Space localization of the quantum particle

Abstract

It is shown, that in addition to the evolution quantum object motion wave equation in the integral form can describe the wave function reduction as a physical process. Such description is represented for the space localization process, taking place when the space coordinate is measured, and it is shown, that collapse arises, as the result of the quantum particle and corresponding measuring instrument interaction. This physical phenomenon mathematical image looks like the instantaneous transformation of the virtual paths set to the subset, determined by the measuring process conditions, when the macroscopic changes appears in the measuring instrument.In conventional quantum mechanics such Hilbert space collapse itself corresponds to such reduction phenomenon.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 387-397 УДК 53.03:(539.183-539.194) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ А. Ю. Самарин Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. E-mail: samarinay@yahoo.com Показано, что наряду с эволюционным механизмом изменения волновой функ- ции квантовой частицы волновое уравнение в интегральном виде содержит также и математический механизм, позволяющий описать редукцию волно- вой функции как физический процесс. Такое описание представлено для процесса пространственной локализации квантовой частицы при измерении её коорди- наты и показано, что в результате взаимодействия квантовой частицы со специфическим макроскопическим объектом измерительным прибором возни- кает коллапс волновой функции. Математический образ этого физического яв- ления имеет вид мгновенной редукции множества виртуальных траекторий движения квантовой частицы к их подмножеству, определяемому условиями измерения, при возникновении макроскопических изменений в приборе. В тра- диционной квантовой механике такой редукции должна соответствовать не эволюция вектора состояния в гильбертовом пространстве, а коллапс самого гильбертова пространства. Ключевые слова: коллапс волновой функции, пространственно-временное описа- ние пространственной локализации, нелокальность процесса редукции. Понятие редукции волновой функции в традиционной квантовой механи- ке обозначает такое изменение волновой функции квантового объекта при его взаимодействии с измерительным прибором, которое не имеет непрерыв- ной временной зависимости [1]. Тип волновой функции, возникающей в ре- зультате такого изменения, определяется редукцией двух видов: простран- ственной локализацией квантового объекта целиком или его части. Так, из- мерение координаты атома соответствует его пространственной локализации, тогда как измерение его энергии соответствует пространственной локализа- ции атома измерительного инструмента (например, фотоплёнки), с которым объект измерения находится в запутанном состоянии. В любом случае фи- зическая основа редукции обоих видов сводится к одному и тому же про- цессу пространственной локализации квантового объекта [2]. Поэтому для выяснения её сущности достаточно рассмотреть процесс пространственной локализации квантовой частицы, подразумевая при этом, что квантовая ча- стица представляет собой однородный объект (в смысле его целостности во всех квантово-механических процессах), имеющий пространственное распре- деление. Термин частица указывает на то, что такой объект при простран- ственной локализации преобразуется в единственную точку (в дальнейшем в качестве квантового объекта будет рассматриваться исключительно кванто- вая частица). Редукция волновой функции, имеющая место при пространственной ло- Aлексей Юрьевич Самарин (к.ф.-м.н), доцент, каф. общей физики и физики нефтегазового производства. 387 А. Ю. С а м а р и н кализации квантовой частицы, с общепринятой на сегодняшний день точки зрения представляет собой математическую процедуру, устанавливающую со- ответствие между волновой функцией координат квантовой частицы и един- ственным результатом измерения её координаты. Эта процедура не имеет в свой основе никакого конкретного физического процесса, который мог бы быть описан в терминах эволюции вектора состояния в гильбертовом про- странстве. Публикации, посвященные описанию редукции [3], либо сводят её к чисто математическим процедурам [4], либо связывают её с процессами, находящимися за пределами описания квантовой механики [5, 6]. Проблема, возможно, связана с тем обстоятельством, что физические процессы в тра- диционной квантовой механике описываются эволюцией вектора состояния в гильбертовом пространстве, тогда как состояние, возникающее в результате редукции, вообще не относится к исходному гильбертову пространству [7]. Другими словами, процесс редукции определяется скорее не эволюцией вол- новой функции как вектора состояния в гильбертовом пространстве, а преоб- разованием самого гильбертова пространства. В результате исходное гильбер- тово пространство преобразуется либо (в пределе) к двумерному простран- ству (по одному измерению для частицы и прибора) в случае редукции пер- вого вида, либо в многообразие исходного гильбертова пространства для второго вида редукции. Так или иначе, как физический процесс редукция выходит за рамки возможностей описания методами традиционной кванто- вой механики. Для описания физического процесса пространственной локализации кван- товой частицы при её взаимодействии с измерителем можно использовать интегральное волновое уравнение вида [8, 9] t2 (x2) = K(x1, x2)t1 (x1) dx1, (1) где x1, t1, x2, t2 координаты пространства и моменты времени, соответству- ющие начальной и конечной волновым функциям (здесь и далее рассматри- вается только одномерное движение); t1 (x1) , t2 (x2) волновые функции начального и конечного состояний; Kt1,t2 (x1, x2) амплитуда перехода. Сам по себе математический объект, соответствующий традиционному для кван- товой механики термину амплитуда перехода , не предполагает наличия ве- роятности в описании, а в данном случае просто характеризует перемещение квантового объекта в физическом пространстве. Амплитуда записывается в форме интеграла по траекториям (интеграл по траекториям берётся в мате- матически наиболее корректном виде континуального интеграла [7]): Kt1,t2 (x1, x2) = exp i S1,2[] [d], (2) где S1,2[] классический функционал действия для виртуальной траекто- рии x(t), которая имеет начало в точке пространства x1 и конец в точ- ке x2 в моменты времени t1 и t2 соответственно; [d] элемент объёма про- странства виртуальных траекторий [7]. В процессе взаимодействия участвует классический прибор. Для выполнения функции, соответствующей цели на- стоящей работы пространственной локализации квантовой частицы, он, во- первых, должен быть макроскопическим объектом, состоящим из простран- ственно локализованных частей, и, во-вторых, быть способным усиливать 388 Пространственная локализация квантовой частицы взаимодействие с квантовым объектом до макроскопического уровня [10]. По отношению к волновому уравнению (1) под макроскопическим уровнем по- нимается такое значение минимального функционала действия для всех вир- туальных траекторий в (2), при котором вклад в континуальный интеграл, определяющий амплитуду перехода, дает только соответствующая траекто- рия и бесконечно близкие к ней [9]. Другими словами, макроскопическому процессу соответствует единственная траектория движения системы в кон- фигурационном пространстве. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из измерительного инстру- мента и квантовой частицы. Пусть измерительный инструмент состоит из n активных элементов (например, зёрен фотопленки), имеющих достаточ- но малый для обеспечения точности определения координаты частицы, но макроскопический размер. Результатом взаимодействия квантовой частицы с активными элементами прибора является возникновение макроскопических изменений в одном из них. Предположим, что эти изменения возникают в результате макроскопического процесса Aj (регистрирующего процесса), ко- торый инициируется в активном элементе j взаимодействием с квантовой частицей. Пусть Xj обобщённая координата этого процесса. Она характе- ризует всю совокупность квантовых объектов, участвующих в нём (актив- ных частиц измерителя). До возникновения регистрирующего процесса эти координаты Xj определяют свойства активных частиц измерителя по отно- шению к возможности инициации регистрирующего процесса. Предположим, что взаимодействие между прибором и квантовой частицей до возникнове- ния регистрирующего процесса полностью описывается координатами при- бора Xj и координатой квантовой частицы x. Другими словами, потенциаль- ная энергия взаимодействия прибора и частицы-объекта зависит явно только от этих координат. Тогда квантовое взаимодействие частицы-объекта с при- бором будет описываться запутанной волновой функцией (x, X1, . . . , Xn), эволюция которой определяется интегральным волновым уравнением t2 (x2, X1 2 , . . . , Xn 2 ) = = · · · Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) t1 (x1, X1 1 , . . . , Xn 1 ) dx1 dX1 1 · · · dXn 1 , (3) где нижний индекс 1 обозначает начальные, нижний индекс 2 текущие зна- чения физических величин; верхний индекс указывает номер активного эле- мента измерителя; Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , ..., Xn 1 ) амплитуда перехода (все временные зависимости носят параметрический характер [1]). В соответ- ствии с работой [9] для системы, имеющей n + 1 степень свободы (n степеней относятся к измерителю, 1 к квантовой частице), амплитуда перехода мо- жет быть записана в виде интеграла по траекториям Kt2,t1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) = = · · · exp i s1,2[] n j=1 exp i S1,2[j ] [d] [d1 ] · · · [dn ], (4) 389 А. Ю. С а м а р и н где виртуальная траектория квантовой частицы (термин квантовая ча- стица, как и ранее, не предполагает локализованный в пространстве объект, поэтому в такой интерпретации, термин виртуальная траектория квантовой частицы обозначает виртуальную траекторию индивидуальной точки её про- странственного распределения); j Xj(t) виртуальная траектория, соот- ветствующая измерительному процессу (квантовому процессу, возникающе- му в макроскопическом активном элементе j в результате взаимодействия с квантовой частицей); s1,2[] функционал действия для траектории кван- тового объекта (он зависит через потенциальную энергию и от координат измерительного процесса); S1,2[j] функционал действия для траектории измерительного процесса (он имеет аналогичную зависимость от координат квантовой частицы). Эти функционалы связывают квантовую частицу и ак- тивные элементы измерителя в единую систему, описываемую запутанной волновой функцией. Пусть в отсутствие взаимодействия активные частицы измерителя нахо- дятся в стационарном состоянии на дне потенциальной ямы, природа кото- рой в данном случае не имеет значения. При движении этих частиц в её пределах потенциальная энергия, входящая в функционал действия S1,2[j], исчисляется относительно дна этой ямы. Предположим, что глубина этой по- тенциальной ямы имеет такой же порядок величины, как и значение энергии взаимодействия квантовой частицы-объекта с активными частицами измери- теля (то есть взаимодействие с квантовой частицей может привести к выхо- дуактивных частиц измерителя из этой потенциальной ямы). Далее предпо- ложим, что активные частицы измерителя взаимодействуют и с другими ча- стями измерителя, которые не принимают непосредственного участия во вза- имодействии с квантовой частицей-объектом, причём соответствующая по- тенциальная энергия имеет макроскопическую величину. Другими словами, энергия, соответствующая дну описанной выше потенциальной ямы, имеет макроскопическое значение благодаря наличию такого взаимодействия (эта энергия является внутренней по отношению к измерителю в целом, но до момента инициации макроскопического процесса внешней по отношению к системе, описываемой волновой функцией (3)). Возможность такой ситуации предполагает второе свойство измерителя усиление квантового взаимодей- ствия (примером энергии, обеспечивающей процесс усиления, может служить энергия электронов катода в поле фотоэлектронного умножителя, химиче- ская энергия молекул фотоплёнки и т.п.). Тогда при превышении значения энергии активными частицами измери- теля, достаточного для выхода из потенциальной ямы (за счёт энергии взаи- модействия с квантовой частицей), их потенциальная энергия мгновенно воз- растает и возникает макроскопический A-процесс. Поскольку потенциальная энергия A-процесса имеет макроскопическое значение, для активного эле- мента, в котором он возникает, например k, амплитуда перехода будет полно- стью определяться действием S1,2[k A] = -Uk At для единственной траектории k A классического процесса в интервале времени, когда T U. Рассмотрим преобразование волновой функции системы (3) с момента времени t3 непо- средственно перед началом A-процесса до момента времени t4 = t3 + , когда функционалы действия для всех виртуальных траекторий становятся пре- небрежимо малыми по сравнению с величиной S1,2[k A]. Так как величина 390 Пространственная локализация квантовой частицы потенциальной энергии, входящая в функционал действия для траектории макроскопического процесса, имеет макроскопическое значение, то проме- жуток времени можно рассматривать как бесконечно малую величину. Пусть радиус взаимодействия квантовой частицы с измерителем много меньше размеров макроскопических активных элементов. Тогда все множе- ство виртуальных траекторий квантовой частицы можно разделить на два подмножества, не имеющих общих элементов. Подмножество (I) составляют траектории, проходящие через область пространства (I), находясь в которой квантовая частица взаимодействует с активным элементом j = k; подмноже- ство (II) составляют все прочие виртуальные траектории (проходящие через область пространства (II), где взаимодействие с этим элементом отсутству- ет). Нормировка волновой функции может быть записана в виде · · · t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = = · · · I t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 + + · · · II t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = 1, (5) где область интегрирования, соответствующая как всем возможным зна- чениям координат физического пространства квантового объекта, так и всем возможным значениям обобщённых координат измерительных процессов. Об- ласть интегрирования I соответствует значениям переменных, при которых квантовая частица взаимодействует с k-тым прибором; II прочим значени- ям переменных. Определить влияние возникновения макроскопического A- процесса на нормировку волновой функции позволяет математическая проце- дура, аналогичная представленной в [7]. Для её осуществления время следует представить в комплексном виде: t = ei , где и вещественные величины (для реальной физической ситуаций = = 0). Далее рассмотрим поворот в комплексной плоскости времени на угол 2 против часовой стрелки. В этом случае функционалы действия примут вид i (T - U) d, где T и U кинетическая и потенциальная энергии. При этом нормировка (5) преобразуется к виду · · · I 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 + + · · · II 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = = f () =/2 = const = C, (6) 391 А. Ю. С а м а р и н а амплитуда перехода (4) запишется так: K2,1 (x2, x1, X1 2 , . . . , Xn 2 , X1 1 , . . . , Xn 1 ) = = · · · exp - 1 s1,2[] n j=1 exp - 1 S1,2[j ] [d] [d1 ] · · · [dn ]. (7) Малая величина времени определяет большие значения кинетической энер- гии для переходов между областями пространства I и II, и их вкладом в амплитуду перехода можно пренебречь. Кроме того, на этом же основании можно пренебречь изменением положения квантовой частицы для виртуаль- ных траекторий по сравнению с размером активных элементов измерителя, что сохраняет множества траекторий I и II в неизменном виде в процессе коллапса. Эти два обстоятельства позволяют рассматривать эволюцию вол- новой функции в областях пространства I и II независимо. Тогда, если учесть единственность макроскопической траектории k A и независимость соответ- ствующего функционала действия от физических характеристик квантовой частицы, то волновая функция (3), определяемая амплитудой (7) для мно- жества траекторий I, может быть переписана в виде 4 (x4, Xk 4 ) = = exp 1 Uk A exp - 1 s3,4[k ] [dk ] (Xk 3 - Xk 3,A)3 (x3, Xk 3 ) dx3 dXk 3 , (8) где k виртуальные траектории квантовой частицы, проходящие через ак- тивный элемент k во время коллапса; Xk 3A обобщённая координата мак- роскопического процесса в момент времени 3. Порядки величин слагаемых, входящих в нормировку (6), в момент времени 4 определяются амплитудами перехода для интервала времени i. Первое слагаемое нормировки содержит квадрат экспоненциального множителя, в показатель которого, в соответ- ствии с (8), входит макроскопическая потенциальная энергия V k A , тогда как второе слагаемое зависит исключительно от микроскопических значений по- тенциальных энергий. Благодаря этому обстоятельству нормировка (6) пре- образуется к виду · · · I 4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = C. Аналитическое продолжение этого выражения на вещественную ось времени дает аналогичную формулу для нормировки волновой функции для реаль- ного времени: · · · I t4 (x4, X1 4 , . . . , Xn 4 ) 2 dx4 dX1 4 · · · dXn 4 = 1. Этой нормировке соответствует волновая функция 392 Пространственная локализация квантовой частицы t4 (x4, Xk 4 ) exp - i Uk A exp i s3,4[k ] [dk ] (Xk 3 - Xk 3,A)t3 (x3, Xk 3 ) dx3 dXk 3 , где k виртуальные траектории квантовой частицы, проходящие через ак- тивный элемент k прибора в момент времени коллапса (принадлежащие мно- жеству I). После возникновения макроскопического процесса исчезает зави- симость траекторий измерительного процесса в k-том элементе от движения квантовой частицы. Эволюция квантовой частицы с этого момента време- ни определяется только траекториями k, которые проходят через элемент k в момент времени t3. Благодаря этому запутанное состояние прибора и ча- стицы распадается на два отдельных состояния. Если пренебречь простран- ственным размером активных элементов измерителя (для этого необходимо, чтобы изменение начальной волновой функции происходило на расстояни- ях, существенно превышающих этот размер), то пространственное положение элемента k может быть определено одной координатой Y k(t4)
×

About the authors

Alexey Yur'evich Samarin

Samara State Technical University

Email: samarin.ay@samgtu.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики, Наука, М., 1964, 367 с.
  2. R. Penrose, The road to reality. A complete guide to the laws of the universe, Alfred A. Knopf, Inc., New York, 2005, xxviii+1099 pp.
  3. A. Bassi, G. C. Girardi, "Dynamical reduction models", Phys. Rep., 379:5-6 (2003), 257-426
  4. G. C. Ghirardi, A. Rimini, T. Weber, "Unified dynamics for microscopic and macroscopic systems", Phys. Rev. D, 34:2 (1986), 470-491
  5. D. Bohm, B. J. Hiley, "Nonlocality and locality in the stochastic interpretation of quantum mechanics", Phys. Rep., 172:3 (1989), 93-122
  6. D. Deutsch, "Quantum theory as a universal physical theory", Int. J. Theoret. Phys., 24:1 (1985), 1-41
  7. J. Zinn Justin, Path Integrals in Quantum Mechanics, Oxford University Press, Oxford, 2004, 320+xiv pp.
  8. R. P. Feynman, "Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics", Rev. Modern Physics, 20 (1948), 367-387
  9. R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965, 371+xii pp.
  10. А. Ю. Самарин, "Естественное пространство микрообъекта", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 3(24), 117-128
  11. R. P. Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Nobel Lecture, December 11, 1965. Preprint les Prix Nobel en 1965, The Nobel Foundation, Stockholm, 1966
  12. H. Everett, III, ""Relative state" formulation of quantum mechanics", Rev. Mod. Phys., 29:3 (1957), 454–462
  13. W. H. Zurek, "Environment-induced superselection rules", Phys. Rev. D., 26:8 (1982), 1862-1880
  14. М. Б. Менский, "Квантовые измерения, феномен жизни и стрела времени: связи между "тремя великими проблемами" (по терминологии В. Л. Гинзбурга)", УФН, 177:4 (2007), 415-425
  15. А. Ю. Самарин, "Механизм возникновения стохастичности в квантовой механике", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012, № 4(29), 188-198

Statistics

Views

Abstract: 68

PDF (Russian): 21

Cited-by

CrossRef: 3

  1. Samarin AY. Nonlinear dynamics of open quantum systems. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2018;22(2):214. doi: 10.14498/vsgtu1582
  2. Самарин , Samarin AY. Нелокальное преобразование волновой функции квантовой частицы как отражение трансформации внутренней структуры распределенного в пространстве объекта. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2016;20(3):423. doi: 10.14498/vsgtu1484
  3. Мелешко , Meleshko NV, Самарин , Samarin AY. Специфика перехода к мнимому времени в интеграле по траекториям при описании коллапса волновой функции. Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2014;4(37):170. doi: 10.14498/vsgtu1352

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies