Star product on the Lie coalgebra and its application for calculation of quantum integrals of motion

Abstract

The article gives an algorithm for constructing quantum integrals of motion on the basis of well-known classic integrals.To construct quantum integrals, we apply star product of the operators' symbols, which is used in the quantization theory.A non-trivial example of the Klein–Fock equation is considered on the four-dimensional Lie group.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 379-386 УДК 512.81+512.546.4 ЗВEЗДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ НА КОАЛГЕБРЕ ЛИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАНТОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ А. С. Попов, И. В. Широков Омский государственный технический университет, Россия, 644050, Омск, пр. Мира, 11. E-mails: anton_s_p@mail.ru, iv_shirokov@mail.ru Приводится алгоритм построения квантовых интегралов движения по извест- ным классическим. Для построения квантовых интегралов используется звёзд- ное произведение символов операторов, применяемое в теории квантования. Рассмотрен нетривиальный пример уравнения Клейна Фока на четырёхмерной группе Ли. Ключевые слова: звёздное произведение, группы Ли, алгебры Ли, квантование. Введение. При интегрировании уравнений квантовой механики методом разделения переменных становится актуальной задача поиска квантовых ин- тегралов движения, то есть операторов, коммутирующих с оператором Га- мильтона. Как известно, любому квантовому интегралу движения можно поставить в соответствие его классический аналог, являющийся интегралом движения соответствующей классической задачи. Обратное сопоставление связано с рядом математических трудностей, в частности, имеется известная проблема выбора упорядочения операторов, в особенности если классический интеграл движения не является полиномиальной функцией по импульсам . В настоящей работе мы используем символы операторов из универсальной обертывающей алгебры U(g), где g некоторая алгебра Ли. В статье приво- дится формула для вычисления звёздного произведения символов указанных операторов, использованного Ф. А. Березиным в работе [1], выраженная че- рез компоненты лево- и правоинвариантных полей соответствующей груп- пы Ли. Далее мы формулируем алгоритм построения квантовых интегралов движения по известным классическим интегралам гамильтоновой системы на коалгебре Ли g. 1. Символы операторов и их звёздное произведение. Пусть G связная и односвязная вещественная n-мерная группа Ли, g её алгебра Ли, базис- ные элементы которой {ei} удовлетворяют коммутационным соотношениям: [ei, ej] = Ck ijek. Пусть также задано представление ^T группы G в линейном пространстве H. Мы будем обозначать одной и той же буквой элемент группы t G, лежащий в окрестности единицы группы, и соответствующий набор его локальных координат t = (t1, . . . , tn) In (In n-мерный открытый куб), причём e = (0, . . . ,0). Линейные операторы ^Xj: ^Xj = i tj ^T(t) t=0 , j = 1, . . . , n = dim G, Антон Сергеевич Попов, магистрант, каф. комплексной защиты информации. Игорь Викторович Широков (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. комплексной защиты ин- формации. 379 А. С. П о п о в, И. В. Ш и р о к о в являются генераторами представления ^T группы G и образуют базис пред- ставления алгебры g в пространстве H со следующими коммутационными соотношениями: i [ ^Xj, ^Xk] = Cm jk ^Xm. (Здесь некоторый вещественный положительный параметр, в квантовой механике ему соответствует постоянная Планка). Взаимно однозначно поставим в соответствие каждому оператору ^Xj его символ Xj и распространим по линейности это соответствие на всю алгебру g: ^X = j ^Xj X = j Xj, j R. Продолжим эту операцию на обертывающую алгебру U(g), т. е. каждой опе- раторной функции f( ^X) U(g) поставим в соответствие полиномиальную функцию ~f(X) от символов Xj. Произведению двух операторов f1( ^X)f2( ^X) (как элементов ассоциативной алгебры U(g)) будет соответствовать так называемое звёздное произведение (star-product) [1] их символов: (f1f2)(X) = ~f1(X) ~f2(X). (1) Ясно, что соответствие между функциями от символов и операторными функ- циями неоднозначно. Например, функция X1X2 из C(g) может соответ- ствовать различным операторам ^X1 ^X2, ^X2 ^X1, ( ^X1 ^X2 + ^X2 ^X1)/2 и т. д. Для однозначности соответствия между символами и соответствующими опера- торами необходимо выбрать способ упорядочения. От выбора способа упоря- дочения зависит формула для звёздного умножения (1). Основной формулой, связывающей операторные функции f( ^X) и их сим- волы ~f(X), является следующее выражение: f( ^X) = 1 (2 )n e- itX ~f(X) ^T (t) dtdX. (2) Здесь dt = dt1 . . . dtn, dX = dX1 . . . dXn. Интегрирование по переменным Xi производится по всему пространству Rn, по переменным ti по открытому n-мерному кубу In, содержащему 0. Если группа G экспоненциальная, то In = Rn. Из формулы (2) можно вывести эквивалентную и заодно показать, что значение интеграла в правой части равенства (2) не зависит от выбора обла- сти In. Подставим произвольную полиномиальную функцию ~f(X) = k ak1...kn Xk1 1 . . . Xkn n в выражение (2) и при помощи несложных преобразований с использованием свойств дельта-функции получаем удобную формулу f( ^X) = ~f -i t ^T(t) t=0 . (3) 380 Звёздное произведение на коалгебре Ли . . . Из формулы (3) следует, что выбор локальных координат в окрестности единицы группы определяет способ упорядочения операторов в операторных функциях. По определению представления ^T(y) ^T (z) = ^T(x(y, z)), где x(y, z) функ- ция композиции (умножения) в группе Ли G в локальных координатах. Ис- пользуя формулу (2), а также определение звёздного произведения (1), учи- тывая, что функции ~f1(X), ~f2(X) полиномиальные и действуя так же, как и при выводе формулы (3), получим формулу для звёздного произведения: ~f1(X) ~f2(X) = ~f1(-i y) ~f2(-i z)e i x(y,z)X y=z=0 . (4) Введём на алгебре A скобку Пуассона: {(X), (X)}symb = i ((X) (X) - (X) (X)) , (X), (X) A. (5) Поскольку формула (4) для звёздного произведения зависит от выбранных в группе Ли локальных координат, каждому такому выбору координат соот- ветствует своя скобка Пуассона (5). Как мы покажем ниже, все различные скобки (5) являются деформациями скобки Ли Пуассона, т. е. {·, ·}symb {·, ·}Lie при 0, где { ~f1(X), ~f2(X)}Lie = Ck ijXk ~f1 Xi ~f2 Xj , f1, f2 C (g ). (6) Обозначим через , лево- и правоинвариантные векторные поля (генерато- ры правого и левого регулярного представления соответственно); , лево- и правоинвариантные 1-формы на группе G. Используя свойства функции композиции и лево- и правоинвариантные поля, перепишем формулу (4) в виде ~f1(X) ~f2(X) = ~f1 -i y + Xjj i (x(y, z))i (y) ~f2 -i z + Xjj i (x(y, z))i (z) · 1 y=z=0 , (7) где y, z координаты на группе. Из формулы (7) следует ~f1(X) ~f2(X) = ~f1(X) ~f2(X) - i ~f1 Xs ~f2 Xm Xj j m,s(0) + o( 2), ~f2(X) ~f1(X) = ~f1(X) ~f2(X) - i ~f1 Xs ~f2 Xm Xj j s,m(0) + o( 2). Здесь j m,s(0) j m(z)/zs при z = 0. Учёт равенства j m,s(0)-j s,m(0) = Ck sm и определения скобок Пуассона (6), (5) приводит к следующему соотношению: { ~f1(X), ~f2(X)}symb = { ~f1(X), ~f2(X)}Lie + o( ). (8) 2. Вычисление квантового интеграла движения. Рассмотрим классиче- скую гамильтонову систему в пространстве g, порожденную скобкой Пуас- сона Ли и полиномиальным гамильтонианом H(X) P(g): dX dt = {H(X), X}Lie , X g . (9) 381 А. С. П о п о в, И. В. Ш и р о к о в Пусть K(X) её интеграл движения, также полиномиальный по переменным X, т. е. {H(X), K(X)}Lie = 0. (10) Обозначим через H( ^X), K( ^X) гамильтониан квантовой системы и соот- ветствующий полиномиальный квантовый интеграл движения, т. е. полино- миальную операторную функцию такую, что [H( ^X), K( ^X)] = 0. Зафикси- руем определённый способ упорядочения операторов и будем считать, что функция ~H(X) = H(X) + H1(X) P(g ) является символом оператора H( ^X), тогда поиск квантового интеграла дви- жения, очевидно, эквивалентен поиску функции ~K(X) такой, что { ~H(X), ~K(X)}symb = 0. (11) Утверждение 1. Если существует полиномиальный квантовый инте- грал движения и классическая гамильтонова система (9) интегрируема в квадратурах, тогда задача построения символа квантового интеграла дви- жения решается в квадратурах. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу соотношения (8) введём для произвольных функций A(X), B(X) обозначение {A(X), B(X)}symb = {A(X), B(X)}Lie + (A, B), A(X), B(X) P(g ). Представим решение уравнения (11) в виде конечного ряда по степеням па- раметра : ~K(X) = j=0 j K(j) (X). Конечность этого ряда является следствием полиномиальности функции ~K(X). Введём обозначение Kj(X) = j i=0 i K(i) (X), K(0) (X) = K0(X) = K(X). Построим рекуррентную процедуру такую, что { ~H(X), Kj(X)}symb = j+1 j(X), j = 0, 1, . . . . Здесь j(X) полиномиальные функции по параметру и переменным X. Очевидно, что 0(X) = 1 { ~H, K}symb = ( ~H, K) + {H1, K}Lie . (12) В силу нашего предположения для некоторого n: n(X) = 0. Подставляя функцию ~K(X), представленную в виде ряда по степеням параметра , в 382 Звёздное произведение на коалгебре Ли . . . уравнение (11), получаем рекуррентные соотношения на функции K(j+1)(X), j+1(X): {H(X), K(j+1) (X)}Lie + j(X) = 0, j = 0, 1, . . . , (13) j+1 = -{H1, K(j+1) }Lie - ( ~H, K(j+1) ). (14) Уравнение (13) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции K(j+1)(X), задача интегрирования которого полностью эквивалентна задаче интегрирования классической гамильтоновой системе (9). Уравнение (14) яв- ляется определением функции j+1(X). Нетрудно также показать, что клас- сический интеграл движения продолжается до символа квантового интеграла при фиксированном правиле упорядочивания единственным способом. 3. Пример построения квантового интеграла движения для оператора Ла- пласа на четырёхмерной группе Ли с правоинвариантной метрикой. Пусть G четырёхмерная вещественная группа Ли, её алгебра Ли g имеет комму- тационные соотношения [e1, e4] = 2e1, [e2, e3] = e1, [e2, e4] = e3, [e3, e4] = -e2 + 2e3. Определим на группе G локальные координаты xa и в этих координатах вы- пишем право- и левоинвариантные векторные поля (a /xa): 1 = -1, 2 = -2, 3 = -3 + x21, 4 = -4 - x32 + (2x3 + x2)3 + (2x1 - x2 2/2 + x2 3/2)1; 1 = e-2x4 1, 2 = e-x4 (x43 + (1 + x4)2 - (1 + x4)x31), 3 = e-x4 (x42 - x3x41 + (1 - x4)3), 4 = 4. Выберем на группе G правоинвариантную метрику g(i, j) = gij, где g14 = g23 = 1, g22 = 2, а остальные матричные элементы постоянной мат- рицы gij равны нулю. Квадрат интервала ds2 для такой правоинвариантной метрики в локальных координатах на группе G будет иметь вид ds2 = 2dx1dx4 + 2(dx2)2 + 2dx2dx3 + 2x2dx2dx4+ + 2(x2 - x3)dx3dx4 + (4x1 + x2 2 + 2x2x3 - x3 3)(dx4)2 . (16) Исследуем проблему интегрируемости уравнений геодезических с метри- кой (16). Выпишем гамильтониан геодезического потока H(x, p) = 1 2 gab (x)papb = 1 2 gij a i (x)b jpapb = = X1(x, p) X4(x, p) + X2(x, p) X3(x, p) - X2 3 (x, p). (17) Здесь gij = (gij)-1, Xi(x, p) = a i (x)pa = p, i . Очевидно, что линейное пространство с базисными элементами Xi(x, p) образует алгебру Ли g с коммутационными соотношениями (15) относительно 383 А. С. П о п о в, И. В. Ш и р о к о в канонической скобки Пуассона, порождаемой симплектической формой dp = = dpa dxa на кокасательном расслоении TG. Левоинвариантные поля i являются векторами Киллинга для метрики (16) и линейная оболочка величин Yi(x, p) = i(x)apa = p, i образует ал- гебру g интегралов движения геодезического потока с гамильтонианом (17). Таким образом, мы имеем пятимерную алгебру интегралов движения ~g = = g {H}, являющуюся центральным расширением некоммутативной ал- гебры g с базисом {Yi} и одномерного центра {H}. Известно, что 2n-мерную гамильтонову систему с помощью некоммутативной алгебры независимых ин- тегралов движения ~g можно редуцировать к 2n -мерной гамильтоновой систе- ме [2], где n = n-(dim ~g+ind ~g)/2 (ind g размерность аннулятора ковектора общего положения: ind g = supg dim g). В нашем случае n = 4, dim ~g = 5, ind ~g = 1. Таким образом, получаем n = 1, т. е. для интегрируемости геоде- зического потока не хватает одного интеграла движения. Так как ind g = 0, т. е. алгебра инвариантных операторов ID(G) тривиаль- на, произвольную функцию от переменных (xa, pa) можно формально выра- зить как функцию от величин (Xi, Yi). В силу того что функции Yi(x, p) явля- ются интегралами движения и {Yi, Xj} = 0, а гамильтониан H(x, p) является квадратичной формой от величин Xi, дополнительный интеграл движения следует искать как функцию от переменных X. Иначе говоря, дополнитель- ный интеграл K(x, p) определяется функцией на коалгебре g такой, что {H(X), K(X)}Lie = 0, где H(X) = (H(x, p)), : TM g, (x, p) : Xi(x, p) = Xi отображение момента, K(x, p) = -1K(X) = K(X(x, p)). Для рассматриваемой метрики гамильтониана (16) H(X) = (H(x, p)) = X1X4 + X2X3 - X2 3 . Существует функция K(X), удовлетворяющая равенству (10): K(X) = X1X4 + 3X2X3 + X2 2 . Производя операцию обратного отображения момента, т. е. подстановку Xi Xi(x, p), получаем дополнительный интеграл движения K(x, p). При квантовании гамильтониан H(x, p) переходит в оператор Лапласа ^H = - 2 на группе G с правоинвариантной метрикой (16): ^H = H(-i ) = (-i 1)(-i 4) + (-i 2)(-i 3) - (-i 3)2 + 4i (-i 1). Рассмотрим задачу нахождения собственных функций оператора ^H (урав- нение Клейна Фока): ^H = m2 . (19) В координатах это уравнение выглядит следующим образом: 384 Звёздное произведение на коалгебре Ли . . . - 2 (-x2 2 - x2 3 - 4x1) 2 x2 1 + (2x3 - 2x2) 2 x1x2 + (2x2 - 4x3) 2 x1 x3 + +2 2 x1x4 - 2 2 x2 3 + 2 2 x2x3 - 7 x1 = m2 . Алгебра g, реализованная левоинвариантными векторными полями, явля- ется некоммутативной алгеброй симметрии этого уравнения: [i, ^H] = 0. С по- мощью некоммутативной алгебры g линейное дифференциальное уравнение с n независимыми переменными редуцируется к уравнению с n переменными: n = n - (dim g + ind g)/2 [3, 4]. В нашем случае: n = dim g = 4, ind g = = 0, n = 2. Таким образом, для интегрируемости уравнения (19) необходимо предъявить еще один оператор ^K, не зависящий от левоинвариантных по- лей i и коммутирующий с оператором ^H. Для построения этого оператора воспользуемся методом, изложенным в параграфе 2. Зафиксируем упорядочивание операторов в виде ^X1 ^X2 ^X3 ^X4, тогда сим- вол оператора ^H будет имеет вид ~H(X) = X1X4 + X2X3 - X2 3 + 4i X1, Формула (12) даёт 0 = 10iX2 1 . Найдём частное решение уравнения (13) при j = 0 : K(1) = 5iX1. Подставляя это решение в формулу (14), получаем 1 = 0. Таким образом, при выбранном нами способе упорядочивания мы построили символ дополнительного интеграла движения: ~K(X) = X1X4 + 3X2X3 + X2 2 + 5i X1. Совершая замену Xk -i k, получаем явный вид оператора симметрии ^K = (-i 1)(-i 4) + 3(-i 2)(-i 3) + (-i 2)2 + 5i (-i 1), который в выбранных локальных координатах записывается следующим об- разом: ^K = - 2 1 2 (x2 2 - x2 3) - 2x1 2 x2 1 + 2 x2 2 - (3x2 - x3) 2 x1x2 - -(2x3 + x2) 2 x1x3 + 2 x2x3 + 2 x1x4 . БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Ф. А. Березин, Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функц. анализ и его прил., 1967. Т. 1, 2. С. 1-14; англ. пер.: F. A. Berezin, Some remarks about the associated envelope of a Lie algebra // Funct. Anal. Appl., 1967. Vol. 1, no. 2. Pp. 91-102. 2. В. В. Трофимов, А. Т. Фоменко, Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоно- вых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с. [V. V. Trofimov, A. T. Fomenko, Algebra and Geometry of Integrable Hamiltonian Differential Equations. Moscow: Factorial, 1995. 448 pp.] 385 А. С. П о п о в, И. В. Ш и р о к о в 3. А. В. Шаповалов, И. В. Широков, Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ, 1995. Т. 104, 2. С. 195-213; англ. пер.: A. V. Shapovalov, I. V. Shirokov, Noncommutative integration of linear differential equations // Theoret. and Math. Phys., 1995. Vol. 104, no. 2. Pp. 921-934. 4. С. П. Барановский, В. В. Михеев, И. В. Широков, Квантовые гамильтоновы систе- мы на K-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка // ТМФ, 2001. Т. 129, 1. С. 3-13; англ. пер.: S. P. Baranovskii, V. V. Mikheyev, I. V. Shirokov, Quantum Hamiltonian Systems on K-Orbits: Semiclassical Spectrum of the Asymmetric Top // Theoret. and Math. Phys., 2001. Vol. 129, no. 1. Pp. 1311-1319. Поступила в редакцию 09/XI/2012; в окончательном варианте 24/II/2013. MSC: 81Q20; 81R10, 37N20, 70H05, 70E15, 22E70 STAR PRODUCT ON THE LIE COALGEBRA AND ITS APPLICATION FOR CALCULATION OF QUANTUM INTEGRALS OF MOTION A. S. Popov, I. V. Shirokov Omsk State Technical University, 11, pr. Mira, Omks, 644050, Russia. E-mails: anton_s_p@mail.ru, iv_shirokov@mail.ru The article gives an algorithm for constructing quantum integrals of motion on the basis of well-known classic integrals. To construct quantum integrals, we apply star product of the operators' symbols, which is used in the quantization theory. A non- trivial example of the Klein-Fock equation is considered on the four-dimensional Lie group. Key words: star product, Lie groups, Lie algebras, quantization. Original article submitted 09/XI/2012; revision submitted 24/II/2013. Anton S. Popov, Graduate student, Division of Complex Information Protection. Igor V. Shirokov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Division of Complex Information Protection.