Phase space curvature

Abstract

Electromagnetic field in classical and quantum mechanics is naturally representedby geometry of extended phase space, with extra coordinates of time and canonically conjugate momentum$p_0=-E$.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 361-368 УДК 514.84 КРИВИЗНА ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА М. Г. Иванов Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия, 141700, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, 9. E-mail: ivanov.mg@mipt.ru Показывается, что электромагнитное поле в классической и квантовой механи- ке естественным образом описывается через геометрию расширенного фазового пространства, в число координат которого входят время и сопряжённый ему импульс p0 = -E. Ключевые слова: фазовое пространство, квантовая механика, калибровочная симметрия, кривизна, некоммутативная геометрия. Введение. Квантовое коммутационное соотношение между координатой и сопряжённым импульсом имеет вид [ ^Q, ^P] = i , оно часто переписывается через операторы конечных сдвигов по координате и импульсу [1, 2]: ^U(u) = e- iu ^P , ^U(u)(Q) = (Q - u), ^U(u)(P) = e- iuP (P), (1) ^V (v) = e- iv ^Q , ^V (v)(Q) = e- ivQ (Q), ^V (v)(P) = (P + v). (2) Коммутационное соотношение записывается в виде группового коммутатора ^U(u) ^V (v) ^U-1 (u) ^V -1 (v) = ^U(u) ^V (v) ^U(-u) ^V (-v) = e iuv . (3) Таким образом, последовательность сдвигов в фазовой плоскости (Q, P) по замкнутому прямоугольному контуру площади uv соответствует умноже- нию волновой функции на фазовый множитель e iuv . Это означает, что фа- зовой плоскости можно приписать постоянную кривизну в расслоении над группой U(1) аналогично кривизне, задаваемой в калибровочной U(1) тео- рии тензором электромагнитного поля. Можно связать между собой две хорошо разработанные области мате- матической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочных полей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединя- ются в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового простран- ства над группой U(1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом простран- стве [4]. Для частицы во внешнем электромагнитном поле характеристики поля уже не должны входить в гамильтониан, вместо этого в духе общей теории относительности (ОТО) заряженная частица свободно движется в искрив- лённом фазовом пространстве. Хотя исходная идея связана с квантовыми коммутационными соотноше- ниями, подобная переформулировка возможна как для классической, так и для квантовой механики. Михаил Геннадьевич Иванов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теоретической физики. 361 М. Г. И в а н о в 1. Коммутаторы и скобки Пуассона. Пусть XK координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторов и классических скобок Пуассона имеем [ ^XK , ^XL ] = i JKL , {XK , XL } = JKL . В нашей интерпретации JKL тензор кривизны фазового пространства (над группой U(1)). В канонических координатах XQi = Qi , XPj = Pj, JQiPj = -JPj Qi = i j, JQiQj = JPiPj = 0. Переход от обобщённых импульсов P к кинематическим импульсам p позво- ляет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких ( новых канони- ческих ) координат x имеем xqi = qi = Qi , xpj = pj = Pj - e c Aj(Q), {xK , xL } = IKL , (4) Iqipj = -Ipjqi = i j, Iqiqj = 0, Ipipj = e c Fij = e c (iAj - jAi). (5) Симплектическая форма задаётся матрицей, обратной к матрице I, т. е. KLILM = M K . qipj = -pjqi = -i j, qiqj = e c Fij, pipj = 0. (6) В случае статических (не зависящих от времени) полей переход к новым каноническим координатам это всего лишь замена координат в фазовом пространстве, IKL это прежний тензор JKL в новых координатах, гамиль- тониан прежняя скалярная функции на фазовом пространстве, скобка Пуассона также остаётся прежней. Это автоматически доказывает (в силу произвольности выбора координат при тензорной записи скобки Пуассона), что и динамика системы остаётся прежней. Поскольку между старыми и новыми координатами есть взаимно одно- значное соответствие, мы будем нумеровать их одинаковыми индексами. Утверждение 1. Движение классической или квантовой заряженной ча- стицы во внешнем статическом магнитном поле H может быть описано гамильтонианом свободной частицы H = p2 2m , если на фазовом пространстве задана симплектическая форма вида (6), вклю- чающая в себя магнитное поле Fij = -eijkHk. Скобки Пуассона (классические или квантовые) задаются неканоническими соотношениями (5). Это опи- сание соответствует гамильтониану H = (P - e c A)2 2m 362 Кривизна фазового пространства с векторным потенциалом A (где H = rot A), не зависящим от времени, в неканонических координатах x (4). Похожий подход в рамках некоммутативной геометрии развивался Бел- лиссардом [3]. Чтобы в рамках данного подхода описать переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время x0 = = t и соответствующий времени обобщённый импульс p0 = -E как дополни- тельные координаты. 2. Лагранжев формализм в расширенном конфигурационном простран- стве. Пусть задан некий лагранжиан L(t, q, q), который явно зависит от вре- мени. Мы можем переписать неавтономную систему как автономную, записав время t как функцию от некоторого монотонного параметра : S[q(t)] = L(t, q, q) dt = L(t, q, q /t ) t d, q = dq dt , q = dq d . Мы получаем новый (расширенный) функционал действия Sр[t(), q()] с но- вым (расширенным) лагранжианом Lр, который для любой траектории сов- падает с исходным действием S[q(t)], но зависит от другого набора функций: Sр[t(), q()] = Lр(t, t , q, q ) d, Lр(t, t , q, q ) = L(t, q, q /t ) t . Легко проверить, что уравнения Эйлера для старого и расширенного лагран- жианов эквивалентны, причём pi = Lр qi = L qi , p0 = Lр t = L - L qi qi = -E. Уравнения Лагранжа для расширенного лагранжиана для координат q() и времени t() с точностью до множителя t совпадают с уравнениями Лагран- жа и уравнением баланса энергии для исходного лагранжиана Sр qi() = t S qi(t) = t L qi - dpi dt , Sр t() = t L t + dE dt . Энергия для расширенного лагранжиана тождественно равна нулю: E = p0t + piqi - Lр = t (p0 + E) 0. Расширенное действие описывает ту же физическую систему, что и ис- ходное, но поскольку выбор параметризации времени t() произволен (любая гладкая монотонная функция), уравнения Лагранжа оказываются зависимы- ми (уравнение баланса энергии выражается через остальные уравнения). 3. Гамильтонов формализм в расширенном фазовом пространстве. Для расширенного фазового пространства перейдём к гамильтоновому форма- лизму. Соответствующее преобразование Лежандра оказывается неоднознач- ным. Энергию для расширенного лагранжиана надо выразить через коор- динаты и импульсы (включая t и p0): E = t p0 + qi pi - Lр = t (p0 + pi qi - L) = t (p0 + H(t, p, q)), 363 М. Г. И в а н о в t не может быть определено из уравнений Лагранжа. Положим t = f(t, p0, q, p), где f = 0 произвольная гладкая функция. Получается гамильтониан H(t, p0, q, p) = f(t, p0, q, p) · (p0 + H(t, q, p)). (7) Соответствующие уравнения Гамильтона ( расширенные уравнения Гамиль- тона ) имеют вид dt d = H p0 = f + f p0 (p0 + H), dp0 d = - H t = -f H t - f t (p0 + H), dqi d = H pi = f H pi + f pi (p0 + H), dpi d = - H qi = -f H qi - f qi (p0 + H). На энергетической поверхности , т. е. если задать начальные условия, для которых p0 = -H, расширенные уравнения Гамильтона дают уравнение хода времени dt d = f, уравнение баланса энергии и уравнения Гамильтона для исходных координат и импульсов с новым временем . При этом воспро- изводится гамильтонова динамика исходной системы. Если f = const = 0, то для любых начальных условий воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы, при этом d dt (p0 + H) = 0, т. е. начальное значение p0 может быть произвольным и энергия E = -p0 оказывается определена с точностью до произвольного постоянного слагае- мого. Можно сказать, что в этом случае интеграл движения p0 + H(t, q, p) нулевой уровень энергии, который может быть выставлен произвольно. Утверждение 2. Движение классической заряженной частицы во внеш- нем электромагнитном поле Fij может быть описано гамильтонианом (7) свободной частицы H = f · (p0 + p2 2m ), если на расширенном фазовом пространстве (включающем время и энер- гию) задана симплектическая форма (6), включающая электромагнитное поле Fij. Описание соответствует гамильтониану H = f · P0 - e c A0 + (P - e c A)2 2m с потенциалом Ai = (A0, A) в неканонических координатах x (4) на расши- ренном фазовом пространстве. 4. Квантовая механика с расширенным гамильтонианом. В квантовом слу- чае импульс в координатном по времени представлении ^p0 = -i t . При f = 1 имеем ^H = ^p0 + ^H, (8) 364 Кривизна фазового пространства что даёт обычное уравнение Шрёдингера: ^H = 0 -i t + ^H (t) = 0. (9) При ином выборе функции f = const мы можем также воспроизвести уравнение Клейна Фока Гордона: H = f · (p0 + H), f = p0 - H, H = m2c4 + p2c2, H = p2 0 - H2 = p2 0 - p2 c2 - m2 c4 , ^H = c2 2 - 1 c2 t2 - m2 c4 . Вернёмся, однако, к случаю f = 1 как простейшему и, вероятно, наиболее фундаментальному. В энергетическом (импульсном по времени) представлении p0 = -E, и мы получаем стандартное стационарное уравнение Шрёдингера -E + ^H (E) = 0 с нормировкой на вероятность данной энергии (E)|(E) = pE и нестан- дартной интерпретацией: (t) и (E) связаны между собой преобразованием Фурье. Несмотря на то, что в расширенный классический гамильтониан время входит на общих основаниях с другими координатами, в квантовой механике между ними возникает различие за счёт определения пространства волновых функций, которые не являются квадратично интегрируемыми по времени. Уравнение (9) имеет вид уравнения на собственную функцию оператора ^H с собственным числом 0. Мы можем написать аналогичное уравнение для произвольного собственного числа E0 R: ^HE0 = E0 -i t + ^H E0 (t) = E0. (10) Уравнения (10) описывает ту же самую динамику, что и уравнение (9), но с нулевым уровнем энергии, сдвинутым на E0. Решения этих уравнений отли- чаются на фазовый множитель E0 (t) = ei E0 t (t). Ненормируемость волновых функций E0 при интегрировании по всем коор- динатам, включая время, связана с тем, что функции относятся к непрерыв- ному спектру. В стандартной формулировке квантовой механики, где время рассматривается не как координата, а как параметр, естественное простран- ство волновых функций гильбертово пространство L2(Rn), при включении времени в число координат волновая функция должна принадлежать осна- щённому расширенному гильбертовому пространству L2(Rn+1) . Утверждение 3. Движение квантовой заряженной частицы во внеш- нем электромагнитном поле Fij может быть описано волновой функцией из оснащённого расширенного гильбертова пространства L2(R4) , 365 М. Г. И в а н о в которая является собственной функцией непрерывного спектра гамильто- ниана (8) свободной частицы ^H = ^p0 + ^p2 2m для произвольного собственного числа. Квантовые скобки Пуассона задают- ся неканоническими соотношениями (5), включающими электромагнитное поле Fij. Это описание соответствует стандартному временному уравне- нию Шрёдингера с гамильтонианом ^H = - e c A0 + (^P - e c A)2 2m , с потенциалом Ai = (A0, A) (где Fij = iAj -jAi) в неканонических коорди- натах на расширенном фазовом пространстве x (4) и с волновой функцией (t, r) которая рассматривается не как функция t L2(R3), а как элемент пространства L2(R4) . 5. Пространство волновых функций. Однако пока волновые функции по-прежнему функции на конфигурационном пространстве, хотя и расши- ренном. Чтобы получить функции, зависящие как от координат (включая t), так и от импульсов (включая p0 = -E), воспользуемся представлением вол- новых функций как элементов оснащённого пространства Фока. Далее будем считать, что координаты и импульсы обезразмерены. Когерентное состояние z (где z = q0+ip0