Phase space curvature

Abstract


Electromagnetic field in classical and quantum mechanics is naturally representedby geometry of extended phase space, with extra coordinates of time and canonically conjugate momentum$p_0=-E$.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 361-368 УДК 514.84 КРИВИЗНА ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА М. Г. Иванов Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия, 141700, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, 9. E-mail: ivanov.mg@mipt.ru Показывается, что электромагнитное поле в классической и квантовой механи- ке естественным образом описывается через геометрию расширенного фазового пространства, в число координат которого входят время и сопряжённый ему импульс p0 = -E. Ключевые слова: фазовое пространство, квантовая механика, калибровочная симметрия, кривизна, некоммутативная геометрия. Введение. Квантовое коммутационное соотношение между координатой и сопряжённым импульсом имеет вид [ ^Q, ^P] = i , оно часто переписывается через операторы конечных сдвигов по координате и импульсу [1,2]: ^U(u) = e- iu ^P , ^U(u)(Q) = (Q - u), ^U(u)(P) = e- iuP (P), (1) ^V (v) = e- iv ^Q , ^V (v)(Q) = e- ivQ (Q), ^V (v)(P) = (P + v). (2) Коммутационное соотношение записывается в виде группового коммутатора ^U(u) ^V (v) ^U-1 (u) ^V -1 (v) = ^U(u) ^V (v) ^U(-u) ^V (-v) = e iuv . (3) Таким образом, последовательность сдвигов в фазовой плоскости (Q, P) по замкнутому прямоугольному контуру площади uv соответствует умноже- нию волновой функции на фазовый множитель e iuv . Это означает, что фа- зовой плоскости можно приписать постоянную кривизну в расслоении над группой U(1) аналогично кривизне, задаваемой в калибровочной U(1) тео- рии тензором электромагнитного поля. Можно связать между собой две хорошо разработанные области мате- матической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочных полей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединя- ются в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового простран- ства над группой U(1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом простран- стве [4]. Для частицы во внешнем электромагнитном поле характеристики поля уже не должны входить в гамильтониан, вместо этого в духе общей теории относительности (ОТО) заряженная частица свободно движется в искрив- лённом фазовом пространстве. Хотя исходная идея связана с квантовыми коммутационными соотноше- ниями, подобная переформулировка возможна как для классической, так и для квантовой механики. Михаил Геннадьевич Иванов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теоретической физики. 361 М. Г. И в а н о в 1. Коммутаторы и скобки Пуассона. Пусть XK координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторов и классических скобок Пуассона имеем [ ^XK , ^XL ] = i JKL , {XK , XL } = JKL . В нашей интерпретации JKL тензор кривизны фазового пространства (над группой U(1)). В канонических координатах XQi = Qi , XPj = Pj, JQiPj = -JPj Qi = i j, JQiQj = JPiPj = 0. Переход от обобщённых импульсов P к кинематическим импульсам p позво- ляет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких ( новых канони- ческих ) координат x имеем xqi = qi = Qi , xpj = pj = Pj - e c Aj(Q), {xK , xL } = IKL , (4) Iqipj = -Ipjqi = i j, Iqiqj = 0, Ipipj = e c Fij = e c (iAj - jAi). (5) Симплектическая форма задаётся матрицей, обратной к матрице I, т. е. KLILM = M K . qipj = -pjqi = -i j, qiqj = e c Fij, pipj = 0. (6) В случае статических (не зависящих от времени) полей переход к новым каноническим координатам это всего лишь замена координат в фазовом пространстве, IKL это прежний тензор JKL в новых координатах, гамиль- тониан прежняя скалярная функции на фазовом пространстве, скобка Пуассона также остаётся прежней. Это автоматически доказывает (в силу произвольности выбора координат при тензорной записи скобки Пуассона), что и динамика системы остаётся прежней. Поскольку между старыми и новыми координатами есть взаимно одно- значное соответствие, мы будем нумеровать их одинаковыми индексами. Утверждение 1. Движение классической или квантовой заряженной ча- стицы во внешнем статическом магнитном поле H может быть описано гамильтонианом свободной частицы H = p2 2m , если на фазовом пространстве задана симплектическая форма вида (6), вклю- чающая в себя магнитное поле Fij = -eijkHk. Скобки Пуассона (классические или квантовые) задаются неканоническими соотношениями (5). Это опи- сание соответствует гамильтониану H = (P - e c A)2 2m 362 Кривизна фазового пространства с векторным потенциалом A (где H = rot A), не зависящим от времени, в неканонических координатах x (4). Похожий подход в рамках некоммутативной геометрии развивался Бел- лиссардом [3]. Чтобы в рамках данного подхода описать переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время x0 = = t и соответствующий времени обобщённый импульс p0 = -E как дополни- тельные координаты. 2. Лагранжев формализм в расширенном конфигурационном простран- стве. Пусть задан некий лагранжиан L(t, q, q), который явно зависит от вре- мени. Мы можем переписать неавтономную систему как автономную, записав время t как функцию от некоторого монотонного параметра : S[q(t)] = L(t, q, q) dt = L(t, q, q /t ) t d, q = dq dt , q = dq d . Мы получаем новый (расширенный) функционал действия Sр[t(), q()] с но- вым (расширенным) лагранжианом Lр, который для любой траектории сов- падает с исходным действием S[q(t)], но зависит от другого набора функций: Sр[t(), q()] = Lр(t, t , q, q ) d, Lр(t, t , q, q ) = L(t, q, q /t ) t . Легко проверить, что уравнения Эйлера для старого и расширенного лагран- жианов эквивалентны, причём pi = Lр qi = L qi , p0 = Lр t = L - L qi qi = -E. Уравнения Лагранжа для расширенного лагранжиана для координат q() и времени t() с точностью до множителя t совпадают с уравнениями Лагран- жа и уравнением баланса энергии для исходного лагранжиана Sр qi() = t S qi(t) = t L qi - dpi dt , Sр t() = t L t + dE dt . Энергия для расширенного лагранжиана тождественно равна нулю: E = p0t + piqi - Lр = t (p0 + E) 0. Расширенное действие описывает ту же физическую систему, что и ис- ходное, но поскольку выбор параметризации времени t() произволен (любая гладкая монотонная функция), уравнения Лагранжа оказываются зависимы- ми (уравнение баланса энергии выражается через остальные уравнения). 3. Гамильтонов формализм в расширенном фазовом пространстве. Для расширенного фазового пространства перейдём к гамильтоновому форма- лизму. Соответствующее преобразование Лежандра оказывается неоднознач- ным. Энергию для расширенного лагранжиана надо выразить через коор- динаты и импульсы (включая t и p0): E = t p0 + qi pi - Lр = t (p0 + pi qi - L) = t (p0 + H(t, p, q)), 363 М. Г. И в а н о в t не может быть определено из уравнений Лагранжа. Положим t = f(t, p0, q, p), где f = 0 произвольная гладкая функция. Получается гамильтониан H(t, p0, q, p) = f(t, p0, q, p) · (p0 + H(t, q, p)). (7) Соответствующие уравнения Гамильтона ( расширенные уравнения Гамиль- тона ) имеют вид dt d = H p0 = f + f p0 (p0 + H), dp0 d = - H t = -f H t - f t (p0 + H), dqi d = H pi = f H pi + f pi (p0 + H), dpi d = - H qi = -f H qi - f qi (p0 + H). На энергетической поверхности , т. е. если задать начальные условия, для которых p0 = -H, расширенные уравнения Гамильтона дают уравнение хода времени dt d = f, уравнение баланса энергии и уравнения Гамильтона для исходных координат и импульсов с новым временем . При этом воспро- изводится гамильтонова динамика исходной системы. Если f = const = 0, то для любых начальных условий воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы, при этом d dt (p0 + H) = 0, т. е. начальное значение p0 может быть произвольным и энергия E = -p0 оказывается определена с точностью до произвольного постоянного слагае- мого. Можно сказать, что в этом случае интеграл движения p0 + H(t, q, p) нулевой уровень энергии, который может быть выставлен произвольно. Утверждение 2. Движение классической заряженной частицы во внеш- нем электромагнитном поле Fij может быть описано гамильтонианом (7) свободной частицы H = f · (p0 + p2 2m ), если на расширенном фазовом пространстве (включающем время и энер- гию) задана симплектическая форма (6), включающая электромагнитное поле Fij. Описание соответствует гамильтониану H = f · P0 - e c A0 + (P - e c A)2 2m с потенциалом Ai = (A0, A) в неканонических координатах x (4) на расши- ренном фазовом пространстве. 4. Квантовая механика с расширенным гамильтонианом. В квантовом слу- чае импульс в координатном по времени представлении ^p0 = -i t . При f = 1 имеем ^H = ^p0 + ^H, (8) 364 Кривизна фазового пространства что даёт обычное уравнение Шрёдингера: ^H = 0 -i t + ^H (t) = 0. (9) При ином выборе функции f = const мы можем также воспроизвести уравнение Клейна Фока Гордона: H = f · (p0 + H), f = p0 - H, H = m2c4 + p2c2, H = p2 0 - H2 = p2 0 - p2 c2 - m2 c4 , ^H = c2 2 - 1 c2 t2 - m2 c4 . Вернёмся, однако, к случаю f = 1 как простейшему и, вероятно, наиболее фундаментальному. В энергетическом (импульсном по времени) представлении p0 = -E, и мы получаем стандартное стационарное уравнение Шрёдингера -E + ^H (E) = 0 с нормировкой на вероятность данной энергии (E)|(E) = pE и нестан- дартной интерпретацией: (t) и (E) связаны между собой преобразованием Фурье. Несмотря на то, что в расширенный классический гамильтониан время входит на общих основаниях с другими координатами, в квантовой механике между ними возникает различие за счёт определения пространства волновых функций, которые не являются квадратично интегрируемыми по времени. Уравнение (9) имеет вид уравнения на собственную функцию оператора ^H с собственным числом 0. Мы можем написать аналогичное уравнение для произвольного собственного числа E0 R: ^HE0 = E0 -i t + ^H E0 (t) = E0. (10) Уравнения (10) описывает ту же самую динамику, что и уравнение (9), но с нулевым уровнем энергии, сдвинутым на E0. Решения этих уравнений отли- чаются на фазовый множитель E0 (t) = ei E0 t (t). Ненормируемость волновых функций E0 при интегрировании по всем коор- динатам, включая время, связана с тем, что функции относятся к непрерыв- ному спектру. В стандартной формулировке квантовой механики, где время рассматривается не как координата, а как параметр, естественное простран- ство волновых функций гильбертово пространство L2(Rn), при включении времени в число координат волновая функция должна принадлежать осна- щённому расширенному гильбертовому пространству L2(Rn+1) . Утверждение 3. Движение квантовой заряженной частицы во внеш- нем электромагнитном поле Fij может быть описано волновой функцией из оснащённого расширенного гильбертова пространства L2(R4) , 365 М. Г. И в а н о в которая является собственной функцией непрерывного спектра гамильто- ниана (8) свободной частицы ^H = ^p0 + ^p2 2m для произвольного собственного числа. Квантовые скобки Пуассона задают- ся неканоническими соотношениями (5), включающими электромагнитное поле Fij. Это описание соответствует стандартному временному уравне- нию Шрёдингера с гамильтонианом ^H = - e c A0 + (^P - e c A)2 2m , с потенциалом Ai = (A0, A) (где Fij = iAj -jAi) в неканонических коорди- натах на расширенном фазовом пространстве x (4) и с волновой функцией (t, r) которая рассматривается не как функция t L2(R3), а как элемент пространства L2(R4) . 5. Пространство волновых функций. Однако пока волновые функции по-прежнему функции на конфигурационном пространстве, хотя и расши- ренном. Чтобы получить функции, зависящие как от координат (включая t), так и от импульсов (включая p0 = -E), воспользуемся представлением вол- новых функций как элементов оснащённого пространства Фока. Далее будем считать, что координаты и импульсы обезразмерены. Когерентное состояние z (где z = q0+ip0

About the authors

Mikhail Gennadievich Ivanov

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: ivanov.mg@mipt.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, New York, 1931, 444 pp.
  2. Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Лекции по квантовой механике для студентов-математиков, РХД, М., Ижевск, 2001, 256 с.
  3. J. Bellissard, "Noncommutative Geometry of Aperiodic Solids", Geometric and Topological Methods for Quantum Field Theory (Villa de Leyva, 2001), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2003, 86-156
  4. J. M. Isidro, M. A. de Gosson, "A gauge theory of quantum mechanics", Mod. Phys. Lett. A., 22:3 (2007), 191-200
  5. М. Г. Иванов, Как понимать квантовую механику, РХД, М., Ижевск, 2012, 516 с.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies