частиц (электронов), чрезвычайно трудно, поэтому нужны математические модели, позволяющие получать точные (или почти точные) решения. Тогда, сравнивая результаты эксперимента и модельного расчета, можно получить значения параметров модельного потенциала для конкретных структур и применять их в дальнейшем. К числу почти точно или квазиточнорешаемых задач относятся такие за- дачи, в которых в явном замкнутом виде удается получить не весь спектр ис- следуемой системы, а только его некоторую часть [1]. Часто это выражается в том, что для исследуемого спектра системы получается некоторое рекур- рентное соотношение, позволяющее вычислить требуемый участок точно или асимптотически точно, решая численно некоторые трансцендентные уравне- ния. Точно решаемые модели в квантовой физике важны сами по себе как модели реальных систем. Эти модели позволяют провести проверку точности численных процедур решения соответствующих дифференциальных уравне- ний и качества используемых приближений. Кроме того, они важны для оценки вкладов и поправок, вносимых в процессе аналитических расчетов методами теории возмущений. В работах [2,3] предложены точно решаемые модели, которые могут быть использованы для изучения свойств квантовых колец и квантовых точек, находящихся в магнитном поле. В некоторых подходах к решению нестационарного уравнения Шрёдинге- ра требуется базис из собственных функций, являющихся решениями стаци- Елена Викторовна Антропова, магистрант, каф. общей и специльной физики. Александр Анатольевич Брызгалов, аспирант, каф. общей и специльной физики. Фёдор Иванович Карманов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. общей и специльной физики. 326 Уровни энергии и собственные волновые функции электронов . . . онарной задачи [4]. Однако существует не так много типов потенциалов, для которых можно получить аналитическое решение. В данной работе предла- гается следующая параметризация потенциала квантового кольца: V (r) = a-2 r2 + a-1 r + a1r + a2r2 + V0, (1) где a-2, a-1, a1, a2, V0 некоторые константы. 1. Постановка задачи. Рассматривается модель невзаимодействующих элек- тронов, движущихся в аксиально-симметричном квантовом кольце, характе- ризуемом внутренним и внешним радиусами R1 и R2, в присутствии посто- янного магнитного поля B, перпендикулярного плоскости кольца (рис. 1). Задана цилиндрическая система координат с началом отсчёта в центре коль- ца. Считается, что высота кольца достаточно мала, чтобы кольцо можно было считать плоским и не учитывать зависимость поля от переменной z. Ставится задача на собственные значения для стационарного уравнения Шрёдингера H(r, ) = E(r, ) (2) с гамильтонианом следующего вида: H = 2 2 - 1 r r r r - 1 r2 2 2 - i qB + q2B2 4 2 r2 + V (r), где постоянная Планка, эффективная масса электрона, B индук- ция магнитного поля, V (r) модельный потенциал. -функция должна удо- влетворять граничным условиям для радиальной составляющей (0, ) = = (, ) = 0, условию периодичности (r, ) = (r, + 2) и условию Рис. 1. Модель квантового кольца 327 Е. В. А н т р о п о в а, А. А. Б р ы з г а л о в, Ф. И. К а р м а н о в нормировки (r, )|(r, ) = 2 0 0 (r, )(r, )rdrd = 1. 2. Переход к уравнению Хойна. Волновая функция ищется в виде про- изведения функции, зависящей от r, и фазового множителя, зависящего от угла : (r, ) = eim f(r)/

About the authors

Elena Viktorovna Antropova

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: antrolen@yandex.ru

Alexander Anatolievich Bryzgalov

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: sandro185@mail.ru

Fedor Ivanovich Karmanov

Obninsk Institute for Nuclear Power Engineering of the National Research Nuclear University MEPhI

Email: fikarm@yandex.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. А. Г. Ушверидзе, "Квазиточнорешаемые модели квантовой механики", Физика элементарных частиц и атомного ядра, 20:5 (1989), 1185-1245
  2. W.-C. Tan, J. C. Inkson, "Electron states in a two-dimensional ring — an exactly soluble model", Semicond. Sci. Technol., 11:11 (1996), 1635-1641
  3. H. A. Mavromatis, "Generalization of Casas-Plastino potentials to three dimensions", Amer. J. Phys., 68:3 (2000), 287-288
  4. А. А. Брызгалов, Ф. И. Карманов, "Метод расщепления по физическим факторам в задаче о временной динамике волновых функций электронов двумерного квантового кольца", Матем. моделирование, 22:6 (2010), 15-26
  5. S. Yu. Slavyanov, W. Lay, Special functions. A unified theory based on singularities., Oxford University Press, New York, 2000, xvi+293 pp.
  6. E. R. Arriola, J. S. Dehesa, A. Zarzo, "Spectral properties of the biconfluent Heun differential equation", J. Comput. Appl. Math., 37:1-3 (1991), 161-169
  7. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров, Специальные функции математической физики, Наука, М., 1984, 344 с.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies