Space localization of the quantum particle

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 387-397 УДК 53.03:(539.183-539.194) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ А. Ю. Самарин Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mail: samarinay@yahoo.com Показано, что наряду с эволюционным механизмом изменения волновой функ- ции квантовой частицы волновое уравнение в интегральном виде содержит также и математический механизм, позволяющий описать редукцию волно- вой функции как физический процесс. Такое описание представлено для процесса пространственной локализации квантовой частицы при измерении её коорди- наты и показано, что в результате взаимодействия квантовой частицы со специфическим макроскопическим объектом измерительным прибором возни- кает коллапс волновой функции. Математический образ этого физического яв- ления имеет вид мгновенной редукции множества виртуальных траекторий движения квантовой частицы к их подмножеству, определяемому условиями измерения, при возникновении макроскопических изменений в приборе. В тра- диционной квантовой механике такой редукции должна соответствовать не эволюция вектора состояния в гильбертовом пространстве, а коллапс самого гильбертова пространства. Ключевые слова: коллапс волновой функции, пространственно-временное описа- ние пространственной локализации, нелокальность процесса редукции. Понятие редукции волновой функции в традиционной квантовой механи- ке обозначает такое изменение волновой функции квантового объекта при его взаимодействии с измерительным прибором, которое не имеет непрерыв- ной временной зависимости [1]. Тип волновой функции, возникающей в ре- зультате такого изменения, определяется редукцией двух видов: простран- ственной локализацией квантового объекта целиком или его части. Так, из- мерение координаты атома соответствует его пространственной локализации, тогда как измерение его энергии соответствует пространственной локализа- ции атома измерительного инструмента (например, фотоплёнки), с которым объект измерения находится в запутанном состоянии. В любом случае фи- зическая основа редукции обоих видов сводится к одному и тому же про- цессу пространственной локализации квантового объекта [2]. Поэтому для выяснения её сущности достаточно рассмотреть процесс пространственной локализации квантовой частицы, подразумевая при этом, что квантовая ча- стица представляет собой однородный объект (в смысле его целостности во всех квантово-механических процессах), имеющий пространственное распре- деление. Термин частица указывает на то, что такой объект при простран- ственной локализации преобразуется в единственную точку (в дальнейшем в качестве квантового объекта будет рассматриваться исключительно кванто- вая частица). Редукция волновой функции, имеющая место при пространственной ло- Aлексей Юрьевич Самарин (к.ф.-м.н), доцент, каф. общей физики и физики нефтегазового производства. 387 А. Ю. С а м а р и н кализации квантовой частицы, с общепринятой на сегодняшний день точки зрения представляет собой математическую процедуру, устанавливающую со- ответствие между волновой функцией координат квантовой частицы и един- ственным результатом измерения её координаты. Эта процедура не имеет в свой основе никакого конкретного физического процесса, который мог бы быть описан в терминах эволюции вектора состояния в гильбертовом про- странстве. Публикации, посвященные описанию редукции [3], либо сводят её к чисто математическим процедурам [4], либо связывают её с процессами, находящимися за пределами описания квантовой механики [5, 6]. Проблема, возможно, связана с тем обстоятельством, что физические процессы в тра- диционной квантовой механике описываются эволюцией вектора состояния в гильбертовом пространстве, тогда как состояние, возникающее в результате редукции, вообще не относится к исходному гильбертову пространству [7]. Другими словами, процесс редукции определяется скорее не эволюцией вол- новой функции как вектора состояния в гильбертовом пространстве, а преоб- разованием самого гильбертова пространства. В результате исходное гильбер- тово пространство преобразуется либо (в пределе) к двумерному простран- ству (по одному измерению для частицы и прибора) в случае редукции пер- вого вида, либо в многообразие исходного гильбертова пространства для второго вида редукции. Так или иначе, как физический процесс редукция выходит за рамки возможностей описания методами традиционной кванто- вой механики. Для описания физического процесса пространственной локализации кван- товой частицы при её взаимодействии с измерителем можно использовать интегральное волновое уравнение вида [8, 9] t2 (x2) = K(x1, x2)t1 (x1) dx1, (1) где x1, t1, x2, t2 координаты пространства и моменты времени, соответству- ющие начальной и конечной волновым функциям (здесь и далее рассматри- вается только одномерное движение); t1 (x1) , t2 (x2) волновые функции начального и конечного состояний; Kt1,t2 (x1, x2) амплитуда перехода. Сам по себе математический объект, соответствующий традиционному для кван- товой механики термину амплитуда перехода , не предполагает наличия ве- роятности в описании, а в данном случае просто характеризует перемещение квантового объекта в физическом пространстве. Амплитуда записывается в форме интеграла по траекториям (интеграл по траекториям берётся в мате- матически наиболее корректном виде континуального интеграла [7]): Kt1,t2 (x1, x2) = exp i S1,2[] [d], (2) где S1,2[] классический функционал действия для виртуальной траекто- рии x(t), которая имеет начало в точке пространства x1 и конец в точ- ке x2 в моменты времени t1 и t2 соответственно; [d] элемент объёма про- странства виртуальных траекторий [7]. В процессе взаимодействия участвует классический прибор. Для выполнения функции, соответствующей цели на- стоящей работы пространственной локализации квантовой частицы, он, во- первых, должен быть макроскопическим объектом, состоящим из простран- ственно локализованных частей, и, во-вторых, быть способным усиливать 388 Пространственная локализация квантовой частицы взаимодействие с квантовым объектом до макроскопического уровня [10]. По отношению к волновому уравнению (1) под макроскопическим уровнем по- нимается такое значение минимального функционала действия для всех вир- туальных траекторий в (2), при котором вклад в континуальный интеграл, определяющий амплитуду перехода, дает только соответствующая траекто- рия и бесконечно близкие к ней [9]. Другими словами, макроскопическому процессу соответствует единственная траектория движения системы в кон- фигурационном пространстве. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из измерительного инстру- мента и квантовой частицы. Пусть измерительный инструмент состоит из n активных элементов (например, зёрен фотопленки), имеющих достаточ- но малый для обеспечения точности определения координаты частицы, но макроскопический размер. Результатом взаимодействия квантовой частицы с активными элементами прибора является возникновение макроскопических изменений в одном из них. Предположим, что эти изменения возникают в результате макроскопического процесса Aj (регистрирующего процесса), ко- торый инициируется в активном элементе j взаимодействием с квантовой частицей. Пусть Xj обобщённая координата этого процесса. Она характе- ризует всю совокупность квантовых объектов, участвующих в нём (актив- ных частиц измерителя). До возникновения регистрирующего процесса эти координаты Xj определяют свойства активных частиц измерителя по отно- шению к возможности инициации регистрирующего процесса. Предположим, что взаимодействие между прибором и квантовой частицей до возникнове- ния регистрирующего процесса полностью описывается координатами при- бора Xj и координатой квантовой частицы x. Другими словами, потенциаль- ная энергия взаимодействия прибора и частицы-объекта зависит явно только от этих координат. Тогда квантовое взаимодействие частицы-объекта с при- бором будет описываться запутанной волновой функцией (x, X1, . . . , Xn), эволюция которой определяется интегральным волновым уравнением t2 (x2, X1 2 , . . . , Xn 2 ) = = · · · Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) t1 (x1, X1 1 , . . . , Xn 1 ) dx1 dX1 1 · · · dXn 1 , (3) где нижний индекс 1 обозначает начальные, нижний индекс 2 текущие зна- чения физических величин; верхний индекс указывает номер активного эле- мента измерителя; Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , ..., Xn 1 ) амплитуда перехода (все временные зависимости носят параметрический характер [1]). В соответ- ствии с работой [9] для системы, имеющей n + 1 степень свободы (n степеней относятся к измерителю, 1 к квантовой частице), амплитуда перехода мо- жет быть записана в виде интеграла по траекториям Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) = = · · · exp i s1,2[] n j=1 exp i S1,2[j ] [d] [d1 ] · · · [dn ], (4) 389 А. Ю. С а м а р и н где виртуальная траектория квантовой частицы (термин квантовая ча- стица, как и ранее, не предполагает локализованный в пространстве объект, поэтому в такой интерпретации, термин виртуальная траектория квантовой частицы обозначает виртуальную траекторию индивидуальной точки её про- странственного распределения); j Xj(t) виртуальная траектория, соот- ветствующая измерительному процессу (квантовому процессу, возникающе- му в макроскопическом активном элементе j в результате взаимодействия с квантовой частицей); s1,2[] функционал действия для траектории кван- тового объекта (он зависит через потенциальную энергию и от координат измерительного процесса); S1,2[j] функционал действия для траектории измерительного процесса (он имеет аналогичную зависимость от координат квантовой частицы). Эти функционалы связывают квантовую частицу и ак- тивные элементы измерителя в единую систему, описываемую запутанной волновой функцией. Пусть в отсутствие взаимодействия активные частицы измерителя нахо- дятся в стационарном состоянии на дне потенциальной ямы, природа кото- рой в данном случае не имеет значения. При движении этих частиц в её пределах потенциальная энергия, входящая в функционал действия S1,2[j], исчисляется относительно дна этой ямы. Предположим, что глубина этой по- тенциальной ямы имеет такой же порядок величины, как и значение энергии взаимодействия квантовой частицы-объекта с активными частицами измери- теля (то есть взаимодействие с квантовой частицей может привести к выхо- дуактивных частиц измерителя из этой потенциальной ямы). Далее предпо- ложим, что активные частицы измерителя взаимодействуют и с другими ча- стями измерителя, которые не принимают непосредственного участия во вза- имодействии с квантовой частицей-объектом, причём соответствующая по- тенциальная энергия имеет макроскопическую величину. Другими словами, энергия, соответствующая дну описанной выше потенциальной ямы, имеет макроскопическое значение благодаря наличию такого взаимодействия (эта энергия является внутренней по отношению к измерителю в целом, но до момента инициации макроскопического процесса внешней по отношению к системе, описываемой волновой функцией (3)). Возможность такой ситуации предполагает второе свойство измерителя усиление квантового взаимодей- ствия (примером энергии, обеспечивающей процесс усиления, может служить энергия электронов катода в поле фотоэлектронного умножителя, химиче- ская энергия молекул фотоплёнки и т.п.). Тогда при превышении значения энергии активными частицами измери- теля, достаточного для выхода из потенциальной ямы (за счёт энергии взаи- модействия с квантовой частицей), их потенциальная энергия мгновенно воз- растает и возникает макроскопический A-процесс. Поскольку потенциальная энергия A-процесса имеет макроскопическое значение, для активного эле- мента, в котором он возникает, например k, амплитуда перехода будет полно- стью определяться действием S1,2[k A] = -Uk At для единственной траектории k A классического процесса в интервале времени, когда T U. Рассмотрим преобразование волновой функции системы (3) с момента времени t3 непо- средственно перед началом A-процесса до момента времени t4 = t3 + , когда функционалы действия для всех виртуальных траекторий становятся пре- небрежимо малыми по сравнению с величиной S1,2[k A]. Так как величина 390 Пространственная локализация квантовой частицы потенциальной энергии, входящая в функционал действия для траектории макроскопического процесса, имеет макроскопическое значение, то проме- жуток времени можно рассматривать как бесконечно малую величину. Пусть радиус взаимодействия квантовой частицы с измерителем много меньше размеров макроскопических активных элементов. Тогда все множе- ство виртуальных траекторий квантовой частицы можно разделить на два подмножества, не имеющих общих элементов. Подмножество (I) составляют траектории, проходящие через область пространства (I), находясь в которой квантовая частица взаимодействует с активным элементом j = k; подмноже- ство (II) составляют все прочие виртуальные траектории (проходящие через область пространства (II), где взаимодействие с этим элементом отсутству- ет). Нормировка волновой функции может быть записана в виде · · · t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = = · · · I t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 + + · · · II t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = 1, (5) где область интегрирования, соответствующая как всем возможным зна- чениям координат физического пространства квантового объекта, так и всем возможным значениям обобщённых координат измерительных процессов. Об- ласть интегрирования I соответствует значениям переменных, при которых квантовая частица взаимодействует с k-тым прибором; II прочим значени- ям переменных. Определить влияние возникновения макроскопического A- процесса на нормировку волновой функции позволяет математическая проце- дура, аналогичная представленной в [7]. Для её осуществления время следует представить в комплексном виде: t = ei , где и вещественные величины (для реальной физической ситуаций = = 0). Далее рассмотрим поворот в комплексной плоскости времени на угол 2 против часовой стрелки. В этом случае функционалы действия примут вид i (T - U) d, где T и U кинетическая и потенциальная энергии. При этом нормировка (5) преобразуется к виду · · · I 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 + + · · · II 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = = f () =/2 = const = C, (6) 391 А. Ю. С а м а р и н а амплитуда перехода (4) запишется так: K2,1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) = = · · · exp - 1 s1,2[] n j=1 exp - 1 S1,2[j ] [d] [d1 ] · · · [dn ]. (7) Малая величина времени определяет большие значения кинетической энер- гии для переходов между областями пространства I и II, и их вкладом в амплитуду перехода можно пренебречь. Кроме того, на этом же основании можно пренебречь изменением положения квантовой частицы для виртуаль- ных траекторий по сравнению с размером активных элементов измерителя, что сохраняет множества траекторий I и II в неизменном виде в процессе коллапса. Эти два обстоятельства позволяют рассматривать эволюцию вол- новой функции в областях пространства I и II независимо. Тогда, если учесть единственность макроскопической траектории k A и независимость соответ- ствующего функционала действия от физических характеристик квантовой частицы, то волновая функция (3), определяемая амплитудой (7) для мно- жества траекторий I, может быть переписана в виде 4 (x4, Xk 4 ) = = exp 1 Uk A exp - 1 s3,4[k ] [dk ] (Xk 3 - Xk 3,A)3 (x3, Xk 3 ) dx3 dXk 3 , (8) где k виртуальные траектории квантовой частицы, проходящие через ак- тивный элемент k во время коллапса; Xk 3A обобщённая координата мак- роскопического процесса в момент времени 3. Порядки величин слагаемых, входящих в нормировку (6), в момент времени 4 определяются амплитудами перехода для интервала времени i. Первое слагаемое нормировки содержит квадрат экспоненциального множителя, в показатель которого, в соответ- ствии с (8), входит макроскопическая потенциальная энергия V k A , тогда как второе слагаемое зависит исключительно от микроскопических значений по- тенциальных энергий. Благодаря этому обстоятельству нормировка (6) пре- образуется к виду · · · I 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = C. Аналитическое продолжение этого выражения на вещественную ось времени дает аналогичную формулу для нормировки волновой функции для реаль- ного времени: · · · I t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = 1. Этой нормировке соответствует волновая функция 392 Пространственная локализация квантовой частицы t4 (x4, Xk 4 ) exp - i Uk A exp i s3,4[k ] [dk ] (Xk 3 - Xk 3,A)t3 (x3, Xk 3 ) dx3 dXk 3 , где k виртуальные траектории квантовой частицы, проходящие через ак- тивный элемент k прибора в момент времени коллапса (принадлежащие мно- жеству I). После возникновения макроскопического процесса исчезает зави- симость траекторий измерительного процесса в k-том элементе от движения квантовой частицы. Эволюция квантовой частицы с этого момента време- ни определяется только траекториями k, которые проходят через элемент k в момент времени t3. Благодаря этому запутанное состояние прибора и ча- стицы распадается на два отдельных состояния. Если пренебречь простран- ственным размером активных элементов измерителя (для этого необходимо, чтобы изменение начальной волновой функции происходило на расстояни- ях, существенно превышающих этот размер), то пространственное положение элемента k может быть определено одной координатой Y k(t4)

About the authors

Alexey Yur'evich Samarin

Samara State Technical University

Email: samarin.ay@samgtu.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files