High temperature heat kernel expansion and its applications

Abstract


The algorithm constructed to build the high-temperature heat kernel expansion and the statistic sum on the noncompact Lie groups manifolds is discussed in the article. The method is based on the formalism of non-commutative integration which originated from the coadjoint orbits' approach to the problems of integration and quantization. Applications of presented method to the problems of quantum statistic mechanics and quantum field theory are also discussed.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 369-378 УДК 51:530.145 ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В. В. Михеев Омский государственный технический университет, Россия, 644050, Омск, пр. Мира, 11. E-mail: vvm125@mail.ru Предложен алгоритм построения высокотемпературного разложения матрицы плотности и статистической суммы на многообразиях некомпактных групп Ли, основанный на формализме некоммутативного интегрирования дифферен- циальных уравнений, базирующемся на методе орбит коприсоединенного пред- ставления. Рассмотрены приложения построенного метода для решения задач квантовой статистической механики и квантовой теории поля. Ключевые слова: матрица плотности, статистическая сумма, функция рас- пределения, некоммутативное интегрирование, высокотемпературные асимп- тотики, эффективный лагранжиан. Введение. Настоящая работа посвящена решению основной задачи кван- товой статистической механики, иными словами, нахождению статистической суммы, стандартным образом определяемой как Z = n dn exp(-En), где = 1/kT термодинамическая температура системы, dn есть степень вы- рождения собственного значения гамильтониана En, соответствующего соб- ственной функции n, ^Hn = Enn, а под суммированием следует понимать в том числе и интегрирование, если спектр энергии является непрерывным [1]. Эквивалентным способом пред- ставления статистической суммы выступает след матрицы плотности (тепло- вого ядра) (x, x): Z = Tr(x, x) = (x, x)d(x), d(x) = |g|dx, (1) определяемой как (x, x ) = (x )exp(- ^H)(x), которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению Блоха (уравнению тепло- вого ядра) на однородном пространстве (x, x ) + H(x)(x, x ) = 0, (x, x )|=0 = (x, x ). (2) Таким образом, если есть возможность проинтегрировать уравнение Бло- ха для заданного однородного пространства и гамильтониана H(x) и найти Виталий Викторович Михеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. комплексной защиты инфор- мации. 369 В. В. М и х е е в матрицу плотности, то поставленная задача будет решена. Но попытка непо- средственного решения может быть связана с серьезными трудностями. Пер- вая из них состоит в собственно интегрировании, особенно в случае, когда пространство исходной задачи не покрывается одной картой и требуется про- водить процедуру сшивки решений в областях перекрывания карт атласа. Вторая трудность может быть связана с тем, что традиционно применяе- мый для интегрирования подобных уравнений метод разделения переменных едва ли может быть применен для (2) в силу начального условия специаль- ного вида [2-4]. Третья и, возможно, наиболее существенная проблема свя- зана с расходимостями в (1), вызванными формально бесконечным объемом некомпактного многообразия. Так, в настоящее время большинство резуль- татов в этой области получено или для компактных многообразий, или для многообразий конечного объема [5,17]. В силу указанных причин возрастает важность построения новых методов интегрирования уравнения (2), которые бы позволяли справляться с упомянутыми трудностями и находить матрицу плотности и статистическую сумму либо точно, либо в виде степенного ряда высокотемпературного приближения. В работе рассматривается основная проблема термодинамики однородных пространств для некомпактных групп Ли, во-первых, в качестве важного и иллюстративного примера, а во-вторых, в качестве первого шага для реше- ния задачи в случае произвольного однородного пространства. Необходимо подчеркнуть, что настоящая работа не претендует на охват всех возможных приложений разложения матрицы плотности и статистической суммы в фи- зических задачах, но демонстрирует важные случаи как примеры примене- ния предлагаемого в работе метода. 1. Интегрирование уравнения Блоха на группах Ли. Ниже будет в общих чертах дано описание метода некоммутативного интегрирования уравнения Блоха на группах Ли, содержащее сведения, необходимые для построения ря- да высокотемпературного разложения матрицы плотности и статистической суммы. Более строгое и последовательное изложение можно найти в цитиру- емой литературе. Рассмотрим уравнение (2) на n-мерной действительной связной группе Ли G, когда оператор H представляет собой квадратичную функцию лево- инвариантных векторных полей a = i a(x)i, i = 1, 2, . . . , n, на группе. Тогда можно считать, что H представляет собой оператор Лапласа Бельтрами на групповом пространстве с левоинвариантной римановой метрикой gij = Gab i a(x)j b (x), причём для постоянной матрицы Gab выполнено условие det = Gab > 0 и H(-i ) = - 2 Gab ab = - 2 = - 2 1 det gij i det gijgij pj. Такой вид оператора H соответствует газу свободных частиц в групповом пространстве. Решение уравнения (2) на произвольной некомпактной группе Ли бу- дет получено, с использованием формализма обобщённого Фурье-анализа на группах Ли, основанного на методе орбит [8,6]. 370 Высокотемпературное разложение матрицы плотности и его приложения Для этого введём специальное неприводимое представление алгебры Ли G группы G(так называемое -представление) на лагранжевом подмногооб- разии Q орбиты присоединенного представления O G: [li(q, q, ), lj(q, q, )] = Ck ijlk(q, q, ), где Ck ij структурные константы алгебры Ли G. Можно показать, что любое неприводимое представление алгебры Ли может быть получено как опреде- лённое -представление, заданное выбором линейного функционала G. Линейный функционал (j), где число параметров j равно числу функ- ций Казимира индексу алгебры Ли G. В силу этого мера d() представляет собой спектральную меру операторов Казимира на группе Ли [7]. Рассмотрим далее представление группы Ли G в функциональном про- странстве C(Q), действующее на функции из этого пространства следую- щим образом: T g (q) = D qq (g)(q )d(q ) (3) и являющееся поднятием -представления алгебры Ли li(q, q, ) = gi T g |g=e. (4) Здесь под g, g будем понимать элементы группы g, g G, ниже равноправ- но будут использоваться обозначения x, x , под которыми следует понимать координаты соответствующих элементов на групповом многообразии. Набор функций Dj qq (g), представляющий собой матричные элементы пред- ставления (3), может быть найден из системы уравнений i(g) + li(q , q, j) D qq (g) = 0, D qq (e) = (q, q ). Обобщённые функции D qq (g) осуществляют обобщенное Фурье-преобра- зование на группе Ли, решая задачу гармонического анализа [9] (g) = QQJ ^j(q, q )D qq (g) d(q)d(q )d(). (5) Таким образом, действие право- и левоинвариантных векторных полей на группе переходит на лагранжевом подмногообразии орбиты присоединённого представления в действие операторов -представления: i(g) li(q , q, ) ^j(q, q ); i(g) li(q, q, ) ^j(q, q ). После перехода с группового многообразия на лагранжево подмногообра- зие орбиты O задача сводится к нахождению матрицы плотности R(q, ~q, j), связанной с матрицей плотности (g, g ) на исходном пространстве преобра- зованием Фурье (5): (g, g ) = R(q, ~q, j)D q~q(g -1 g)d(q)d(~q)d(). (6) 371 В. В. М и х е е в Матрица плотности R(q, ~q, j) на орбите O подчиняется редуцированному уравнению Блоха с меньшим числом независимых переменных R(q, ~q, j) + H(-i l)R(q, ~q, j) = 0, R(q, ~q, j)|=0 = (q, ~q), (7) которое, как видно, интегрируется в квадратурах [10], если (dim G - ind G)/2 < 2. Из решения уравнения (7) можно получить статистическую сумму (фор- мально бесконечную) на некомпактной группе Ли, используя свойства набора функций D qq (g) Z = G d(g) QJ R(q, q, j)d(q)d() = = Vol(G) QJ R(q, q, j)d(q)d(). Здесь явно видна возможность осуществить факторизацию в выражении для статистической суммы членов, содержащих расходимости, связанные с беско- нечным объемом многообразия, перейдя в дальнейшем к конечной удельной (по объёму) статистической сумме [11,12] z = Z Vol(G) = R(q, q, j)d(q)d(). (8) 2. Высокотемпературное разложение матрицы плотности на группах Ли. Представление функции распределения и самой матрицы плотности в виде степенного ряда по переменной (так называемое высокотемпературное раз- ложение) представляет собой важную и, в общем случае, непростую задачу. Стандартным образом это разложение для произвольного однородного про- странства записывается в виде Z = Vol(M) (4)d/2 n=0 ann , где обратная термодинамическая температура. Для нахождения коэффициентов высокотемпературного разложения ста- тистической суммы на группах Ли представим решение уравнения Блоха в виде R(q, ~q, j) = exp i S(q, ~q, j) , где S(q, ~q, j) в общем случае комплексная функция. Применим к функции R(q, ~q, j) стандартное Фурье преобразование по переменной ~q: (q, p) = (q, ~q) exp ip~q d~q, 372 Высокотемпературное разложение матрицы плотности и его приложения (q, ~q) = 1 (2 )dim O/2 (q, p) exp - ipq dp, что даёт возможность перейти к рассмотрению функции R(q, p, j), которая также удовлетворяет уравнению теплового ядра R(q, p, j) + ^H -i l(q, q) R(q, p, j) = 0. Уравнение на функцию S(q, ~q, j) принимает вид i S(q, p, j) + exp - i S(q, p, j) ^H -i l(q, q) exp i S(q, p, j)) = 0 (9) с начальным условием S(q, p, j)|=0 = pq. Его решение также будем представлять в виде степенного ряда S(q, p, j) = n=0 Sn(q, p, j)n . (10) Здесь ^H -i l(q, q) дифференциальный оператор второго порядка, кото- рый может быть представлен в виде ^H -i l(q, q) = - 2 Gab la(q, q)lb(q, q) = = hab (q) 2 qaqb + ha (q) qa + h(q), (11) где коэффициенты hab, ha, h(q) могут быть выражены через операторы - представления (4). Выражение (11) может быть переписано, с использовани- ем стандартных для квантовой механики обозначений ^pa = i qa : ^H -i l(q, q) = Hab (q)^pa ^pa + Ha (q)^pa + H(q). Так что уравнение (9) перейдёт в i k=0 kSk(q, p, j)(k-1) + k=0 (k) (q, p, j)k = 0 с обозначением (k) (q, p, j) = -i Hab Sk,ab(q, p, j) + Hab k m=0 Sm,a(q, p, j)Sk-m,b(q, p, j)+ + Sa Sk,a(q, p, j) + H0 k. Это приводит к рекуррентным соотношениям для членов разложения Sk+1(q, p, j): Sk+1(q, p, j) = i k + 1 (k) (q, p, j). 373 В. В. М и х е е в Видно, что коэффициент, соответствующий первой степени параметра в раз- ложении (10), представляет собой H(q, p) qp-символ оператора ^H -i l(q, q) . Это автоматически приводит к известной формуле для первого порядка вы- сокотемпературного разложения функции распределения: z

About the authors

Vitaly Viktorovich Mikheyev

Omsk State Technical University

Email: vvm125@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. N. E. Hurt, Geometric quantization in action, Mathematics and Its Applications (East European Series), 8, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1983, xiv+336 pp.
  2. В. Н. Шаповалов, "Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка. I", Изв. вузов. Физика, 1978, № 5, 116-132
  3. В. Н. Шаповалов, "Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка. II", Изв. вузов. Физика, 1978, № 6, 7-10
  4. В. Н. Шаповалов, "Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка", Диффер. уравн., 16:10 (1980), 1864-1874
  5. D. V. Vassilevich, "Heat kernel expansion: user's manual", Phys. Rep., 338:5-6 (2003), 279-360
  6. А. В. Шаповалов, И. В. Широков, "Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений", ТМФ, 104:2 (1995), 195-213
  7. И. В. Широков, "Координаты Дарбу на -орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли", ТМФ, 123:3 (2000), 407-423
  8. А. А. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, М., 1978, 180 с.
  9. A. O. Barut, R. Razcka, Theory of group representations and applications. 2nd rev. ed., World Scientific, Singapore, 1986, xix+717 pp.
  10. С. П. Барановский, В. В. Михеев, И. В. Широков, "Квантовые гамильтоновы системы на K-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка", ТМФ, 129:1 (2001), 3-13
  11. V. Mikheyev., I. Shirokov, "Building of heat kernel on non-compact homogeneous spaces", EJTP, Electron. J. Theor. Phys., 3:13 (2006), 99-108
  12. В. В. Михеев, И. В. Широков, "Метод орбит коприсоединенного представления в термодинамике некомпактных групп Ли", Изв. вузов. Физика, 50:3 (2007), 84–89
  13. V. V. Mikheyev, I. V. Shirokov, "Application of coadjoint orbits in the thermodynamics of non-compact manifolds", EJTP, Electron. J. Theor. Phys., 2:7 (2005), 1-10
  14. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. В 10 томах, т. 5, Статистическая физика. Часть 1, Наука, М., 1995, 606 с.
  15. А. А. Гриб, С. Г. Мамаев, В. М. Мостепаненко, Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях, Энергоатомиздат, М., 1988, 288 с.
  16. N. D. Birrell, P. C. W. Davies, Quantum Fields in Curved Space. Corrected reprint of the 1982 original, Cambridge University Press, Cambridge, 1984, ix+340 pp.
  17. O. A. Chalykh, A. P. Veselov, "Integrability and Huygens' principle on symmetric spaces", Comm. Math. Phys., 178:2 (1996), 311-338

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies