Asymptotic estimates of the difference of products of Bessel functions by the integral of these functions

Abstract


In the study of direct and inverse problems of finding the right-hand side of degenerate equations of mixed type with different boundary conditions, the problem arises of establishing asymptotic estimates for the differences of the products of cylindrical functions by the integral of these functions. Previously, on the basis of the established new formula for finding the finite binomial sum, the differences between the products of cylindrical functions and a definite integral of these functions are calculated through a generalized hypergeometric function. Using the asymptotic formula for large values of the argument for the generalized hypergeometric function, asymptotic estimates are established for large values of the parameter for the indicated differences of the Bessel functions of the first and second kind, as well as for modified Bessel functions.

Full Text

Введение. При исследовании обратных задач по отысканию правой части вырождающихся уравнений смешанного типа [1–10] возникает задача об установлении асимптотических оценок для следующих разностей: v v v v (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) 0 0 v v v v (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , > 0; (2) 0 (1) ( ) = v 0 ( ( ) ) v ( ( ) ) v ( ( ) ) 0 v ( ( ) ) , (3) 0 (2) ( ) = v v ( ( ) ) v v ( ( ) ) , < 0, (4) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 при > + , где = 1/(2 ) = 1/( + 2), > 0 — показатель степени вырождения уравнения, ± ( · ) и ( · ) — функции Бесселя соответственно первого и второго рода, ± ( · ) и ( · ) — модифицированные функции Бесселя, = const > 0. Предварительно заметим, что v ± ( ) = 1/(2 ) ( )1/(2 ) ± ( ) = ± ( ), v ± ( ) = ± ( ), где = | | , = | | , v ± ( ) = 0 1 3 3 1 ± ( ) . 0 Тогда разность (1) принимает вид (1) ( ) = (1) ( ). 4 (5) Здесь (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) , = 3 1. (6) 0 Аналогично (5) разности (2)–(4) представим в следующем виде: (2) (2) ( ) = 4 ( ), (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 42 0 (7) ( ) , (8) (1) ( ) = 4 (1) ( ), (1) ( ) ( ) ( ) = ( ) (9) ( ) , (10) 0 0 (2) ( ), 4 (2) ( ) , > 0. ( ) ( ) ( ) = ( ) (2) ( ) = (11) (12) 0 0 Отметим, что разность (10) представляет собой функцию Ломмеля [11], [12, §10.7], [13, §7.5.5]. В данной работе, с использованием разложения функций ± ( ) и ± ( ) в степенной ряд, аналогично работам [14, 15], найдены разности (6) и (10) на основании установленной нами новой формулы для вычисления конечной суммы (см. лемму ниже), затем на их основе найдены (8) и (12). Отсюда в силу представлений (5), (7), (9) и (11) получены окончательные результаты по разностям (1)–(4) и установлены асимптотические оценки при > + . 1. Вычисление разностей (1)–(4). Используя разложения функций ± ( ) в степенной ряд, предварительно найдем ( ) = 0 0 =0 ( /2)2 = ! ( + + 1) = =0 2 + +1 22 ! ( + + 1)(2 + + 1) и вычислим произведение рядов ± ( ) ( ) = 0 = =0 ( /2)2 ± +1 ( /2)2 = ! (± + + 1) ! ( + + 1)(2 + + 1) = +1 =0 ( =0 ) 2 2 =0 [2( ) + + 1 ] 1 , ! ( )! (± + + 1) ( + + 1) где ( · ) — гамма-функция Эйлера. Теперь составим их разность: (1) ( ) = +1 ( ) 2 =0 2 ( 1 2 ) . (13) Здесь 1 = =0 1 , (14) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 ) 43 2 = =0 1 . (15) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 + ) В силу формулы для биномиальных коэффициентов ( ) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) конечные суммы (14) и (15) представим в виде 1 1 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2( ) + + 1 + =0 ( ) ( ) 1 1 . = ( !)2 2( ) + + 1 + (16) (17) =0 На основании равенства ( ) ( ) = преобразуем конечные суммы (16) и (17): 1 ) ) ( ( 1 1 = = ( !)2 2( ) + + 1 =0 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2 + + 1 =0 2 ( ) ( ) 1 1 = . ( !)2 2 + + 1 + + =0 Тогда 1 2 = 1 . ( !)2 (18) Здесь = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . 2 + + 1 2 + + 1 + + (19) Далее выведем формулу для вычисления суммы (19). Предварительно вычислим 0 , 1 , 2 и 3 , затем определим общий вид этой формулы и методом индукции докажем ее справедливость. При = 0 имеем 0 = 44 2 1 · . ( ) (1 ) ( + 1)2 2 Если = 1, то получим 1 = 2 4 · . ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] Когда = 2, вычисления дают следующий результат: 2 = 2·4 16 · . 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] [( + 1 + 4)2 2 ] Приведенные выше вычисления для = 0, 1, 2 не дают возможности написать общий вид формулы, поэтому дополнительно найдем 3 = 64 2 · 36 · 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 = 2 2 [( + 1 + 4) ] [( + 1 + 6)2 2 ] 22·3 2 · (3!)2 · = ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 . (20) 2 2 [( + 1 + 2 · 2) ] [( + 1 + 2 · 3)2 2 ] Из равенства (20) уже нетрудно записать общий вид формулы для нахождения = 22 2( !)2 · . (21) ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 3)2 2 ] · · · [( + 1 + 2 )2 2 ] Предварительно, используя символ Похгаммера ( ) = ( + 1) · · · ( + 1) = ( + ) , ( ) преобразуем выражение, входящее в правую часть формулы (21): ( + 1 ± )( + 1 + 2 ± ) · · · ( + 1 + 2 ± ) = ) ( + 1 ± ) + 1 ± ( + 1 ± = + 1 ··· + 2 +1 = 2 2 2 ( + 1 ± ) ( + 1 ± ) + + 1 2 +1 2 = 2 +1 = . ( + 1 ± ) 2 +1 2 Тогда формула (21) принимает вид ( ) ( ) +1+ +1 ( !)2 2 2 ) ( ) . = · ( +1+ +1 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 (22) 45 Пусть формула (22) верна при произвольном . Докажем ее справедливость при + 1. Для этого на основании (19) найдем +1 и, используя равенство ( ) ( ) ( ) +1 = + , +1 +1 разобьем эту величину на четыре суммы: +1 = +1 [ = ( ) ( ) ] ( ) 1 1 + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 =0 ) ) ] ( ) ( ( +1 [ 1 1 + = 2 + + 1 2 + + 1 + + =0 = 1 + 2 + 3 + 4 . (23) В силу известных равенств ( ) =0 1 1 = [ =0 ( и +1 ) = 0, ( ) ( ) ] ( ) 1 1 = 2 + + 2 + 1 2 + + 2 + 1 + + = (здесь надо заменить на + 2) = , (24) = +2 4 = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 , (25) 2 + + 1 2 + + 1 + + +1 [ ( ) ( ) ] ( ) 1 1 2 = = 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 = , (26) 2 + + 3 + 1 2 + + 3 + + 1 + =0 3 = [ =0 46 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . (27) 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 Предварительно на основании (26) и (27) найдем сумму 2 + 3 = [ =0 ( ) 1 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ] ( ) 1 + 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 + = 2 + + 2 1 1 2 + + 2 + 1 + + 1 + =0 = =1 + =1+ . (28) = +1 = +1 Тогда, подставляя (24), (25) и (28) в (23), с учетом формулы (22) получим +1 = = +2 + =1 + =1+ = = +1 = +1 ( + 3 + ) ( + 3 ) [ ( !)2 2 2 = ) ( + 3 ) + 2 ( ) (1 ) ( + 3 + + +1 + +1 2 2 ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 + ( ) ( + 1 ) +1+ + +1 + +1 2 2 ( + 3 ) ( + 1 + ) 2 2 ( ) ( + 1 + ) +3 + +1 + +1 2 ( ) 2 ( ) +3+ +1 2 2 ) ( ) ( = +1 +3+ + +1 + +1 2 2 [ ] ( !)2 = 1 2 . (29) 2 ( ) (1 ) Используя формулу ( + 1) = ( ), найдем суммы 1 и 2 : ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 = ( ) ( + 3 ) +3+ + +1 + +1 2 [ 2 1 ] ( + 1)2 2 + ( + 1 + 2 + 2)2 2 = 47 ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ] ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + + 2) 2 2 = , (30) ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 ] ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + 1) 2 2 . (31) 2 = ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 Теперь, подставляя (30) и (31) в (29), находим +1 ( + 1 + ) ( + 1 ) (( + 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . +1+ 2 ( ) (1 ) + +2 + +2 2 2 1)!)2 Таким образом, нами доказано следующее утверждение. Лемма. Справедлива следующая формула вычисления конечной суммы: [ =0 ) ) ] ( ) ( ( 1 1 = 2 + + 1 2 + + 1 + + ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 ( !) 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . (32) +1+ 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 Тогда с учетом установленной формулы (32) и соотношений (18), (13) имеем ( + 1 + ) ( + 1 ) +1 2 2 (1) ( ) = 2 ( ) (1 ) ( 2 ) 4 ( + 1 + ) ( + 1 ) = =0 + +1 + +1 2 2 ( 2 ) 1+ 2 sin · 4 ] = [ = 2 2 ( + 1) =0 ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 2 ( + 3 + + 3 2 ) 2 sin · 1+ ] 1 2 1; = [ , ; , (33) 2 2 4 ( + 1)2 2 где 1 2 ( · ) — обобщенная гипергеометрическая функция [13, §10.10(IV)]. Тем самым первая задача о вычислении разности (6) выполнена. 48 Теперь рассмотрим разность (10). Аналогично вычислению разности (6) c использованием разложения функций ± ( ) в обобщенный степенной ряд получим (1) ( ) = +1 ( 1) ( ) 2 =0 ( 1 2 ) = +1 2 ( 1) ( ) 2 =0 ( !)2 2 . (34) Подставляя (32) в (34), получим 1+ ( 2 ) ( 1) 4 ( + 3 + ) ( + 3 ) = 2 sin · ] (1) ( ) = [ ( + 1)2 2 =0 2 2 ( + 3 + + 3 1+ 2 sin 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (35) 2 2 4 ( + 1)2 2 Таким образом, полученный нами ряд (35) совпадает с рядом, найденным Ломмелем, как частное решение неоднородного уравнения Бесселя 2 ( ) + ( ) + ( 2 2 ) ( ) = +1 с помощью обобщенного степенного ряда. Далее вычислим разности (8) и (12). На основании формул ( ) = ] [ ( ) ( ) , 2 sin ( ) = ] 1 [ ( ) cos ( ) sin имеем [ ] = ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 sin 0 0 ( + 3 + + 3 2 ) 1+ (1) ( ) = = , ; , (36) 1 2 1; 2 sin (1 + )2 2 2 2 4 (2) ( ) [ ] 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) = sin 0 0 1 (1) ( ) = = sin ( + 3 + + 3 2 1+ 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (37) 2 2 4 (1 + )2 2 (2) ( ) Следовательно, установлено утверждение. Теорема 1. Справедливы следующие формулы: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 49 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; = [ , ; , 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 = ( + 3 + + 3 2 ) 1+ 1; , ; , 1 2 (1 + )2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 где ± > 1. Теперь на основании (33), (35)–(37) с использованием представлений (5), (7), (9) и (11) найдем первоначальные разности (1)–(4): ( 2 sin 2 1/ ) , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( 2 2 1/ ) (2) ( ) = , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 4 4 ( ) 2 sin 2 (1) ( ) = ( )1/ , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( ) 2 2 (2) ( ) = 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; ( )1/ , 4 4 (1) ( ) = (38) (39) (40) (41) здесь = 1/(2 ). 2. Асимптотические оценки. Поскольку нам неизвестно асимптотическое разложение для функции 1 2 ( ; , ; ± ) при > , воспользуемся ее интегральным представлением [16, форм. (28.96)]: 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 , (42) 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 а также вытекающей из (42) формулой 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 . 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 50 Здесь > 0, > 0. На их основе найдем интегральные представления для функций (38)–(41): 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (43) (1) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (44) 0 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 (1) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0,(45) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0. (46) 0 В силу формулы асимптотического разложения интеграла, содержащего функцию Бесселя (см. [17, форм. (10.87)], а также [18]), при = 1, ( ) = (1 + ) 1 имеем 1 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 2 1 = ( + ) ( + + ) ( 1) ( 2 ) + sin ( ) ( ) ! 2 2 2 =0 v [ 2 1 ( 1 ) ] 2 +v ( , , ) cos + + , 2 2 > + , (47) =0 где ( , , ) = ( + ) (1/2 + + ) , ( )2 , ( )! ! (1/2 + ) =0 ] [ 3/2 1 (1 + ) , =1 [ ] ( ) = ( ) 1 (1 + ) 1 =1 . =0 ( ) = Из формулы (47) при > + найдем оценку интегралов: 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 1 [ ( min{ +1, + 3 } ) 2 2 ( 1 ) ] 1 2 + 2 + v ( ) cos + + , (48) 2 2 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 0 3 1 ] ( 3 ) 2 2 ( ) 2 [ ( + + 1 ) ( + + 12 ) 12 2 + 2 v + 2 + 2 = ( ) 1 (1 2 ) 1 = 51 3 [ ( ] 1 2 2 ( ) 1 ) ( 1 ) v = exp + + + + ln 2 + 2 2 2 ( 3 ) + 2 . (49) Тогда в силу оценок (49) и (48) из (43)–(46) при > + получим (1) ( ) (2) ( ) 1 [ ( ) ] 23 2 ( ) (2 ) sin 1 ) ( v = exp 3 + ln 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , 2 4 3 2 + (50) 3 [ ( ) ] 1 ) ( 23 2 ( ) (2 ) v exp 3 + ln = 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , (51) 2 4 3 2 + 1 (1) ( ) = 2 22+ 2 (2 ) ( 2 ) sin sin 2 ( )2 2 [ 1 1 3 ( 1 ) ] 3 + 2 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 2 2 ( 1 1 3 ) 1 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 ( 1 ) ] = 32 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 , (52) 1 (2) ( ) = 1 21+ 2 (2 ) ( 2 ) sin 2 ( )2 2 [ 1 1 1 ( 1 ) ] 3 + 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 2 2 ( ) 1 1 1 3 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 1 ( 1 ) ] = 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 . (53) Таким образом, нами доказана следующая основная Теорема 2. Для разностей (1)–(4) при > + справедливы соответственно асимптотические оценки (50)–(53).

About the authors

Kamil Basirovich Sabitov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: sabitov_fmf@mail.ru

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Сабитов К. Б., Рахманова Л. Х., "Начально-граничная задача для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области", Диффер. уравн., 44:9 (2008), 1175-1181
  2. Сабитова Ю. К., "Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения", Изв. вузов. Матем., 2009, № 12, 49-58
  3. Бурханова (Хаджи) И. А., "Критерий единственности решения обратной задачи уравнения смешанного типа с оператором типа Чаплыгина", Дифференц. уравнения и смежные проблемы, Тр. междун. научн. конф.; в 2-х т., т. 1, БашГУ, Уфа, 2013, 140-144
  4. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н., "Об одной нелокальной задаче для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения", Диффер. уравн., 50:3 (2014), 356-365
  5. Сабитова Ю. К., "Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии", Матем. заметки, 98:3 (2015), 393-406
  6. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н., "Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения с нелокальным граничным условием", Изв. вузов. Матем., 2015, № 1, 46-59
  7. Мартемьянова Н. В., "Необходимое и достаточное условие единственности решения нелокальной обратной задачи для уравнения типа Чаплыгина", Математическое моделирование процессов и систем, Материалы V Всерос. науч.-практ. конф., приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова (17-19 ноября 2016 г., г. Стерлитамак), Стерлитамакский филиал БашГУ, Стерлитамак, 2016, 19-23
  8. Сабитова Ю. К., "Задача Дирихле для уравнения гиперболического типа со степенным вырождением в прямоугольной области", Диффер. уравн., 54:2 (2018), 228-238
  9. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н., "Начально-граничная задача для неоднородных вырождающихся уравнений смешанного параболо-гиперболического типа", Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 137, ВИНИТИ РАН, Москва, 2017, 26-60
  10. Сидоров С. Н., "Обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с вырождающейся параболической частью", Сиб. электрон. матем. изв., 16 (2019), 144-157
  11. Von Lommel E., "Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function", Math. Ann., 9:3 (1875), 425-444
  12. Watson G. N., A treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1944, vi+804 pp.
  13. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Higher transcendental functions, v. II, Bateman Manuscript Project, McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London, xvii+396 pp.
  14. Сабитов К. Б., "Вычисление определенных интегралов от произведения бесселевых функций", Вестн. МГУ, Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн., 1992, № 1, 24-29
  15. Сабитов К. Б., "Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. II", Диффер. уравн., 28:7 (1992), 1138-1145
  16. Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 3, Зинатне, Рига, 1981, 370 с.
  17. Риекстыньш Э. Я., Асимптотические разложения интегралов, т. 1, Зинатне, Рига, 1974, 392 с.
  18. Тихонов А. Н., "Об асимптотическом поведении интегралов, содержащих бесселевы функции", Докл. АН СССР, 125:5 (1959), 982-985

Statistics

Views

Abstract - 22

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies